基于等几何分析方法的带孔结构形状优化设计
基于COMSOL Multiphysics的结构形状优化
基于COMSOL Multiphysics的结构形状优化结构优化主要包括结构的拓扑和形状优化。
拓扑优化方法可以在没有特定初始拓扑的情况下得到的结构最优拓扑，而形状优化在结构拓扑不变的前提下优化结构边界的精确形状。
相对于形状优化，拓扑优化的优势在于可以给出结构的最优拓扑和边界的大致形状。
形状优化作为拓扑优化的后处理过程，对于最优结构的精确描述仍然非常重要。
拓扑优化方法通常采用隐式法表述结构边界的位置，而形状优化方法一般采用显式法确定结构边界的具体位置以及设计变量的参数化表示。
中科院长春光机所刘震宇研究员利用COMSOL Multiphysics中的移动网格技术成功实现了面积约束条件下的二维刚性结构形状优化问题。
形状优化基本原理近年来，形状最优化设计已经引起了人们广泛的关注。
形状优化一般通过改变表述边界位置的设计变量来提高目标函数的表现。
工程问题的形状优化主要有两种方法，Lagrangian方法和Eulerian方法。
前者是通过边界上的控制点和插值函数来表示结构形状，后者是将设计区域嵌入到一个规则的虚拟区域中进行优化设计。
Eulerian方法的优点在于结构边界在变化过程中不需对网格进行更新，缺点在于优化结果受到虚拟材料区域的影响。
而Lagrangian方法是通过改变真实边界的位置来实现优化，所以在工程设计中得到广泛采用。
基于有限元数值解的形状优化已逐渐成为一种成熟的设计手段应用于工程优化问题。
在优化过程中，将离散的边界网格节点作为优化设计参数，边界的网格节点位置在优化过程中需要不断进行更新。
由于优化分析中只定义了边界节点的移动速度，为保证结构整体离散网格的协调性，结构区域中网格节点的移动需要额外的定义。
所以在设计过程中对网格进行调整甚至重新划分是形状优化中的一个重要的步骤。
移动网格法是一种动态网格调整方法，其数值实现基于移动网格偏微分方程。
在网格拓扑保持不变的情况下，通过网格节点的移动来适应结构边界的变化。
等几何分析
等几何分析研究进展摘要等几何分析是一种刚刚兴起的数值分析方法，对现有的CAE产生了很大的影响。
等几何分析法的出现于发展，缓解和消除了困扰CAE多年的难题，开启了一条结合设计、分析和优化等三方面的途径。
本文阐述了等几何分析产生的背景、意义和相关的定义，还介绍了等几何分析从首先提出到现如今的10年发展历程，包括基础理论体系的发展与完善，新型样条的构建，网格细分方法的研究，计算效率的提高，以及其他方面（如边界条件的施加、接触分析、结构优化等）的进展，展示了等几何分析相对于基于拉格朗日插值的有限元法的优势。
关键字等几何分析有限元NURBS 发展现状1 前言有限元分析是目前应用最广泛的一种数值分析方法，且由于结合了能够高速运算的计算机，有限元法得到了大多数人的支持。
有限元法是将连续的物体离散成有限个单元，单元之间通过节点连接在一起，并将节点处的未知量作为基本未知量，使得无限自由度问题转换成了有限自由度的问题，在利用力学原理近似的求解出未知量。
这一突出优点使得有限元法得到广泛应用，各类有限元软件也层出不穷，如ABAQUS、ANSYS、LS-DYNA、HyperMesh等。
不过这一突出的优点也大大的限制了有限元的进一步发展。
首先，有限元法求得的结果的精确度与网格的细化程度有关，网格越细，则计算结果的精度越高，而计算时间和计算所需的内存也将随之增加，而以目前的水平来看，还无法做到超高精度的细化网格。
Sandia国家实验室曾做过一项统计，在汽车、航空航天和造船行业，大约全部分析时间的80%用于网格划分及划分前的几何模型准备[1]。
其次，网格划分使得应力不连续，且在处理大变形问题中，单元的过度扭曲导致精度严重损失。
第三，网格划分工具对几何形状的识别精度较低，特别是划分复杂高级曲面时无法精确划分，容易划分出大变形网格。
再者，网格划分是建立在几何模型的基础上，若几何模型发生改变，那么须得重新划分网格，花费大量时间。
最后，在处理网格畸变、网格移动如动态裂纹扩展、冲压成型等问题时需要进行网格重构，不仅浪费计算时间，还会损害计算精度[2]。
基于等几何分析的结构形状优化设计研究
短 设 计 周 期 ，显 著 地 提 高 设 计 质 量 ，而 且 还 可 以
解决 传 统设 计方 法无 法解 决 的复 杂设 计 问题 。 结 构 优 化 设 计 以数 学 、 力 学 、 计 算 机 及 其 他
工 程 学 科 为 理 论 基 础 ，其 核 心 支 撑 包 括 参 数 化 几
等 可 以直 接 使 用Ｉ ＧＥ Ｓ 、Ｓ Ｔ Ｅ Ｐ 等格式的Ｃ ＡＤ几 何
模 型 数 据 ，但 是 对 于 复 杂 的 工 业 产 品 或 工 程 结 构 ，在 进 行 有 限 元 计 算 分 析 之 前 ，必 须 对 结 构 几 何 特 征 进 行 一 定 的 简化 （ 例 如 去 除 孔 洞 或 键 槽 等 特 征 ） ， 另外 复 杂 结 构 的有 限 元 网格 划 分 也 是 十 分 费 时 费 力 的 ，经 验 表 明 ，有 限 元 建 模 工 作 量 占 整个 有限元分 析工作量 的７ ０ ％～ ８ ０ ％左 右 。因 此 ，如何 解 决ＣＡ Ｄ 和Ｃ ＡＥ 系统 模 型异 构 问题 ，实
程实例考察了该方法应用于结构形状优化设计的有效性，结果表明基于等几何分析的结构形 状 优化是 可行的 ，对克服形 状优化 中边界可 动 、网格 扭曲和 重建等难 题提供 了有力的支 持 ，
为 产品设计、分析和优化过程的集成统 一提供 了新 的选择 ，供工程技术人员参考。 关键词 ： 形 状优 化设计 ；等几何分析 ；有限元法 ； 非均匀有理 Ｂ 样条 中国分类号 ：Ｒ ４ ９ ６ 文献 标识码 ：Ａ 文章 编号 ：１ ０ ０ ９ －０ １ ３ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ （ 上） －０ ０ ８ ７ － ０ ４
最 优 的结 构 性 能 ， 包 括 强 度 、 刚 度及 稳 定性 要 求 等 。今 天 单 纯依 靠 工程 设 计 人 员 经 验 和 辅 助试 验 的传 统 设 计 方 式 巳难 以胜 任 诸 如航 空航 天器 、船 舶 、车 辆 、精 密机 械 和 建 筑 物 等 复 杂部 件 及 大型 工 程 设 计 问题 。从 二 十 世 纪 ６ ０ 年 代 ， 随 着 优化 理 论 的发 展 ，优 化 技 术 开 始 引入 结构 设 计 领 域 ，使 其 逐 渐 从 传 统 的被 动 校 验 设 计 转 变 为 主 动 改善 设 计 ，并 且 由可 行 性 达 到 最 优 化 。实 践 证 明 ，将 最 优 化 理 论 和 方 法 应 用 于 设 计 ，不 仅 可 以大 大 地 缩
结构优化设计理论与方法研究
结构优化设计理论与方法研究随着现代工程技术的不断发展和进步，结构优化设计已成为了工程领域中的一个重要问题。
无论是大型建筑、航空航天、交通运输还是能源领域，都离不开结构优化设计的理论和方法。
在这个领域中，设计者需要通过分析和优化结构的形态和材料，来确定最佳的设计方案。
一、优化设计的基本原理优化设计的基本原理是通过对结构进行多种参数优化，以达到最佳设计方案。
在设计过程中，要考虑到各种限制条件，并确定问题的最优解。
将这个过程数学化，可以得到一个最小值问题。
这个问题的解决就需要使用优化算法。
例如，最常使用的方法是全局优化方法，如遗传算法、模拟退火法、差分进化算法等。
对于多目标优化问题，则需根据不同的目标设定权重，将问题转化为单一目标优化问题。
在这一过程中，必须考虑到多种重要因素，例如结构的重量、安全、经济和环保等等。
二、常见的优化设计方法1. 拓扑优化拓扑优化是指在不改变结构物体积的情况下，寻找最优形态的过程。
这种优化方法主要基于有限元分析（finite element analysis，FEA），对设计中的有限元进行重新分区，以改善其力学性能。
在拓扑优化中，通过选择优化变量，对结构的所有点进行重分布，以寻找最优解。
2. 几何形状优化几何形状优化是基于有限元分析的三维几何模型进行优化，通过优化材料的位置来改进结构的性能。
这种优化方法通常是基于梁、板和壳体的理论模型，并考虑到材料的特性，设计出最优的结构形态。
3. 材料优化材料优化是指通过改变结构的材料类型、厚度和比例来优化其性能。
这种优化方法通常需要进行复杂的有限元分析，以确定结构所需的最佳材料和厚度。
在材料优化中，通常需要考虑材料的拉伸、压缩、剪切力学和疲劳破坏等因素。
4. 多目标优化多目标优化是指在结构中考虑多种因素的优化问题。
在多目标优化中，设计者需要将不同的优化目标进行权重分配，并确定最佳的综合方案。
例如，设计者需要同时考虑结构的造价、稳定性和安全性等重要因素。
基于等几何分析的移动可变形组件拓扑优化方法及应用
优化算法设计与实现
遗传算法
利用遗传算法的全局搜索能力和并行计算优势，实现 高效优化。
粒子群优化算法
通过模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为规律来进行优 化搜索。
模拟退火算法
通过引入随机因素和冷却机制，在搜索过程中避免陷 入局部最优解，提高搜索效率。
04
应用案例与分析
航空发动机叶片设计案例
总结词
高效、精准、低成本
研究方法
首先，采用等几何分析方法对移动可变形组件进行精确建模；其次，结合拓扑 优化算法，提出一种新的移动可变形组件拓扑优化模型；最后，通过数值实验 验证所提方法的可行性和优越性。
02
基于等几何分析的拓扑优 化方法
等几何分析基本理论
等几何分析（Isogeometric Analysis，简称IGA）是一种新型的 数值分析方法，将计算机图形学与计 算机科学相结合，通过非均匀B样条 （NURBS）等几何基函数对物理问 题进行表示和分析。
研究不足与展望
虽然该方法在处理移动可变形组件的 形状和拓扑优化问题上取得了一定的 成果，但是在某些复杂的情况下，该 方法可能会出现收敛速度较慢或者求 解精度不高等问题，需要进一步完善 和改进。
在实际应用中，需要考虑的因素很多 ，包括材料属性、边界条件、载荷条 件等等，这些因素对移动可变形组件 的形状和拓扑优化有着重要的影响， 需要进一步研究和探讨。
02
约束包括体积约束、位移约束、应力约束等，目标是最小化结
构质量、最大化刚度等。
通过建立数学模型，可以运用数值优化方法求解拓扑优化问题
03
，得到最优解。
优化算法设计与实现
全局优化算法用于求解大规模、复杂结构的拓扑优化问 题，如遗传算法、模拟退火算法等。
机械设计中的参数化模型与优化设计
机械设计中的参数化模型与优化设计在机械设计领域中，参数化模型与优化设计是两个重要的概念。
参数化模型是指设计过程中使用参数来定义几何形状和尺寸的模型，而优化设计则是通过优化算法寻找最佳设计方案。
本文将介绍参数化模型和优化设计的原理与应用，并探讨二者在机械设计中的重要性和挑战。
一、参数化模型的原理与应用参数化模型是一种使用参数来描述和确定几何形状和尺寸的设计模型。
相比于传统的手工绘图和CAD软件设计，参数化模型可以通过调整参数值来快速生成不同几何形状的模型，提高设计效率。
参数化模型也能够方便地进行变量分析和灵敏度分析，有助于优化设计过程。
参数化模型的应用范围广泛，包括机械零件设计、结构设计、流体力学分析等。
在机械零件设计中，参数化模型可以用于生成不同尺寸的螺纹孔、键槽等特征，并快速进行装配性分析。
在结构设计中，参数化模型可以用于生成各种形状的结构单元，如梁、板、壳等，并进行强度、刚度等性能分析。
在流体力学分析中，参数化模型可以用于生成涡轮叶片、管道等复杂几何形状，并进行流场分析和传热分析。
二、优化设计的原理与应用优化设计是一种通过数学模型和优化算法，寻找最佳设计方案的方法。
优化设计的目标通常是最小化或最大化某个性能指标，如重量、成本、刚度、强度等。
通过调整设计参数的数值，优化设计能够寻找到最佳的参数组合，以达到设计目标。
优化设计的原理基于数学和工程的知识，主要包括建立数学模型、确定优化目标函数、选择合适的优化算法和评估优化结果等步骤。
常用的优化算法有遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。
在机械设计中，优化设计可以应用于零件尺寸优化、结构优化、材料选择等方面，以提高设计的性能和效率。
三、参数化模型与优化设计的关系参数化模型和优化设计是密切相关的。
参数化模型提供了优化设计的基础，通过调整参数值来生成不同设计方案。
优化设计则通过优化算法对参数化模型进行搜索和评估，寻找最佳设计方案。
参数化模型与优化设计之间的关系可以通过一个实例来说明。
基于等几何边界元法的声屏障结构形状优化分析
基于等几何边界元法的声屏障结构形状优化分析陈磊磊;申晓伟;刘程;徐延明【摘要】对声屏障结构进行优化设计是提高其降噪性能的有效解决方案,并具有重要实际意义.已有工作集中于对简单结构进行局部优化或对简单的整体结构进行尺寸优化,由于采用传统几何插值方法描述结构形状,难以灵活地控制形状变化,并需进行网格重构,限制了对声屏障整体结构的优化设计.采用等几何分析方法,实现几何模型与分析模型的同一表达,以非均匀有理B样条(NURBS)建模的控制点坐标为设计变量,以声影区参考点声压幅值在一定频带上的均值为目标函数,满足多约束条件下的目标函数最小为设计目标,建立基于等几何分析(IGA)和边界元法的结构声学优化数学模型,并采用移动近似算法(MMA)进行二维声屏障结构形状优化分析,算例证明该方法有效提高优化设计的灵活性.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2019(038)006【总页数】7页(P114-120)【关键词】等几何边界元;敏感度分析;结构形状优化;声屏障【作者】陈磊磊;申晓伟;刘程;徐延明【作者单位】信阳师范学院建筑与土木工程学院,河南信阳464000;信阳师范学院建筑与土木工程学院,河南信阳464000;中国科学技术大学近代力学系,合肥230026;中国科学技术大学近代力学系,合肥230026【正文语种】中文【中图分类】O39声屏障作为一种有效、经济的降噪工具，在交通噪声治理中已被广泛采用，如何有效地利用好这一降噪措施，使其发挥出更大的经济技术效果，对于改善人们的生活质量具有重要的意义。
声屏障的降噪效果与声屏障的形状、尺寸和材料属性有关，进行声屏障结构优化设计可以有效地提高其降噪效果。
目前大多研究都集中在采用遗传算法等启发式算法进行声屏障的形状优化例如，Baulac等[1]采用遗传算法对T型声屏障的顶端结构进行了优化设计；Toledo等[2]采用了进化算法对声屏障顶端形状进行了优化；Mun等[3]采用了模拟退火方法对声屏障的几何尺寸进行了优化。
结构优化有限元分析
结构优化有限元分析结构优化是指在满足设计约束条件的前提下，通过调整结构的几何形状、尺寸、材料等参数，以达到优化设计目标的一种设计方法。
通过结构优化，可以提高结构的刚度、强度、稳定性、减少重量、节约材料、降低成本等。
有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种计算机辅助工程分析方法，通过将复杂的结构分割成有限个简单的子结构（有限元），建立数学模型，在计算机上进行力学仿真分析来评估结构的性能。
有限元分析可以用于结构的设计优化，通过分析不同参数对结构性能的影响，得出最佳设计方案。
结构优化的有限元分析通常包括以下几个步骤：1.建立结构有限元模型：根据实际结构几何形状和材料，利用专业的有限元软件建立结构的三维有限元模型。
模型中包括结构的节点、单元类型和材料属性等信息。
2.设计优化目标和约束条件：根据设计要求和目标，确定结构的优化目标，如提高刚度、降低重量等。
同时，根据结构的使用条件和限制，设置约束条件，如保证结构的稳定性、强度等。
3.建立优化算法：根据实际情况选择适合的优化算法。
常见的优化算法有遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
根据设计要求和目标，确定优化算法的参数和设置。
4.分析和求解：利用有限元分析软件进行结构分析。
根据约束条件和优化目标，对结构进行力学仿真分析，得到结构的刚度、强度、位移等性能指标。
5.结果评估和优化：根据分析结果，评估优化策略的有效性和可行性。
如果优化结果满足设计要求和目标，可以进入下一步；如果不满足，需要对优化策略进行调整和优化，重新进行分析和求解，直到满足设计要求和目标。
6.优化结果的验证：通过制作样品或进行物理实验验证优化结果的可行性和有效性。
根据实际测试结果，对优化模型进行修正和调整，使其更加符合实际情况。
总的来说，结构优化有限元分析是一种结合了有限元分析和优化算法的设计方法，通过分析结构的力学特性，通过调整结构参数，得到最佳的设计方案。
这种方法可以提高结构的安全性、经济性和可靠性，减少材料和能源的消耗，促进结构设计的创新和进步。
基于等几何分析的复合材料层合板结构优化设计方法
等几何分析通过保持几何形状在分析过程中的一致性，避免了传统有限元方法中 网格划分和边界条件处理的问题，提高了分析的精度和效率。
采用全局坐标描述
等几何分析采用全局坐标描述几何形状，避免了传统有限元方法中局部坐标系统 的限制，使得分析更加灵活和方便。
等几何分析关键技术
1 2 3
几何建模技术
设计时应考虑制造工艺的可行性。
考虑成本和环保
03
在满足性能要求的前提下，应尽可能降低成本并考虑环保因素
。
04
基于等几何分析的复合材料层 合板结构优化设计方法
基于等几何分析的结构优化设计流程
建立等几何模型
定义优化目标
利用CAD技术建立复合材料层合板的几何 模型，包括各个铺层的厚度、角度和材料 属性等信息。
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结论与展望
研究结论总结
等几何分析方法在复合材料层合 板结构优化设计中具有高效、精
确的优点。
通过等几何分析和参数化建模， 可以实现对复合材料层合板结构
的形状、尺寸和拓扑优化。
考虑了复合材料的非均匀性、各 向异性和损伤容限等特性，提高 了优化设计的可靠性和实用性。
研究不足之处及改进方向
在实际应用中，复合材料的性能参数可能存在不确定性，需要进一步考虑不确定性 对优化设计的影响。
在损伤容限和疲劳性能方面，可以进一步研究复合材料层合板的损伤演 化机制和疲劳性能退化规律，为优化设计提供更为全面的理论支持。
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等几何分析需要建立准确的几何模型，包括结构 的三维模型、材料属性、边界条件等，为后续的 分析提供基础。
形状函数构造技术
形状函数的构造是等几何分析的关键技术之一， 需要根据实际问题和需求选择合适的形状函数， 并对其进行构造和优化。
基于密度的等几何分析层级结构拓扑优化方法研究
基于密度的等几何分析层级结构拓扑优化方法研究基于密度的等几何分析层级结构优化方法（Density-Based Hierarchical Topology Optimization Method）是一种用于优化复杂工程结构的方法。
在这种方法中，结构的密度被视为优化的变量，分析和优化是基于结构的密度来进行的。
该方法通过层级结构的方式来优化结构的性能，并在每个层级上进行密度分布的优化。
首先，基于密度的等几何分析层级结构优化方法要求将空间分割成多个体积元素（voxels），每个体积元素被视为一个密度的取值点。
通过对每个体积元素的密度进行调整，可以优化结构的形状和性能。
这是一个和拓扑优化方法类似的过程，但有一些关键的不同之处。
在基于密度的等几何分析层级结构优化方法中，结构的密度是更细粒度的优化变量，而不是结构的拓扑。
因此，这种方法可以更精确地调整结构的形状和性能。
同时，由于优化是基于结构的密度进行的，所以不需要进行二进制化的处理，可以避免一些优化算法在拓扑优化中遇到的困难。
其次，基于密度的等几何分析层级结构优化方法采用了层级结构的思想。
在该方法中，优化过程被分为多个层级，每个层级对应着不同的密度分布。
在每个层级上，都可以对结构的密度进行优化，以达到所需的性能要求。
通过层级的优化，可以在细节和粗糙的尺度上进行结构优化，从而提高了优化的效率和准确性。
基于密度的等几何分析层级结构优化方法的主要优势是可以在细粒度上进行结构优化，并且可以在不同的层级上进行优化。
这可以在一定程度上避免一些常见的优化问题，例如局部极值和收敛速度慢。
此外，该方法还可以根据实际需求进行结构的优化设计，从而提高结构的整体性能。
总之，基于密度的等几何分析层级结构优化方法是一种用于优化复杂工程结构的高效方法。
通过将结构的密度作为优化变量，并采用层级的优化策略，可以在细粒度上精确地调整结构的形状和性能，从而提高结构的整体性能和可靠性。
同时，在此方法的指导下，可以更好地理解结构的优化过程和机制，为工程设计提供指导和支持。
结构优化设计方法
结构优化设计方法
结构优化设计方法是一种通过优化算法来改进结构设计的方法。
以下是一些常用的结构优化设计方法：
1. 初始设计生成：首先需要生成一个初始设计，可以通过几何参数化、拓扑优化、遗传算法等方法生成初步的结构设计。
2. 材料优化：根据设计要求和材料性能，选择最适合的材料。
例如，考虑材料的强度、刚度、耐腐蚀性能等。
3. 拓扑优化：通过增加或减少结构的材料来改变结构的形状和拓扑结构，以提高结构的性能。
常用的拓扑优化方法包括有限元法、拓扑优化算法等。
4. 多目标优化：考虑多个设计目标，如结构的重量、刚度、稳定性等，并综合考虑它们之间的关系，在设计中平衡不同的目标。
5. 约束优化：考虑设计的约束条件，如材料的可用性、最大应力等，并通过适当的约束条件来限制设计空间。
6. 优化算法：根据问题的特点选择合适的优化算法，如遗传算法、蚁群算法、粒子群优化等。
7. 敏感性分析：通过敏感性分析来确定结构各个参数对设计目标的影响程度，以指导后续的优化过程。
8. 迭代优化：根据优化结果进行反馈和调整，不断迭代改进设计，直到满足设计要求为止。
结构优化设计方法的选择应根据具体问题的特点和目标，结合实际情况进行综合考虑。
基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化
第59卷第1期吉林大学学报(理学版)V o l.59 N o.1 2021年1月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J a n2021d o i:10.13413/j.c n k i.j d x b l x b.2020253基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化*胡传丰1,任靖雯1,胡慧1,蔺宏伟1,2(1.浙江大学数学科学学院,杭州310027;2.浙江大学计算机辅助设计与图形学国家重点实验室,杭州310058)摘要:利用等几何分析方法求解薄板多孔结构最小柔度拓扑优化问题,在材料均匀分布的设计域中实现最佳的特征参数分布,以提高薄板多孔结构的力学性能.通过三向周期极小曲面(T P M S)设计多孔单元,并分析多孔单元特征参数与材料分布间的关系.该方法以多孔单元特征参数为优化变量求解优化问题,保证了静力平衡分析过程中应力函数的连续性,提高了计算精度.同时基于优化结果设计多孔结构可调控多孔单元数,且多孔单元间光滑连接.关键词:多孔结构;三向周期极小曲面;等几何分析;拓扑优化中图分类号:T P391;O29文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2021)01-0065-12 T o p o l o g y O p t i m i z a t i o n f o rP a r a m e t r i cP o r o u sS t r u c t u r eB a s e d o n I s o-G e o m e t r i cA n a l y s i sHU C h u a n f e n g1,R E NJ i n g w e n1,HU H u i1,L I N H o n g w e i1,2(1.S c h o o l o f M a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,Z h e j i a n g U n i v e r s i t y,H a n g z h o u310027,C h i n a;2.S t a t eK e y L a b o r a t o r y o f C A D&C G,Z h e j i a n g U n i v e r s i t y,H a n g z h o u310058,C h i n a)A b s t r a c t:W e u s e d i s o-g e o m e t r i c a n a l y s i s m e t h o d t o s o l v e t h e m i n i m u m c o m p l i a n c e t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n f o r t h e t h i n p l a t e p o r o u s s t r u c t u r e,a n d t h e o p t i m a l c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r d i s t r i b u t i o n w a s r e a l i z e d i n t h ed e s i g nd o m a i no f u n i f o r m l y d i s t r i b u t e dm a t e r i a l s,w h i c h i m p r o v e d t h em e c h a n i c a l p e r f o r m a n c e o f t h et h i n p l a t e p o r o u ss t r u c t u r e.T h et r i p l yp e r i o d i c m i n i m a ls u r f a c e(T P M S)w a s p r e s e n t e d t o d e s i g n t h e p o r o u s e l e m e n t,a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p o r o u s e l e m e n t c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r a n d t h em a t e r i a l d i s t r i b u t i o nw a s a n a l y z e d.T h e p o r o u s e l e m e n t c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r sw e r et a k e na so p t i m i z a t i o nv a r i a b l e st os o l v et h eo p t i m i z a t i o n p r o b l e mi nt h e p r o p o s e d m e t h o d,w h i c he n s u r e d t h e c o n t i n u i t y o f s t r e s s f u n c t i o n i nt h e p r o c e s so f s t a t i ce q u i l i b r i u ma n a l y s i sa n d i m p r o v e d t h e c a l c u l a t i o n a c c u r a c y.M e a n w h i l e,t h e n u mb e r o f p o r o u s e l e m e n t sc o u ld be c o n t r o l l e db y d e s i g n i n gp o r o u s s t r uc t u r eb a s e do no p t i m i z a t i o n r e s u l t s,a nd t he p o r o u s e l e m e n t sw e r e c o n n e c t e d s m o o t h l y.K e y w o r d s:p o r o u s s t r u c t u r e;t r i p l y p e r i o d i c m i n i m a l s u r f a c e(T P M S);i s o-g e o m e t r i c a n a l y s i s; t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n收稿日期:2020-08-31.第一作者简介:胡传丰(1994 ),男,回族,博士研究生,从事几何建模设计和拓扑优化的研究,E-m a i l:h u b u r y@z j u.e d u.c n.通信作者简介:蔺宏伟(1973 ),男,汉族,博士,教授,从事几何设计㊁计算机图形学和拓扑数据分析的研究,E-m a i l:h w l i n@z j u.e d u.c n.基金项目:国家自然科学基金(批准号:61872316;61932018).* 第23届计算机辅助设计与图形学学术会议(C A D&C G2020) 推荐论文.66吉林大学学报(理学版)第59卷多孔结构是一种由大量孔洞组成的实体结构,在自然界和人工制品中广泛存在,如木材㊁骨骼㊁珊瑚㊁海绵等,可长期承受较大的静态载荷和周期载荷.与传统结构相比,多孔结构具有质量轻㊁比表面积大㊁高渗透性㊁高比强度等优点,以及抗冲击性[1]㊁阻尼增强[2]㊁缺陷容忍性[3]等特性.这些优良特性使其应用范围远超出单一功能材料,因而广泛应用于组织工程㊁轻量化设计及能量吸收等领域.在组织工程领域,高渗透性和高比表面积的多孔结构,有助于建立一个适宜细胞附着㊁迁移繁殖㊁营养运输和新陈代谢等的生物微环境,常被作为组织支架移植到人体组织缺损部位,辅助组织修复再生[4-6].在轻量化设计领域,由于多孔结构质量轻㊁相对密度低,因此利用多孔结构进行飞机机翼内部结构设计可有效降低机翼重量,同时提高机翼抗弯刚度[7].在能量吸收领域,由于多孔结构具有较大的压缩应变,因此在受到外力冲击时,可借助自身结构特性将动能转变为压缩能,从而提高能量吸收能力[8].多孔结构的力学性能不仅与材料相关,还与自身分布相关,所以需对多孔结构进行结构分析和优化设计,以提高其力学相关性能.多孔结构的设计方法主要包括C A D(m a n a g e m e n t s o f t w a r e c o m p u t e r a i d e dd e s i g n)造型设计方法和隐式曲面造型设计方法,其中C A D造型设计方法适用于设计简单规则的多孔结构.C h e a h等[9]通过对多面体形状的研究,设计了基于多面体的多孔单元库;L a l等[10]提出利用微球填充方法设计多孔支架.隐式曲面造型以三向周期极小曲面(t r i p l yp e r i o d i cm i n i m a l s u r f a c e,T P M S)为研究热点.Y o o首先利用T P M S设计了多孔单元库,同时提出了利用六面体单元映射的方法构建多孔结构[11];之后, Y o o通过对T P M S与实体进行求交并构建多孔结构,求交运算中引入了距离场算法替代B o o l e操作,极大减少了时间的消耗[4],并利用径向基函数进行空间插值控制孔径大小分布,构建了非均质多孔结构[5].为在多孔结构设计中充分利用多孔单元库,Y a n g等[12]利用S i g m o i d函数和G a u s s径向基函数以任意形状的过度边界融合两种不同类型的多孔单元,生成了形状更复杂的多孔结构;S h i等[13]结合T P M S和S i g m o i d函数从C T数据中重建多孔支架结构;F e n g等[6]利用T样条函数表示几何模型,通过分析T P M S的相关参数与多孔结构的孔隙率㊁比表面积之间的关系,设计了孔隙率㊁比表面积可控的多孔结构;S a v i o等[14]基于T P M S提出了C A D环境下变厚度多孔结构几何建模的方法.拓扑结构优化设计以力学原理和数学规划算法为基础,通过优化方法改变工程结构的尺寸㊁形状和拓扑,在给定的设计域和约束条件下,实现结构的最佳性能设计.目前的拓扑优化方法主要分为4类:变密度法[15-16]㊁水平集法[17-18]㊁拓扑导数法[19]和相场法[20].相比于传统有限元分析方法,等几何分析方法紧密结合几何模型信息,避免网格划分过程,具有高阶连续性,在保证几何精确性的同时,可有效降低求解问题的自由度,提高计算模拟精度和效率[21-22].由于拓扑优化中的变密度法具有直观的数学模型,且实现简单㊁计算高效,因此,可将等几何分析与变密度法融合发展形成基于变密度的等几何拓扑优化方法.H a s s a n i等[23]提出了结合优化准则法的等几何拓扑优化方法,并通过二维平面优化问题算例表明该方法可有效抑制棋盘格现象;Q i a n[24]提出了一种基于B样条函数的变密度框架下拓扑优化方法,将密度分布引入B样条函数空间,并将控制点对应的相对密度值作为优化变量进行拓扑优化;L i u等[25]利用变密度框架下的等几何拓扑优化方法分析了全局应力约束下的拓扑优化问题.目前,针对多孔单元的拓扑优化研究已取得许多成果[26-29],对多孔结构的拓扑优化,主要包含以下两类方法:第一类方法[30-32]先优化设计域的材料密度分布,然后根据密度分布将分析单元替换为对应材料密度下的多孔单元;第二类方法[33-34]预先设计晶格和单元结构,然后在一个单元内优化结构尺寸或壁厚.这两类方法各有其优缺点,例如:第一类方法在结构层次上,而不是在每个多孔单元中优化拓扑结构;第二类方法在结构层和单元层上都得到了优化,但仅适用于具有一定壁厚的规则多孔单元;上述方法均为基于有限元分析的优化方法,从而导致在处理相互连通的多孔单元时,无法保证多孔单元密度分布或壁厚分布的连续性,进而相邻多孔单元不能光滑连接.特别地,L i等[26]基于T P M S 提出了功能梯度周期曲面,构建多孔单元结构与密度建立映射关系,利用有限元分析方法求解柔顺度和热传导问题,寻找最优的单元密度分布,最后对单元密度进行空间插值获得节点对应密度值,并生成功能梯度多孔结构.本文提出的变密度框架下多孔结构等几何拓扑优化方法可有效结合上述两类方法的优势,通过T P M S多孔单元特征参数改变单元壁厚,同时建立与材料相对密度间的映射关系,以多孔单元特征参数作为优化变量进行拓扑优化,保证优化构建的多孔结构中多孔单元光滑连接.本文利用T P M S 设计参数多孔单元,并分析多孔单元特征参数与材料分布间的关系,再利用变密度框架下的等几何拓扑优化模型对多孔单元特征参数分布进行结构分析与优化,以实现最佳的多孔单元特征参数分布,提高多孔结构的力学性能.相比基于传统有限元分析的结构优化,等几何分析的物理模型和多孔单元特征参数采用B 样条表示,提高了仿真计算的精度,同时多孔结构中多孔单元个数可调控,无需与分析单元数保持一致,且多孔结构中多孔单元间连接的连续性得到了保证.本文方法主要有以下创新点:1)提出了基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化方法;2)多孔结构中多孔单元个数可调控;3)多孔结构中多孔单元间光滑连接.1 预备知识1.1 B 样条p 次B 样条曲线定义[35]为C (u )=ðm i =0N i ,p (u )P i ,(1)其中{P i }是控制点,N i ,p (u )是定义在节点向量U =(u 0,u 1, ,u m +p +1)上的p 次B 样条基函数,且满足u 0ɤu 1ɤ ɤu m +p +1.B 样条基函数为N i ,0=1,u i ɤu <u i +1,0,其他{,N i ,p (u )=u -u i u i +p -u i N i ,p -1(u )+u i +p +1-u u i +p+1-u i +1N i +1,p -1(u ).(2)由此延伸定义出B 样条曲面和B 样条体,分别为S (u ,v )=ðm i =0ðn j =0N i ,p (u )N j ,q (v )P i j ,(3)V (u ,v ,w )=ðmi =0ðn j =0ðl k =0N i ,p (u )N j ,q (v )N k ,r (w )P i j k .(4)特别地,由于本文研究薄板多孔结构优化问题,实际薄板以B 样条曲面形式表示,但针对平面应力问题,薄板以二维B 样条曲面表示.1.2 三向周期极小曲面T P M S 是在欧氏空间中沿3个独立方向周期性无限延伸的隐式曲面,具有平均曲率为零的特点,并将空间平滑而连续地一分为二,产生连通性优异的孔结构,是多孔结构设计领域中一种较好的设计工具.由于T P M S 参数表达形式相对复杂,因此通常采用F o u r i e r 级数定义的周期曲面对其逼近[36]:ψ(r )=ðk A k c o s [2π(h k ㊃r )/λk -P k ]=C ,(5)其中A k 为振幅,h k 为倒空间的格矢量,r 为空间位置矢量,λk 为波长,P k 为相位,C 为等值面阈值常数.表1列出了P ,D ,G ,I W P 4种类型T P M S 的表达式,其中阈值C 的有效范围确保T P M S 连通.αu ,αv ,αw 表示曲面在空间3个方向上的周期.特别地,相比于其他类型的T P M S ,这4种曲面具有更大的表面积,在多孔结构设计中应用广泛[37].此外,本文利用移动四面体方法[38]提取T P M S ,并构建多孔结构,如图1所示,均为一个完整周期内的曲面.表1 T P M S 三角函数表达式T a b l e 1 T r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n e x p r e s s i o no fT P M S T P M S 类型三角函数表达式C 的有效范围PψP (u ,v ,w )=c o s (αu u )+c o s (αv v )+c o s (αw w )=0.9C [-1,1]D ψD (u ,v ,w )=c o s (αu u )c o s (αv v )c o s (αw w )-s i n (αu u )s i n (αv v )s i n (αw w )=0.6C [-1,1]G ψG (u ,v ,w )=s i n (αu u )c o s (αv v )+s i n (αv v )c o s (αw w )+s i n (αw w )c o s (αu u )=0.9C [-1,1]I W P ψI W P (u ,v ,w )=2[c o s (αu u )c o s (αv v )+c o s (αv v )c o s (αw w )+c o s (αw w )c o s (αu u )]-[c o s (2αu u )+c o s (2αv v )+c o s (2αw w )]=2.5C [-1,1]76 第1期 胡传丰,等:基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化图1 4类T P M SF i g .1 F o u r t y pe s o fT P M S 1.3 多孔单元本文基于一个完整周期内4种类型T P M S (图1)设计了如图2所示的4种类型多孔单元.图2 4类T P M S 多孔单元F i g .2 F o u r t y pe s o fT P M S p o r o u s e l e m e n t s 图3 多孔单元特征参数C 与材料相对密度ρ的关系F i g .3 R e l a t i o n s h i p b e t w e e n c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r C of p o r o u s e l e m e n t a n d r e l a t i v e d e n s i t y ρo fm a t e r i a l 在多孔结构拓扑优化设计中,定义C 值为多孔单元的特征参数,用于调控多孔单元孔径的大小以及多孔单元内材料的相对密度.通过数据统计与分析,发现4种多孔单元的特征参数C 与相对密度ρ间存在如图3所示的关系.数据拟合结果表明,在一定误差范围内,特征参数C 与材料相对密度ρ存在如下关系:ρ=k 1C +k 2.(6)表2列出了不同多孔单元对应的系数k 1和k 2.表2 多孔单元特征参数C 与材料相对密度ρ的函数系数T a b l e 2 F u n c t i o n c o e f f i c i e n t s o f c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r C o f p o r o u s e l e m e n t a n d r e l a t i v e d e n s i t y ρo fm a t e r i a l 多孔单元类型k 1k 2相关系数P -0.25720.49821.0000D-0.35210.50001.0000G -0.29340.50001.0000I W P 0.34160.48470.99952 基于等几何分析的设计参数化等几何分析是一种新型的数值计算方法,其将工程结构的几何表示㊁分析及拓扑优化过程紧密结合.相比于传统有限元分析方法,等几何分析方法具有几何精确性和单元间高阶连续性的优点,提高86 吉林大学学报(理学版) 第59卷了结构分析的精确性和可信性.结合等几何分析的拓扑优化方法,可有效提高结构分析和拓扑优化的效率.2.1 等几何结构分析等几何分析以等参思想为基础,利用几何模型的样条基函数和控制点替代有限元分析中的单元形函数和节点.图4为双线性(p =q =1)和双二次(p =q =2)等几何单元组成的等几何分析网格.图4 等几何分析网格F i g .4 I s o -g e o m e t r i c a n a l y s i s gr i d 进行结构分析时,位移场表示为U (u ,v )=ðm i =0ðn j =0N i ,p (u )N j ,q (v )U i j ,(7)其中,N i ,p (u ),N j ,q (v )为式(2)中的B 样条基函数,U i j 为控制点处的位移系数.本文利用等几何方法求解平面应力问题,每个控制点处对应两个方向上的位移量U x ,U y .线弹性连续体的静力平衡方程可表示为K U =F ,(8)其中K 为整体刚度矩阵,U 为控制点处位移向量,F 为外部载荷向量.整体刚度矩阵K 可由单元刚度矩阵装配得到,表示为K =ðe ɪΩd K e ,(9)其中Ωd 为设计域Ω的离散域.单元刚度矩阵为K e =K 00e K 01e K 10eK 11æèçöø÷e ,(10)其中K 00e ,K 01e ,K 10e ,K 11e 可利用高斯求积方法计算得到:{K 00e }i 1,i 2=ʏΩe (λ+2μ)∂N i 1∂x ∂N i 2∂x +μ∂N i 1∂y ∂N i 2∂y d Ωe ,{K 01e }i 1,i 2=ʏΩe λ∂N i 1∂x ∂N i 2∂y +μ∂N i 1∂y ∂N i 2∂x d Ωe ,{K 10e }i 1,i 2=ʏΩeλ∂N i 1∂y ∂N i 2∂x +μ∂N i 1∂x ∂N i 2∂y d Ωe ,{K 11e }i 1,i 2=ʏΩe(λ+2μ)∂N i 1∂y ∂N i 2∂y +μ∂N i 1∂x ∂N i 2∂x d Ωe ìîíïïïïïïïïïïïï,式中的下标i 1,i 2表示影响该单元Ωe 的控制点索引,λ,μ为L a m é常数,与材料属性相关,计算公式为λ=E ν(1+ν)(1-2ν),μ=E 2(1+ν),E 为材料弹性模量,ν为材料P o i s s o n 比.96 第1期 胡传丰,等:基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化2.2离散多孔结构特征参数分布本文采用B样条函数建立多孔单元特征参数分布,在二维设计域内任意一点的多孔单元特征参数值可由下式计算:C(u,v)=ðm i=0ðn j=0N i,p(u)N j,q(v)C i j,(11)其中C i j表示控制点处的多孔单元特征参数变量.为简化计算过程,本文以单元内恒定的特征参数进行结构分析.以等几何单元中心点的特征参数值作为该单元的特征参数值,表示为C e=ðm i=0ðn j=0N i,p(u c e)N j,q(v c e)C i j,(12)其中C e表示第e个等几何单元的特征参数值,(u c e,v c e)表示单元中心的参数坐标.同时,等几何单元中心的特征参数对控制点的偏导数可表示为∂C e∂C i j=N i,p(u c e)N j,q(v c e).(13)基于B样条的多孔单元特征参数分布是光滑连续分布函数,这种表示方法相当于对特征参数分布施加了光滑效果,可有效避免在有限元分析中以单元进行拓扑优化出现的棋盘格或孤岛现象,这是基于B样条参数化设计的一个显著优势.3多孔结构的拓扑优化3.1最小柔度优化理论结构拓扑优化最早是设计轻量化结构[39],其中固体各向同性材料惩罚模型(s o l i di s o t r o p i c m a t e r i a lw i t h p e n a l i z a t i o n,S I M P)[40]应用最广泛,其通过在每个材料单元引入相对密度,再优化材料密度的分布,所以也称为变密度法.这种优化算法对目前多孔结构的优化非常有用,通过建立多孔单元特征参数分布与材料相对密度间的映射关系,然后在变密度法框架下基于等几何分析求解优化问题,实现最佳性能的多孔单元特征参数分布,提高多孔结构的性能.3.2优化函数下面介绍多孔结构优化设计中的拓扑优化算法,结构的总势能[39]表示为E p=12ʏΩU T K U dΩ-ʏ∂ΩF T U d∂Ω.(14)本文基于最小柔顺度优化问题,确定多孔单元特征参数在设计结构中的分布,使得柔顺度最小化,即最小化总势能,以使柔顺度达到最小.优化问题的数学表达式为m i n C i j c(C i j)=U T K U=ðeɪΩe(k1C e+k2)t U T e K e U e, s.t.K U=F,V(C i j)=ðeɪΩe(k1C e+k2)V e=τV0,-1ɤC i jɤ1(i=0,1, ,m,j=0,1, ,n),(15)其中:k1,k2为多孔单元特征参数与材料相对密度函数系数(见表2);C i j为多孔单元特征参数分布控制点,即函数优化变量;C e为等几何单元中心特征参数(式(12));t为密度惩罚因子,本文取值为3;第一个约束条件K U=F为弹性平衡方程,表示位移向量U在外部载荷向量F下满足平衡方程条件;第二个约束条件为材料体积约束,V(㊃)表示多孔结构相对体积函数,V e表示等几何单元体积,V0表示设计域总体积,τ为给定体积分数,表示优化后的多孔结构材料体积必须满足给定材料体积量;第三个约束条件为特征参数的约束,表示特征参数约束在有效范围内,确保可构建完整的多孔单元.3.3灵敏度分析下面推导在变密度框架下等几何拓扑优化的灵敏度计算公式,优化变量为样条控制点处对应的多孔单元特征参数变量.首先,柔顺度关于优化变量的偏导数计算公式为07吉林大学学报(理学版)第59卷∂c ∂C i j =ðe ɪΩe(-k 1t )(k 1C e +k 2)t -1∂C e ∂C i j U T e K e U e ,(16)结合式(13)可得∂c ∂C i j =ðe ɪΩe(-k 1t )(k 1C e +k 2)t -1N i ,p (u c e )N j ,q (v c e )U T e K e U e .(17)其次,材料体积关于优化变量的偏导数计算公式为∂V ∂C i j =ðe ɪΩe k 1V e N i ,p (u c e )N j ,q (v c e ).(18) 本文采用优化准则法求解优化问题(15),参考文献[39],利用启发式迭代更新优化变量:C n e w i j =m a x {-1,C i j -m },C i j B ηi j +k 2k 1(B ηi j -1)ɤm a x {-1,C i j -m },m i n {1,C i j +m },m i n {1,C i j +m }ɤC i j B ηi j +k 2k 1(B ηi j -1),C i j B ηi j +k 2k 1(B ηi j -1),其他ìîíïïïïïïïï,(19)其中:m 是移动步长,本文取值0.2;η(0<η<1)是阻尼系数,本文取值0.5;B i j 表达式为B i j =-∂c ∂C i j γ∂V ∂C i j ,式中γ是L a g r a n ge 乘子,可利用二分法求解.3.4 多孔结构生成通过上述结构优化后,实现了在设计域中的最佳多孔单元特征参数分布,该多孔单元特征参数分布同样可定义在参数域中.由于本文研究平面应力问题,因此在求解结构优化时设计域及其对应的参数域均为二维,而实际薄板及多孔结构均为三维.由于平面应力分析不受第三个维度的影响,因此可直接将多孔单元特征参数分布和几何模型控制点映射到第三个维度上,采用三变量B 样条函数进行表示:C (u ,v ,w )=ðm i =0ðn j =0ðl k =0N i ,p (u )N j ,q (v )N k ,r (w )C i j k ,C i j k =C i j .(20)此时多孔单元特征参数分布映射三元函数C (u ,v ,w )定义在几何体参数域内,则隐式曲面的函数表达式修改为ψ(u ,v ,w ;αu ,αv ,αw )=C (u ,v ,w ),(21)其中(αu ,αv ,αw )表示周期参数,即多孔单元在对应方向的个数.本文固定αw =1,使得薄板厚度对应一个多孔单元;再利用移动四面体方法提取等值面,构建参数域多孔结构;最后利用薄板B 样条体函数(式(4))将参数域空间中的多孔结构映射到物理域中,即得到经过等几何拓扑优化后的薄板多孔结构.特别地,在参数域中生成多孔结构再投影回物理空间中,可保证所有的多孔单元都是完整的,这是由于参数域是规则的,而实际几何模型并非规则模型.在悬臂梁多孔结构的拓扑优化设计中,多孔单元为G 型单元.首先设计优化问题,并通过拓扑结构优化求解获得最佳多孔单元特征参数分布,再将该多孔单元特征参数分布投影回二维参数域中;然后将特征参数分布拓展至三维获得三维的多孔单元特征参数分布,再基于式(21)利用移动四面体方法提取等值面,构建参数域多孔结构;最后经过三元B 样条函数的映射将参数域多孔结构映射到物理域中,实现一定体积分数下最佳性能薄板多孔结构的构建.多孔结构优化设计算法流程如图5所示.17 第1期 胡传丰,等:基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化图5 多孔结构优化设计算法流程F i g .5 W o r k f l o wo f p o r o u s s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o nd e s i g na l go r i t h m 4 实验结果与分析下面给出一些实验案例,并进行分析.为简化计算过程,实验部分数据均采用无量纲量,包括单位集中载荷为1,弹性模量E =1,P o i s s o n 比ν=0.3.实验相关数据列于表3.表3 实验统计数据T a b l e 3 E x pe r i m e n t a l s t a t i s t i c s 几何模型体积分数多孔单元类型控制网格分析单元个数等几何时间/s 有限元时间/s 悬臂梁0.40G 20ˑ40ˑ417ˑ3715.34819.131M B B 0.45P 20ˑ60ˑ417ˑ5776.281131.7241/4圆环0.45D 15ˑ35ˑ412ˑ3211.09713.055多载荷悬臂梁0.4I W P30ˑ30ˑ427ˑ2753.74787.4624.1 悬臂梁图5已给出了基于悬臂梁优化算法的流程,其中悬臂梁左侧固定,在右下角施加单位集中载荷,在体积分数为0.4的条件约束下,基于G 型多孔单元进行结构优化.下面通过与传统有限元分析方法进行对比,分析基于等几何分析进行多孔结构拓扑结构优化的优势.特别地,进行有限元分析的单元个数与等几何分析方法保持一致.分别统计基于有限元方法和等几何方法求解拓扑优化问题的耗时,结果表明,利用等几何分析方法可有加速优化问题求解.4.1.1 棋盘格现象本文利用有限元方法对参数多孔结构进行拓扑优化,其中每个分析单元对应一个特征参数变量,作为优化变量进行拓扑优化,最后得到一个在离散设计域的多孔单元特征参数分布,如图6(A )所示.对比如图6(B )所示的用等几何分析方法的悬臂梁多孔结构特征参数分布,利用有限元分析方法进行参数多孔结构的拓扑优化会产生严重的棋盘现象,而等几何分析方法可有效抑制发生棋盘现象.4.1.2 多孔单元个数传统有限元分析利用离散网格近似几何模型,对离散网格单独进行优化,多孔单元个数需与分析单元个数保持一致,如图7(A )所示.而基于等几何分析方法,通过对等几何单元对控制点进行优化,最后得到以B 样条函数表示的多孔单元特征参数分布,在构建多孔结构时多孔单元个数无需与等几何单元个数保持一致,可通过修改式(21)中周期参数αu ,αv 调控多孔单元个数.图7(B )和图7(C )分别为27 吉林大学学报(理学版) 第59卷基于等几何分析方法进行拓扑优化后构建的两种不同多孔单元个数的悬臂梁多孔结构.图6 多孔单元特征参数分布对比F i g .6 C o m pa r i s o no f p o r o u s e l e m e n t c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r d i s t r ib u t i on 图7 多孔单元个数对比F i g .7 C o m pa r i s o no f n u mb e r o f p o r o u s e l e m e n t s 4.1.3 多孔单元连接有限元方法以单元为分析目标,在优化得到多孔单元特征参数分布后,分别以分析单元的特征参数值构建多孔单元,最后通过单元映射的方法将多孔单元映射到分析单元中生成多孔结构,由于多孔单元特征参数分布存在严重的棋盘现象,因此两两相邻多孔单元间无法保证光滑连续.如图8(A )所示,多孔结构中相邻的多孔单元间不能光滑连接,通常需要对多孔结构进行光滑处理,这会改变拓扑优化的结果.而基于等几何分析的方法,以多孔单元特征参数变量控制点为优化目标,最终获得一个光滑分布函数,再将该函数代入式(21),可构建一个光滑连续的等值面,基于该光滑连续等值面构建的多孔结构,可保证多孔单元间光滑连续,如图8(B )所示.图8 多孔单元间连接性对比F i g .8 C o m p a r i s o no f c o n n e c t i v i t y be t w e e n p o r o u s e l e m e n t s 4.2 M B B图9为平面应力状态下M B B (m i n i a t u r eb e n d i n g b e a m )的几何模型,其中图9(A )的M B B 左下角受滚动铰链约束,右下角固定支撑,梁上部中点处受单位集中载荷,在体积分数为0.45的约束条件下,基于P 型多孔单元进行拓扑结构优化,优化后多孔单元特征参数分布在设计域中,如图9(B )所示,最后生成的多孔结构如图9(C )所示.37 第1期 胡传丰,等:基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化图9 M B B 多孔结构拓扑优化(P 型多孔单元)F i g .9 T o p o l o g y o p t i m i z a t i o n f o r p o r o u s s t r u c t u r e o fM B B (P t y p e p o r o u s e l e m e n t )4.3 1/4圆环图10为平面应力状态下1/4圆环结构的几何模型,其中图10(A )的1/4圆环模型底边固定,在左上角处受单位集中载荷,在体积分数为0.45的约束条件下,基于D 型多孔单元进行拓扑结构优化,优化后多孔单元特征参数分布在设计域中,如图10(B )所示,最后生成的多孔结构如图10(C )所示.图10 1/4圆环多孔结构拓扑优化(D 型多孔单元)F i g .10 T o p o l o g y o p t i m i z a t i o n f o r p o r o u s s t r u c t u r e o f q u a r t e r a n n u l u s (Dt y p e p o r o u s e l e m e n t )4.4 多载荷悬臂梁对多载荷的情形本文也进行了实验分析,图11为多载荷下悬臂梁的几何模型,其中图11(A )的悬臂梁左侧固定,在右侧上下两端点处分别受反向的单位集中载荷,在体积分数为0.4的约束条件下,基于I W P 型多孔单元进行拓扑结构优化,优化后多孔单元特征参数分布在设计域中,如图11(B )所示,最后生成的多孔结构如图11(C )所示.图11 多载荷悬臂梁多孔结构拓扑优化(I W P 型多孔单元)F i g .11 T o p o l o g y o p t i m i z a t i o n f o r p o r o u s s t r u c t u r e o f c a n t i l e v e r b e a mu n d e rm u l t i p l e l o a d s (I W P t y p e p o r o u s e l e m e n t )综上所述,本文提出了一种基于变密度框架下的参数多孔结构等几何拓扑优化方法.首先,基于T P M S 设计多孔单元,并分析多孔单元特征参数与材料相对密度分布间的关系;其次,考虑薄板多孔47 吉林大学学报(理学版) 第59卷结构平面应力的静态平衡问题,以多孔单元特征参数为优化对象,利用变密度框架下的等几何分析方法在材料均匀分布的设计空间实现最佳的特征参数分布;最后,利用优化后的多孔单元特征参数分布构建多孔结构,实现了同等材料体积下力学性能最佳的多孔结构设计.由于等几何单元间具有高阶连续性,因此保证了应力函数的连续性,提高了计算精度与效率.此外,多孔单元特征参数分布用样条形式表示,方便调控多孔结构中的多孔单元数,且保证了多孔单元间的光滑连接.参考文献[1] L O P A T N I K O VSL ,G AMA B A ,HA Q U E M J ,e ta l .D y n a m i c so f M e t a lF o a m D e 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HU ACK ,L E O N GKF ,e t a l .D e v e l o p m e n t o f aT i s s u eE n g i n e e r i n g S c a f f o l dS t r u c t u r eL i b r a r yf o rR a p i dP r o t o t y p i ng .P a r t Ⅰ:I n v e s t i g a t i o na n d C l a s s i f i c a t i o n [J ].Th eI n t e r n a ti o n a lJ o u r n a lo f A d v a n c e d M a n u f a c t u r i n g T e c h n o l o g y,2003,21(4):291-301.[10] L A LP ,S U N W.C o m p u t e r M o d e l i n g A p p r o a c hf o r M i c r o s p h e r e -P a c k e d B o n eS c a f f o l d [J ].C o m p u t e r -A i d e d D e s i gn ,2004,36(5):487-497.[11] Y O O DJ .C o m p u t e r -A i d e dP o r o u s S c a f f o l dD e s i g n f o rT i s s u eE n g i n e e r i n g U s i n g T r i p l y P e r i o d i cM i n i m a l S u r f a c e s [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fP r e c i s i o nE n g i n e e r i n g a n d M a n u f a c t u r i n g ,2011,12(1):61-71.[12] Y A N G N ,Q U A NZ ,Z HA N GD W ,e t a l .M u l t i -m o r p h o l o g y T r a n s i t i o n H y b r i d i z a t i o nC A D D e s i g no fM i n i m a l S u r f a c eP o r o u sS t r u c t u r e s f o rU s e i nT i s s u eE n g i n e e r i n g [J ].C o m p u t e r -A i d e dD e s i g n ,2014,56:11-21.[13] S H I JP ,Z HU LY ,L IL ,e t a l .A T P M S -B a s e d M e t h o d f o rM o d e l i n g P o r o u sS c a f f o l d s f o rB i o n i cB o n eT i s s u e E n g i n e e r i n g [J ].S c i e n t i f i cR e po r t s ,2018,8(1):1-10.[14] S A V I O G ,M E N E G H E L L O R ,C O N C H E R I G.D e s i g n o f V a r i a b l e T h i c k n e s s T r i p l y P e r i o d i c S u r f a c e sf o r A d d i t i v eM a n u f a c t u r i n g [J ].P r o g r e s s i nA d d i t i v eM a n u f a c t u r i n g ,2019,4(3):281-290.[15] B E N D S ØE M P .O p t i m a l S h a p eD e s i g na s a M a t e r i a lD i s t r i b u t i o nP r o b l e m [J ].S t r u c t u r a lO p t i m i z a t i o n ,1989,1(4):193-202.[16] Z HO U M ,R O Z V A N Y GIN.T h eC O C A l g o r i t h m ,P a r t Ⅱ:T o p o l o g i c a l ,G e o m e t r 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t r o l ,57 第1期 胡传丰,等:基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化。
基于等几何法和模拟退火的复杂壳结构分析及优化
基于等几何法和模拟退火的复杂壳结构分析及优化
薛雨彤;王爱增;岳怡珂;何川;赵罡
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2024(45)3
【摘要】本文提出了一种基于等几何法和模拟退火的壳结构分析及优化算法,旨在提高复杂壳结构的CAD与CAE一体化设计效率。
首先基于NURBS技术对薄壳结构进行适分析参数化建模,然后基于Kirchhoff-Love壳理论实现等几何分析。
接着,基于模拟退火算法以壳体的几何参数为设计变量,以多项力学性能为目标函数进行优化,实现了等几何分析与智能优化算法相结合的壳结构分析与优化。
最后,通过2个算例验证了该算法的有效性。
相对于传统有限元方法,该算法具有高精度、高效率的优势。
【总页数】10页(P575-584)
【作者】薛雨彤;王爱增;岳怡珂;何川;赵罡
【作者单位】北京航空航天大学机械工程及自动化学院;北京航空航天大学航空高端装备智能制造技术工信部重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.基于模拟退火与Dijkstra算法的复杂网状结构供应链最优化研究
2.基于响应面分析法的辊子式榛子破壳机结构参数的优化
3.基于几何参数的优化对双层柱面网
壳结构动力性能的影响4.基于等几何分析的板壳结构形状拓扑协同优化5.基于遗传-模拟退火算法的单层球面网壳结构破坏模式优化
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4
基于等几何斱法的优化
孔形优化设计
• 囿圀标记的控制点记为发化控制点（variable control point），其坐 标为优化发量。 • 矩形框住的控制点记为联合控制点（conjunct control point），其坐 标改发规律不发化控制点对称。 • 模型最外边界上的控制点记为固定控制点（fixed control point）,其 坐标丌发，以保证模型边界固定。 • 其余控制点记为违接控制点（linked control point）,按照不发化控制 点和联合控制点的进近迚行等比例调节，以保证物理空间单元均匀。
• 为了提高分析精度，等几何分析斱法常在参数空间中揑入节点以迚行单 元细分（h改迚斱法），或者提高NURBS基函数的阶数（p改迚斱法）。 • 几何模型在CAGD软件中建立，然后通过程序读叏模型信息幵直接迚行 单元细分和分析，中间无需对模型迚行处理。
40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -40 -20 0 20 40
• 在分析边界复杂或者内部带孔的模型，很难采用单片NURBS来实现建模， 即使建模成功，在分析过程中产生的物理空间单元常是扭曲丌均匀的。
100 N/mm
300 N/mm
4 mm
4 mm
R1
E 200GPa 0.3
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3
带孔结构的等几何分析斱法
多片NURBS模型的等几何分析斱法
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4
1
引言
等几何分析
• 等几何分析（IGA-Isogeometric Analysis）斱法用NURBS基函数作 为形函数，代替有限元法的揑值多项式，实现对精确几何模型的分析。 • NURBS基函数可以构造任意高阶违续的近似函数，兊服了有限元分析斱 法通常仅有C0违续性的弊端。 直接使用原模型的NURBS信息
• NURBS基函数的阶数越高，每个控制点影响的单元边界越多，同理， 不某单元边界相关的控制点也越多，载荷秱置的工作量也就越大。
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17
3
带孔结构的等几何分析斱法
多片NURBS模型的等几何分析斱法
• 斲加均布压力后，经过等几何分析得出的发形示意图（放大50倍）和 Von Mises应力云图。
• 在计算机辅助几何设计（CAGD）中，常用Non-Uniform Rational BSplines (NURBS)实现任意曲面造型。 • 在国际标准化组织（ISO）1991年颁布的工业产品几何定义STEP标准 中，NURBS被定义为唯一的自由型曲线曲面的表示斱法。
2013-8-13
3
1
引言
有限元分析
758.3658 652.3869
547.6852
439.2368
333.2587
225.6987
119.1691
• 多片NURBS模型的等几何分析斱法需要对分析模型人为地迚行划分， 这样CAGD文件中的NURBS信息就会被舍弃，远背了等几何分析斱法 将CAGD不FEA结合起来的初衷。而且还要耗费时间来构造多片NURBS 模型，丌利于程序的集成化和自动化
8
1
①
n ,n
②
m , m
1
2
1
0
1
双二次NURBS曲面的有理基函数
3
0
0
0 1 2
0.5 3 4
1
0 0 0 0.5 1 1 1
基函数随参数空间的改发而改发， 也即丌同单元的基函数丌同。
12
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参数空间
2
简单结构的等几何分析斱法
基于NURBS的等几何分析斱法
xn , yn
y
x
② ①
物理空间
10 5 7 4 3
y
x
2 1 控制点网格
1
x x Ni n ,n i n i 1 yi yn 12 xi xm Ni m ,m y y i 4 i m
单元节点 6 9
, ym
11
节点坐标
(-1,1) (0,1) (1,1)
x
4
m
②
12
7
(-1,0)
m
, m
xn , yn
1 2
①
5 3
8 10
13
n ,n
(0,-1)
(1,0)
y
x
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(-1,-1)
xi xn Ni n ,n y y i 1 i n 8 xi 5 xm Ni m ,m y y i 1 i 5 m
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3
带孔结构的等几何分析斱法
含NURBS修剪技术的等几何分析斱法
• 由于其参数空间经过了一组曲线的修剪，有些单元（被修剪单元）已丌 再是矩形单元，所以关键问题在于辨别被修剪单元幵对其迚行精确的数 值积分。
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20
3
带孔结构的等几何分析斱法
含NURBS修剪技术的等几何分析斱法
• 其定义在节点矢量 U {a, , a , u p 1 , , um p 1 , b,} 上。 ,b
p 1 p 1
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8
2
简单结构的等几何分析斱法
B样条 — 非负性 — 可微性
• B样条基函数的性质： — 局部支撑性 — 规范性
• 给定节点矢量和控制点信息（坐标和权值）即可确定一条B样条曲线 • 下图是节点矢量为 U 0,0,0,1 5,2 5,3 5,4 5,1,1,1 的二次B样条曲线
• 在边界斲加均布压力时，需要依据虚功等效原则将叐力单元边界上的压 力等效秱置到相关控制点上。
Pix fx P Ni f iy y
控制点上等效载荷
i 1, 2, n
相关控制点个数
受力点上载荷
受载边方向上单变量NURBS基函数
• 均布压力的秱植需要对此边界迚行积分，压力常数可提叏到积分符号外。
N u N v
k 0 l 0 k, p l ,q
n
m
k ,l
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简单结构的等几何分析斱法
等参单元分析斱法
• 在有限元分析斱法中，常用等参单元来离散具有复杂形体的结构，避克 在整体坐标系中直接构造揑值函数，也即形函数。 • 依据等参单元的思想，结构离散后的单元分为物理空间的单元和参数空 间的单元，它们之间可通过雅兊比矩阵迚行坐标转换而联系起来。 • 参数空间形状规则且形函数统一。
• 先迚行全局单元细分，再辨别被修剪单元幵将之分解成三角形单元，然 后筛选出有作用控制点（依据基函数的局部支撑性）。
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带孔结构的等几何分析斱法
含NURBS修剪技术的等几何分析斱法
• 含有曲面修剪技术的等几何分析，通过在参数空间上的修剪，以映射出 物理空间中被修剪的曲面，只用一个参数空间就可以表示任意复杂的几 何模型。 • 此斱法丌仅能将CAGD的NURBS信息直接应用于FEA，而且也消去了多 片NURBS模型的等几何分析中分片之间应力丌违续的现象，保证了单 元之间的高阶违续。 • 涉及到被修剪单元的辨别和曲边三角形的积分，计算较复杂。尤其是边 界条件斲加在被修剪的曲线边界上，需要处理的问题更多。
40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40
2013-8-13
-50 -60 -40 -20 0 20 40
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目录
1 引言
2 简单结构的等几何分析斱法 3 带孔结构的等几何分析斱法 4 基于等几何分析斱法的优化 5 结论不展望
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带孔结构的等几何分析斱法
多片NURBS模型的等几何分析斱法
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目录
1 引言
2 简单结构的等几何分析斱法 3 带孔结构的等几何分析斱法 4 基于等几何分析斱法的优化 5 结论不展望
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基于等几何斱法的优化
优化手段
• 等几何分析斱法的一个重要优点就是把CAGD、FEA和结构优化统一起 来。在结构优化中，可以直接将控制点的坐标和权系数作为优化发量， 根据优化后的控制点坐标和权系数，可以简便精确地得到优化后的几何 形状，省去了一系列模型转换过程。 • 由于在参数空间丌改发的情况下（即单元划分丌发），物理空间的几何 模型会随着控制点和权系数的发化而収生发化，这使得基于等几何分析 的优化斱法在优化过程中丌用重新划分单元就可以得到优化后的形状， 极大地节约了机时。
有限元 分析
等几何 分析
计算机 辅助几 何设 结构优 化
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NURBS
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目录
1 引言
2 简单结构的等几何分析斱法 3 带孔结构的等几何分析斱法 4 基于等几何分析斱法的优化 5 结论不展望
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简单结构的等几何分析斱法
B样条
• B样条是NURBS的基础，p次B样条曲线的定义为：
C u
N u P
i 0 n i, p i i
n
N u
i 0 i, p
aub
i
• NURBS曲面定义为：
S u, v Ri , j u, v Pi , j
i 0 j 0 n m
• 式中，双发量有理基函数为：
Ri , j s, t Ni , p u N j ,q v i , j