小学奥数：格点型面积(毕克定理)

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毕克定理三角形格点面积公式

1.毕克定理三角形格点面积公式是什么？
答：三角形毕克定理的公式：S=a+b÷2－1。

皮克定理是指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形落在格点边界上的点数，S表示多边形的面积。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

几何图形六年级

几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。

2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。

注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。

要区分面积是几个单位。

2．在数格点时要细心。

3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。

正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。

(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。

[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。

三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。

分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。

格点面积公式毕克定理

格点面积公式毕克定理嘿，同学们！今天咱们来聊聊一个挺有趣的数学知识——格点面积公式毕克定理。

先来讲讲我之前遇到的一件小事儿。

有一次我去公园散步，看到地上铺着那种一格一格的地砖，就像咱们数学里的格点图。

我突然就想到了毕克定理，感觉数学知识真是无处不在。

那什么是毕克定理呢？简单来说，就是计算格点多边形面积的一个好办法。

假设一个格点多边形内部有 N 个格点，边上有 L 个格点，那这个多边形的面积就等于 N + L/2 - 1 。

咱们来通过几个例子感受感受。

比如说一个简单的正方形格点图，边长是 3 个格子。

内部没有格点，边上有 4 个格点。

按照毕克定理，面积就是 0 + 4/2 - 1 = 1 ，正好就是这个正方形的面积。

再比如一个稍微复杂点的三角形格点图，内部有 3 个格点，边上有6 个格点。

那它的面积就是 3 + 6/2 - 1 = 5 。

有些同学可能会问了，这毕克定理有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数学竞赛中，如果遇到求格点图形面积的题目，用毕克定理就能快速又准确地得出答案。

而且呀，毕克定理还能帮助我们更好地理解图形和数量之间的关系。

通过计算格点图形的面积，我们能更深入地感受数学的奇妙和规律。

在实际生活中，也能看到毕克定理的影子呢。

比如设计师在设计一些图案的时候，可能就会用到格点和毕克定理来计算面积和比例，确保设计的美观和合理。

同学们，数学的世界就像一个大宝藏，毕克定理只是其中的一颗小宝石。

只要咱们用心去探索，就能发现更多有趣又实用的知识。

就像我在公园里看到的那些地砖格点，它让我在平常的生活中也能想到数学。

咱们学习数学，不只是为了考试，更是为了能在生活中发现它的美，用它来解决问题，让生活变得更有趣、更有条理。

希望大家以后看到格点图形的时候，都能想起毕克定理，用它来算出面积，感受数学的魅力！。

格点法求面积的公式

面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。

格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。

格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。

1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。

这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。

2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。

高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。

小学初级奥数第22讲-格点面积

I
II
III
(a)
(b)
(c)
例三分别计算图中两个格点多边形的面积。
练一练求下列各个格点多边形的面积。
（1）
（2）
（3）
（4）
例三
如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形。计算三角形ABC 的面积。
练一练
如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！源自AC B例四
图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积。
例五正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米。M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？
课后作业
<作业1> 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______
①
②
课后作业
<作业2> 横竖每相邻两点之间的距离为1cm，“乡村小屋”的面积是多少？
课后作业
<作业3> 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？
课后作业

小学奥数：格点型面积(毕克定理)

小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等（通常规定是1个单位），这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点•在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形.那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数.我们能发现如下规律：S = N - -1 •这个规律就是毕克定理.2毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为s=N +丄一1 •2【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵（如右图）•如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例3】判断下列图形哪些是格点多边形?【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？（教师总结：面积数值均扩大4倍.）【例【例2】如图，4 4的方格纸上放了 __________ 个.【例【例6】（“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积. 【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积.【巩固】求下列各个格点多边形的面积.【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?⑷【例9】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.H【例11】（“小学数学奥林匹克”竞赛试题）5 5的方格纸，小方格的面积是 1平方厘米，小方格的顶点称为格点.请你在图上选 7个格点，要求其中任意 3个格点都不在一条直线上，并且使这 7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大•那么，所围图形的面积是__________ 平方厘米.【例12】（“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是 1 ,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例13】（第六届“从小爱数学”邀请赛试题）两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格.现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分（块状）面积为5.12cm 2，右下角的阴影部分（线状）面积为7.4cm 2，求大正方形的面积.【例14】（第六届“华杯赛”试题）图中正六边形 ABCDEF 的面积是54 , AP=2PF , CQ=2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积.F D【例10】右图中每个小正方形的面积都是1那么图中这只“狗”所占的面积是多少?板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成•”或“•••”，所形成的三角形都是等边三角形•规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数， L 表示图形周界上的格点数，那么有 S=2 N ，L_2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的 2倍与周界上格点数的和减去 2.【例15】如图（a ），有21个点，每相邻三个点成或，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC 的面积.A EF D CB (b)【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1的等边三角形，计算 ABC 的面积.【例18】如图，如果每一个小三角形的面积是 1平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米?【例16】（每相邻三个点•”或成面积为 1的等边三角形）.【例17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网•如果大三角形的面积是粗线所围成的三角形的面积.128,求图中A(a)C 求下列格点多边形的面积 ⑴ ⑵⑶ ⑷【例19】把同一个三角形的三条边分别 5等分、7等分（如图1，图2），然后适当连接这些等分点，便得至厅若干个面积相等的小三角形•已知图 1中阴影部分面积是 294平方分米，那么图 2中阴影部分的面积是 ______ 方分米.【例20】将图中的图形分割成面积相等的三块.【例22】（第五届“华杯赛”试题）正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米.M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点.问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？【例23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是 ____ 方厘米.NNE【例21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米?2平方厘米•那么，三角形 ABC 的面积是團I 2。

奥数培优五年级第3讲格点与面积

第三讲格点与面积例1、下面是一个格点图，图中有长方形，三角形，平行四边形和梯形各一个，请你利用方格网计算出他们的面积是多少（如图所示阴影部分的校正方形的面积是1平方厘米）.例2、图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？（单位：厘米）例3、观察下面四个多边形，计算下列各多边形的面积，并统计每个多边形边界上的格点数和图形内的格点数。

比克定理：任何一个正方形格点多边形的面积都等于图形内部的格点数加上图形边界的格点数除以2的和。

例4、下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米，求图中阴影部分的面积。

例5、下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点“∴”和“∵”构成的都是面积为1平方厘米的等边三角形，请你计算图中三角形的面积。

思考与练习1、求下面个图形的面积（相邻格点距离1厘米）2、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）3、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）4、下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。

请你在图中选择7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围城的面积尽可能大，那么，所围图形的面积是多少平方厘米？5、下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积。

6、下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）.7、在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1平方厘米）.8、如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。

M是AB的中点，N是CD的中点，P是EF的中点，问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？。

毕克定理三角形格点面积公式

毕克定理三角形格点面积公式毕克定理是一个用于求解三角形格点面积的公式，它是由毕达哥拉斯学派的毕克提出的。

该定理可以用于计算任意三角形的格点面积，即三角形内部恰好有整数个格点的面积。

三角形的格点面积是指平面上以三个顶点为角的三角形内部的正方形格点的个数。

正方形格点是指具有整数坐标的点，也就是格点面积是指三角形内部有整数个格点。

假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C为整点，即它们的坐标都是整数。

那么，我们可以使用毕克定理来计算三角形的格点面积。

首先，我们需要找到三角形内部的所有格点。

一个格点必须是一个整数坐标的点，且必须位于三角形的内部。

为了简化计算过程，我们可以将三角形与网格对齐，使其边与网格线平行或垂直。

然后，我们需要计算三个边界上的格点数目以及三角形内部的顶点格点数目。

边界上的格点数目可以通过计算两个格点之间的距离来获得。

例如，边AB上的格点数目可以通过计算AB的长度来得到。

最后，我们可以使用毕克定理的公式来计算三角形的格点面积：格点面积=三角形内部的格点数目-三个边界上的格点数目+1其中，三角形内部的格点数目可以通过使用射线法或扫描线法来计算。

这些方法是在三角形内发射一条射线或扫描线，通过计算射线或扫描线与三角形边界的交点来得到内部格点的数目。

毕克定理可以通过以下步骤来证明：1.首先，我们可以证明一个有界六边形的格点面积公式：六边形的格点面积=六边形内部的格点数目-六个边界上的格点数目+12.然后，我们可以使用对边界共线的有界六边形进行分割的方法来将三角形转化为有界六边形。

3.最后，我们可以将上述两个结果结合起来，即可证明毕克定理。

需要注意的是，毕克定理只适用于顶点为整点的三角形。

对于不满足条件的三角形，我们可以通过平移和缩放操作将其转化为满足条件的三角形，然后使用毕克定理进行计算。

总结起来，毕克定理是一个用于计算三角形格点面积的公式。

它通过计算三角形内部的格点数目、边界上的格点数目和一个常数项来得到最终结果。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点

【导语】马克思曾经说过：“⼀门学科只有成功的应⽤了数学，才能真正达到了完善的地步。

”这句话充分显⽰了数学知识的⼴泛应⽤及学习数学的必要性和重要性。

因此，数学作为认识世界的基础性学科，它可以在思想上⽀持不同学科的深⼊发展。

以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。

【篇⼀】知识点： (⼀)正⽅形格点图⾯积在⼀张纸上，先画出⼀些⽔平直线和⼀些竖直直线，并使任意两条相邻的平⾏线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了⼀个⽅格，其中的每个交点就叫做⼀个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在⽅格中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点⾄少有⼀个顶点格点上，⽐如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(⼆)三⾓形格点图的⾯积三⾓形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三⾓形都是等边三⾓形，规定它的⾯积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三⾓形格点多边形。

【篇⼆】常见解题⽅法：求格点图⾯积常见的⼏种⽅法：数格⼦法、分割法、扩展法、毕克定理。

（⼀）数格⼦法对于格点图⾥⾯的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正⽅形⽅格或者三⾓形⽅格的个数得出规则图形的⾯积，或者由图形得出规则图形相应的⾯积公式需要的量，代⼊公式解出⾯积即可! 【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的⾯积运⽤公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就⾏了。

第(1)图是正⽅形，边长是4，所以⾯积是4×4=16(⾯积单位); 第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(3)图是三⾓形，底是5，⾼是4，所以⾯积是5×4÷2=10(⾯积单位); 第(4)图是平⾏四边形，底是5，⾼是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(5)图是直⾓梯形，上底是3，下底是5，⾼是3，所以⾯积是(3+5)×3÷2=12(⾯积单位); 第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，⾼是4，所以⾯积是(3+6)×4÷2=18(⾯积单位)。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点

多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

四年级第19讲-格点与面积(二)-学生版

如图，小正方形的面积为1，下图中格点多边形的面积是多少？
如图，每相邻两格点之间的距离均为1厘米，下图中格点多边形的面积是多少？
格点与面积（二）例 1
试一试 1 知识纵横 1、毕克定理（正方形格点公式）：格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S =L ÷2+N -1 (用“S ”表示格点多边形单位面积的数量，用“N ”表示格点多边形内部的格点数，用“L ”表示格点多边形边上的格点数) 2、毕克定理(三角形格点公式)：格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S =(L ÷2+N -1)×2 E D C B A
例2
在下图中，每相邻三点构成一个面积为1平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少？
试一试2
在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少？
例3
下图中每个小正方形的面积为 4 平方厘米，计算两个格点多边形的面积？
试一试3
在下图中，每相邻三点构成一个面积为 3 平方厘米的等边三角形，求下列两个图形的面积和是多少？
例4
下图中，已知图 A 的面积是 45 平方厘米，求图 B 的面积是多少？
试一试4
如下图所示，已知图①的面积是 40 平方厘米，则图②的面积是多少平方厘米？。

小学数学毕克定理格点与面积

第7站格点与面积（本讲例1-例3同2019年4年级春季尖子第2站）知识糖果屋1、求规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；2、求简单不规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；3、求复杂不规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；4、求规则图形的面积（单位面积是1的小三角形格点）。

例题精品铺、习题游乐园例1、计算下列各个格点多边形的面积。

·······················································（1）（2）············································（3）（4）练习、计算下面格点多边形的面积。

····································例2、计算下面这个格点多边形的面积。

小学奥数格点型面积

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【例 2】如图，计算各个格点多边形的面积．⑶⑵⑴⑹⑸⑷【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【例 3】如图(a )，计算这个格点多边形的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．例题精讲4-2-7.格点型面积【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【例 5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 6】“乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 7】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFEDCBA【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【例 9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】4星【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【关键词】保良局亚洲区城市小学数学竞赛【例 11】55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【例 12】两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【考点】格点型面积【难度】5星【题型】解答【关键词】从小爱数学【例 13】将边长为正整数n 的正方形平均分成2n 个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

格点多边形面积公式（Pick定理）的一个形象解释（转）

格点多边形⾯积公式（Pick定理）的⼀个形象解释（转）Pick定理：如果⼀个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直⾓坐标平⾯上的格点，则称该多边形为格点多边形．若⼀个⾯积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S＝a/2＋b－1．强迫孩⼦们接受⽆法说出道理的东西，很容易打击孩⼦们的求知欲望和学习兴趣．我经过反复琢磨，找到⼀个⾮常浅显的办法，既能够形象的解释Pick定理的道理，⼜能让看清Pick定理的本质．整个解释只需⽤到⼀个很浅显的预备知识：“多边形外⾓和等于⼀个周⾓”．以下图的格点多边形ABCDE为例，其边界上有a个格点，内部有b个格点．设想在平⾯的每个格点放⼀个铁饼，满⾜：(1)每个铁饼都⼀样⼤的圆（或者说是圆柱），圆⼼是格点；(2)每个铁饼都恰好重1克；(3)每个铁饼的半径都做得尽量⼩——不仅铁饼之间互相不重叠，⽽且还使得多边形ABCDE内部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的内部；多边形ABCDE外部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的外部．⾸先，考虑多边形ABCDE的边界以内的铁的总重．这可以分如下两类进⾏计算：第⼀类：其内部格点上放的铁饼．此类总重显然是b克．第⼆类：其边界格点上放的铁饼落在边界以内的铁．假设每个边界格点上放的铁饼，恰有⼀半落在边界以内，则总重为a/2克．但显然在每个顶点处放的铁饼，落在边界以内的铁实际不⾜⼀半，⽐⼀半还少该顶点的⼀个外⾓内所含的铁，所有这种外⾓内所含的铁恰好拼成⼀块完整的铁饼（因为多边形外⾓和等于⼀个周⾓）．所以后⼀类铁的总重是a/2－1克．因⽽，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是a/2＋b－1克．接下来，设想将平⾯上所有铁饼全部熔化，打造成⼀张厚薄均匀的铁板盖在整个平⾯上．这可以看作是：将每个单位正⽅形的四个顶点处的每个90°的扇形铁饼，熔化在这个正⽅形内部，故熔化后每个单位正⽅形内的铁都是1克．进⽽，平⾯上任意图形，其⾯积是多少，其内部就含多少克铁．因⽽，熔化并重新打造后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是S克．最后，注意到这个熔化并重新打造的过程，可以看成是：每个格点处的铁饼中的铁，按(以该格点为中⼼)放射状的⽅式重新适当改动位置⽽已．这样的改动，不会使格点多边形ABCDE外⾯的铁跑到多边形内部，也不会使内部的铁跑到外部．即熔化并重新打造的前后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是不变的，所以S＝a/2＋b－1．。

20181126小学奥数练习卷(知识点：格点面积[毕克定理])含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：格点面积[毕克定理]）
题号一二三总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人得分
一．选择题（共10小题）
1．如图，长方形中甲部分的周长和乙部分的周长（）
A．相等B．甲的周长大C．乙的周长大D．无法确定2．沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树（）棵A．16B．18C．20D．22
3．在8×8网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这
个8×8网格中共有（）枚黑色棋子．
A．42B．32C．22D．12
4．去年冬羽绒服的价格在前年的价格上提价了40%，今年春换季时按现价打6折出售，今年春羽绒服的售价是前年的（）
A．60%B．40%C．84%D．100%
5．如图，从甲地到乙地，A、B两条路都是由半圆形组成的，甲乙两地的中点恰好是O点，这两条路的长度（）。

(小学奥数)格点型面积

模組一、正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水準直線和一些豎直直線，並使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網，其中的每個交點就叫做一個格點．在方格網中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉村小屋圖形就是一個格點多邊形．那麼，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數目有沒有關係？如果有，這兩者之間的關係能否用計算公式來表達？下麵就讓我們一起來探討這些問題吧！用N 表示多邊形內部格點，L 表示多邊形周界上的格點，S 表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數．我們能發現如下規律：12L S N =+-．這個規律就是畢克定理．【例 1】判斷下列圖形哪些是格點多邊形？⑴⑵⑶⑷畢克定理若一個格點多邊形內部有N 個格點，它的邊界上有L 個格點，則它的面積為12LS N =+-．例題精講4-2-7.格點型面積【例 2】如圖，計算各個格點多邊形的面積．【例 3】如圖(a)，計算這個格點多邊形的面積．【例 4】右圖是一個方格網，計算陰影部分的面積．【例 5】分別計算圖中兩個格點多邊形的面積．【巩固】求下列各個格點多邊形的面積．（1）（2）（3）（4）【例 6】“鄉村小屋”的面積是多少？【例 7】右圖是一個812面積單位的圖形．求矩形內的箭形ABCDEFGH的面積．HGFAEDCB______【例 8】比較圖中的兩個陰影部分①和②的面積，它們的大小關係【例 9】右圖中每個小正方形的面積都是1，那麼圖中這只“狗”所占的面積是多少？【巩固】如圖，每一個小方格的面積都是1平方釐米，那麼用粗線圍成的圖形的面積是多少平方釐米？【例 10】第一屆保良局亞洲區城市小學數學邀請賽在7月21日開幕，下麵的圖形中，每一個小方格的面積是1，那麼7、2、1三個數字所占的面積之和是多少？【例 11】55的方格紙，小方格的面積是1平方釐米，小方格的頂點稱為格點．請你在圖上選7個格點，要求其中任意3個格點都不在一條直線上，並且使這7個點用直線連接後所圍成的面積盡可能大．那麼，所圍圖形的面積是平方釐米．【例 12】兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格．現將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為25.12cm，右下角的陰影部分(線狀)面積為27.4cm，求大正方形的面積．【例 13】將邊長為正整數n的正方形平均分成2n個小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點。

长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法

长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可！例、如下图，计算下列各个格点多边形的面积：（四年级8月1号天天练）【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）；第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）；第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）；第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点！（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

（三）扩展法将原图形扩展成可直接计算面积的规则图形，同时扩展部分的图形面积也是可以直接计算的，那么原图形的面积就等于规则图形面积减去扩展部分的面积即可！例、如图所示，计算下面格点多边形的面积（五年级8月1号天天练）【详解】这虽然是一个规则的三角形，但是可以直接用面积公式计算，或者通过数格子么？好像不行，因为我们现在不能直接算出相应边的长度和高！现在尝试用分割法和扩展法来解！方法一（分割法）：如图①做辅助线，将原图分割成两个小三角形。

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