《数学物理方法A》教学大纲

《数学物理方法A》教学大纲

（Methods of Mathematical Physics ）

一. 课程编号：040422

二. 课程类型：必修课

学时/学分：48学时/3学分

适用专业：通信与信息类强化班

先修课程：高等数学，线性代数，普通物理

三. 课程的性质与任务：

数学物理方法是我校通信与信息类强化班的一门必修课程。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数和数学物理方程的基本理论与方法，培养学生的理论思维能力和分析问题、解决问题的能力。为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

四、教学的主要内容及学时分配

（一）教学的主要内容

复变函数部分：

1.复数与复变函数复数及其代数运算，复数的几何表示，复数的乘幂与方根，复平面上的点集，复变函数的概念，复变函数的极限和连续性

2.解析函数解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数

3.复变函数的积分复变函数积分的概念、存在条件、性质与计算方法，Cauchy基本定理及其推广-复合闭路定理，Cauchy积分公式、解析函数的高阶导数，解析函数与调和函数的关系

4. 级数复数项级数、幂级数，Taylor级数，Laurent级数

5.留数孤立奇点及其分类、函数的零点与极点的关系，留数的定义、留数定理、留数的计算规则，留数在定积分计算上的应用

数学物理方程部分：

1、典型方程和定解条件

1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出；

2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。

2、分离变量法（驻波法）

1）分离变量法的基本步骤；

2）非齐次方程齐次边界条件的固有函数法；

3）非齐次边界条件的处理；

4）施特姆-刘维尔方程的固有值问题简介。

3、达郎贝尔法（行波法）

1）一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；

2）非齐次波动方程的齐次化原理。

4、积分变换法

1）傅立叶积分变换的概念及基本性质；

2）应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；

3）拉普拉斯变换的概念和基本性质；

4）拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。

5、特殊函数及其在分离变量法中的应用

1）贝塞尔方程的幂级数解法；

2）贝塞尔函数的递推公式、零点、模值，按贝塞尔函数系展开函数；

3）贝塞尔函数应用举例；

4）勒让德方程的解法；

5）勒让德多项式的形式及傅立叶-勒让德级数；

6）勒让德多项式应用举例。

（二）学时分配（共48学时）

五. 教学基本要求

复变函数部分：

1. 熟练掌握复变函数的各种表示方法及其运算，复变函数的概念，复变函数的极限、连续的概念。

2. 掌握复变函数导数、复变函数解析的概念，熟悉复变函数解析的充要条件，了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法，了解初等解析函数（指数函数、三角函数、对数函数、幂函数）的定义及主要性质。

3. 掌握复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分，理解Cauchy 积分原理，掌握Cauchy 积分公式与高阶导数公式，知道解析函数无限次可导的性质。

4. 理解复变项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法，知道幂级数在收敛圆内的一些基本性质，了解Taylor 定理，

掌握z e ,z sin 、)1ln(z +、n

z )1(+的Maclaurin 展开式，并能利用它们将一些简单的解析

函数展开为幂级数，了解Laurent定理及孤立奇点的分类，掌握将简单的函数在其孤立奇点附近展开为Laurent级数的间接方法。

5. 理解留数的概念，掌握留数的一些求法，理解留数定理，掌握用留数求围道积分的方法，会用留数求一些实积分。

数学物理方程部分：

1、了解下列基本概念：

1）三类典型方程的建立及其定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法，定解条件的物理意义。

2）偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。

3）施特姆-刘维尔固有值理论要点（固有值的存在与分布，固有函数系的正交性，函数按固有函数系展开）。

2、掌握下列基本解法

1）会用分离变量法（驻波法）解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题；会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题；

2）会用行波法（达郎贝尔法）解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义；了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用；

3）会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题；

4）了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用；

3、了解下列特殊函数的基本性质及其应用

1）贝塞尔（Bessel）方程的幂级数解法及整数阶贝塞尔函数的一些性质（递推公式、零点、模值、正交性）。傅立叶-贝塞尔展开式； 2）会用贝塞尔函数解有关的定值问题；

3）勒让德（Legendre）方程的幂级数解法及勒让德多项式的一些性质（递推公式、正交性）。傅立叶-勒让德展开式。

六. 课程内容的重点和难点

重点：留数定理，分离变量法，拉普拉斯变换，付里叶积分变换

难点：罗朗级数，无穷远点的留数，高维波动方程，贝塞尔函数与勒让德多项式及其应用。

七. 作业、辅导与考试

作业与辅导：作业次数或作业量：每学期约布置20—24次作业，每次平均4题左右。每周一次课外辅导。

考核方法：平时考核占总成绩30%，期末考试占70%。

八．教材与参考书

教材：

1. 西安交通大学高等数学教研室.《复变函数》（第四版）.高等教育出版社，1996.

2. 胡学刚等.数学物理方法.机械工业出版社，1997.

参考书目：

1.钟玉泉. 复变函数论（第二版）. 高等教育出版社，1988.

2. 梁昆淼. 数学物理方法（第三版）. 高等教育出版社，1998.