祖暅原理与柱体、球体的体积课后作业
2020新教材高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积练习新人教B版必修第四册
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础巩固1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( ) A.1∶3∶4 B.1∶3∶2 C.1∶2∶4D.1∶4∶2R ,则V 圆锥=13πR 2·2R=23πR 3,V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3,V 球=43πR 3.所以V 圆锥∶V 圆柱∶V 球=23∶2∶43=1∶3∶2.故选B .2.正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是 ( )A.216 B .72 C .108 D .6483.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是( ) A.6√3 B.3√6 C.11D.12a ,b ,c ,则ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc )2=108,∴V=abc=6√3.4.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为( ) A.3 B.4 C.5D.6,V=13(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为( )A.1B.12 C.√32D.34R ,圆锥底面半径r ,高都为h ,由已知得2Rh=rh ,∴r=2R.故V 柱∶V 锥=πR 2h ∶13πr 2h=34.故选D .6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( ) A.1 B.2C.3D.4R 、r (R>r ),则由题意得{4π3R 3+4π3R 3=12π,2πR +2πR =6π,解得{R =2,R =1.故R-r=1.故选A .7.(多选题)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E ,F ,且EF=√22,则下列结论正确的是( )A.AC ⊥平面BEFB.AE ,BF 始终在同一个平面内C.EF ∥平面ABCDD.三棱锥A-BEF 的体积为定值AC ⊥平面BB 1D 1D ,即AC ⊥平面BEF ,∴A 对;∵EF ∥BD ,BD ⊂面ABCD ,EF ⊄面ABCD ,得EF ∥平面ABCD ,∴C 对;∵S △BEF =12×√22×1=√24,设AC ,BD 交于点O , AO ⊥平面BB 1D 1D ,AO=√22 ∴V A-BEF =13×√24×√22=112,∴D 对;∵B ,E ,F 同在平面BB 1D 1D 上,而A 不在平面BB 1D 1D 上,∴AE ,BF 不在同一个平面内,B 错误.故选ACD .8.已知圆锥SO 的高为4,体积为4π,则底面半径r= .r ,则13πr 2×4=4π,解得r=√3,即底面半径为√3.39.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等,则球O 的半径为 .O 的半径为r ,则43πr 3=23,解得r=√6R3.√6π10.一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上,则正方体的表面积为 .解析由43πR 3=43π,得R=1.设正方体的棱长为a ,则√3a=2R ,所以a=3,故正方体的表面积S 表=6a 2=6×(√3)2=8.11.将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中,钢球全部没入水中,水面升高4 cm,则钢球的半径是 .4cm,则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有43πR 3=36π,所以R=3cm .12.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm 3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm,2.243≈11.240 98).50cm 的钢球的质量为7.9×43π×(502)3≈516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000<516792, 所以钢球是空心的.设球的直径为2x cm,那么球的质量为7.9×[43π×(502)3-43πR 3]=145000.解得x 3≈11240.98,∴x ≈22.4,2x ≈45(cm).即钢球是空心的,其内径约为45cm .能力提升1.如图,在三棱台ABC-A 1B 1C 1中,AB ∶A 1B 1=1∶2,则三棱锥A 1-ABC ,B-A 1B 1C ,C-A 1B 1C 1的体积之比为( ) A.1∶1∶1B .1∶1∶2C .1∶2∶4D .1∶4∶4h ,S △ABC =S ,则R △R 1R 1R 1=4S ,所以R R 1-RRR =13S △ABC ·h=13Sh ,R R -R 1R 1R 1=13R △R 1R 1R 1·h=43Sh.又V 台=13h (S+4S+2S )=73Sh ,所以R R -R 1R 1R =V 台-R R 1-RRR −R R -R 1R 1R 1=73Sh-13Sh-43Sh=23Sh.所以所求体积之比为1∶2∶4.故选C .2.三棱锥P-ABC 的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M ,N 分别在BC 和PO 上,且CM=x ,PN=2x (x ∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC 的体积V 与x 的变化关系,其中正确的是( )V=13S △AMC ·NO=13(12×3R ×sin30°)·(8-2x )=-12(x-2)2+2,x ∈[0,3].故选A .3.两个相同的正四棱锥组成如图①所示的几何体,可放入棱长为1的正方体(如图②)内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )A.1个B .2个C .3个D .无穷多个,截面如图③所示.图③可见正方形中内接正方形的面积S 不可能唯一,故V=13×S ×12×2不唯一.4.有64个直径都为R4的球,记它们的体积之和为V 甲,表面积之和为S 甲;一个直径为a 的球,记其体积为V 乙,表面积为S 乙,则( ) A.V 甲>V 乙且S 甲>S 乙 B.V 甲<V 乙且S 甲<S 乙 C.V 甲=V 乙且S 甲>S 乙 D.V 甲=V 乙且S 甲=S 乙V 甲=16πa 3,S 甲=4πa 2,V 乙=16πa 3,S 乙=πa 2,∴V 甲=V 乙,且S 甲>S 乙.故选C .5.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为 .R 、r (R>r ),则{4πR 2-4πR 2=48π,2πR +2πR =12π,即{R -R 2=12,R +R =6.所以R-r=2.6.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为 cm .1cm 和半径为3cm 的两个圆柱的高分别为h 1cm 和h 2cm,则由题意知π·32·h 2+π·12·(20-h 2)=π·12·h 1+π·32·(28-h 1),整理得8π(h 1+h 2)=232π,所以h 1+h 2=29.7.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用),已建仓库的底面直径为12 m,高4 m .养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积和表面积. (2)哪个方案更经济?方案一中仓库的底面直径变成16m,半径r 1为8m,高h 1为4m,则圆锥的母线长l 1=4√5m,所以仓库的体积V 1=13πR 12h 1=2563π(m 3).表面积S 1=πr 1l 1=32√5π(m 2).方案二中仓库的高h 2变成8m,半径r 2为6m,则圆锥的母线长为l 2=10m .所以仓库的体积V 2=13πR 22h 2=2883π(m 3)=96π(m 3),表面积S 2=πr 2l 2=60π(m 2).(2)因为V 2>V 1,S 2<S 1, 故方案二比方案一更经济.8.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm .(1)这种“浮球”的体积是多少 cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,所以两个半球的体积之和为V 球=43πR 3=43π·27=36π(cm 3).又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),所以1个“浮球”的表面积为S=36π+12π104=48π104(m2).因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500×48π104=12π(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12π=1200π(克).。
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 练习(2)(解析版) (2)
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积一、选择题1．如图，棱柱ABC A B C '''-的体积为1，则四棱锥C AA B B ''-的体积是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．342．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π3．设矩形边长分别为()a b a b 、＞，将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱（无底面），其体积分别为a V 和b V ,则a V 与b V 的大小关系是( )A ．a b V V ＞B ．a b V V =C ．a b V V ＜D ．不确定4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：26．（多选题）如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且2EF =，动点Q 在棱D C ''上，则三棱锥A EFQ '-的体积（ ） \A ．与点E ，F 的位置有关B ． 163A EFQ V 三棱锥'-=C ．A EFQ V 三棱锥'-不确定D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值二、填空题 7．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这 个圆台的体积是 .8．已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.10．已知直三棱柱底面的一边长为2cm ，另两边长都为3cm ，侧棱长为4cm ，它的侧面积为 体积为三、解答题11．如图所示，多体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF ，EF 到平面ABCD 的距离为2，求该多面体的体积V .12．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？(1)求出球的半径；(2)求球的体积.。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 (2)
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的高、 宽、长及墙壁的厚度、窗户的大小等数据，体会 数学在生活中的应用。
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
CHale Waihona Puke BAA分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与 柱体、锥体、球体的体积
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
小实验
将一叠作业本放在桌子上组成一个几何体，将它们改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高改变了没 有？几何体的体积改变了没有？说明理由
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异"
“幂”是面积，“势”指的是高。
2020_2021学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积同步刷题
3．[山西太原第十二中学2018高二期中]下列平面图形中，
通过围绕定直线l旋转可得到如图所示几何体的是( B)
刷基础
解析 A.旋转得到的几何体由一个圆锥以及一个圆柱构成；C.旋转得到的几何体由两个圆锥构成；D. 旋转得到的几何体由一个圆锥以及一个圆柱构成．所以选B.
课时2 组合体的表面积与体积
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型3 与球的切、接有关的体积问题
刷基础
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型3 与球的切、接有关的体积问题
刷基础
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型3 与球的切、接有关的体积问题
刷基础
D
解析
课时2 组合体的表面积与体积
刷基础
题型1 组合体的结构特征
题型1 柱体、锥体、台体的体积
7．[山东青岛2018高一学情调研]已知一个圆锥的侧面展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°， 底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型1 柱体、锥体、台体的体积
刷基础
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型2 球的体积
1．[安徽宿州十三所重点中学2019高二期中]以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周 所得的几何体是( D) A．一个圆柱 B．一个圆锥 C．一个圆台 D．两个圆锥
解析 由题意结合旋转体的特征可得所得的空间几何体由两个圆锥构成，且两圆锥共底面，一个顶 点位于底面上方，一个顶点位于底面下方．
刷基础
题型3 组合体的表面积
8．如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为 BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将等边三角形ABC绕AD旋转180°，求 阴影部分形成的几何体的表面积．
人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》
在展示评价后，若你仍有补充， 我们奖励 20 分
2020/3/11
题 号 方式
自探一 板书 自探二 板书
展示分工
第五组 第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
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总结本节课内容，重点，难点！ 总结本节课同学们的表现！
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课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
2020/3/11
2020/3/11
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
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祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
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探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
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结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
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质疑再探
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运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上 底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直 线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等， 则图1的面积为___.
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祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现:祖眶原理与柱体、锥体、球体的体积一、教材分析本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容是用祖唯原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖瞄原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解空间几何体问题的思想方法，逐步提高解决空间几何体问题的能力.在推理的过程中，感受我国文化的魅力，通过数形结合导出柱、锥、球体的体积公式.这些过程正是培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模等数学学科核心素养的重要过程.二、学情分析学生己经掌握了第一章的基础之上，对空间几何体具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法.他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的实物来理解抽象的逻辑关系.同事思维的严密性需要进一步加强.三、设计思路1、由祖随原理推导柱、锥、球的体积.其知识设计结构图如下:2、结合唐特工作室的雾误悟教学思想：博学・审问•明辨•笃行的教学设计路线.在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过师生合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，充分利用错误资源，力争在培养学生数学知识的同时让学生感受数学文化.（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、善于观察、灵活应用的能力.四、教学目标根据班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：（1）理解祖唯原理的含义，理解利用祖唯原理计算几何体体积的方法；（2）在用祖唾原理推导柱、锥、球体体积的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；（3）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感,提高学习数学的兴趣.五、教学重难点教学重点：理解祖瞄原理的含义，以及柱体、锥体、球体的体积公式的探究;教学难点：运用祖瞄原理推导球的体积，学生探究能力的培养.六、教学方法雾误悟、探究式、启发式七、教学过程：（-）【博学情境】课题引入，提出问题数学在人类历史的发展中，有着重要的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张地说：如果咱们的生活离开了数学，那么人类的历史将无法展开。
高中数学第一章立体几何初步第9课时1.1.7柱锥台和球的体积课时作业新人教B版必修2
课时目标高中数学第一章立体几何初步第 9课时1.1.7柱锥台和球的体积课时作业新人教B 版必修21. 了解祖暅原理.2 •掌握柱、锥、台和球的体积计算公式.3•会利用柱、锥、台和球的体积公式解决有关几何体的体积问题.1.柱体（棱柱、圆柱）的体积公式为 V 柱体=Sh, （S 为柱体底面积，h 为柱体的高），V 圆 柱=冗r 2h （r 为底面半径，h 为圆柱的高）.一 一 12•若一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积为S ,高为h ,则它的体积是 V 锥体=^Sh,若圆锥 1 2的底面半径为r ,咼为h ,则它的体积为 V 圆锥=㊁冗r h .13.若一个台体上、下底面的面积分别为 S'、S,高为h ,则它的体积公式为 V 台体=~3h （S+ 佟一+ S'），若圆台上、下底面半径分别为r '、r,高为h,则它的体积为 V 圆台=gn h （r 22+ rr '+ r '）.434. 球的半径为 R,则球的体积为 V 球=云冗戌312 2 288 3— X 8=—— cm.当圆柱的高为 12 cm 时，V = 2 nn8 2 1923nX — X 12= cm .2 n n一、选择题（每个5分，共30分） 1.圆柱的侧面展开图是长 12 cm ,宽C 1923B. ---- cmn8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（A 2883A. ----- cmn 厂 288 3 192 C.— cm 或— n3cm nD . 192n cm 3圆柱的高为8 cm 时，V =nX 解析:2. 已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°,则该圆锥的体积为（）A. 2 2B.C.4：'2D. 4.33 3答案：D解析：设正方体的棱长为X,则正方体的体对角线长为Q3x,由题设有-n3=_3 n,解得x=芈所以选D.二、填空题（每个5 分7.右一个球的体积为答案：12n 「，共15分）n,则它的表面积为.解析：设球的半径为R,则3 n R = 4寸3 n,「. R=^3,—球的表面积S= 4 n R = 4 nX3=12 n.&木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的___________ 倍.答案：240 ,30解析：由题意，得4n R木=4n F地• 120,所以R木= 120R地.所以V 木=3 n lF^= 3兀・（120R 地）3= 240 叮30 • 3 n FF ft= 240,. 30V 地.3 3 39•如图，E, F分别为正方形ABC啲边BC CD的中点，AB= 2,沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ____________答案：3解析：折叠起来后，B, C D三点重合，设为点S,则围成的三棱锥为S- AEF其中,SAL SESA!SF,SE!SF,且SA= 2,SE= SF= 1,如图，所以此三棱锥的体积 1 1V=3X2X1X1X21 =3.三、解答题10. （12分）已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的表面积为S,求其内接正四棱柱的体积.解：设等边圆柱的底面半径为r，则高h= 2r.2 2T S= S 侧+ 2S 底=2 n rh + 2 n r = 6 n r ,1 2V P -ABCD = 3S 四边形 ABCD- PC= 3.能力提升12. （5分）如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为（1） 画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积.该几何体的俯视图可以是（ ） 11的正方形，且体积为2，则解：(1)这个几何体的直观图如图所示.⑵这个几何体可看成是正方体ABC D ABGD和直三棱柱BCQ- A D P的组合体. 由PA= PD= 2, AD = AD= 2，可得PA丄PD.故所求几何体的表面积S= 5X2 2+ 2X 2X '2 + 2X 2X( 2)2= 22+ 4 2, 所求几何体的体积V= 23+ 2X('2)2X 2= 10.。
4.24祖暅原理与几何体的体积作业
祖暅原理与几何体的体积一、单选题1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（ ）A ．B ．64C ．16D ．962．一平面截球O 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则球O 的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．cm 3D ．108πcm 3 3．如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（ ）A ．8:27B ．2:3C ．4:9D ．2:9 4．如图，棱柱ABC A B C '''-的体积为1，则四棱锥C AA B B ''-的体积是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．345．已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，则这个圆柱的体积等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 6．若三棱柱111ABC A B C -的体积为8，过AB ，AC ，11A B 中点截去一个小的三棱柱，则剩下的几何体的体积为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．7 7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的体积为（ ）A 3aB 3aC ．373a π D 3a 8．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A ．224cm π，B ．215cm π，C ．224cm π，D ．以上都不正确． 9．将若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A． B ．6cm C ． D ． 10．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为( )A B C D ．43π二、多选题11．已知ABC ∆的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =.下列说法正确的是（ ） A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 12．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2。
数学人教版高中一年级必修2 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
教学的重点和难点
重点：引导学生运用祖暅原理推出柱体、 锥体、球体的体积公式。
难点：运用祖暅原理探究球体体积公式 时，构造“等积体”。理解数学中割补 思维方法 。
教材分析
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
二、学情分析
我校是省级重点中学，学生思维活跃， 知识面广，好奇心和求知欲强，乐于接受 挑战，但部分学生缺乏探究意识和钻研精 神。为适应学生这一特点，调动学生的学 习积极性，满足其学习愿望，本节课采用 以教师为引导，学生为主体的探究学习形 式。
1 2
V球
= R2
R
1
3
R2 R
=
2 3
R3
R 所以
V球 = 34
3
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
回顾小结
说说这节课你有什么收获 和体会？
设计意图
通过学生自 己谈体会谈 收获，发挥 了学生主体 作用。学生 对本节课思 路重新梳理， 进一步巩固
了知识
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
七、教学评价
2. 以感性、直观、突出重点为主，分层设置 问题，突破难点。
3.鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合 作交流。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
一、创设情境 引入新课
1、把一叠摆放不整齐的作业本放在讲台上。
设计意图
设置问题
提问：你能求出这叠作业本的体积吗？ 情 境 ， 激 发
提问：能不能把这叠作业本摆放整齐 后再求其体积呢？
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
三、教材处理
根据新课程标准精神，教师可以 对教材进行恰当处理。依照认识规律， 我把本节探究内容调整至体积公式运 用之前，以帮助学生重建先探究再应 用的认知结构。
课时作业1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11．1.6 祖原理与几何体的体积1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3C ．64πD ．1282π答案 A解析 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r . 由题意知，l ＝2r ，① S 侧＝πrl ＝162π，② 由①②可得r ＝4，l ＝42， V 圆锥＝13πr 2h ＝π3r 2l 2－r 2＝643π.4．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6 答案 A解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.5.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π 答案 C解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.6.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是________．答案 23解析 ∵V C －A ′B ′C ′ ＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13， ∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.7．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3， V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.8．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________.答案32a 解析 设圆锥形容器的液面的半径为R ， 则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ， 解得R ＝32a . 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝h a ，所以h ＝32a .9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 10．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0.上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下， 得75h 0＝3253， 所以h 0＝1333(cm)．又O ′D ′＝13×32×20＝1033(cm)，OD ＝13×32×30＝53(cm)，记棱台的高为h ， 则h ＝O ′O＝h 20－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝⎛⎭⎫3253＋34×20×30 ＝1 900(cm 3)．所以棱台的高为43cm ，体积为1 900 cm 3.11.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.12．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( ) A.26 B.23 C.33 D.23答案 B解析 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个完全相同的正四棱锥的组合体，每个棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面的面积的一半， 所以所求体积为V ＝2×13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×22＝23.故选B. 13．在如图所示的圆锥中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则点O 到平面VAB 的距离为( )A.33 B.32 C.23 D.22答案 A解析 由题意可得三棱锥V －AOB 的体积为V V －AOB ＝13S △AOB ·VO ＝13×12×1×1×1＝16.△VAB是边长为2的等边三角形，其面积为34×(2)2＝32，设点O 到平面VAB 的距离为h ，则 V O －VAB ＝13S △VAB ·h ＝13×32h ＝V V －AOB ＝16，解得h ＝33，即点O 到平面VAB 的距离是33.14．如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图2所示水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图3所示水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm解析 设上、下圆柱的半径分别是r cm ，R cm(r <R )，高分别是h cm ，H cm.由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H )＝πr 2h ＋πR 2(28－h )，整理得(R 2－r 2)(H ＋h )＝28R 2－20r 2，又r ＝1 cm ，R ＝3 cm ，故解得H ＋h ＝29，即这个简单几何体的总高度为29 cm.15．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥S －EFGH (如图2)，则正四棱锥S －EFGH 的体积为________．答案 43解析 如图，连接EG ，HF 交于点O ，连接SO .由题意知正方形EFGH 的对角线EG ＝2，EO ＝1，则点E 到线段AB 的距离为1，且EB ＝12＋22＝5，SO ＝SE 2－OE 2＝5－1＝2，故正四棱锥S －EFGH 的体积为13×(2)2×2＝43.16．已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积． 解 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上．设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正三角形ABC 的中心， ∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2，即R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2， 解得R ＝64a ， ∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。
人教B版高中数学必修第四册课后习题 第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后训练巩固提升1.已知直角三角形的两直角边边长分别为a,b,分别以这两个直角边所在直线为轴,旋转一周所形成的几何体的体积比为( ) A.a ∶b B.b ∶a C .1a ∶bD.b ∶1aa 的直角边所在直线为旋转轴时,所形成的圆锥体积V 1=13×π×b 2×a=ab 2π3;以边长为b 的直角边所在直线为旋转轴时,所形成的圆锥体积V 2=13×π×a 2×b=a 2bπ3,所以V 1V 2=ba.2.侧棱长为2的正三棱锥,若底面周长为9,则该正三棱锥的体积是( ) A .9√32B .9√34C .3√22D .3√34,底面正三角形的边长为3,侧棱在底面上的射影长为√3,正三棱锥的高为h=√22-(√3)2=1,因此V 正三棱锥=13S 底·h=13×12×32×sin60°×1=3√34.3.若将球O 的半径扩大到原来的2倍,得到球O 1,将球O 的半径缩小到原来的12得到球O 2,则V O 1∶V O 2=( )A.64B.32C.16D.8解析:设球O 的半径为1,则球O 1的半径为2,球O 2的半径为12,可得V O 1=43π×23,V O 2=43π×123,因此V O 1V O 2=23(12) 3=64.4.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形,如图所示,则三棱锥B'-ABC 的体积为( )A .14B .12C .√36D .√34V 三棱锥B'-ABC =13·BB'·S △ABC =13×3×12×√32×12=√34.5.已知圆柱的侧面展开图是长12 cm,宽8 cm 的矩形,则这个圆柱的体积为( ) A .288πcm 3 B .192πcm 3C .288πcm 3或192πcm 3 D.192π cm 3解析:当圆柱的高为8cm 时,V=π×122π2×8=288πcm 3;当圆柱的高为12cm时,V=π×82π2×12=192πcm 3.6.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为 .√3S 上=6√3,S 下=24√3,高h=2,所以V 台体=13h(S 上+S 下+√S 上·S 下)=13×2×(6√3+24√3+12√3)=28√3.7.用半径为20 cm 的半圆形铁片卷成一个无底的倒圆锥形容器(接缝处忽略不计),则该容器的容积为 .3r, 则2πr=12×2π×20,解得r=10. ∵母线长l=20, ∴圆锥的高h=10√3. ∴V=13π×102×10√3=1000√3π3.8.如图,棱锥的底面ABCD 是一个矩形,AC 与BD 交于点M,VM 是棱锥的高,若VM=4 cm,AB=4 cm,VC=5 cm,求棱锥的体积.VM 是棱锥的高, ∴VM ⊥MC.在Rt △VMC 中,MC=√VC 2-VM 2=√52-42=3(cm),∴AC=2MC=6cm. 在Rt △ABC 中,BC=√AC 2-AB 2=√62-42=2√5(cm). ∵S 底=AB·BC=4×2√5=8√5(cm 2),h=VM=4cm, ∴V 锥=13S 底·h=13×8√5×4=32√53(cm 3),即该棱锥的体积为32√53cm 3. 9.一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm 的圆锥形铅锤,如图所示.当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降多少?解:由已知得圆锥形铅锤的体积为13×π×622×20=60π(cm 3).设水面下降的高度为xcm,则π(202)2x=60π,解得.1.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍解析:半径大的球,体积也大.设三个球的半径分别为1,2,3,则最大球的半径为3,其体积为43π×33,其余两个球的体积之和为43π×13+43π×23,故43π×27÷43π+43π×8=3.2.体积为52的圆台,其中一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A.54 B.54π C.58 D.58πr,则由题意得下底面半径为3r.设圆台的高为h 1,则13πh 1(r 2+9r 2+3r·r)=52,即πr 2h 1=12.设原圆锥的高为h,由相似知识得r 3r =h -h 1h,从而h=32h 1,因此V 原圆锥=13π(3r)2×h=3πr 2×32h 1=92×12=54.3.已知正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此正三棱锥的体积为( )A .2√23B .√2C .√23D .4√232,侧面均为直角三角形, ∴侧棱长为√2,三条侧棱两两垂直. 故正三棱锥的体积V=13×12×(√2)2×√2=√23. 4.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面一边A 1B 1作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF,这个平面分三棱台成两部分(其中一部分为三棱柱A 1B 1C 1-FEC)的体积之比为( )A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.4∶5S,由上、下底面对应边的比为1∶2,可知下底面面积为4S.设棱台的高为h,则棱台的体积V 台=13h(S+√S ·4S +4S)=73Sh.∵棱柱A 1B 1C 1-FEC 的体积为V 柱=S·h,∴V 柱V 台-V 柱=Sh73Sh -Sh =34.5.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则圆柱、圆锥、球的体积之比为 .∶1∶2R,则V 柱=πR 2·2R=2πR 3,V 锥=13πR 2·2R=2πR 33,V 球=43πR 3,所以V 柱∶V 锥∶V 球=2πR 3∶2πR 33∶4πR 33=3∶1∶2.6.已知一个长方体的某三个面的面积分别是√2,√3,√6,则这个长方体的体积为 . √6a,b,c, 则{ab =√2,ac =√3,bc =√6,三式相乘可知(abc)2=6,所以长方体的体积V=abc=√6.7.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由..理由:由题图可知,半球形冰激凌的半径为4cm,圆锥形空杯子的高为10cm,底面半径为4cm,所以V半球=12×43π×43=128π3(cm3),V圆锥=1 3π×42×10=160π3(cm3).因为V半球<V圆锥,所以,冰激凌融化了,不会溢出杯子.8.正方形ABCD的边长为1,如图①所示,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,AF为折痕,折叠这个正方形,使点B,C,D重合于一点P,得到一个三棱锥如图②所示,求此三棱锥的体积.图①图②B=∠C=∠D=90°,∴翻折后∠APE=∠EPF=∠APF=90°.∴Rt △PEF 可以看作是三棱锥的底面,而AP 可以看作是三棱锥的高. 比较发现,AP=1,PE ⊥PF,PE=PF=12,∴V A-PEF =13S △PEF ·AP=13×12×12×12×1=124.。
高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积精英同步练含解析新人教B版必修第四册
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积1、如图，已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111112AA A B A D ===，且111111160AA D AA B D A B ∠=∠=∠=︒，则该平行六面体的体积为( )A.42B.43C.6D.82、小明有一个圆柱形水杯，水杯内壁的直径是8cm ，高是83cm.小明用这个水杯接了一些水，随后缓慢倾斜水杯喝水，小明刚好喝到水时，圆柱形水杯的母线与地面的夹角是60°小明恰好停止喝水时，水杯的母线与地面的夹角是30°小明喝掉的水的体积是() A.3643πcm B.3208πcm 3C.3523πcm D.31283πcm 3、已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A.πB.34πC.2π D.4π 4、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AC AB ==，22BC AP ==，D E ,分别是PC PB ,上的点，且14PD PC =，14PE PB =，则几何体ABCDE 的体积为( )2222525、设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为,则三棱锥D ABC -体积的最大值为( )A.B.C.D.6、已知AB CD ,是圆锥SO 底面圆的两条相互垂直的直径，SA AC =，四棱锥S ADBC -侧面积为( )C.4π37、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l 尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（） A ．3寸B ．4寸C ．5寸D ．6寸8、已知正六棱台的上下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A.B.C.D.9、已知三棱锥P ABC -中，ABC △是以A 为直角顶点的直角三角形，2AB AC ==，PB PC =，且PA 1O 为ABC △的外接圆的圆心，1cos PAO ∠，则三棱锥P ABC -外接球的体积为( ) A.7π3D.7π10、已知三棱锥A BCD -中，2,AB CD AC BD AD BC ======个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( ) A ．3π2B ．24π CD ．6π11、如图,在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是__________.12、如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.13、如图，边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=沿对角线BD 将其折起，使点A 与点A '重C 合，则当三棱锥A BCD '-的体积最大时，三棱锥A BCD '-外接球的体积为.14、如图,在棱长均为3的正四棱锥P ABCD -中,,,,E F G H 分别是,,,PA PB PC PD 上的点,平面EFGH 与平面ABCD 平行,S 为AC 和BD 的交点,当四棱锥S EFGH -的体积最大时,PEPA=____________,四棱锥S EFGH -外接球的表面积为______.15、一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,如图,已知圆锥底面面积是这个球面面积的316,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.1.试确定R 与r 的关系,并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比;2.求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：依题意可得平行六面体1111ABCD A B C D -的底面积11111111sin 60A B C D S A B A D =⋅︒四边形32223=⨯=连接11A C 由11111160AA D AA B DA B ∠=∠=∠=︒，可知点A 在底面1111A B C D 上的射影在11A C 上， 设H 为点A 在底面1111A B C D 上的射影，如图，设1AA H θ∠=，则11111cos cos cos AA B C A B θ∠=∠，则3cos θ，故236sin 133θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此6262sin 233AH θ==⨯=. 可得该平行六面体的体积2623423V =⨯=，故选A.2答案及解析： 答案：D解析：根据题意可知，8cm AC =，60ABC ∠=︒，30ADC ∠=︒， 如图，则83cm tan60AC AB ==︒，83cm tan30AC AD ==︒，故初始时水的体积为()23143π483cm V ⎛⎫=⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭， 结时水的体积为圆柱的一半，即()232π443cm V =⋅⋅故小明喝掉的水的体积为()2312431283ππ483cm V V V ⎛⎫∆=-=⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选D3答案及解析： 答案：B解析：由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.4答案及解析： 答案：D解析：在ABC △中，2AC AB ==，22BC =，由222AC AB BC +=，可得90BAC ∠=︒. 因为PA ⊥平面ABC ，所以11422222323P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，因为14PD PC =，14PE PB =，所以PDE PCB △△.易知三棱锥A PDE -与三棱锥A PBC -的高相等，则它们的体积比等于其底面积的比， 即PDE A PDE A PBC PBC S V V S --=△△2211416PD PC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以111616A PDE A PBC P ABC V V V ---=⨯=⨯142216312=⨯= 所以几何体ABCDE 的体积为42252-=，故选D.5答案及解析： 答案：B 解析：如图所示,点M 为ABC △的重心,E 为AC 中心,当DM ⊥平面ABC 时,三棱锥D ABC -体积最大(O 是球心)此时,4OD OB R ===2393,6ABC S AB AB ∆===∴∴22332333BM BE ==⨯= ∴Rt ABC △中,有222OM OB BM =-= ∴426DM OD OM =+=+= ∴max 1()9361833D ABC V -=⨯⨯= 故选B6答案及解析： 答案：A解析：设圆锥的底面半径为r ，则2SA AC r ==，所以()234243r⨯⨯=，解得2r =，所以圆锥的母线2SA =，高2SO =，则圆锥体积()2122π22π3V =⨯⨯=.7答案及解析： 答案：A解析：作为圆台的轴截面如图所示，由题意知，14BF =（单位：寸，下同）6189OC OF OG ===，，，即G 是OF 的中点，所以GE 为梯形OCBF 的中位线，所以146102GE +==，即积水上底面半径为10，所以盆中积水的体积为()1π100361069588π3⨯++⨯⨯=（立方寸），又盆口的面积为214π196π=（平方寸），所以平均降雨量是588π3196π=（寸），即平均降雨量是3寸8答案及解析： 答案：B解析：由题意可知，下底面面积2364243=，上底面面积63，正六棱台的体积(1224363243632833V =⨯⨯⨯=9答案及解析：答案：B解析：设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，连接11PO OO AO PO ,,,，如图. 由已知，得BC 为圆1O 的直径，则12AO =. 因为127cos PAO ∠=，14PA =，12AO =，所以在1PAO △中， 由余弦定理，得22211112cos 8PO PA AO PA AO PAO =+-⋅⋅∠=，所以122PO =. 又222111014AO PO PA +=<=，所以1PO A ∠为钝角.由正弦定理，得111sin sin PA PO PO A PAO =∠∠，即11422sin 21PO A =∠， 得13sin PO A ∠=，所以1120PO A ∠=︒， 又1OO ⊥平面ABC ，190OO A ∠=︒，所以130PO O ∠=︒， 在1Rt AOO △中，2212OO R =-，在1POO △中，222111112cos PO OO PO OO PO PO O =+-⋅∠， 即222282222cos30R R R =-+--⨯︒，得72R =， 所以球O 的体积33447714πππ332V R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选B10答案及解析： 答案：C 解析：11答案及解析：答案：32解析：设球半径为,则213223423v r r v r ππ⨯==.故答案为32.12答案及解析： 答案：43解析：平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面边长,高为1的正四棱锥, 所以其体积为14221233⨯⨯⨯⨯=.13答案及解析： 2015π解析：过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，则133A BCD BCD V S A H H '-''=⨯⨯△，显然当平面A BD '⊥平面BCD 时，A H '取得最大值.设三棱锥A BCD '-的外接球球心为,O A BD '△和BCD △的外接圆圆心分别为12O O ，， 连接1A O '并延长，交BD 于点M ，连接12,OO OO ，2O M A O '，， 易得四边形21OO MO 为正方形，则11133OO O M A M '==在1Rt OO A '△中，12233O A A M ''=2211OA OO O A ''+141533=+所以外接球的半径15R ，所以3344π152015ππ33O V R ==⨯⎝⎭球.14答案及解析： 答案：23;25π2解析：因为平面EFGH 与平面ABCD 平行,所以四边形EFGH 与四边形ABCD 相似,所以四边形EFGH 是正方形,设(01)PEx x PA=<<,所以2S x S =正方形EFGH 正方形ABCD ,易知四棱锥S EFGH -与四棱锥P ABCD -的高的比值为(1)x -,设0P ABCD V V -=,则20(1)S EFGH V x x V -=-,设2()(1)(01)f x x x x =-<<,则2'()23f x x x =-,则当203x <<时,'()0f x >,当213x <<时,'()0f x <,所以当23x =,即23PE PA =时,()f x 取得最大值,此时S EFGH V -取得最大值连接,,PS FH EG ,设FH 与EG 交于点M,易知点M 在PS 上,2,2EF SM HM === 设四棱锥S EFGH -的外接球球心为O,半径为R,易知O 在直线PS 上,连接OH ,易知点O 在四棱锥S EFGH -的外部,则22(2R R +=,解得R =,所以四棱锥S EFGH -的外接球的表面积为225π4π2R =.15答案及解析：答案：1.不妨设球的半径为4;则球的表面积为64π,圆锥的底面积为12π,∴圆锥的底面半径为由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离,球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形2=, 所以圆锥体积较小者的高为422-=, 同理可得圆锥体积较大者的高为426+=; 又由这两个圆锥的底面相同,∴较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比,即3:12832π⋅=, 256π:π3:83= 解析：。
学案1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6祖暅原理与几何体的体积学习目标1.了解柱体、锥体、台体和球体的体积的计算公式；2.会利用柱体、锥体、台体和球体的体积公式解决一些简单的实际问题．知识梳理知识点一祖暅原理[填一填]1．内容：幂势既同，则积不容异．2．含义：夹在的两个几何体，如果被平行于这两个平面的所截，两个截面的面积，那么这两个几何体的体积一定相等．[答一答]1．如何理解祖暅原理？知识点二柱体、锥体的体积[填一填]1．如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝.等底面积、等高的两个柱体，体积相等．2．如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝.等底面积、等高的两个锥体，体积相等．[答一答]2．求柱体的体积的关键是什么？3．求三棱锥的体积时有什么技巧？试总结一下．知识点三台体、球的体积[填一填]1．如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝.2．如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝.[答一答]4．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？知识点四组合体[填一填]1．概念：由等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．2．基本形式：有两种，一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体．[答一答]5．怎样分析与球有关的组合体问题？典例讲练破题型类型一柱体的体积命题视角1：棱柱的体积[例1]已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，求该正三棱柱的体积．[分析]由正三棱柱的侧面展开图是一个矩形，知底面等边三角形的周长可能是9 cm或6 cm，应分情况讨论．通法提炼柱体的体积公式是V＝Sh，求柱体体积的关键是确定柱体的底面积和高.[变式训练1]已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S，两对角面的面积分别为m，n，求直棱柱的体积．命题视角2：圆柱的体积[例2]已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和4π的矩形，求圆柱的体积．通法提炼求柱体的体积关键是寻求底面积和高，对于圆柱而言，重要的是确定底面半径和高.[变式训练2] 已知一个圆柱去掉两个底面，沿任一条母线割开，然后放在平面上展开后得 到平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一个矩形，它的对角线长为m ，对角线与底边成α角⎝⎛⎭⎫0<α<π2，求圆柱的体积．类型二 锥体的体积[例3] 如图所示，三棱锥的顶点为P ，P A ，PB ，PC 为两两垂直的侧棱，这三条侧棱的长分别为3,3,4，求此三棱锥P ABC 的体积．[分析] 若将△ABC 作为底面，则该底面的面积不易求得，考虑到P A ，PB ，PC 两两垂直，不妨将三角形P AB 当作底面，则三棱锥P ABC 的高是PC ，于是易求得体积． 通法提炼求棱锥的体积时，要特别注意各棱间的垂直关系，应尽可能选择直角三角形面作为底面. [变式训练3] 已知正四棱锥P ABCD 的底面是边长为4 cm 的正方形，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的体积．类型三 台体的体积 命题视角1：棱台的体积[例4] 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2.求正四棱台的体积．[分析]可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．通法提炼求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.[变式训练4]本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm”，求该棱台的体积．命题视角2：圆台的体积[例5]设圆台的高为3，如图，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[分析]在求解公式中的未知量时，应注意运用平面几何的有关知识．通法提炼圆台的轴截面是等腰梯形，将题中的已知量转移到轴截面中，即可求出圆台的上、下底面半径，进一步求出圆台的体积.[变式训练5]已知圆台的上下底面半径分别是2,4，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长和体积．类型四 球的体积[例6] 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积． 通法提炼1.与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键.2.球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径.3.球与旋转体的组合，通常作轴截面解题.[变式训练6] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3 cm 3类型五 组合体的体积[例7] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．通法提炼割补法是求不规则几何体体积的常用方法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求.[变式训练7] 如图，一个底面半径为2的圆柱被一个平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π 课堂达标1．正方体的表面积是96，则正方体的体积为( )A ．48 6B ．64C ．16D ．962．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为( )A ．8：27B ．2：3C ．4：9D ．2：93．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．8π4．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A DED 1的体积为16.参考答案知识梳理知识点一 祖暅原理[填一填]2．两个平行平面间 任意平面 总相等 [答一答]1．提示：祖暅原理中的“幂”指“面积”，“势”指“高度”，“幂势既同”意思是两个几何体“在等高处的截面面积相等”，“积”则指“体积”或“容积”． 知识点二 柱体、锥体的体积 [填一填] 1．Sh 2．13Sh [答一答]2．提示：由柱体的体积公式知，柱体的体积仅与它的底面积和高有关．而与是几棱柱，是否为直棱柱无关，故求柱体体积的关键是求底面积和高．3．提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥． 知识点三 台体、球的体积 [填一填]1．13(S 2＋S 2S 1＋S 1)h 2．43πR 3 [答一答]4．提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下： (1)柱体、锥体、台体之间的关系：(2)体积公式之间的关系：知识点四 组合体 [填一填]1．柱、锥、台、球 [答一答]5．提示：通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r ，高为h 的圆锥内部有一球O ，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形ABC 的内切圆的圆心，AB 和AC 均是圆锥的母线，BC 是圆锥底面直径，D 是圆锥底面的圆心．用同样的方法可得以下结论：①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径； 球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长； 球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 典例讲练破题型 类型一 柱体的体积 命题视角1：棱柱的体积[例1]解：设正三棱柱的底面等边三角形的边长为a cm ，高为h cm. (1)当正三棱柱的底面周长为9 cm 时，则h ＝6，且3a ＝9，∴a ＝3，∴S 底面＝12×3×3×32＝934(cm 2)，∴V 正三棱柱＝S 底面·h ＝934×6＝2723(cm 3)．(2)当正三棱柱的底面周长为6 cm 时，则h ＝9，且3a ＝6，∴a ＝2， ∴S 底面＝12×2×2×32＝3(cm 2)，∴V 正三棱柱＝S 底面·h ＝3×9＝93(cm 3)． 故该正三棱柱的体积为2723 cm 3或9 3 cm 3.[变式训练1]解：设直棱柱的底面对角线长为x 和y ，高为h ，则有⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝S ，xh ＝m ，yh ＝n ，∴h ＝mn2S .∴V 直棱柱＝Sh ＝S ·mn 2S ＝122mnS . 命题视角2：圆柱的体积[例2]解：设圆柱的底面半径为R ，高为h .(1)当圆柱的底面周长为6π时，高为4π，即2πR ＝6π，h ＝4π，所以R ＝3，所以V ＝πR 2·h ＝π·32·4π＝36π2.(2)当圆柱的底面周长为4π时，高为6π，即2πR ＝4π，h ＝6π，所以R ＝2，所以V ＝πR 2·h ＝π·22·6π＝24π2.故圆柱的体积为36π2或24π2.[变式训练2]解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，如图．则由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧h ＝m sin α，2πr ＝m cos α，∴h ＝m sin α，r ＝m cos α2π，∴V 圆柱＝πr 2h ＝π⎝⎛⎭⎫m cos α2π2·m sin α＝m 3sin αcos 2α4π.类型二 锥体的体积[例3]解：将三角形P AB 当作底面，则三棱锥P ABC 的高是PC . 所以V 三棱锥P ABC ＝V 三棱锥C P AB ＝13×12·P A ·PB ·PC ＝13×12×3×3×4＝6.[变式训练3]解：正四棱锥的高PO 、斜高PE 和底面边心距OE 组成Rt △POE .因为OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°，所以高PO ＝OE tan30°＝233＝2 3 cm ， 因此V 正四棱锥＝13Sh ＝13×42×23＝3233(cm 3)．类型三 台体的体积 命题视角1：棱台的体积[例4]解：如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 cm ，OE ＝12AB ＝10 cm ，∴O 1O ＝E 1E 2－(OE －O 1E 1)2＝12 cm ， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.[变式训练4]解：如图，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝ 2 cm ，OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt △BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝2(cm)．根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－(2)2＝2(cm)．S 上＝22＝4(cm 2)，S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝2823(cm 3)．命题视角2：圆台的体积[例5]解：设上、下底面半径分别为r ，R ，过点A 1作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3，∠BA 1A ＝90°.∵∠A 1AB ＝60°，∴∠BA 1D ＝60°，∴AD ＝A 1Dtan60°＝3，即R －r ＝ 3.又∵BD ＝A 1D ·tan60°＝33， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝ 3.又∵h ＝3，∴圆台的体积V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.[变式训练5]解：设圆台的母线长为l ， 则圆台的上底面面积为S 上＝π·22＝4π，圆台的下底面面积为S 下＝π·42＝16π，所以圆台的底面面积为S ＝S 上＋S 下＝20π，又圆台的侧面积S 侧＝π(2＋4)l ＝6πl ，于是6πl ＝20π，解得l ＝103， ∴圆台高h ＝l 2－(R －r )2＝1009－4＝83， ∴圆台体积V ＝13π·h ·(R 2＋r 2＋Rr )＝13π×83×(16＋4＋8)＝224π9. 类型四 球的体积[例6]解：∵P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝PC ＝a ，∴以P A 、PB 、PC 为相邻三条棱可以构造正方体．又∵P 、A 、B 、C 四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．∴2R ＝3a ，R ＝32a ，∴V ＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝32πa 3. [变式训练6]【解析】本题考查球的体积的计算．如图，正方体的上底面截球的小圆直径为8 cm ，∴r ＝4 cm ，设球的半径为R cm.∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝R －2，d 2＋r 2＝R 2，∴R ＝5， ∴V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)． 【答案】A类型五 组合体的体积[例7]解：如图，连接EB ，EC ，AC .V 四棱锥E ABCD ＝13×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ，∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F EBC ＝V 三棱锥C EFB ＝12V 三棱锥C ABE ＝12V 三棱锥E ABC ＝12×12V 四棱锥E ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E ABCD ＋V 三棱锥F EBC ＝16＋4＝20.[变式训练7]【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱 的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.【答案】D课堂达标1．【解析】设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，∴a ＝4，故V ＝a 3＝43＝64.【答案】B2．【解析】设两个球半径分别为r ，R ，则由条件知：43πr 343πR 3＝(r R )3＝827，∴r R ＝23，于是两球对应的表面积之比为4πr 24πR 2＝(r R )2＝49.故选C. 【答案】C3．【解析】设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.【答案】A4．解：V 三棱锥A DED 1＝V 三棱锥E DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.。
人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第十一章立体几何初步 祖暅原理与几何体的体积 分层作业册
1
2 56π
+3AB·πr = 3 .
2
故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
17.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半
径为3 cm 的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液
面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这
7. [探究点三·2023浙江平湖当湖高级中学校联考]龙洗的盆体可以近似看
作一个圆台.现有一龙洗盆高15 cm,盆口直径36 cm,盆底直径18 cm.现往盆
内倒入水,当水深5 cm时,盆内水的体积近似为( B )
1 505π
A.
3
cm3
B.555π cm3
1 835π
C.
3
cm3
D.735π cm3
3
D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 )·h,可得
5.[探究点三]圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为3,则圆台的体积
为( A )
28 5
A.
π
3
B.28π
C.28 5π
28 7
D.
π
3
解析 因为圆台的上、下底面半径分别为 2,4,母线长为 3,则圆台的高为
32 -22
= 5,所以圆台的体积为
1
V= π(22+2×4+42)×
3
5=
28 5π
.
3
故选 A.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
【祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积】配套练习和答案
1.3.3祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
练习和答案
1. 某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的体积是（ ）
A ．
16
B ．
13 C ．2
3
D ．1
侧视图
俯视图
4
4
4 2
2
2
4
2
主视图
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
.A π816+ .B π88+ .C π1616+ .D π168+
3. 在xOy 平面上，将两个半圆弧()()2
2111x y x -+=≥和()()2
2313x y x -+=≥，两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分. 记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过()()0,1y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为
2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值
为 .
本节练习参考答案
1. 该几何体为直三棱锥P-ABC ，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，PA=2,AB=BC=1，所以体积
为11
33
ABC V S h ∆==,故选B.
2. 该几何体为上部是长方体，下部是半圆柱；体积为21
22441682
V ππ=⨯⨯+⨯=+.
3.本题主要考查空间几何体的想象能力以及体积计算问题.根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为
221228216πππππ⋅⋅+⋅=+.。
祖暅原理与几何体的体积课时作业课件新人教B版必修第四册
π·AD2·CD－
1 3
π·AD2·BD
＝
1 3
π·AD2·BC
＝
1 3
×π×(
3
)2×
3 2
＝
32π.故
选
D.
7．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( C )
A．1 3
B．1 3
C．1 3 3 D．1 9
解析：设正方体的棱长为 1，则正方体内切球的半径为棱长
的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半
∴高 h＝ 22－2－12＝ 3. ∴V 圆台＝3π×(1＋22＋1×2)× 3＝733π.
4．已知正四棱台 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝3，A′B′
＝6，体积 V＝126，则该正四棱台的高为( C )
A．18
B．9
C．6
D．12
解析：设正四棱台的高为 h，则有13(32＋62＋ 32×62)h＝126， 解得 h＝6，即该正四棱台的高为 6，故选 C.
径为 23，∴正方体的内切球与其外接球的体积之比为43π×123
4 3
π内装水若干(如图 甲，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平 状态)，这时水面所在的平面 EE1F1F 与各棱的交点分别为其所在 棱的中点，则图甲中水面的高度为( D )
2．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等
边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的体积为( B )
A．3π
3 B. 3 π
C. 3π
3 D. 2 π
解析：设圆锥的底面半径为 R，依题意知该圆锥的高即轴截
面的高 h＝ 23×2R＝ 3R，所以12×2R× 3R＝ 3，解得 R＝1.所
人教B数学必修第四册课时分层作业 祖暅原理与几何体的体积 含解析
课时分层作业(十三)祖暅原理与几何体的体积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为()A．14B．12C.36D．34D[V＝13Sh＝13×34×3＝34.]2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A．23 B.76C.45D．56D[如图，去掉的一个棱锥的体积是13×⎝⎛⎭⎪⎫12×12×12×12＝1 48，剩余几何体的体积是1－8×148＝5 6.]3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍C[半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为43π×(3x)3，其余两个球的体积之和为43πx3＋43π×(2x)3，∴43π×(3x)3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤43πx3＋43π×(2x)3＝3.]4．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是()A．13 B.12C.23D．34C[V C-AA′B′B＝V ABC-A′B′C′－V C-A′B′C′＝S△ABC·AA′－13S△ABC·AA′＝23S△ABC·AA′＝23.]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()A．1∶2∶3B．6∶23∶ 3C．6∶23∶3 D．3∶23∶6C[设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝3，求得斜边上的高CD＝32，旋转所得几何体的体积分别为V1＝13π(3)2×1＝π，V2＝13π×12×3＝33π，V3＝13π⎝⎛⎭⎪⎫322×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3.]二、填空题6．一个长方体的三个面的面积分别是 2， 3， 6，则这个长方体的体积为________．6[设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘可知(abc )2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.]7．已知三棱锥S -ABC 的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________． 1623 [如图，在三棱锥S -ABC 中，作高SO ，连接AO 并延长AO 交BC 于点D ，则AO ＝32×4×23＝433.在Rt △SAO 中，SO ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＝463，所以V ＝13×463×34×42＝1623.]8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________． 364π3 [设大、小两球半径分别为R 、r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3，所以体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3.] 三、解答题9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．[解] 因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)， V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×10 ＝1603π(cm 3)， 因为V 半球<V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．10.如图，圆台高为3，轴截面中母线AA 1与底面直径AB 的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解] 设圆台上、下底面半径分别为r ，R . ∵A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1D tan 60°＝3， ∴R －r ＝3，BD ＝A 1D ·tan 60°＝33， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，h ＝3，∴V 圆台＝13π(R 2＋Rr ＋r 2)h ＝13π×[(23)2＋23×3＋(3)2]×3＝21π.[等级过关练]1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A ．4π3 B ．2π3 C.3π2D.π6A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.]2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是()A．54 B．54πC．58 D．58πA[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝13πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得r3r＝h－h1h，∴h＝32h1，∴V原圆锥＝13π(3r)2×h＝3πr2×32h1＝92×12＝54.]3．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为________．16[V三棱锥A-DED1＝V三棱锥E-DD1A＝1 3×12×1×1×1＝16.]4．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.32a [设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ， 圆柱形容器内的液体体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22h .根据题意，有13πR 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22h ，解得R ＝32a . 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝ha ， 所以h ＝32a .]5．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？[解] (1)因为半球的直径是6 cm ，可得半径R ＝3 cm ， 所以两个半球的体积之和为 V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3)． 又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h ＝π×9×2＝18π(cm 3)． 所以这种“浮球”的体积是： V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π ≈169.6(cm 3)．(2)根据题意，上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)．又“浮球”的圆柱筒的侧面积为：S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，所以1个“浮球”的表面积为S＝36π＋12π104＝48104π(m2)．因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×48104π＝12π(m2)．因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为：100×12π＝1 200π(克)．。
2021_2022学年新教材高中数学第11章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积学案含解析
11．1.6 祖暅原理与几何体的体积最新课程标准：1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式．(重点) 2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点) 3.台体的体积与简单几何体的体积计算．(难点)知识点一祖暅原理(1)“幂势既同，如此积不容异〞，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积________〞．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积________．知识点二柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．[根底自测]1．假如长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，如此长方体的体积为( ) A．27 cm3B．60 cm3C．64 cm3D．125 cm32．圆锥的母线长为5，底面半径为3，如此其体积为( )A．15πB．30πC．12πD．36π3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A．πB．2πC．4πD．8π4．圆锥SO的高为4，体积为4π，如此底面半径r＝________.题型一求柱体的体积例1 如下列图的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．方法归纳计算柱体体积的关键与常用技巧(1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高．(2)常用技巧：①充分利用多面体的截面与旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．跟踪训练1 一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．题型二求锥体的体积例2 如图三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B －A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．状元随笔AB∶A1B1＝1∶2→S△ABC∶S△A1B1C1→计算VA1－ABC→计算VC－ A1 B1C1→计算VB－A1 B1C1方法归纳三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．跟踪训练2 如下列图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如此三棱锥D 1－ADC 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1 题型三 求台体的体积例3 正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2.求正四棱台的体积．状元随笔 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积． 【解】 如下列图，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，ABA 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，如此E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1、O 分别是上、下底面的中心，如此四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－(OE －O 1E 1)2＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3. 方法归纳求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．跟踪训练3 本例假如改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该棱台的体积．〞题型四求球的体积例4 过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC ＝CA＝3 cm，求球的体积和外表积．状元随笔解决此题要充分利用条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．方法归纳球的根本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．跟踪训练4 如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍教材反思1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的外表积．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求空间几何体的体积的方法． (2)求与组合体有关的体积的方法．3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错.11．1.6 祖暅原理与几何体的体积新知初探·自主学习知识点一(1)总相等 相等 (2)相等 知识点二 Sh 13Sh 13h (S ＋SS ′＋S ′) 43πR 3[根底自测]1．解析：长方体的体积为3×4×5＝60(cm 3)． 答案：B2．解析：圆锥的高h ＝52－32＝4，故V ＝13π×32×4＝12π.答案：C3．解析：设轴截面正方形的边长为a ， 由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2. 又∵S 侧＝4π，∴a ＝2. ∴V 圆柱＝π×2＝2π. 答案：B4．解析：由得4π＝13πr 2×4，解得r ＝3.答案：3课堂探究·素养提升例1 【解】 V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)，V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积：V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．跟踪训练1 解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，如此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝πr 2，2πrh ＝4a 2，①②由①得r ＝ππa ，由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ππa 3＝π2∶1＝π∶2. 例2 【解】 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，如此S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA1－ABC＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，V C －A 1B 1C 1＝13 S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh . 又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C 1＝V 台－VA1－ABC－VC －A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴体积比为1∶2∶4.跟踪训练2 解析：三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 答案：A跟踪训练3 解：如图，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，如此O 1B 1＝2 cm ，OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt △BMB 1中， BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝2(cm)．根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－(2)2＝2(cm)．S 上＝22＝4(cm 2)，S 下＝42＝16(cm 2)， ∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16) ＝13×2×28＝2832(cm 3)．例4 【解】 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3(cm)，∴O ′为正三角形ABC 的中心，∴AO ′＝33AB ＝3(cm)．设OA ＝R ，如此OO ′＝12R ， ∵OO ′⊥截面ABC ， ∴OO ′⊥AO ′，∴AO ′＝32R ＝3(cm)，∴R ＝2(cm)，∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)． 即球的体积为323π cm 3，外表积为16π cm 2. 跟踪训练4 解析：半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x ，如此最大球的半径为3x ，其体积为43π×(3x )3，其余两个球的体积之和为43πx 3＋43π×(2x )3， ∴43π×(3x )3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤43πx 3＋43π×(2x )3＝3. 答案：C。
高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积优质作业含解析B版第四册
第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1。
6祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础达标练1.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A。
3 B.4 C。
5 D.6V=13（π+2π+4π）h=7π，∴h=3。
2。
若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为()A.1 B。
12C。
√32D.34R,圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh=rh，∴r=2R.故V柱∶V锥=πR2h∶13πr2h=34.故选D。
3。
(2020全国高一课时练习)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π2D 。
π4由题意可得AC=1,AB=12，所以圆柱的底面半径r=√12-(12)2=√32,所以圆柱的体积是V=πr 2h=π×(√32)2×1=34π。
4.(2020全国高一课时练习）如图，一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为( ) A.827√3π B.427√3π C 。
1627√3πD.3227√3π,设球的半径为r ,作出球的组合体的轴截面(图略）,可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的正三角形，此时正三角形的高为h=2√3，根据三角形重心的性质可得,球的半径为r=13h=2√33，所以球的体积为V=43πr 3=43π×(2√33)3=32√327π，即溢出溶液的体积为32√327π.5.(2020全国高一课时练习）《算数书》中记载有求“盖”的体积的方法：置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.这相当于给出了圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D 。
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祖暅原理与柱体、球体的体积课后作业
1.（2013上海理科13题）在xOy 平面上，将两个半
圆弧)1(1)1(22≥=+-x y x 和())3(1322≥=+-x y x 、两条直
线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影
部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过
())1(,0≤y y 作Ω的水平截面，所得截面面积为
ππ8142+-y ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为___________.
【答案】ππ1622+
【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为πππππ162822122+=⋅+⋅⋅.
2.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个
几何体的体积相等．设由曲线y x 42=和直线0,4==y x 所围成的平面图形，绕y 轴
旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足,
16,022≤+≥y x x ()()42,422222≥++≥-+y x y x ，的点()y x ,构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ．
【答案】32π
【解析】作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切
两半径为2的小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又
2Г的体积为πππ64234243433=⨯⨯-⨯=V ，
于是1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．。