利用直角坐标计算二重积分

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直角坐标系下二重积分的计算

直角坐标系下二重积分的计算二重积分是数学中的一种重要的积分形式，常用于计算平面区域上的物理量的总量。

在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过将被积函数表示为被积函数关于自变量的函数进行积分的累次积分方式来进行。

设在平面上有一个闭合区域D，我们要计算函数f(x,y)在该区域上的积分，即要计算二重积分∬Df(x,y)dxdy。

二重积分的计算可以通过转化为极坐标下的积分来简化。

设在直角坐标系下，点(x,y)的极坐标为(r,θ)，则x=r*cosθ，y=r*sinθ。

对于被积函数f(x,y)，若能将其表示为关于极坐标的函数f(r,θ)时，就可以方便地进行极坐标下的积分计算。

此时二重积分可以写为∬Df(r,θ)rdrdθ。

要在直角坐标系下计算二重积分，有两种常用的方法：直接法和间接法。

一、直接法：假设被积函数为f(x,y)，而积分区域D的边界方程为g(x,y)=0（边界方程可以是函数表达式或者隐函数表达式），那么二重积分可以按照以下步骤进行计算：1.求出区域D的边界方程g(x,y)=0，并确定积分区域D的内部。

2.将被积函数f(x,y)表示为关于x和y的函数。

3.对于区域D内部的任意一点(x,y)，可以用参数方程表示为x=x(t)，y=y(t)（通常情况下选取参数t为角度θ，即x=r*cosθ，y=r*sinθ）。

4.计算被积函数在参数方程的变换下的雅可比行列式，即计算J =dx/dt * dy/dt。

根据换元公式，二重积分可以转化为参数方程下的积分，如下所示：∬Df(x,y)dxdy = ∫∫f(x(t),y(t))*Jdtdt。

5.计算在变换后的区域D'上的二重积分：∬D'f(x(t),y(t))Jdtdt。

二、间接法：假设被积函数为f(x,y)，而积分区域D的边界方程为g(x,y)=0（边界方程可以是函数表达式或者隐函数表达式），那么二重积分可以按照以下步骤进行计算：1.求出区域D的边界方程g(x,y)=0，并确定积分区域D的内部。

直角坐标系下的二重积分的计算

Dx
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
y yx
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
d
xd
y
0
sin x
x
dx
x
0 d
y
0 sin x dx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 17
备用题. 交换下列积分顺序
2
2
dx
1
x xyd y 1
2 1
1 2
xy2
x
1
d
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x2
y
2d y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
15
例9. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
3
y
4
y 4x x2
y x2
x
o2
11
例5.
化二重积分 D f (x, y)dxdy
y
为二次积分(两种积分次序)。
1 x 1y 1
(1) D {(x, y) | x 1, y 1}
D
1 o
1x
解：法1. 将D看作X–型区域,

直角坐标系下二重积分的计算

直角坐标系下二重积分的计算二重积分是一个非常重要的数学概念，在多种实际的问题中都得到了广泛应用。

通过对直角坐标系下二重积分的计算，可以深入地理解这个概念的含义。

在本篇文章中，我们将对直角坐标系下二重积分的计算进行详细的讲解。

一、二重积分的定义在直角坐标系下，二重积分可以定义为：如果在平面上有一个区域D，在D中每一点(x,y)都有一个实数f(x,y)，那么二重积分可以表示为：∬Df（x,y）dxdy其中，dxdy是对x和y的区域积分。

从数学上来讲，二重积分可以看做是对一个多元函数在一个二维区域上的积分。

在物理学、工程学和经济学等领域中，二重积分可以用来计算物体的质量、电荷或利润等量。

二、二重积分的计算接下来，我们将具体介绍如何计算直角坐标系下的二重积分。

1、以矩形为例当区域D为矩形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫ab[∫cd f（x,y）dy]dx其中，a、b、c和d是矩形的四个顶点。

从右到左积分是对x的积分，从下到上积分是对y的积分。

这个公式建立在f（x,y）在矩形D内是连续函数的条件下。

如果f（x,y）不连续，那么需要将图形分割成多个子区域，再对每个子区域使用上述公式求解。

如果积分上下限为定值，则直接将定值带入公式中进行计算。

2、以圆形为例当区域D为圆形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫0R[∫0 2πf（rcosθ，rsinθ）rdθ]dr其中，R是圆的半径，r是极径。

θ是极角，取值从0到2π。

这个公式建立在f（x,y）在圆形D内是连续函数的条件下。

如果不连续，需要将圆形分割成多个区域，再对每个区域使用上述公式求解。

3、以三角形为例当区域D为三角形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫a b[∫c(x)(d(x)−c(x))/b a f(x,y)dy]dx 其中，a和b是三角形底边的两个端点。

c（x）是左侧斜线的端点函数，d（x）是右侧斜线的端点函数。

二重积分的计算法

D
式，其中积分区域
{( x, y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}. D
解
在极坐标系下 x r cos y r sin
x y 1
2 2
所以圆方程为
r 1,

1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
d
x 1( y)
D
x 1( y) x 2( y)
D
x 2( y)
c
c

D
f ( x , y )d

d
dy
c

1
2
( y)
f ( x , y ) dx .
( y)
X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

D
f ( x , y ) dxdy

2
d
0

1 1
f ( r cos , r sin ) rdr .
sin cos
例2
计算
e
D
x2 y2
dxdy ，其中
D 是由中心在
原点，半径为的圆周所围成的闭区域
解
.
在极坐标系下
D： 0 r a ， 0 2 .

D
f ( x , y ) dxdy

D
f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
y x
例1
计算
e
D
y x

第二节二重积分的计算

0xy
(改变积分 ,按次先 x后序 y积分次序 ) 计算
I
1 y si ny
dy
dx
0
y y2
1siny(yy2)dy 0y
1
1
0sin ydy0ysin ydy
1 c1 o (s c 1 s o 1 i )s n 1 s1 i .n
由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。
注意两种积分次序的
I
11
dy
(x22y)dx
0
y
计算效果！
1(1x32xy)|1 dy 1(12y7y3/2)dy
03
y
03
3
(1yy214y5/2)1 2.
3
15 0 5
例2. 计算 D xyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
yx2 所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 2 y2 x
f(x,y)d等于 D为以底，z以 f(x,曲 y)为面顶
D
曲顶柱体的体积．
应用计算“平行截
z
zf(x,y)
面面积为已知的立 y2(x)
体求体积”的方法,
得
y
A( x)
A(x) 2(x)f(x,y)dy 1(x)
D
ax b x
f(x,y)dxdy D
b
a A(
x)d
x
b
dx
2(x)
f
y1(x)
x2 y2 8
2
y
1 2

二重积分的计算2

作业
P154 1(2),(4), 2(2), (3) , 4 (1),(3), 5, 6 (1),(3) , 10 P155 11(2),(4), 12(1), (3) , 13 (1),(3), 14 (1),(3), 15 (1),(4) , 18
[
]
例2. 计算
∫∫D xydσ, 其中D 是抛物线
o −1
及直线
y 2 y2 = x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域.
则
y2 ≤ x ≤ y + 2 D: −1 ≤ y ≤ 2
∴ ∫∫ xydσ = ∫ dy∫
D
D
2
y +2
2
y = x−2
4 x
=∫
2 1 2 y+2 x y 2 dy y −1 2
[
−1
]
y
xy d x
1 2 = ∫ [ y( y + 2)2 − y5] dy 2 −1
例3. 求两个底圆半径为的直角圆柱面所围的体积求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为
x2 + y2 = R2, x2 + z2 = R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z = R2 − x2
+∞ −x2 e 0
dx =
π
①
事实上, 当D 为 R2 时,
2
利用例7的结果, 得
=π
故①式成立 .
例8. 将球体
2 2 被圆柱面 x + y = 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积用极坐标下的二次积分表示出来. π z 解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2a cosθ , 0 ≤θ ≤ 2 由对称性可知

二重积分的计算方法例题及解析

二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。

2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。

- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。

- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。

- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。

- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。

- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。

直角坐标系下二重积分的计算

直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下，二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分。

它的计算可以通过几何方法或者代数方法来进行，下面我们将介绍二重积分的计算方法以及一些相关的概念和定理。

一、二重积分的概念1.二重积分的定义设函数f(x, y)在平面区域D上有界，D在xOy平面上的投影为Ω，若Ω上有限个点构成的网格P={ (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) }，其中每个小区域ΔS1,ΔS2,...,ΔSn（ΔSk的形状和大小可以不一样）,则每个ΔS_k上取点(xi_k)Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,称为这些和的极限Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,当格数无穷，网格直径趋于0时，如果此极限存在，则称此极限为平面区域D上函数f(x, y)的二重积分，记为∬D f(x, y)dxdy。

2.二重积分的几何意义从几何意义上理解，二重积分可以表示在平面区域D上函数f(x, y)的值在x轴与y轴所确定的平面区域上的总体积。

通过对平面区域上的小区域求和得到总体积。

3.二重积分的代数意义从代数意义上理解，二重积分可以将一个平面区域上的函数表示为两个单变量函数的积分，即先对y进行积分，再对x进行积分。

这种方法可以简化对复杂函数的积分运算。

二、计算二重积分的方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过对x或y进行积分，然后再对另一个变量进行积分来进行。

具体而言，对于函数f(x, y)，可以先对y进行积分，再对x进行积分，或者先对x进行积分，再对y 进行积分。

这种计算方法又称为换序积分。

2.计算中间量的选择在进行二重积分计算时，为了简化计算，可以选择合适的中间量来进行变量替换。

例如，可以选择极坐标中的r和θ来替代x和y，从而简化计算过程。

3.区域的划分在计算二重积分时，需要将平面区域D划分为若干小区域，然后对每个小区域进行积分。

可以选择直线或者曲线来进行划分，也可以选择矩形或者圆形等形状的小区域来进行划分。

二重积分在直角坐标系下的计算

x.
y
3 x 3 y
x 2y
1D
x
O2
2y
3
3 y
0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx
2
3 x
0 dx1 x f ( x, y)dy.
2
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
D : 2ax x2 y 2ax
0 x 2a
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例改变积分
y 1 x
y2 x y 2x x2
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
D1 : 0 y 2x x2 , D2 : 0 y 2 x, 0 x 1,
0 x 1, y 2x x2 , ( x 1)2 y2 1
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例求I 1dx 1ey 2dy .
0
x
解：由于函数e y2的原函数不是初等函数，所以这个
二次积分无法直接积出. 注意到二重积分可以有两种
的直线与区域边界的交点不多于两个.
2） Y型区域
积分区域表示为：
c y d, 1( y) x 2( y).
的区域，称为Y型

利用直角坐标计算二重积分

1 y 2
3
0
2

1 3
2
0
(
y

3 y2 2

3 y3 4

y4 )dy
8
x 1 y 2

1( 3
y2 2

y3 2

3 y4 16

y5 )
40
2 0

1. 15
o1 x
例3、求I y x2 dxdy，
D
y
y x2
1
其中D {( x，y) 0 x 1，0 y 1}.
D
y 0及x 0围成.
解：I

dx 1
22 x
0
0
x2 ydy
1 2
x2
y2
22 x 0
y 2

1 2
1
0
(4
x
2

8x3

4x4
)dx
y = 22x o1 x

1(4x3 23

2x4

4x5 5
)
1 0

1. 15
y
或
I
2 dy
1 y 2
x2
ydx
0
0
1
yx 3
D1
解：如图所示
O
D2
1
x
I y x2dxdy x2 ydxdy
D1
D2

dx 1
1
0
x2
y

x2dy

1 dx x2
0
0
x2 ydy

2 3

利用直角坐标系计算二重积分

利用直角坐标系计算二重积分二重积分是多重积分中的一种，用于计算在平面上一些有界区域上的二元函数的积分。

在直角坐标系中进行二重积分的计算，需要了解区域的边界以及函数在该区域上的性质。

在计算二重积分之前，我们首先需要了解如何在直角坐标系中描述一个有界区域。

一个有界区域可以用其边界曲线所代表的方程来表示。

一般来说，有两种常见的描述方法：参数方程和隐式方程。

对于参数方程表示的曲线，我们通常使用参数t来定义曲线上的点。

例如，对于条曲线C，可以使用x=f(t)和y=g(t)来定义曲线上的点(x,y)。

我们可以通过变换t值来沿曲线移动，并计算函数在曲线上的积分。

对于直角坐标系中描述的有界区域，我们可以使用y=g(x)或x=h(y)来表示边界曲线，其中g(x)或h(y)是连续函数。

这意味着，通过给定x或y的值，可以计算出y或x的值，进而确定边界上的点。

这种描述方法通常用于计算水平矩形或平行于x轴的直线包围的区域。

隐式方程是另一种表示有界区域边界的方式，它使用方程F(x,y)=0来表示。

F(x,y)是在边界上连续的函数，通过将给定的x和y代入方程中，可以计算出对应的函数值。

这种描述方法通常用于计算斜线或环状曲线等包围的区域。

在计算二重积分时，我们需要考虑函数在积分区域上的连续性和可导性。

如果函数在积分区域上是连续的，并且在区域内的每个点上都有连续的偏导数，那么我们可以使用Fubini定理将二重积分转化为两个单变量积分的乘积。

Fubini定理指出，如果函数在矩形区域R=[a,b]x[c,d]上连续，那么二重积分的计算可以通过以下公式进行：∬Rf(x,y)dA = ∫[a,b]∫[c,d]f(x,y)dydx其中，R表示积分的矩形区域，f(x,y)是在该区域上的连续函数。

上述公式将二重积分转化为先对y进行积分，再对x进行积分，即先对每个固定的x值在区域内进行垂直方向的积分，再将这些结果在区域内进行水平方向的积分。

当积分区域不是矩形，而是由曲线边界表示时，我们需要对曲线进行参数化或使用隐式方程来描述。

二重积分的计算法

D
z
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
0
c
y
x=(y)
d
y
D
x
x=(y)
I
f ( x , y )d xdy
D
z
z f ( x, y ) y y .
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =

ψ( y )

d
Q( y )dy

d
c
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
x=(y)
x
二重积分计算的两种积分顺序 I
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
f ( x , y )d xdy
D
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
D
x
I=

x ( y )
x ( y )
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
(a x ) f ( x )dx
0
交换积分次序
解
y
0
2a
dx
2 ax 2 ax x
y y
d
x 1 ( y)
d
D
x 2 ( y)
D
x 2 ( y)

直角坐标系下二重积分计算的四种方法

直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在计算物理量、求解微分方程等方面有着广泛的应用。

在计算二重积分时，我们可以采用以下四种方法：
1. 矩形法：将积分区域划分为若干个矩形，然后在每个矩形内
求出对应的积分值，最后将这些积分值相加即可得到二重积分的值。

2. 改变积分次序：将二重积分中的积分顺序改变，然后利用Fubini 定理将其化为两次一重积分，最后再分别求解两次一重积分，最终得到二重积分的值。

3. 极坐标变换法：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系
下的二重积分，然后再利用极坐标下的积分公式进行计算。

4. 牛顿-莱布尼茨公式：利用牛顿-莱布尼茨公式，将原函数在
积分区域的两个端点处的函数值相减，即可得到二重积分的值。

这四种方法各有优劣，具体使用哪种方法取决于积分区域的形状、积分被积函数的特点等因素。

熟练掌握这些方法，有助于提高二重积分计算的效率和准确度。

- 1 -。

2 二重积分的计算(直角坐标)

I

D
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =

ψ( y )
φ( y)
d
f ( x, y )dx
0
c
y
x=(y)
d
y
I=
d c

.
.
c
Q( y )dy
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
D
x
x=(y)
Q( y ) =

d c
b
a
f ( x , y )dx
0
I Q( y)dy
c
y
d
y
a
Q( y )
.
b
x
.
D
问题：Q( y)是什么图形？是曲边梯形。
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二重积分的计算 (D是矩形区域 z )
I
f ( x , y )d xdy
D
z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d] Q( y ) =
2
y x2
4 x

y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2

1

y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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sin x 例3. 计算 d xd y, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y yx 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, x D 因此取D 为X – 型域 : x o 0 y x D: 0 x sin x x sin x d xd y dx d y D x 0 x 0

二重积分的坐标计算方法

第二节二重积分的坐标计算法一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.讨论中,我们假定；假定积分区域可用不等式表示,其中, 在上连续.据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有(1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分.这个先对, 后对的二次积分也常记作在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.例如:计算解:类似地,如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续,在上连续,则(2)显然,(2)式是先对,后对的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I 型(或II 型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.类似地,例2计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.例3求由曲面及所围成的立体的体积. 解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域消去变量得一垂直于面的柱面,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域2、列出体积计算的表达式3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算而由,的对称性有所求立体的体积为。