1.4全微分方程
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数变量之间的微小变化关系。
全微分的计算可以使用泰勒展开、导数定义和偏导数等方法。
本文将介绍全微分的计算公式和应用。
一、一元函数的全微分设函数y = f(x)在点(x0, y0)处可微分。
此时，函数f(x)在x0附近可以用其局部线性近似代替。
根据导数的定义，可得到函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)。
函数f(x0)的全微分df表示函数f(x)在x0附近的微小变化量，可以通过以下公式计算：df = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，dx表示自变量x的微小变化量。
二、二元函数的全微分对于二元函数z = f(x, y)，如果在点(x0, y0)处可微分，那么z在(x0, y0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy其中，∂f/∂x表示函数f(x, y)对x的偏导数，∂f/∂y表示函数f(x, y)对y的偏导数，dx表示自变量x的微小变化量，dy表示自变量y的微小变化量。
需要注意的是，在计算二元函数的全微分时，要先对函数进行偏导数运算，然后与自变量的微小变化量相乘，再将结果相加。
三、多元函数的全微分对于多元函数z = f(x1, x2, ..., xn)，如果在点(x1^0,x2^0, ..., xn^0)处可微分，那么z在(x1^0, x2^0, ..., xn^0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1表示函数对变量x1的偏导数，∂f/∂x2表示函数对变量x2的偏导数，dx1表示自变量x1的微小变化量，dx2表示自变量x2的微小变化量，以此类推。
四、全微分的应用例如，在概率论与统计学中，我们常常需要计算函数的期望和方差。
对于连续型随机变量，若已知其概率密度函数f(x)和函数g(x)，可以通过全微分的公式计算函数g(x)的期望和方差。
全微分 公式
全微分公式全微分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
在物理学、工程学和经济学等领域，全微分在描述变量之间的关系和进行近似计算时都起到了重要作用。
在微积分中，全微分是指一个函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
假设有一个函数f(x,y)，其自变量分别为x和y，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
其中，∂f/∂x和∂f/∂y 分别表示函数f对x和y的偏导数，dx和dy分别表示自变量x和y 的微小变化量。
全微分的概念可以用来描述函数在某一点的局部变化情况。
例如，假设有一个函数f(x,y) = x^2 + y^2，当x和y分别发生微小变化dx和dy时，函数值的变化量df可以用全微分来表示。
根据全微分的定义，df = 2x * dx + 2y * dy。
这个式子说明了函数值的微小变化量df与自变量的微小变化量dx和dy之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
泰勒展开式可以将一个函数在某一点附近进行近似表示。
假设有一个函数f(x,y)，在点(x0,y0)处进行泰勒展开，展开的结果可以表示为f(x,y) ≈ f(x0,y0) + ∂f/∂x(x0,y0) * (x - x0) + ∂f/∂y(x0,y0) * (y - y0)。
其中，∂f/∂x(x0,y0)和∂f/∂y(x0,y0)分别表示函数f在点(x0,y0)处的偏导数。
通过将自变量的微小变化量dx和dy带入泰勒展开式，可以得到函数值的微小变化量df。
全微分在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，全微分可以用来描述物理量之间的关系，例如速度、加速度和力之间的关系。
在工程学中，全微分可以用来描述工程系统的变化情况，例如电路中电压和电流之间的关系。
全微分表达式
全微分表达式
摘要：
一、全微分表达式的概念
二、全微分表达式的性质
三、全微分表达式的应用
正文：
全微分表达式是微积分中一个重要的概念，它涉及到函数在某一点处的局部性质和全局性质，是研究函数变化的重要工具。
全微分表达式是一个三元组(f,f",φ)，其中f 是函数，f"是函数的导数，φ是拉普拉斯算子。
它表示了函数在某一点处的切线斜率、曲率和该点处的法向量。
全微分表达式具有局部性质，即只与函数在这一点的局部性质有关，而与函数在其他点的性质无关。
全微分表达式的性质是，当函数在某一区间内变化时，全微分表达式可以用来描述函数的变化情况。
比如，如果函数在某一点处可微，那么在该点处的全微分表达式可以唯一地确定该点处的切线斜率和曲率。
另外，全微分表达式还可以用来求解一些微分方程，如欧拉方程和拉普拉斯方程等。
全微分表达式的应用非常广泛，它在微积分、偏微分方程、泛函分析等领域都有重要的应用。
例如，在微积分中，全微分表达式可以用来求解极值问题、曲线拟合问题等；在偏微分方程中，全微分表达式可以用来描述物理场的变化；在泛函分析中，全微分表达式可以用来描述函数空间的变化。
总的来说，全微分表达式是微积分中一个重要的概念，它不仅具有丰富的
性质，而且应用广泛。
大三必修数学知识点
大三必修数学知识点数学作为一门基础学科，在大学阶段占据着重要的地位。
尤其对于理工科学生来说，大三是他们进一步深化和拓展数学知识的时期。
本文将介绍大三必修数学知识点，帮助同学们在学习中更好地掌握这些关键内容。
1. 高等代数知识点1.1 矩阵论：介绍矩阵的基本概念、运算和性质，矩阵的相似、对角化和特征值问题等。
1.2 线性方程组：研究线性方程组的解的存在唯一性、矩阵的秩和逆的性质。
1.3 特征值与特征向量：深入理解特征值与特征向量的概念及其在线性代数中的应用。
1.4 幂零矩阵和可逆矩阵：学习幂零矩阵和可逆矩阵的定义、性质及其在矩阵论中的重要性。
2. 微积分知识点2.1 多元函数微分学：学习多元函数的偏导数、全微分、最值及其在几何和物理问题中的应用。
2.2 多元函数积分学：研究重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法和应用。
2.3 级数与序列：掌握级数与序列的收敛性、数值判别法和级数收敛的应用。
2.4 常微分方程：学习一阶和二阶常微分方程的解法和一些特殊问题的求解。
3. 概率论与数理统计知识点3.1 随机变量：研究随机变量的概念、分布函数、概率密度函数及其性质。
3.2 大数定律与中心极限定理：理解大数定律和中心极限定理及其在实际问题中的应用。
3.3 参数估计与假设检验：学习参数估计的方法和假设检验的原理与步骤。
3.4 相关与回归分析：掌握相关与回归分析的基本概念、方法和模型。
4. 数学分析知识点4.1 数列与级数：研究数列和级数的性质、收敛性和发散性。
4.2 一元函数的极限和连续性：学习一元函数的极限概念、连续性和中值定理等。
4.3 导数与微分：深入理解导数和微分的概念、性质和计算方法。
4.4 不定积分与定积分：掌握不定积分和定积分的计算方法和应用。
总结：大三必修的数学知识点涵盖了高等代数、微积分、概率论与数理统计以及数学分析等方面。
掌握这些知识点对于理工科学生来说至关重要，不仅可以为他们的专业课提供必要的数学基础，还为他们未来的学习和研究奠定了坚实的数学基础。
全微分基本公式
全微分基本公式全微分基本公式是微积分中的重要概念，它用于描述函数的局部变化。
全微分基本公式基于一阶偏导数的概念，通过对函数的每个自变量求偏导数，得到该函数的全微分。
在本文中，我们将介绍全微分的基本公式以及它的应用。
全微分基本公式的表达式是dF = ∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy + ∂F/∂z dz，其中dF表示函数F的全微分，∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z分别是函数F 对自变量x、y、z的偏导数，dx、dy、dz则分别表示自变量x、y、z的微小增量。
全微分基本公式的含义是，一个函数在某一点上的微小增量可以由所有自变量的偏导数和微小增量的乘积的和来表示。
在函数的全微分中，各个自变量的微小增量dx、dy、dz可以表示函数在相应自变量上的局部变化。
这意味着，通过将函数的局部变化分解为各个自变量的局部变化，并乘以相应的偏导数，我们可以对函数的整体变化有一个更详细的了解。
全微分基本公式的一个重要应用是估计函数的近似变化。
通过将函数的全微分与各个自变量的微小增量相乘，我们可以得到函数变化的近似量。
这在实际问题中经常被使用，特别是在工程和自然科学领域。
另一个重要的应用是在多元函数的最值问题中。
通过研究函数的全微分，我们可以找到函数取得最大值或最小值的条件。
这是因为，在最值点上，函数的微小增量应该接近于零，即dF ≈ 0。
通过求解这个方程组，我们可以得到最值点的坐标。
全微分基本公式还有其他一些重要的性质。
例如，全微分具有可加性，即如果函数F可以表示为多个函数的和，那么它的全微分也可以表示为这些函数的全微分的和。
这个性质可以简化函数的微分计算，并使得我们能够更方便地研究函数的性质。
总结起来，全微分基本公式是微积分中的重要概念，用于描述函数的局部变化。
它通过求函数对每个自变量的偏导数，并将其与自变量的微小增量相乘，得到函数的全微分。
全微分基本公式具有估计函数近似变化和求解函数最值问题的应用，并具有可加性等重要性质。
全微分计算公式
全微分计算公式全微分是数学分析中的一个重要概念，特别是在多元函数的研究中有着广泛的应用。
对于很多同学来说，初次接触全微分计算公式可能会感到有些头疼，但其实只要咱们耐心梳理，它也没那么可怕。
先来说说啥是全微分。
假如咱们有一个二元函数 z = f(x, y)，那它的全微分 dz 就等于∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy 。
这里的∂z/∂x 和∂z/∂y 分别是函数对 x 和 y 的偏导数。
举个例子吧，就说函数 z = x^2 + 2xy + y^2 。
咱们先来求对 x 的偏导数，把 y 看成常数，那∂z/∂x 就是 2x + 2y 。
再求对 y 的偏导数，这次把 x 看成常数，∂z/∂y 就是 2x + 2y 。
假设 x 从 1 变到 1.1，dx = 0.1，y 从 2 变到 2.05，dy = 0.05 。
那全微分 dz 就等于 (2*1 + 2*2) * 0.1 + (2*1 + 2*2) * 0.05 。
算一算，(2*1 + 2*2) * 0.1 + (2*1 + 2*2) * 0.05 = 0.6 + 0.3 = 0.9 。
这时候可能有同学要问了，全微分有啥用呢？其实用处可大啦！比如在实际问题中，我们常常需要估计由于自变量的微小变化引起的函数值的变化量。
通过全微分，就能快速地做出一个相对准确的估计。
还记得有一次，我和朋友去买水果。
苹果的价格是根据重量和品质来定的，假设价格函数是 P(x, y)，x 表示重量，y 表示品质等级。
我们想买稍微重一点、品质好一点的苹果，就想大概算一下价格的变化。
这时候全微分计算公式就派上用场啦，我们根据偏导数和重量、品质的变化量，很快就估算出了价格的变化范围，心里有了底，买起来也更踏实。
再回到全微分计算公式，大家一定要多做练习题来加深理解。
只有通过不断地练习，才能真正掌握这个知识点，遇到问题时才能灵活运用。
总之，全微分计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多思考、多练习，就一定能攻克它！相信大家都能在数学的海洋里畅游，发现更多的乐趣和奥秘！。
全微分方程基本公式
全微分方程基本公式全微分方程是微分方程中的一种特殊形式，它可以通过对方程两边进行求导，并使用偏导数的性质进行简化，从而得到一个显式的解析解。
全微分方程的解析解通常可以表示为一个函数的形式。
在本文中，我们将介绍一些全微分方程的基本公式，并提供一些例子来加深理解。
一、一阶全微分方程一阶全微分方程可以写成以下形式：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0其中M和N是x和y的函数。
如果一个函数u(x,y)满足以下条件：du = M(x, y)dx + N(x, y)dy那么，u(x, y)就是方程的一个解析解。
这就是说，如果找到一个u(x, y)使得du等于方程的左边，那么u(x, y)就是该方程的解析解。
二、全微分方程的可积条件如果一个全微分方程是可积的，那么它必须满足以下条件：∂M/∂y=∂N/∂x这个条件称为全微分方程的可积条件。
如果一个方程满足这个条件，那么它可以通过求解一个积分来求得解析解。
三、全微分方程的求解方法根据全微分方程的表示形式，我们可以通过以下方法求解它：1.分离变量法分离变量法是常用的求解全微分方程的方法之一、对于一个可以写成以下形式的全微分方程：M(x)dx + N(y)dy = 0首先，将M(x)和N(y)分别移到方程的两侧，得到：M(x)dx = -N(y)dy然后，对方程两边同时积分，得到：∫M(x)dx = -∫N(y)dy通过求解这两个积分，我们可以得到方程的解析解。
2.齐次方程法对于一个可以写成以下形式的齐次全微分方程：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0如果M(x,y)和N(x,y)满足以下条件：M(tx, ty) = t^kM(x, y)N(tx, ty) = t^kN(x, y)其中t是一个常数，k是一个整数，那么这个方程是一个齐次方程。
对于齐次方程，我们可以通过引入一个新的变量v=x/y，将方程化为一个关于v的一阶线性方程进行求解。
3.恰当方程法如果一个全微分方程可以写成以下形式：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0那么，如果它满足以下条件：∂M/∂y=∂N/∂x那么，这个方程就是一个恰当方程。
常见的全微分公式
常见的全微分公式全微分公式这玩意儿，在数学里那可是相当重要！咱们从小学到高中的数学学习中，它都时不时会冒出来“刷刷存在感”。
咱先来说说全微分的基本概念哈。
全微分就是函数在各个自变量上的微小变化所引起的函数值的总变化。
比如说，对于一个二元函数 z = f(x, y) ，它的全微分 dz 就等于∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy 。
这就像是搭积木，每个自变量的变化都贡献了一部分，最后拼成了总的变化。
我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙特别可爱。
那是一个阳光明媚的下午，教室里有点闷热，大家都有点昏昏欲睡。
我正讲到全微分公式，突然看到一个小男生眼睛都快睁不开了。
我就灵机一动，说：“同学们，咱们来想象一下，这个函数就像是一个大厨在做菜。
x 和 y 就是他的两种食材，∂z/∂x 和∂z/∂y 就是这两种食材对这道菜味道的贡献程度。
dx 和 dy 呢，就是食材加进去的量。
现在大厨要根据食材的贡献程度和加入的量，来决定这道菜最后的味道，也就是函数值的变化。
”这一下子，那个小男生眼睛都亮了，大家也都来了精神，听得津津有味。
再来说说常见的一些全微分公式。
像 z = x^n * y^m 这样的函数，它的全微分 dz 就是 (nx^(n-1) * y^m)dx + (mx^n * y^(m-1))dy 。
还有像 z = sin(x + y) 这样的三角函数，它的全微分 dz 就是 (cos(x + y))dx + (cos(x + y))dy 。
在实际应用中，全微分公式用处可大了。
比如在物理学里，研究物体的运动轨迹，或者在经济学中分析成本和收益的变化，都能用到它。
学习全微分公式的时候，可别死记硬背，得理解着来。
多做几道练习题，找找感觉。
就像骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但练得多了，自然就熟练了。
总之，全微分公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多琢磨琢磨，就一定能掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具！希望同学们在学习的道路上，都能勇往直前，把这些难题一个个攻克！。
全微分方程基本公式
全微分方程基本公式全微分方程（PDE）是一类用来描述物理和社会现象的数学方程，它能够预测实际系统的动态变化，因此也被称为“动态模型”。
不同于典型的微分方程，全微分方程可以描述多个变量之间的关系，从而模拟一个更复杂的物理系统。
正如物理学中有力学方程，广义相对论有重力方程，以及热力学有温度方程等等，全微分方程也是建立在其他规律之上的必要数学工具。
准确地说，在理想的情况下，任何物理系统的方程都可以用全微分方程来表示。
全微分方程的公式由一系列变量组成，这些变量可以是位置、时间等，也可以是引力、温度等等。
对于不同类型的全微分方程而言，它们的具体公式也会千变万化。
但是，只要把它们抽象为一个概念，那么它们的基本公式都是一样的，这就是高斯的表达式：$$frac{partial^2u}{partial x^2} +frac{partial^2u}{partial y^2} = f(x,y)$$上述公式描述了变量u的变化，它是两个变量x和y的函数，其中f(x,y)是这一方程的右侧的系数，它可以是常数或是其他函数。
该公式用于描述二维空间中的物理系统，可以被应用于电和磁场、热传导等等。
此外，全微分方程还有一种重要的用途，即计算变量u的微分，这对研究物理系统的动态变化至关重要。
学者们发现，可以将全微分方程中的二阶微分展开，得到一组分别取得x和y的各自一阶和二阶微分的基本公式：$$u_x = frac{partial u}{partial x}$$$$u_{xx} = frac{partial^2 u}{partial x^2}$$$$u_y = frac{partial u}{partial y}$$$$u_{yy} = frac{partial^2 u}{partial y^2}$$以上公式可以用于计算任意变量u的一阶和二阶导数，它们可以用来求解更复杂的全微分方程中的变量。
总的来说，全微分方程的基本公式是高斯的表达式，它可以用来描述多变量物理系统，也可以用来计算变量的微分。
全微分方程公式
全微分方程公式全微分方程这玩意儿，对于很多同学来说，可能一开始就像个“神秘的怪物”，让人有点摸不着头脑。
但别担心，咱们今天就来好好唠唠全微分方程公式。
先来说说啥是全微分方程。
简单来讲，如果一个一阶方程可以写成M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式，并且存在一个函数 u(x,y) ，使得du(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy ，那这个方程就是全微分方程啦。
举个例子吧，就说我之前教过的一个学生小明。
有一次在课堂上，我刚讲到全微分方程，他一脸迷茫地看着我，那眼神仿佛在说：“老师，这都是啥呀？”我能感觉到他心里的那种困惑和不安。
咱们接着说全微分方程的公式。
判断一个方程是不是全微分方程，有个条件就是要满足∂M/∂y = ∂N/∂x 。
要是满足这个条件，那就能找到一个函数 u(x,y) ，它的全微分就是给定的式子。
那怎么找这个函数 u(x,y) 呢？通常有两种方法，一种是凑微分法，另一种是曲线积分法。
凑微分法呢，就是通过观察和变形，把给定的式子凑成某个函数的全微分。
比如说，给你个方程 (2xy + 3)dx + (x² - 1)dy = 0 ，你看啊，2xy 的微分是 2ydx + 2xdy ，那前面的 (2xy + 3)dx 就可以写成 d(x²y +3x) ，后面的 (x² - 1)dy 可以写成 d( x²y - y ) ，这样一凑，就找到了u(x,y) = x²y + 3x - y 。
再来说说曲线积分法。
假如有个方程 (3x²y + 4y³)dx + (x³ + 12xy² + 5)dy = 0 ，先判断∂M/∂y = ∂N/∂x ，发现满足全微分方程条件。
然后呢，任选一个点 (x0,y0) ，比如说 (0,0) ，从这个点到 (x,y) 做一条曲线，对M(x,y) 关于 x 积分加上对 N(x,y) 关于 y 积分，就能得到 u(x,y) 啦。
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在其中一点附近的变化情况。
全微分的计算公式是一种广义的求导公式，适用于多元函数以及复合函数的求导。
下面将详细介绍全微分的计算公式。
1.一元函数的全微分对于一元函数f(x)，在其中一点x=a处的全微分df可以通过求导来计算，计算公式为：df = f'(a)dx其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量的微小变化量。
例如，对于函数f(x) = x^2，在点x=2处的全微分df可以通过求导得到：f'(x)=2xdf = f'(2)dx = 2(2)dx = 4dx2.多元函数的全微分对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在其中一点P(x1=a1,x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到，计算公式为：df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn其中，∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数，dxi表示第i个自变量的微小变化量。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点P(2, 3)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到：∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2ydf = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = (2x)(dx) + (2y)(dy) = 4dx + 6dy3.复合函数的全微分对于复合函数f(g(x1, x2, ..., xn))，其中g(x1, x2, ..., xn)为自变量，f(t)为中间变量，t=g(x1, x2, ..., xn)。
在其中一点P(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过链式法则来计算，计算公式为：df = (∂f/∂t)(∂t/∂x1)dx1 + (∂f/∂t)(∂t/∂x2)dx2 + ... +(∂f/∂t)(∂t/∂xn)dxn其中， (∂f/∂t) 和 (∂t/∂xi) 分别表示对中间变量t和自变量xi求偏导数。
经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组
数值计算课程设计1. 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组1.1 运用四阶龙格库塔法解一阶微分方程组算法分析x k 1 x k h(f 1 2 f 2 2 f 3 f 4)6hy k 1 y k h 6(g 1 2g 2 2g 3 g 4 )t k 1 t k h经过循环计算由 t 0,x 0, y 0推得 t 1,x 1,y1 t 2,x 2,y 2⋯⋯每个龙格 -库塔方法都是由一个合适的泰勒方法推导而来，使得其最终全局 误差为 O h N, 一种折中方法是每次进行若干次函数求值，从而省去高阶导数计 算。
4阶龙格-库塔方法 (RK4)是最常用的，它适用于一般的应用，因为它非常精 准，稳定，且易于编程。
f 1 f (t k , x k , y k ) ，hf 2 f (t k h 2,x khh2f 1,y k 2g 1)hf 3 f (t k h 2,x khf 2,y k 2g 2)f 4 f (t k h ,x k hf 3,y k hg 3)g 1 g(t k ,x k , y k ) h g 2g(t k 2,x khh2f 1,y k 2g 1)hg 3 g(t k 2, x khf 2h2,y k 2g 2) g 4 g(t k h,x k hf 3, y k hg 3)1-1)1-2)1-3)1-4)1-5)1-6)1-7)1-8)1-9)1-10 )经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组1.2 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图1.3 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序代码：#include <iostream> #include <iomanip> using namespace std;void RK4( double (*f)(double t,double x, double y),double (*g)(double t,double x, double y) ,double initial[3], double resu[3],double h){double f1,f2,f3,f4,g1,g2,g3,g4,t0,x0,y0,x1,y1; t0=initial[0];x0=initial[1];y0=initial[2]; f1=f(t0,x0,y0); g1=g(t0,x0,y0); f2=f(t0+h/2, x0+h*f1/2,y0+h*g1/2);g2=g(t0+h/2,x0+h*f1/2,y0+h*g1/2); f3=f(t0+h/2,x0+h*f2/2,y0+h*g2/2);g3=g(t0+h/2,x0+h*f2/2,y0+h*g2/2);f4=f(t0+h, x0+h*f3,y0+h*g3); g4=g(t0+h, x0+h*f3,y0+h*g3);图 1-1 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图数值计算课程设计x1=x0+h*(f1+2*f2+2*f3+f4)/6; y1=y0+h*(g1+2*g2+2*g3+g4)/6;resu[0]=t0+h;resu[1]=x1;resu[2]=y1;}int main(){double f(double t,double x, double y);double g(double t,double x, double y);double initial[3],resu[3];double a,b,H;double t,step;int i;cout<<" 输入所求微分方程组的初值t0,x0,y0:"; cin>>initial[0]>>initial[1]>>initial[2]; cout<<" 输入所求微分方程组的微分区间[a,b]:"; cin>>a>>b;cout<<" 输入所求微分方程组所分解子区间的个数step:"; cin>>step;cout<<setiosflags(ios::right)<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision( 10);H=(b-a)/step;cout<< initial[0]<<setw(18)<<initial[1]<<setw(18)<<initial[2]<<endl;for(i=0;i<step;i++){ RK4( f,g ,initial, resu,H);cout<<resu[0]<<setw(20)<<resu[1]<<setw(20)<<resu[2]<<endl;initial[0]=resu[0];initial[1]=resu[1];initial[2]=resu[2];}return(0);}double f(double t,double x, double y){double dx;经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组dx=x+2*y; return(dx);}double g(double t,double x, double y) {double dy;dy=3*x+2*y; return(dy);}1.4 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序调试结果图示：图 1-2 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程算法程序调试图2. 高斯列主元法解线性方程组2.1 高斯列主元法解线性方程组算法分析使用伪代码编写高斯消元过程：for k=1 to n-1 dofor i=k+1 to n l<=a(i,k)/a(k,k) for j=k to n do a(i,j)<=a(i,j)-l*a(k,j) end %end of for j b(i)<=b(i)-l*b(k) end %end offor i end %end of for k最后得到 A ，b 可以构成上三角线性方程组 接着使用回代法求解上三角线性方程组应用所编写程序计算所给例题：其中初值为求解区间为 。
全微分表达式
全微分表达式
【最新版】
目录
1.全微分表达式的概念
2.全微分表达式的求解方法
3.全微分表达式的应用实例
正文
一、全微分表达式的概念
全微分表达式，又称为全微分方程，是一种描述物理量变化规律的数学表达式。
在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
全微分表达式由一系列的微分方程组成，这些微分方程描述了不同物理量之间的变化关系。
二、全微分表达式的求解方法
求解全微分表达式通常采用以下几种方法：
1.直接积分法：对微分方程两边进行积分，以求得原始函数。
但这种方法只适用于某些简单的微分方程。
2.积分因子法：通过引入一个积分因子，将微分方程转化为一个易于求解的积分方程。
3.分部积分法：将微分方程转化为一个积分方程，然后利用分部积分公式进行求解。
4.变易法：通过变量替换或方程变换，将原微分方程转化为一个新的微分方程，从而简化求解过程。
三、全微分表达式的应用实例
全微分表达式在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，例如：
1.在力学中，全微分表达式可以用来描述物体的运动状态，如牛顿运
动定律可以用全微分表达式表示。
2.在热力学中，全微分表达式可以用来描述热传导过程，如傅立叶热传导定律可以用全微分表达式表示。
3.在电路中，全微分表达式可以用来描述电路中电流、电压等物理量的变化规律。
总之，全微分表达式是一种重要的数学工具，它在多个领域中发挥着重要的作用。
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微分学中的一个重要概念，用于描述自变量的微小变化对应的因变量的微小变化。
全微分的计算公式包括一元函数和多元函数的情况。
一、一元函数的全微分计算公式：对于一元函数f(x)，全微分df表示函数f(x)在点x处的微小变化量，可以表示为：df = f'(x)dx其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数，dx是自变量x的微小变化量。
二、多元函数的全微分计算公式：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，全微分df表示函数f(x1,x2, ..., xn)在点(x1, x2, ..., xn)处各个自变量的微小变化量对应的因变量的总的微小变化量，可以表示为：df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn表示函数f(x1, x2, ..., xn)对应的自变量x1, x2, ..., xn的偏导数，dx1, dx2, ..., dxn分别表示自变量x1, x2, ..., xn的微小变化量。
三、计算实例：1.对于一元函数f(x)=x^2，求在点x=2处的全微分。
解：首先计算函数f(x)在点x=2处的导数：f'(x) = d(x^2)/dx = 2x代入x=2，得到f'(2)=4因此，函数f(x)在点x=2处的全微分为：df = f'(2)dx = 4dx2. 对于多元函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求在点(x, y)=(1, 1)处的全微分。
解：首先计算函数f(x,y)分别对应的自变量x和y的偏导数：∂f/∂x = d(x^2 + 2xy + y^2)/dx = 2x + 2y∂f/∂y = d(x^2 + 2xy + y^2)/dy = 2x + 2y代入(x,y)=(1,1)，得到∂f/∂x=∂f/∂y=4因此，函数f(x,y)在点(x,y)=(1,1)处的全微分为：df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy = 4dx + 4dy以上就是一元函数和多元函数的全微分的计算公式。
全微分方程求解公式
全微分方程求解公式M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0其中M(x,y)和N(x,y)是关于x和y的函数。
下面将介绍两种常见的求解全微分方程的方法。
方法一：可分离变量法当M(x,y)和N(x,y)可以分别表示为只依赖于x和y的函数时，可以使用可分离变量法求解全微分方程。
首先，将方程重新排列为如下形式：M(x, y)dx = -N(x, y)dy然后，将dy带到等式两边，并对方程两边同时积分：∫M(x, y)dx = -∫N(x, y)dy注意积分可分为两个独立的积分，一个是与x有关的积分，另一个是与y有关的积分。
完成积分后，可得到方程的解析解。
方法二：恰当微分方程法如果方程M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0中存在一个函数u(x, y)，使得∂u/∂x=M(x,y)和∂u/∂y=N(x,y)那么该方程被称为恰当微分方程，并且可以通过求解偏微分方程来得到解析解。
首先，根据偏导数的定义，可以得到u(x,y)的全微分公式：du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy如果du等于M(x, y)dx + N(x, y)dy，则方程是恰当微分方程。
接下来，求解偏微分方程∂u/∂x=M(x,y)和∂u/∂y=N(x,y)，以找到u(x,y)的解析解。
将u(x,y)关于x进行积分，得到：u(x, y) = ∫M(x, y)dx + g(y)其中g(y)是与y有关的积分常数。
然后对u(x,y)关于y求导，得到：∂u/∂y = ∫(∂M/∂y)dx + g'(y)通过比较∂u/∂y = N(x, y)和∂(∫(∂M/∂y)dx)/∂y = ∫(∂N/∂x)dy +g''(y)的系数，可以得到g'(y) = ∫(∂N/∂x)dy。
最后，通过求解g'(y) = ∫(∂N/∂x)dy，可以得到g(y)的解析表达式。
将g(y)代入u(x, y) = ∫M(x, y)dx + g(y)，即可得到方程的解析解。
全微分公式
全微分公式全微分是数学中一种重要的概念，它被广泛应用于许多学科和研究领域。
这种概念是用于表达两变量之间的不变关系，即当一个变量发生变化时，另一个变量也会相应发生变化的情况。
全微分的数学表达式是由微积分学家Gottfried Leibniz提出的，他以其强大的数学知识和才智自己建立起来的微积分理论提出了这一重要的概念。
全微分的数学表达式被称为“Leibniz公式”或“微分积分公式”。
它是以下面这样的形式表达的：d/dx (f(x))= f(x)其中，f(x)表示x变量依赖于特定参数的函数，而f(x)表示函数f(x)的一阶导数，可以理解为函数f(x)在x处的斜率，即在x处的变化率。
从Leibniz公式的数学表达式中可以看出，全微分可以应用于表达曲线、曲面及其他几何形状上函数的变化关系，以及函数和特定参数之间的差异等。
换句话说，Leibniz公式可以用来描述函数和特定参数之间的变化关系，从而推导出函数的局部表达式，或者应用链式乘法法则来求出函数的变化率。
Leibniz公式不仅可以用于描述函数和特定参数之间的变化，还可以用于描述多元函数的变化。
在多元函数的变化中，Leibniz公式可以被视为一种特殊的多变量微分法，称为微分积分公式。
在微分积分公式中，多变量函数的变化被表达为：f/x1+f/x2+ +f/xn右边的这个分母可以被视为一个多变量函数f的一阶偏导数，它表示多变量函数f在每个变量x处的变化率，也就是说，多变量函数f在每个变量处的斜率。
微分积分公式也可以用来描述更复杂的函数，例如多维函数和多元函数等。
例如，多元函数z=f(x,y,z)的变化可以用下面这样的表达式表示：z/x+z/y+z/z微分积分公式也可以用于求解多变量函数的极值，如函数的极大值和极小值。
此外，Leibniz公式还可以用于函数的积分，即计算一个特定区间内函数的定积分。
在这种情况下，Leibniz公式可以被表示为：∫a bf(x)dx= F(b)-F(a)这里，a和b分别表示函数f(x)在不同位置的值，而F(x)表示函数f(x)的定积分。
微分方程及其解定义
微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为加速度为质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F = ma (力=质量×加速度)可以列出方程(·= ）(1.1) 其中k ＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为(1.2)将上式对t积分两次得(1.3)其中和是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程（1.4）（1.5）(·=)（1.6）(′=)（1.7）在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为（1.8）如果在(1.8)中能将y′解出，则得到方程（1.9）或（1.10）(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为（1.11）n 阶显式方程的一般形式为(1.12)在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y 为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：（1.13）显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.１设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程(1.11)，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程(1.11)在区间I上的一个解.这样，从定义1.1可以直接验证：1. 函数y = x2＋Ｃ是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.2. 函数是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.3. 函数是方程(1.6)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.4. 函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有所以在（－∞，＋∞）上有从而该函数是方程(1.6)的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n 阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义，不难看出，函数和分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数是方程(1.7)的通积分，而函数y =±１是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.初值问题例1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.图a（C1＞固定，C2＞0）图b（C1=0,C2＞0）而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)= H 初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为(1.14)它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称(1.14)是初值问题的解.对于一个n 阶方程，初值条件的一般提法是(1.15)其中是自变量的某个取定值，而是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为(1.16)初值问题也常称为柯希（Cauchy）问题.对于一阶方程，若已求出通解，只要把初值条件代入通解中，得到方程从中解出C，设为，代入通解，即得满足初值条件的解.对于n 阶方程，若已求出通解后，代入初值条件(1.15)，得到n个方程式(1.17)如果能从(1.17)式中确定出，代回通解，即得所求初值问题的.例2 求方程的满足初值条件的解.解方程通解为求导数后得将初值条件代入，得到方程组解出和得故所求特解为积分曲线为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族抛物曲线.而是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第4章详细讨论.最后，我们要指出，本书中按习惯用分别代表，而分别代表本节要点：1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程.2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分.3．初值问题及初值问题解的求法.4．解的几何意义，积分曲线.。
常微分答案方程.doc
第一章初等积分法§1.1 微分方程和解习题简单，略。
§1.2 变量可分离方程(P14)1.求下列可分离变量方程的通解：(1)ydy = xclx : (2) y = y\n y : (3) y = e x~y : (4) tan ydx—colxdy = Q o解：(1)通解为/ =^2 + Co (2)通解为lny = C0L(3)通解为，=e'+C。
(4)通解为sinycosx = C。
2.求下列方程满足给定初始条件的解：(1))/ =)，(、—1),)，(0) = 1； (2)(疽―i)y +2勺，2 =(),贝())=1 ；(3) / = y(2) = 0; (4) (y2 + xy2)dx-(x2 + yr2)dy = 0,y(l) = -1«解:(1)y=1;(2) y(ln|x2 -1|+1) =1: (3) y, =0,y2 =(x-2)3; (4)-= -厂；。
- y3 .利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程：⑴ y r = f(ax+by^c): (2)孚=二，(封);⑶牛="(易；ax x ax⑷ f(xy)y + g(xy)xy f = 0, /(w)丰 g("), /(w), g(")连续。
解：(1)令〃 = or + ” + c,则u f = a + by =a + hf\u)变量分离。
(2)令a = xy ,则/ = y +板=■ +『鼻f(u) = 〃 + '(")变量分离。
x x~ x(3)令〃 = 则_/= "/+ 2心=对*("), / = ~ 变量分离。
r x(4)令u = xy^ ,则 # = y + w，= y-虫少~ = )变量分离。
g(“) x g(u)4.求解方程xjl -y2dx + y\j\ - x2 dy = 0 o解:通解：Jl —b + Jl —y」=C(C>0)。
全微分方程基本公式
全微分方程基本公式全微分方程是分析科学问题的重要工具，它可以帮助我们精确地解决复杂的数学问题。
本文介绍了全微分方程的基本概念及其相关的基础公式，为科学家更好地理解和应用它提供了依据。
全微分方程（FDE）是一种广泛应用于数学模型分析和实际问题求解的非常有效的方法，它可以提供一种有效的解决方案。
本文介绍了全微分方程的基本公式，帮助读者更好地理解全微分方程的基本原理和应用。
一、全微分方程的基本定义全微分方程（FDE）是一阶和多阶微分方程，它们次数比一般微分方程更高，其解决方法也较复杂。
全微分方程式用于表达复杂的物理问题，也常用于模拟动态系统的运动状态。
一般来说，全微分方程的形式可以表示为：$$ F(x,y,y',....,y^{(n)})=0 $$其中，$ n $ 为方程的次数，也称为FDE的阶数。
$ x $ 是变量，用于表示未知函数，此外，$ y'=\frac {dy}{dx} $ 、 $ y''=\frac {d ^ 2y}{dx ^ 2} $ 和 $ y^{(n)}=\frac {d^ny}{dx^n} $ 也分别称为导数和高阶导数，用于描述未知函数 $ y $ 的变化状态。
二、全微分方程的基本公式1. 一阶全微分方程一阶全微分方程是最简单的全微分方程，其公式可以用如下形式表示：$$ P(x)y'+Q(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $ 和 $ Q(x) $ 为常数或未知函数，$ y $ 为未知函数，而$ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
2. 二阶全微分方程二阶全微分方程的公式为：$$ P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $、$ Q(x) $ 和 $ R(x) $ 为不同函数，$ y $ 为未知函数，$ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
3.三阶全微分方程三阶全微分方程可以表示为：$$ P(x)y'''+Q(x)y''+R(x)y'+S(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $、$ Q(x) $、$ R (x) $ 和$ S(x) $ 为不同函数，$ y $ 为未知函数， $ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M (s, y)ds
x0
y0 N (x0, s)ds
所有与 F(x, y)相差一个常数的函数都满足
dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
( x, y)
F(x, y) M (x, y)dx N (x, y)dy ( x0 , y0 )
3.全微分方程的积分
当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
y
x
故该方程不是全微分方程,对该方程两边
同时乘以 x后得:
(2xy 4x3)dx x2dy 0
(2xy 4x3)dx x2dy 0
由于 (2xy 4x2 ) 2x x2
y
x
利用凑微分的方法可得通解为:
x2y x4 C 如果有函数 u(x, y) 使方程
x
F(x, y) M (s, y)ds ( y) x0
F (x, y) y
N(x, y) N(x0, y) '( y)
令
y
( y) y0 N (x0, s)ds
则找到一个满足 dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy的函数
x
y
F(x, y)
x
y
计算 F(x, y) 的二阶混合偏导数:
2F (x, y) M (x, y) , 2F (x, y) N (x, y)
yx
y
xy
x
由于M(x,y)和N(x,y)有连续一阶偏导数,
从而有 2F (x, y) 2F(x, y)
yx
xy
故 M (x, y) N (x, y) 成立。
原方程的通解: x3 x4 xy y C 34
( x2 x3 y)dx (1 x)dy 0
（2）凑全微分法
( x2 x3 )dx ( xdy ydx) dy 0
x3 d( 3
x4) 4
d( xy )
dy
0
d( x3 x4 xy y) 0 34
x
M (s, y)ds ( y)
x0
( y)待定，对上式关于y求偏导数得
F(x, y) x M (s, y)ds '( y)
y
x0 y
M (x, y) N (x, y)
y
x
x x0
N (s, y)ds '( y)
s
N(x, y) N(x0, y) '( y)
全
微 分
xdy ydx x2
d(
y )， x
表
xdy ydx dln xy；
xy
达 式
xdy x2
ydx y2
d(arctan
y ), x
xdy x2
ydx y2
1 dln 2
x x
y. y
可选用积分因子
11
x
, y
x2
,
1 x2 y2 ,
1 x2 y2 ,
则称 M (x, y)dx N(x, y)dy 0 为全微分方程。 此时，全微分方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0 的解为
F(x, y) C
例如,下列方程都是全微分方程: xdx ydy 0 (3x2 y y2 )dx (x3 2xy)dy 0 f (x)dx g( y)dy 0
方程的通解为：
sin2 x x2 y2 y2 c 利用条件 y(0) 2 得 c 4 最后得所求初值问题得解为：
sin2 x y2 (1 x2 ) 4
求方程(2x y)dx (4 y x)dy 0的通解. 解: 分组凑全微分法 2xdx 4 ydy ( ydx xdy) 0 d(x2) d(2 y2) d(xy) 0 d( x2 xy 2 y2 ) 0
从而 ( y) 2sin y
( y) 2cos y
即 F(x, y) ex xy 2cos y C
求方程(2x y)dx (4 y x)dy 0的通解.
解: 偏积分法 F 2x y x
F( x, y) (2x y)dx x2 xy ( y)
因为函数 F1(x, y) x2 y2 F2 (x, y) x3 y xy2
F3(x, y) f (x)dx g( y)dy
的全微分就分别是这三个方程的左端, 他们的解分别是 Fi (x, y) C(i 1,2,3)
但并不是所有的方程都能方便地找到对应的 的函数 F(x, y),或者这样的 F(x, y)就不存在. 所以我们有三个问题需要解决:
例：验证方程
( y cos x 2xey )dx (sin x x2ey 2)dy 0
是全微分方程，并求它的通解。
解：由于 M (x, y) y cos x 2xey N(x, y) sin x x2ey 2
M (x, y) cos x 2xey , N (x, y) cos x 2xey
(1) 线积分法:
( x,y )
F( x, y ) M ( x, y )dx N( x, y )dy
( x0 ,y0 )
x
y
F( x, y )
x0 M ( s, y0 )ds
N( x,s )ds
y0
或
x
y
F(x, y)
M (s, y)ds
x0
y0 N (x0 , s)ds
(1)方程是否就是全微分方程; (2)若方程是全微分方程,怎样求它的解;
(3)若方程不是全微分方程,有无可能 将它转化为一个全微分方程来求解?
2.方程为全微分方程的充要条件
定理 设函数 M (x, y)和 N(x, y)在一个矩形区域
R 中连续且有连续的一阶偏导数，则
M (x, y)dx N(x, y)dy 0 是全微分方程的充要条件为:
x y2 ,
y x2
等.
例:验证 u(x, y) x 是方程 ( y2 x)dx xydy 0 的积分因子,并求它的通解.
解：对方程两边同乘以 x 后得
(xy2 x2 )dx x2 ydy 0
由于 (xy2 x2 ) 2xy x2 y
y
x
故该方程是全微分方程, u(x, y) x 是一个
du dF(x, y) F(x, y) dx F(x, y) dy
x
y
若 F(x, y) dx F(x, y) dy 0
x
y
则有 F(x, y) C
这是一大类可求解的微分方程.
若连续可微的二元函数 F(x, y) 使得 dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
M 1 N ,
y
x
是全微分方程.
( x2 x3 y)dx (1 x)dy 0
（1）偏积分法
F x
x2
x3
y
F ( x,
y)
( x2
x3
y)dx
x3 3
x4 4
xy
( y)
F y
x ( y)
1 x
( y) 1 ( y) y,
积分因子, 利用凑微分的方法可得通解为:
1 x2 y2 1 x3 C
2
3
例:验证 u(x, y) x2 y 是方程 (3y 4xy2)dx (2x 3x2 y)dy 0
的一个积分因子，并求其通解。 解：对方程有 uM uN 6x2 y 12x3 y2
u(x, y)M (x, y)dx u(x, y)N(x, y)dy 0
是全微分方程。则 u(x, y) 称为方程的一个积分因子。
观察法 凭观察凑微分得到 ( x, y)
常 见 的
xdx
ydy
x2 d(
2
y2 )，
xdx x2
ydy y2
1 d ln( x2 2
y2 )；
M (x, y) N (x, y)
y
x
证明：先证必要性
设 M (x, y)dx N(x, y)dy 0
是全微分方程,则有函数 F(x, y) 使得
dF(x, y) F(x, y) dx F(x, y) dy
x
y
M (x, y)dx N(x, y)dy
故有 M (x, y) F(x, y) , N(x, y) F(x, y)
其中 C 为任意常数
(2)偏积分法
例：求方程 (ex y)dx (x 2sin y)dy 0 的通解.
解：由于 M (x, y) ex y N(x, y) x 2sin y
M (x, y) 1 N (x, y)
y
x
假设所求全微分函数为 F(x, y) ,则有
1 y
x2 y3
C
求方程 dy x2 x3 y的通解.
dx
1 x
解 法一 整理: dy 1 y x2 一阶线性方程 dx 1 x
y
e
1 dx
1 x [
x
2e
1 1
x
dx
dx
C]
通解：y xy x3 x4 C 34