第一讲二次根式的概念和性质

第一讲、二次根式的概念和性质

第一部分、

教学目标：

1、理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的判定方法。

2、利用0≥a 的性质解决问题。

第二部分、

教学重点和难点：

1、掌握二次根式的双重非负性性质，并利用0≥a 解决化简问题。

2、利用二次根式的性质进行式子的化简。

第三部分、

教学过程：

例题讲解：

例1、在式子)0(2

>x x ，2，y x x x x y y ++<--=+，，，1,3)0(2)2(123中，二次根式有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解．

【解答】解：根据二次根式的定义，y ＝﹣2时，y +1＝﹣2+1＝﹣1， 所以二次根式有

1),0(2,2),0(22+<->x x x x x 共4个． 故选：C ．

练1.1、下列的式子一定是二次根式的是（ ）

A ．2--x

B ．x

C ．22+x

D ．22-x

【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如

（a ≥0）的式子叫做二次根式可得答案．

【解答】解：根据二次根式的定义可得

中得被开方数无论x 为何值都是非负数，

故选：C ．

练1.2、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）

A ．4-

B ．3x -

C ．1-a （a ≥1）

D ．2--

【分析】根据二次根式的定义得出形如：（a ≥0）是二次根式，进而判断即可．

【解答】解：A 、

，﹣4＜0，故不是二次根式，故此选项错误； B 、

，是三次根式，故不是二次根式，故此选项错误； C 、

（a ≥1），则a ﹣1≥0，故是二次根式，故此选项正确； D 、﹣，﹣2＜0，故不是二次根式，故此选项错误；

故选：C ．

例2、使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是（ ）

A ．x ≠3

B ．x ＞3

C ．x ≥3

D ．x ≤3

【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x ﹣3≥0．

【解答】解：依题意得：x ﹣3≥0．

解得x ≥3． 故选：C ．

练2.1、若式子

在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x 且x ≠1 B ．x ≠1

C ．x 且x ≠1

D ．x 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：根据题意得，2x ﹣1≥0且x ﹣1≠0，

解得x ≥﹣且x ≠1．

故选：A ．

练2.2、要使1213-+

-x x 有意义，则x 应满足（ ） A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2

1＜x ≤3 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，

，

解不等式①得，x ≤3，

解不等式②的，x ＞，

所以，＜x ≤3．

故选：D ．

例3、已知a ＜3，则2)3(-a ＝ ．

【分析】根据二次根式的性质得出|a ﹣3|，去掉绝对值符号即可．

【解答】解：∵a ＜3， ∴2)3(-a

＝|a ﹣3|

＝3﹣a ．

故答案为：3﹣a ．

练 3.1、已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简222)()()(a b c a c b c b a --+-+-++．

【分析】根据三角形的三边关系定理得出a +b ＞c ，b +c ＞a ，b +a ＞c ，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．

【解答】解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，

∴a +b ＞c ，b +c ＞a ，b +a ＞c ，

∴原式＝|a +b +c |﹣|b +c ﹣a |+|c ﹣b ﹣a |

＝a +b +c ﹣（b +c ﹣a ）+（b +a ﹣c ）

＝a +b +c ﹣b ﹣c +a +b +a ﹣c

＝3a +b ﹣c ．

练3.2、已知：m 是5的小数部分，求2122-+

m m 的值． 【分析】先估算得到m ＝

﹣2，则＝＝+2，即＞m ，利用完全平方公式得到原式＝，再根据二次根式的性质得到原式＝|m ﹣|，去绝对值得原式＝﹣m +，然后把m 和的值代入计算即可．

【解答】解：∵m 是

的小数部分，

∴m ＝

﹣2， 原式＝＝|m ﹣|

∵m ＝

﹣2， ∴＝＝+2，即＞m ，

∴原式＝﹣（m ﹣）

＝﹣m +

＝﹣（

﹣2）++2

＝4．

例4、若x ，y 都是实数，且833+-+-=x x y ，则x +3y 的立方根为 ．

【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x 的值，然后求出y 的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．

【解答】解：根据题意得，x ﹣3≥0且3﹣x ≥0，

解得x ≥3且x ≤3，

所以，x ＝3，

y ＝8，

x +3y ＝3+3×8＝27，

∵33＝27，

∴x +3y 的立方根为3．

故答案为：3．

练4.1、若x ，y 都是实数，且满足y ＜2111+-+-x x ，化简：11--y y ． 【分析】要化简，先确定题中各式在实数范围内有意义，应把握好以下几点：一是分母不能为零；二是二次根号下为非负数．

【解答】解：依题意，有

，得x ＝1，此时y ＜， 所以1﹣y ＞＞0，

所以＝﹣1．

练4.2、已知x 、y 为实数，214422-+-+-=

x x x y ，试求3x +4y 的值．