索罗模型

根据丹尼森的研究，1909-1957年间美国的实际产出的年增长率为2.9%， 工时数的增长率为1.3%，资本存量的增长率为2.4%。这些数据的显著特 征是长期稳定性。即使我们以大萧条的谷底（1933年）为起点，那么到 1957年，这段时间的平均增长率也仅有5%。如果以任何一种合理方式 （即使用峰期到峰期的增长率）剔除商业周期的影响，在任何一个我们 有数据的足够长的随后时期中，美国的产出增长都围绕3%波动，且波动 幅度不超过0.5个百分点。
那么，储蓄率是否越高越好呢？
N(t) c(t) K(t)
+
K ( K(
t t
) )
=
A(t)
K(t)β−1
N(
)t 1−β
=
ρ
+σκ β
.
（7）
根据平衡增长路径定义，K (t) / K (t)是常数，所以方程（7）意味着
N (t)c(t) / K (t)也是常数，令 D = 1 Nc， 求全微分，得：
K
0
=
K K
(t) (t)
设人均消费的增长率 c(t) / c(t) = κ
1）资本价格增长率 （ −σκ ）
由方程（3）得到：
c−σ = θ ⇒ − σ ln c = lnθ θ(t) /θ = −σκ
⇒ θ = −σ c
θ
c
可见，沿着平衡增长路径资本价格增长率为常数。
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2）资本的边际产出（ ρ + σκ ）
从方程（4）我们得到：
θ = ρ − βA(t)N (t)1−β K (t)β −1 θ
将 θ(t) /θ = −σκ 代入上式，资本的边际产出为：
β A(t)N (t)1−β K (t)β −1 = ρ + σκ
(6)
这就是说，沿着平衡增长路径资本的边际产出等于常数。
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3）人均资本增长（κ ）
用 K (t )除方程（2），再利用方程（6）得到：
始条件 K (0) 和横截面条件
lime−ρtθ(t)K(t) =0
(5)
t→∞
的唯一解就是最优路径（为了避免繁琐并集中在我们所关注的经 济问题上，我们不对这个系统具体求解）。
在完全竞争和完美信息假设下，这个凸形偏好和技术、不存 在任何外部效应的模型所决定的最优路径，同时就是竞争性均衡 路径。
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5、在稳态下，各种变量都以不变的速度增长，即常数增长
+
K (t) K(t)
=
A(t)
K(t)β−1
N(
t
)1−β
=
ρ
+σκ β
.
求全微分：
A (t)K (t)β −1 N (t)1−β + (β −1) A(t)K (t)β −2 N (t)1−β K (t) + (1− β ) A(t)K (t)β −1 N (t)−β N (t) = 0
一个人均消费径 A(t) 外生给定下，给定一 条消费路径 c(t) 和资本初始存量K (0) ，方程（2）的技术暗含着 一个资本时间路径 K ( t ) 。
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最优化问题的研究，就是在方程（2）约束下，求方程（1）最大 化。构造一个现值汉密尔顿函数：
[ ] [ ] H (K ,θ , c,t) = N c1−σ − 1 + θ AK β N 1−β − Nc , 1−σ
1
如果资本增长快于人口增长（ Gw > Gn ），经济将通过价格机制实 现平滑转变，推动更多的资本密集技术发生，从长期看经济按照 在外生给定的自然率增长。如果资本增长低于劳动增长 （ Gw < Gn ），出现了工资水平相对资本价格而下降，经济将通过 价格机制诱导更多的劳动密集技术发生，经济增长将按照外生给 定的自然率增长。
及人均产出增长率）是给定的技术增长率 μ 的一个比例，比值为
一个常数，即劳动份额 1− β的倒数。时间偏好
弹性 的σ大小与长期增长率没有关系。
ρ和跨期替代
技术进步是经济增长最重要源泉。
23
5)
储蓄率 s （
β (κ + λ) ρ + σκ
）
( ) s
=
K (t) N (t)c(t) +
K (t)
这是现期效用和资本增长之和，后者以“价格” θ (t) 定价。一个最 优配置必须在价格 θ (t) 被正确选择下，在每个时间都使得 H 最大 化。
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对 H 求 c 最大化一阶偏导，得到：
∂H = N (1− σ )c−σ − Nθ = 0
∂c 1−σ
(3)
c = θ −1/σ
方程（3）显示，产品必须在每个时期进行的配置使得他们的价值相
=
K (t) / K (t) N (t)c(t) + K (t) / K (t)
= κ + λ = β (κ + λ) (ρ + σκ ) / β ρ + σκ
(利用（7）) （10）
低时间偏好率 ρ 和低跨期替代弹性 σ 导致一个高储蓄率；高
储蓄率与平衡增长路径上相对高的产出水平相联系。从长期看， 一个节俭社会将比一个不节俭的社会更富裕，但不是增长得更快。
第七章 索罗新古典经济增长模型： 技术进步 对增长的贡献
50年代，以Robert Solow, Paul Samuelson, Franco Modigliani 等人为代表的另一个剑桥的经济学家（在美国的麻 省），发展了一个与哈罗德和英国剑桥学派不同的经济增长模型。
他们批评哈罗德和英国剑桥的后凯恩斯学派，认为哈罗德关于难 以实现充分就业下的稳定增长的悲观主义观点，是建立在生产要 素比率固定不变假设之上，如果改变这个假设，让资本－劳动比 率变动，在自然增长率上实现均衡增长就是可能的。
3、尽管作为一种经济发展理论，该理论或模型是失败的，但仍 然充满启迪，为后续研究奠定了坚实的基础。
9
· 我们没有按照索罗1957年的分析框架、也没有按照戴维 罗默在
《高级宏观经济学》一书中的分析框架介绍索罗理论，而是采纳 了卢卡斯的分析方法，因为这种方法（动态优化）很好地刻画了 建立在微观经济基础上的宏观经济动态行为，是对索罗研究方法 的发展。（观察到的微观经济行为、宏观、动态）
以表示为：
N (t)c(t) + K (t)
3、生产技术 假设生产技术具有C-D函数形式，产出决定于资本投入、劳动投 入和“技术”水平 A(t) ，因此有：
N(t)c(t)+K(t) = A(t)K(t)β N(t)1−β (2)
其中
0< β <1
A / A= μ > 0
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4、最优资源配置 这个简化了的经济面临的资源配置问题，是如何简单地选择
65-94. [4] Solow R.M.，1957，“Technical Change and Aggregate
Production Function”， The Review of Economics and Statistics，39: 312-20.
6
本部分内容主要来自Robert E. LUCAS, Jr.的论文“On the Mechanics of Economic Development” （ Journal of Monetary Economics 22 (1988) 3-42. North-Holland）。
等，在边际上，或者用于消费或者用于投资。显然，如果在每一个
时间 t ，方程（3）的解(c(t))0∞是一条最优路径，价格 θ (t)
必须满足：
θ(t) = ρθ (t) − ∂ H (K (t),θ (t), c(t),t)
∂K
[ ] = ρ − βA(t)N (t)1−β K (t)β −1 θ (t)
∫ [ ] ∞e−ρt 1 c(t)1−σ −1N(t)dt
0 1−σ
(1)
这是常数相对风险规避效用函数，其中 ρ 为贴现因子， σ 有
两种含义，一是消费跨时替代弹性，另一是相对风险规避系数。 两个常数均都大于0。
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2、总产出
该经济的人均产品从需求的意义上分解为消费和资本积累两部分。
以 K (t ) 表示总资本存量，K(t) 为资本存量的变化，那么总产出可
−
(
N N
(t (t
) )
+
c c
(t) (t))
⇒
K K
(t) (t)
=
N N
(t) (t)
+
c (t ) c(t)
=
κ
+
λ
（8）
因此人均消费和人均资本以共同的速度 κ 增长 （在K的增长率
中扣除掉人口增长的因素）
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4）人均消费增长率（κ
=
μ 1− β
）
对方程（7）
N(t) c( t) K(t)
将宏观动态经济分析建立在理性经济人假设基础之上，强调市场 在资源配置中的作用，这是新古典分析方法的基本特征。因此， 索罗模型被称为“新古典经济增长模型”。
2
新古典经济增长模型有三个基本特征： 1）在长期均衡状态中，产出增长决定于技术进步率或
者效率劳动增长率，独立于储蓄和投资在GDP中的比率。因 为新古典增长模型假设资本边际收益递减，这决定一个更高 的储蓄率和投资率，将被一个更高的资本－产出比率或者更 低的资本生产率所抵消。
两边同时除以 A(t)K(t)β−1 N(t)1−β ，得到：
A(t) +(β −1) K(t) +(1−β) N(t) =0 ⇒ μ+(β−1)(κ+λ)+(1−β)λ=0
A(t)
K(t)
N(t)
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整理后有：
κ= μ 1− β