3章习题

O
fc
第三章
3‐8.解答：
(1)通过理想带通滤波器后，输出噪声功率谱密度为：
Pn
(
f
)
=
⎪⎧ ⎨
n0 2
⎪⎩ 0
fc
−
B 2
≤
f
≤
fc
+
B 2
其他
自相关函数为
∫ ∫ ∫ R(τ ) =
∞ −∞
Pn
(
f
)e
j 2πfτ
df
=
n −
f
c
+
B 2
0
2 −
f
c
−
B 2
e j2πfτ df
+
n f
c
+
B 2
第三章
• 习题： • 3‐4. • 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，
且它们的均值分别为ax和ay，自相关函数分 别为Rx(τ)和Ry(τ)。 • (1)试求乘积z(t)= X(t)•Y(t)的自相关函数。 • (2)试求之和Z(t)= X(t)+Y(t)的自相关函数。
习题：
第三章
3‐4.解答： (1)Rz (τ ) = E[z(t)z(t + τ )] = E[ X (t)Y (t) X (t + τ )Y (t + τ )] 由于X (t)和Y (t)统计独立，则 Rz (τ ) = E[ X (t) X (t + τ )]E[Y (t)Y (t + τ )] = Rx (τ )Ry (τ )
= Rx (τ ) + Rx (τ − T ) + Rx (τ + T ) + Rx (τ ) = 2Rx (τ ) + Rx (τ − T ) + Rx (τ + T ) Py (ω) = F[Ry (τ )] = F[2Rx (τ ) + Rx (τ − T ) + Rx (τ + T )]
= 2Px (ω) + e− jωT Px (ω) + e jωT Px (ω) = （2 1+ cosωt）Px (ω)
错误点:公式运用 不对，常忘写以下
所圈两项。
输 出 噪 声 的 功 率 谱 密 度 P0 (ω )
=
Pi (ω )
H
(ω )
2
=
n0 2
1+
1
(ω RC )2
∫ 其 自 相 关 函 数 R0 (τ
)
=
F −1[ P0 (ω )]
=
1
2π
∞ n0
1
e jwT dω =
n0
τ −
e RC
−∞ 2 1 + (ω RC )2
第三章
• 3‐7 • 一个均值为a，自相关函数为Rx(τ)的平稳随
机过程X(t)通过一个线性系统后的输出过程 为
Y(t)= X(t)+ X(t‐T) （T为延迟时间） (1)试画出该线性系统的框图 (2)试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度
3‐7.解答：
(1) X(t)
第三章
Y(t)
T
(2)Ry (τ ) = E[Y (t)Y (t +τ )] = E{[ X (t) + X (t − T )][X (t +τ ) + X (t +τ − T )]}
法：
Py (
Py (
f)=H
f
)
=
1 2π
(ω)Px
H (ω)
(
2
f)
Px (
f
)
= E[ X (t) X (t +τ ) + X (t) X (t +τ − T ) + X (t − T ) X (t +τ ) + X (t − T ) X (t +τ − T )]
= E[ X (t) X (t +τ )] + E[ X (t) X (t +τ − T )] + E[ X (t − T ) X (t +τ )] + E[ X (t − T ) X (t +τ − T )]
• 3‐9. • 一个RC低通滤波器如图P3‐2所示，假设输入
是均值为零、功率谱密度为n0/2的高斯白噪 声，试求： • (1)输出噪声的功率谱密度和自相关函数 • (2)输出噪声的一维概率密度函数
R
C
第三章
3‐9.解答：
1
(1)由
图
，
传
递
函
数
H
(ω
)=
R
jω C
+1
jω C
= 1+
1
jω RC
X(t)
相加
d
Y(t)
dt
延时T
错误点1：没
第三章
有分析系统是 否为线性的过
3‐14.解答：
程
(1)由图示，得 Y (t) = d[ X (t) + X (t − T )] ，该系统为线性系统
dt
因为 X (t)为平稳随机过程，故 Y (t)为平稳随机过程
(2)由图示， Y (ω ) = jω (1 + e− jwT ) X (ω )
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所以所求的相关函数为
1 2
[
P(ω
+
ω0
)
+
P(ω
−
ω0
)]的反傅里叶变换
即，Rx (τ ) cos(ω0τ )
错误点：计算为
1
2π
Rx (τ ) cos(ω0τ )
• 3‐14
• X(t)是功率谱密度为Px ( f )的平稳随机过程， 该过程通过图P3‐5所示的系统。
• (1)输出过程Y(t)是否平稳 • (2)求Y(t)的功率谱密度
4RC
(2)高 斯 过 程 经 线 性 变 换 仍 为 高 斯 过 程
输 出 过 程 的 数 学 期 望 为0， 方 差 σ
2
=
R0 (0)
−
R0 (∞)
=
n0 4RC
则，其一维概率密度f (x) =
2RC
−
e
2 RCx2 n0
π n0
错误计算为 不带负号的
上式
第三章
3‐13.
设平稳过程X(t)的功率谱密度为 Px(ω) ，其自相
0
2 f
c
−
B 2
e j2πfτ df
=
n0 B
sin πBτ πBτ
cos 2πfcτ
(2)N = R(0) = n0B
(3)由于高斯过程经线性变换仍为高斯过程
且输出过程均值为0，方差σ 2 = Ro (0) − Ro (∞) = n0B
故f (x) =
1
− x2
e 2n0B
2πn0 B
错误点: 少个“‐” 号。
错误点: 没有 化简到最后。
• 3‐8
• 一个中心频率为fc、带宽为B的理想带通滤 波器如图P3‐1所示。假设输入是均值为零、 功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求：
• (1)滤波器输出噪声的自相关函数
• (2)滤波器输出噪声的平均功率 • (3)输出噪声的一维概率密度函数
|H(f)|
B
1
B
-fc
关函数为 Rx (τ ) 。试求功率谱密度为
1 2
[
Px
(ω
+
ω0
)
+
Px
(ω
−
ω0
)]
所对应的过程的相关函数(其中，ω0为正常数)
3‐13.解答：
第三章
由Rx (τ ) ⇔ Px (ω),
又f
(τ
) cos(ω0τ
)
⇔
1 [F (ω
2
+ ω0 )
+
F (ω
− ω0 )]，其中f
(τ
)
⇔
F (ω)
所以 H (ω ) = jω (1 + e− jwT ) 故 H (ω ) 2 = 2ω 2 (1 + cos ωT ) 所以 Py ( f ) = 2ω 2 (1 + cos ωT )Px ( f )
错误点2：传输函数 算错，常见错误结论
H (ω ) = 2ωCosωT
错误点3：公式运用
不对，常见错误用
(2)Rz (τ ) = E[z(t)z(t + τ )] = E{[X (t) + Y (t)][ X (t + τ ) + Y (t + τ )]} = E[ X (t) X (t + τ ) + X (t)Y (t + τ ) + Y (t) X (t + τ ) + Y (t)Y (t + τ )] = E[ X (t) X (t + τ )] + E[ X (t)Y (t + τ )] + E[Y (t) X (t + τ )] + E[Y (t)Y (t + τ )] 由于X (t)和Y (tY )统计独立且是平稳随机过程，则 Rz (τ ) = E[ X (t) X (t + τ )] + E[ X (t)]E[Y (t + τ )] + E[Y (t)]E[ X (t + τ )] + E[Y (t)Y (t + τ )] = Rx (τ ) + aX aY + aY aX + Ry (τ ) = Rx (τ ) + 2aX aY + Ry (τ )