工程流体力学 第二章 流体静力学201012

z
容器以等角速度ω 容器以等角速度ω旋转
ω
质量力
X = ω r cos α = ω x Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = − g
2 2
p0 o
m
h z
zs y
o y
αr
y x ω2y ω2r
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
质量力 X = ω 2 r cos α = ω 2 x
ρ
h
△z
ρ
1
2
ρ2
二、金属测压计
三、压力传感器 压电式压力传感器 压阻式压力传感器 应变式压力传感器
15:51
§2.4 液体的相对平衡
一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡
容器以等加速度a 容器以等加速度a向右作水平直线运动
§2.4 液体的相对平衡
一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡
容器以等加速度a 容器以等加速度a向右作水平直线运动
z
z=c
水平面
zs h a m α f g z
a o p0 α x
z=−
a x+c g
斜面
（2）压强分布
绝对静止： 绝对静止： 相对静止： 相对静止：
p = p0 + ρgh
p = p0 + ρg ( z s − z ) = p0 + ρgh
h－任一点距离自由液面的淹深 －
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
h
z+
p
γ
= z0 +
p0
γ
1
h=Z0-Z
p = p0 +γ (z0 − z)
水静力学基本方程
p = p0 +γh
4、相对压强、真空压强 相对压强、
（1）绝对压强 以绝对真空为基准计量的压强。 以绝对真空为基准计量的压强。 相对压强+ =相对压强+大气压强 （2）相对压强 以当地大气压强为基准计量的压强。 以当地大气压强为基准计量的压强。 绝对压强=绝对压强-大气压强 大气压强-绝对压强 （3）真空度=大气压强 绝对压强 标准大气压：海平面上大气压强， 标准大气压：海平面上大气压强，atm=101325Pa 工程大气压： =9.80665× 工程大气压：at=1kgf/cm2=9.80665×104Pa g与万有引力有关。国际上将在纬度45°的海平面精确测得物 与万有引力有关。国际上将在纬度45° 45 体的重力加速度g=9.80665 g=9.80665米 ^2;作为重力加速度的标准值 作为重力加速度的标准值。 体的重力加速度g=9.80665米／秒^2;作为重力加速度的标准值。 水银ρ 水银ρ=13.5951kg/l
dy o z x
a dz dx y z y
§2.2 流体平衡微分方程式
以x方向为例,列力平衡方程式 方向为例, 表面力： 表面力： 质量力: 质量力:
据∑ Fx = 0,
∂p pb dydz − pc dydz = − dxdydz ∂x
X ⋅ ρdxdydz
y p- ∂p/∂x•dx/2 dy b o
z
h a m α f g
zs z
a o p α
0
x
质量力
X = −a Y = 0 Z = − g
§2.4 液体的相对平衡
质量力
X = −a
Y = 0 Z = −g
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ρ ( Xdx + Zdz ) = ρ (−adx − gdz ) = 0
⇓ 积分
二、流体静压强的两个特性
2. 大小
流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。 流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。
1 1 px ⋅ dydz − pn ⋅ dA cos(n, x) + X ⋅ ρ dxdydz = 0 2 6 ⇓
1 p x − p n + X ⋅ ρ dx = 0 3
p0 o
m
h z
zs y
利用边界条件： 利用边界条件：
x=0 z=0
得： C = p 0
p = p0 + ρg (
p = p0
ω 2r 2
2g − z)
ω r
2 2
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
2g
p = p0 + ρg ( z s − z ) = p0 + ρgh
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
(1) × dx+ (2) × dy + (3) × dz
dp =
∂p ∂p ∂p dx + dy + dz = ρ(Xdx +Ydy + Zdz) ∂x ∂y ∂z
等压面：流体中压强相等的各点组成的平面或曲面。如水平面
dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz ) = 0
势函数：如果存在一个函数U(x,y,z)，使质量力的分量等于这个函数的偏 导数，则这个函数就为该质量力的势函数。（有势力）
15:51
静止液体的压强分布图
作用：形象直观地表示物体表面的静止液体的压强分布情况 方法：将表面压强用箭头表示，箭头与物体表面垂直，长度与压强大小 成比例，箭头的方向代表压强的作用方向，箭头落在物体表面，就构成 了压强分布图。 注意：由于物体的壁面两边都受到大气压力作用，相互 抵消，因此一般只需画出相对压强的分布。
1 p x − p n + X ⋅ ρ dx = 0 3 1 p y − p n + Y ⋅ ρ dy = 0 3 1 p z − p n + Z ⋅ ρ dz = 0 3
略去无穷小项
y D
pz
pn
px
dz
B z
dy o dx
⇒
C x
py
p x = p y = p z = pn
工程流体力学
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
一、流体的静压强
流体处于绝对静止或相对静止时的压强
p = lim
∆A
∆P dP = ∆A dA
二、流体静压强的两个特性
1. 方向性
流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向； 流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；
原因:(1)静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面； :(1)静止流体不能承受剪力 静止流体不能承受剪力， τ=0， 垂直受压面； (2)因流体几乎不能承受拉力， (2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。 因流体几乎不能承受拉力 指向受压面。
⇓
p = p ( x, y , z )
§2.2 流体平衡微分方程式
一、平衡微分方程式
在静止流体中取如图所示微小六面体 微小六面体。 在静止流体中取如图所示微小六面体。 设其中心点a(x,y,z)的密度为 ，压强为 ，所受质量力为 。 的密度为ρ，压强为p，所受质量力为f。 设其中心点 的密度为
y
f, p,ρ
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
来自百度文库
p = ρg (
ω 2r 2
2g
− z) + C
2.欧拉微分方程的积分（压强差公式） 2.欧拉微分方程的积分（压强差公式） 欧拉微分方程的积分
1 ∂p X − ρ ∂x = 0 1 ∂p =0 Y − ρ ∂y 1 ∂p =0 Z − ρ ∂z
(1) (2) (3)
物理意义： 物理意义：流体 静压强的增量决 定于质量力
∂p ρXdxdydz − dxdydz = 0 ∂x
1 ∂p X− =0 ρ ∂x
z
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
x
x
同理，考虑y 同理，考虑y，z方向，可得: 方向，可得:
X − Y − Z − ∂ p = 0 ρ ∂ x 1 ∂ p = 0 ρ ∂ y 1 ∂ p = 0 ρ ∂ z 1
缺点： 缺点：只能测量较小的压强
2）U形管测压计
pa
p1 = p + ρgh 1
p2 = pa + ρ2 gh2
h2
ρ
p
A
h1
1 ρ2
2
⇓
p1 = p2
p = pa + ρ2 gh2 − ρgh 1 pe = ρ2 gh2 − ρgh 1
优点： 优点：可以测量较大的压强
原理：对于不可压缩的静止流体， 等压面为平面 要求：容器连通、不可压缩、静止 流体、互不相混的同一种液体。
y p- ∂p/∂x•dx/2 dy b o
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
上式即为流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程) 上式即为流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程) 流体平衡微分方程 z
x
y
物理意义： 物理意义： 在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 适用范围： 适用范围： 所有静止流体或相对静止的流体。 所有静止流体或相对静止的流体。
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
→
→
f •ds = Xdx +Y + Zdz = 0 dy
→
dp＝ = 0 dU
① 等压面与等势面重合 ② 等压面与质量力垂直
两个矢量相互垂直
已知质量力的方向，可以确定等压面的形状
§2.3 重力作用下的流体平衡
一、静力学基本方程式
1.基本方程式 1.基本方程式
X = 0 Y = 0 Z = －g
3.与绝对静止情况比较 3.与绝对静止情况比较
（1）等压面
绝对静止： 绝对静止： 相对静止： 相对静止： 相对静止： 相对静止：
Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = −g
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
五、测压计
1、液柱式测压计
1）测压管
测压管是一根直径均匀的玻璃管， 测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的 容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。 容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。 表压 真空 优点： 优点：结构简单
A
pe = ρgh
pv = ρgh
p0
pa
pv
h
h pa
p z+ =C ρg
位 置 水 头 压 强 水 头 静 水 头
z
位 压 势 强 能 势 能
p0
h
hp p
a
在重力作用 下的连续均质不 可压缩静止流体 中，各点的单位 重力流体的总势 能保持不变。 能保持不变。
在重力作用 下的连续均质不 可压缩静止流体 中，静水头线为 水平线。 水平线。
z o x
自 液 的 程 z0, 强 p0 由 面 高 为 压 为
∂U ∂U ∂U X＝ ， = Y Z ， = ∂z ∂x ∂y
∂U ∂U ∂U X＝ ，Y = ，Z = ∂x ∂y ∂z
→
f = Xi + Yj + Zk
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz) = 0
dU ∂U dx + ∂U dy + ∂U dz = 0 ＝ ∂x ∂y ∂z
ds = dxi + dyj + dzk
z=− a x+c g
z
等压面是一簇平行的斜面。 等压面是一簇平行的斜面。
自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
h a m α f g
zs z
a o p α
0
x
⇓
zs = − a x g
2. 静压强分布规律
dp = ρ ( Xdx + Zdz ) = ρ (−adx − gdz)
p = − ρ (ax + gz ) + C
利用边界条件： 利用边界条件：
z
⇓ 积分
x=0 z=0
得： C = p0
p = p0
zs h a m α f g z a o p0 α x
p = p0 + ρg ( z s − z ) = p0 + ρgh
a zs = − x g
3.与绝对静止情况比较 3.与绝对静止情况比较
（1）等压面
绝对静止： 绝对静止： 相对静止： 相对静止：
3）U形管差压计
测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。 测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。
p1 = pA + ρg(h + h2 ) p2 = pB + ρg(h + ∆z) + ρ2 gh2
B
⇓
p1 = p2
A
h2
pA + ρg(h + h2 ) = pB + ρg(h + ∆z) + ρ2 gh2 pA − pB = ρg(∆z − h2 ) + ρ2 gh2