2007西电 随机信号_A答案g

西安电子科技大学考试时间 120 分钟试 题班级 学号 姓名 任课教师 一﹑简答下列问题（25分）1. 随机变量与随机过程的区别是什么？给出一个常见的随机过程的例子。

（2分） A ． 随机变量与时间t 无关而仅与样本有关，而随机过程()X t 与样本和时间都有关，是一族与样本有关的时间函数。

若t 固定，()X t 是一个随机变量。

例如，电子元件上的热噪声电压。

B ． 一维随机变量是一与时间无关的一维分布函数来描述的，而随机过程是由有限维分布函数来描述的。

随机过程是我们周围随处可见的随机现象，例如在一段时间内我们自身的血压就是一随机过程。

2. 随机变量的分布函数与随机过程的分布函数的区别是什么？分别写出描述服从高斯分布的随机变量和平稳正态过程的二维概率密度函数。

（4分）A ．随机变量的分布函数是指在状态空间上的分布，而随机过程的分布函数是指随时间变化的状态空间上的分布。

B ．随机过程的分布是与时间有关的有限维分布，随机变量的分布是与时间无关的固定维分布。

一维标准正态随机变量的概率密度：2())2x f x =-平稳正态过程的二维概率密度函数： 111122211((),())exp 22T x x x x x xx m x m f x t x t x m x m τπ-⎛⎫--⎡⎤⎡⎤ ⎪+=-⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎣⎦⎝⎭K K 其中：22(())()()(())x E X t R R E X t τττ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦K3.严平稳与宽平稳的主要区别是什么？（2分）A ．严平稳是指有限维分布函数只与给定的时间间隔有关的随机过程；而宽平稳是指均值为常数，相关函数只与时间间隔有关的随机过程。

B ．严平稳是指统计特性与时间起点无关而仅与时间间隔有关的随机过程，而宽平稳是指一阶矩与时间无关和二阶矩与时间间隔有关的随机过程。

4. 写出两个复数过程1()Z t 和2()Z t 的自相关函数和互相关函数的表达式。

（2分）*1212(,)()()Z R t t E Z t Z t ⎡⎤=⎣⎦ ， 12*121122(,)()()Z Z R t t E Z t Z t ⎡⎤=⎣⎦5. 遍历性（各态历经）过程的定义是什么？（2分） A ． 时间平均等于集合（统计）平均B ． 时间均值等于统计均值，时间相关函数等于统计相关函数。

6. 写出在齐次条件下，马尔可夫链的n 步转移概率矩阵与一维转移概率矩阵之间的关系。

（2分）()n n =P P7. 当线性系统的输入端为高斯过程，线性系统的输出端是什么分布的随机过程？为什么？（2分）高斯分布的随机过程。

线性系统是对输入进行线性变换，而高斯过程具有线性变换不变性。

8. 写出实随机过程()X t 的解析过程（复包络）()X t 的表达式，以及()X t 的自相关函数与()X t 的自相关函数的关系。

（3分） 1ˆˆ()()(), ()*()X t X t jX t X t X t tπ=+= ， ˆ()2()2()X X XR R j R τττ=+9. 什么是窄带信号？实际中的窄带信号的近似准则是什么？（3分）信号带宽远远小于载频。

实际中的窄带信号的近似准则是信号带宽小于等于10%（小于20%也可以）的载频。

10. 3dB 带宽的定义是什么？（1分） 系统传输函数下降至半功率点时的带宽。

11. 色噪声与白噪声的区别是什么？举一例说明你所见到的色噪声。

（2分） 色噪声的功率谱密度是ω的非均匀函数。

课间间隔教室里的噪声。

二、已知一复数过程 ()()j t Z t A jB e ω=+，其中A 和B 均为实随机变量，并且 ()()0E A E B ==，22()()10E A E B ==，证明复数过程()Z t 为一平稳过程。

（10分） 证明：∵ [()][]0j tE Z t E A jB eω=+=*()(,)[()()][()()]j t j t Z R t t Z t Z t E A jB e A jB e ωωτττ-++=+=-+22[]20()j j Z E A B ee R ωτωττ=+==(0)20Z R =<∞ ∴ ()Z t 是一个平稳过程。

三、对于理想低通线性系统：0, ()0,A B H ωπω⎧≤=⎨⎩其他，求理想高斯白噪声通过该理想低通系统的输出自相关函数。

如果对输出信号进行采样，问以什么样的频率采样时，采样样本是相互独立的。

（10分）解：设输入的白噪声过程为()X t ,则其功率谱密度为0()/2X S N ω=，故低通系统的输出功率谱密度为：2200()()()/2*Y X S H S N AB ωωωωπ==≤2200001()/2*()22B j Y B N A B R N A ed Sa B πωτπτωπτπ-==⎰当0,1,2,3,B k k πτπ=±= 时，即0/k B τ=±时，在两个采样点,2,,t t ττ--,,2t t t ττ++ 上(),2,Y t τ- ()(),,Y t Y t τ-()(),2,Y t Y t ττ++ 是互不相关的。

由于高斯信号通过线性系统后的信号仍然是高斯信号，而对高斯信号不相关等价于独立，故对输出信号以0s f B =进行采样时（采样周期为01/T B =），采样样本是相互独立的。

四、设齐次马尔可夫链{}(),1X n n ≥的状态空间{}1,2,3E =，其中一步转移概率矩阵为：1/32/30P=1/403/401/21/2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦设初始分布为：0(0){}1/3,1,2,3i p P X i i ====。

自状态 i 出发经 n 步首次进入状态j 概率定义为{}0(),,1,2,,1ij n m f n P X j X j m n X i ==≠=-= 。

⑴ 画出状态转移图；⑵ 求13(3)f ；⑶ 求概率()021,2P X X ==和()21P X =；⑷ 判断此马氏链是否具有遍历性，并求稳态分布。

(20分) 解：（1）根据一步转移概率矩阵，可画出状态转移图1/3（2）131231(3)3346f =⨯⨯=（3）21/32/301/32/305/182/91/2P P P=1/403/41/403/41/1213/243/801/21/201/21/21/81/45/8⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦02200(1,2)(2|1)(1)2/91/32/27P X X P X X P X =======⨯= 2200200200(1)(1|1)(1)(1|2)(2)(1|3)(3)1/3(5/181/121/8)35/216P X P X X P X P X X P X P X X P X =====+===+====⨯++=（4）此马氏链是遍历的。

由 1121134p p p =+ ，2132132p p p =+ ，3233142p p p =+ 1231p p p ++= 解得：1233812,,232323p p p === 五、设随机信号()0sin()X t V t ω=+Φ, 其中V 是均值为1,方差为1的随机变量, Φ是均匀分布在（0，π/2）上的随机变量，并且V 和Φ相互独立，求()()Y t X t ∙=的均值、相关函数和平均功率。

（10分）解：∵000()[()][][sin()]2/[cos sin ]X m t E X t E V E t t t ωπωω==+Φ=+ 12120102(,)[()()][sin()sin()]X R t t E X t X t E V t V t ωω==+Φ+Φ=2010********[][sin()sin()][cos ()cos(2)]E V E t t E t t t t ωωωωω+Φ+Φ=--++Φ =00201cos 2/sin()t t ωτπωω++ ∴ 0002[()][()]()[cos sin ]X dE Y t E X t m t t t dt ωωωπ∙===- 2121200210021121(,)2(,)[sin ()cos ()]X Y R t t R t t t t t t t t t ωωωωπ∂∂==--++∂∂∂ =220021002012cos ()sin()t t t t ωωωωωπ--+2221101010021(,)limsin 22TY T TQ A R t t t dt T ωωωωπ→-=<>=-⋅=⎰六、设()S ω是一个平稳随机过程的功率谱密度函数，证明22()/d S d ωω不可能是功率谱密度函数。

（10分）证明：∵ ()()j XS Re d ωτωττ∞--∞=⎰∴ ''2()()j X S R e d ωτωτττ∞--∞=-⎰令'2()()X X R R τττ=-，由于 ''(0)()X X R R τ≤ 不满足相关函数的性质，故22()/d S d ωω不可能是功率谱密度函数。

七、求输入谱为424256()109X S ωωωωω++=++ 时的白化滤波器。

（5分）解：∵424256(()109(1)(1)(3)(3)X s s s s s s S s s s s s s s -+++==-++-+-∴(()(1)(3)Xs s S s s ω-+=++从而1()()X H s S ω-== 八、设X(t)是均值为0、方差为1的实窄带平稳高斯过程，写出其莱斯表示形式和准正弦表示形式，求包络和相位的一维概率密度函数。

（10分）解：00^00^00()()cos ()sin ()()cos ()sin ()()sin ()cos X t a t t b t t a t X t t X t t b t X t t X t tωωωωωω=-=+=-+0()()cos(())()()(()/())X t A t t t A t t arctg b t a t ωϕϕ=+==从而 ()()cos (),()()sin ()a t A t t b t A t t ϕϕ==在一固定时刻t 对()a t 和()b t 取样可得t a 和t b ，可以证明t a 和t b 是高斯随机变量，且22[][]0,[][]1t t t t E a E b E a E b ====，t a 和t b 相互独立。

故 2221(,)2t t a b ab t t f a b e π+-= ， 22,1(,)2tA A t t f A e J ϕϕπ-=， cos sin sin cos t t t t t t tta a A t t t tb b tt tA A J A A ϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂-===因此22,0,02(,)20t A t t t A t t A e A f A ϕϕπϕπ-⎧⎪≥≤≤=⎨⎪⎩其它从而有：222,0()(,)(0)A t A t A t t t t t f A f A d A eA πϕϕϕ-==≥⎰,01()(,)(02)2t A t t t t f f A dA ϕϕϕϕϕππ∞==≤≤⎰。