祖暅原理与柱体、球体的体积课后作业

祖暅原理与柱体、球体的体积课后作业

1.（2013上海理科13题）在xOy 平面上，将两个半

圆弧)1(1)1(22≥=+-x y x 和())3(1322≥=+-x y x 、两条直

线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影

部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过

())1(,0≤y y 作Ω的水平截面，所得截面面积为

ππ8142+-y ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为___________.

【答案】ππ1622+

【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为πππππ162822122+=⋅+⋅⋅.

2.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个

几何体的体积相等．设由曲线y x 42=和直线0,4==y x 所围成的平面图形，绕y 轴

旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足,

16,022≤+≥y x x ()()42,422222≥++≥-+y x y x ，的点()y x ,构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ．

【答案】32π

【解析】作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切

两半径为2的小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又

2Г的体积为πππ64234243433=⨯⨯-⨯=V ，

于是1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．