1.4全微分方程

积分因子, 利用凑微分的方法可得通解为:
1 x2 y2 1 x3 C
2
3
例:验证 u(x, y) x2 y 是方程 (3y 4xy2)dx (2x 3x2 y)dy 0
的一个积分因子，并求其通解。 解：对方程有 uM uN 6x2 y 12x3 y2
§1.4 全微分方程
多元函数全微分的逆运算。
求解
y


y x
可分离变量、齐次方程。
解 将方程写成 xdy ydx 0
左端是全微分式 xdy ydx d( xy)
方程变成 d( xy) 0
通解
xy C
1.全微分方程的定义
设 u F(x, y) 是一个连续可微的二元函数,则
y
x
故该方程不是全微分方程,对该方程两边
同时乘以 x后得:
(2xy 4x3)dx x2dy 0
(2xy 4x3)dx x2dy 0
由于 (2xy 4x2 ) 2x x2
y
x
利用凑微分的方法可得通解为:
x2y x4 C 如果有函数 u(x, y) 使方程
M 1 N ,
y
x
是全微分方程.
( x2 x3 y)dx (1 x)dy 0
（1）偏积分法

F x

x2

x3

y
F ( x,
y)

( x2

x3

y)dx

x3 3

x4 4

xy

( y)
F y

x ( y)
1 x
( y) 1 ( y) y,
du dF(x, y) F(x, y) dx F(x, y) dy
x
y
若 F(x, y) dx F(x, y) dy 0
x
y
则有 F(x, y) C
这是一大类可求解的微分方程.
若连续可微的二元函数 F(x, y) 使得 dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
x
F(x, y) M (s, y)ds ( y) x0
F (x, y) y
N(x, y) N(x0, y) '( y)
令
y
( y) y0 N (x0, s)ds
则找到一个满足 dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy的函数
x
y
F(x, y)
F y

x
( y)

x 4y
( y) 4 y ( y) 2 y2,
原方程的通解: x2 xy 2 y2 C
(3)凑微分法 例：验证方程 (cos x sin x xy2)dx y(1 x2)dy 0
是全微分方程，并求它满足初始条件：y(0) 2 的解。
y
x
M (x, y) N (x, y) 所以方程为全微分方程。
y
x
x
y
F(x, y) 0 M (s, y)ds 0 N(0, s)ds

x ( y cos s 2sey )ds
y
2ds
0
0
y sin x x2ey 2y
故通解为 y sin x x2ey 2y C
x
M (s, y)ds ( y)
x0
( y)待定，对上式关于y求偏导数得
F(x, y) x M (s, y)ds '( y)
y
x0 y
M (x, y) N (x, y)
y
x

x x0
N (s, y)ds '( y)
s

N(x, y) N(x0, y) '( y)
(1) 线积分法:
( x,y )
F( x, y ) M ( x, y )dx N( x, y )dy
( x0 ,y0 )
x
y
F( x, y )
x0 M ( s, y0 )ds
N( x,s )ds
y0
或
x
y
F(x, y)
M (s, y)ds
x0
y0 N (x0 , s)ds
(1)方程是否就是全微分方程; (2)若方程是全微分方程,怎样求它的解;
(3)若方程不是全微分方程,有无可能 将它转化为一个全微分方程来求解?
2.方程为全微分方程的充要条件
定理 设函数 M (x, y)和 N(x, y)在一个矩形区域
R 中连续且有连续的一阶偏导数，则
M (x, y)dx N(x, y)dy 0 是全微分方程的充要条件为:
因为函数 F1(x, y) x2 y2 F2 (x, y) x3 y xy2
F3(x, y) f (x)dx g( y)dy
的全微分就分别是这三个方程的左端, 他们的解分别是 Fi (x, y) C(i 1,2,3)
但并不是所有的方程都能方便地找到对应的 的函数 F(x, y),或者这样的 F(x, y)就不存在. 所以我们有三个问题需要解决:
则称 M (x, y)dx N(x, y)dy 0 为全微分方程。 此时，全微分方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0 的解为
F(x, y) C
例如,下列方程都是全微分方程: xdx ydy 0 (3x2 y y2 )dx (x3 2xy)dy 0 f (x)dx g( y)dy 0
x y2 ,
y x2
等.
例:验证 u(x, y) x 是方程 ( y2 x)dx xydy 0 的积分因子,并求它的通解.
解：对方程两边同乘以 x 后得
(xy2 x2 )dx x2 ydy 0
由于 (xy2 x2 ) 2xy x2 y
y
x
故该方程是全微分方程, u(x, y) x 是一个
原方程的通解: x3 x4 xy y C 34
4.积分因子 若一个方程不是全微分方程，
我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。
例: 求方程 (2y 4x2)dx xdy 0 解： M (x, y) 2y 4x2 N(x, y) x
M (x, y) 2 N (x, y) 1
原方程的通解: x3 x4 xy y C 34
( x2 x3 y)dx (1 x)dy 0
（2）凑全微分法
( x2 x3 )dx ( xdy ydx) dy 0
x3 d( 3

x4) 4
d( xy )
dy
0
d( x3 x4 xy y) 0 34
F(x, y) ex y M (x, y) x
F(x, y) x 2sin y N (x, y) y
求 F(x, y)
F(x, y) (ex y)dx ex yx ( y)
而 F(x, y) x 2sin y y
即 x ( y) x 2sin y
x
y
计算 F(x, y) 的二阶混合偏导数:
Baidu Nhomakorabea
2F (x, y) M (x, y) , 2F (x, y) N (x, y)
yx
y
xy
x
由于M(x,y)和N(x,y)有连续一阶偏导数,
从而有 2F (x, y) 2F(x, y)
yx
xy
故 M (x, y) N (x, y) 成立。
其中 C 为任意常数
(2)偏积分法
例：求方程 (ex y)dx (x 2sin y)dy 0 的通解.
解：由于 M (x, y) ex y N(x, y) x 2sin y
M (x, y) 1 N (x, y)
y
x
假设所求全微分函数为 F(x, y) ,则有
M (x, y) N (x, y)
y
x
证明：先证必要性
设 M (x, y)dx N(x, y)dy 0
是全微分方程,则有函数 F(x, y) 使得
dF(x, y) F(x, y) dx F(x, y) dy
x
y
M (x, y)dx N(x, y)dy
故有 M (x, y) F(x, y) , N(x, y) F(x, y)
通解： x2 xy 2 y2 C
凑全微分法求方程
2x y3
d
x

y2
3x2 y4
dy

0的通解.
解
M y


6x y4
N x
是全微分方程
将左端重新组合
1 y2
dy

(2yx3 dx

3x2 y4
dy)

d

1
y

d
x y
2 3


d(
1 y

x2 y3
)
原方程的通解：
例：验证方程
( y cos x 2xey )dx (sin x x2ey 2)dy 0
是全微分方程，并求它的通解。
解：由于 M (x, y) y cos x 2xey N(x, y) sin x x2ey 2
M (x, y) cos x 2xey , N (x, y) cos x 2xey
y
x
再证充分性
设 M (x, y), N(x, y) 满足 M (x, y) N (x, y)
y
x
构造函数 F(x, y)满足 dF = M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0
在矩形R中取一点 P( x0 , y0 ) 令 P( x, y)是R的一个动点，
取
F(x, y)
方程的通解为：
sin2 x x2 y2 y2 c 利用条件 y(0) 2 得 c 4 最后得所求初值问题得解为：
sin2 x y2 (1 x2 ) 4
求方程(2x y)dx (4 y x)dy 0的通解. 解: 分组凑全微分法 2xdx 4 ydy ( ydx xdy) 0 d(x2) d(2 y2) d(xy) 0 d( x2 xy 2 y2 ) 0
从而 ( y) 2sin y
( y) 2cos y
即 F(x, y) ex xy 2cos y C
求方程(2x y)dx (4 y x)dy 0的通解.
解: 偏积分法 F 2x y x
F( x, y) (2x y)dx x2 xy ( y)

1 y

x2 y3

C
求方程 dy x2 x3 y的通解.
dx
1 x
解 法一 整理: dy 1 y x2 一阶线性方程 dx 1 x
y


e
1 dx
1 x [

x
2e
1 1
x
dx
dx

C]
通解：y xy x3 x4 C 34
法二 整理: ( x2 x3 y)dx (1 x)dy 0.
M (s, y)ds
x0
y0 N (x0, s)ds
所有与 F(x, y)相差一个常数的函数都满足
dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
( x, y)
F(x, y) M (x, y)dx N (x, y)dy ( x0 , y0 )
3.全微分方程的积分
当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
全
微 分
xdy ydx x2

d(
y )， x
表
xdy ydx dln xy；
xy
达 式
xdy x2

ydx y2

d(arctan
y ), x
xdy x2

ydx y2

1 dln 2
x x

y. y
可选用积分因子
11
x

, y
x2
,
1 x2 y2 ,
1 x2 y2 ,
解：由于 M N 2xy
y x
所以方程为全微分方程。 由于 cos x sin xdx d (1 sin2 x)
2 xy2dx yx2dy d (1 x2 y2 )
2 ydy d (1 y2 )
2
根据二元函数微分的经验,原方程可写为 cos x sin xdx (xy2dx yx2dy) ydy 0
u(x, y)M (x, y)dx u(x, y)N(x, y)dy 0
是全微分方程。则 u(x, y) 称为方程的一个积分因子。
观察法 凭观察凑微分得到 ( x, y)
常 见 的
xdx

ydy

x2 d(
2
y2 )，
xdx x2

ydy y2

1 d ln( x2 2

y2 )；