函数图像及应用
函数图像的特点和应用
函数图像的特点和应用函数图像是数学中重要的概念之一。
简单来说，函数图像是指通过一个函数所能形成的所有点的集合所构成的曲线或直线。
对于每一个输入值，函数都会输出一个输出值。
函数图像将这些输入输出点联系在一起，形成了一个几何图形。
函数图像的特点在创建函数图像时，需要考虑一些因素，如定义域，值域，奇偶性，单调性，周期等。
这些因素决定了函数图像的特点，其中一些特点是：1. 函数图像的对称性函数图像可以有对称以及不对称的形式，其中最常见的是关于x轴或y轴对称。
例如，函数y = x²在原点处对称，而函数y = sin(x)在原点处不对称。
2. 函数的单调性从某个点开始，如果函数值单调上升或下降，则称为单调递增或递减。
函数图像在递增或递减中形成了一个连续的曲线。
3. 函数的周期性周期性是指函数以固定间隔重复的性质。
例如，正弦函数是一个周期性函数，其周期为2π。
周期可以用来研究函数的性质。
4. 函数的局部极值表示函数的最大值或最小值。
在函数图像上，局部极值为函数图像上的转折点，是函数图像上的重要特点。
5. 函数的渐进线函数图像的渐进线是指函数趋近于某个值时在某一个方向的极限曲线。
例如，在函数y = 1/x中，当x趋近于0时，y趋近于无穷大。
这条线便是x轴的渐进线。
应用函数图像不仅仅是学习数学的基础，还在科学和工程中经常被使用。
其中一些应用包括：1. 统计学在统计学中，函数图像经常被用来显示数据的变化。
例如，在管理学中，函数图像被用来表示市场需求。
2. 物理学物理学中的很多概念和理论都可以用函数图像表示。
例如，自由落体物体的高度和时间之间的关系，可以用二次函数y = 1/2 gt²表示，其中g是重力加速度，t是时间。
3. 工程学工程学中的很多信息可以通过函数图像来表示，例如，用调和振动函数来表示钢桥的弹性行为，或者使用多项式函数来建模。
4. 经济学宏观经济学中的一些关键概念也可以用函数图像来表示。
五个重要的初等函数的图像和性质
五个重要的初等函数的图像和性质：一、羊角线：y=|x-a|（1）图像性质：单调性，对称性，（2）应用：①方程|x-2|=2a-1有两个不等实根，求a 的取值范围；②|x-2|=(1/2)x+a 有两个不等实根，求a 的取值范围；③若y=|x-2a+1|是偶函数，求a 的取值范围；二、槽形线：y=|x-a|+|x-b|（1）图像：值域，单调性，对称性（2）应用：①方程|x-2|+|x-3|=2a-1有2个不等实根，求a 的取值范围；②|x-2|+|x-3|> 2a+1恒成立，求a 的取值范围；③若y=|x-2a|+|x-3a+1|是偶函数，求a 的值；④若|x-2|+|x-3|> 3，求a 的取值范围.三、Z 形线：y=|x-a|-|x-b|（1）图像：值域，单调性，对称性（2）应用：①方程|x-2|+|x-3|=2a-1仅有一个实根，求a 的取值范围；②若|x-2|-|x-3|> 2a+1恒成立，求a 的取值范围；③若y=|x-2a|-|x-3a+1|是奇函数，求a 的值；④若|x+2|-|x-3|> 3，求a 的取值范围.引申：无解问题，有解问题 四、最简分式函数：bc)ad 0,(c dcx b ax y ≠≠++= （1）图像：定义域、值域、单调性、对称性、对称中心原式化为：dcx c a d cx b d cx y c ad bc c ad ca ++=++-+=-)(，移项整理则有：)(c d cad bc c ad bc x d cx c a y --=+=---故有： ⅰ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠⎪⎩⎪⎨⎧=-=-≠≠++=;)2(),,()1(),0(的一切实数值域为渐近线为双曲线中心为c a y c a y c d x c a c d bc ad c d cx b ax y ； ⅱ当02>-cad bc 即ad bc >时，函数由反比例函数将对称中心按向量),(c a c d -=ξ平移，再经过横向的伸缩变换（102<-<c ad bc 时横向伸长，21cad bc -<时横向缩短）而得； ⅲ当20cad bc -<即ad bc <时，函数由反比例函数将对称中心按向量),(c a c d -=ξ平移，然后做关于X 轴的对称变换，再经过横向的伸缩变换而得（1||02<-<c ad bc 时横向伸长，||12cad bc -<时横向缩短）而得。
函数的图像及其性质研究与应用
函数的图像及其性质研究与应用函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在实际应用中，函数的图像是我们研究和分析函数性质的重要工具之一。
本文将从几个方面来探讨函数的图像及其性质的研究与应用。
一、函数的图像函数的图像是指函数在坐标系中的表示形式。
通常我们用平面直角坐标系来表示函数的图像，其中横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
函数的图像可以通过绘制函数的关系式来得到。
例如，对于一元函数y=f(x)，我们可以通过给定自变量x的值，计算相应的因变量y的值，然后在坐标系中绘制这些点，最终得到函数的图像。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性、周期性等特征。
例如，对于增函数来说，函数的图像随着自变量的增大而上升；对于周期函数来说，函数的图像在一个周期内重复出现。
二、函数的性质研究函数的性质研究是数学中的一个重要分支，它帮助我们深入理解函数的行为规律。
函数的性质包括但不限于增减性、奇偶性、周期性、单调性等。
1. 增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增减趋势。
对于一元函数来说，如果函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间内是增函数；如果函数在某个区间内的导数小于零，则函数在该区间内是减函数。
通过研究函数的增减性，我们可以确定函数的极值点和拐点，进而帮助解决最优化问题。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。
对于一元函数来说，如果函数满足f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，则函数是偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于纵轴对称。
奇偶性的研究有助于简化函数的运算和化简复杂的表达式。
3. 周期性周期函数是一类具有重复性质的函数。
对于周期函数来说，存在一个正数T，使得对于任意的x，函数满足f(x+T)=f(x)。
周期函数的图像在一个周期内重复出现，因此我们只需要研究一个周期内的行为即可。
函数及其图象函数的图像函数的图象
2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。
集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。
表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。
解析法用等式表示函数，如y=2x+1。
函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。
02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。
函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。
函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。
图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。
绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。
平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。
翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。
复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。
旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。
03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
高考数学中的函数图像变换及其应用
高考数学中的函数图像变换及其应用高考数学作为广大学生面临的一大挑战，其中数学分值占比不容忽视，其中函数图像变换的相关知识成为了考生备考重点之一。
本文将介绍这些知识，并探讨其相关应用。
一、函数图像的平移平移是函数图像变换中最基本的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置来实现的。
其中，平移的方向与距离是决定平移效果的两个重要因素。
对于一般的函数y=f(x)，将它的图像向右平移a个单位长度的方法如下：设新函数为y=f(x-a)，则各个点的实际位置为（x+a，y），根据平移的原理，需要将这些点在坐标系中向左平移a个单位长度即可实现。
类似地，将函数图像向左平移a个单位长度的方法就是y=f(x+a)，而将其上移或下移b个单位长度的方法分别为y=f(x)+b 和y=f(x)-b。
函数图像的平移主要应用于研究函数图像的周期性，以及改变其输出值区间、控制其渐进线等方面。
二、函数图像的伸缩伸缩也是函数图像变换中常用的一种方法，它是通过改变函数图像沿x、y轴的长度比例来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿x轴方向压缩k倍的方法如下：设新函数为y=f(kx)，则每个点的实际位置为（x/k，y），因此只需将这些点在坐标系中沿x轴方向伸缩k倍即可。
类似地，函数图像沿y轴方向压缩k倍的方法为y=kf(x)，而沿x、y轴方向伸缩k倍的方法分别为y=f(x/k)和y=kf(kx)。
函数图像的伸缩主要应用于研究函数图像的单调性、极值、导数等性质，以及折线图、曲线图的绘制等方面。
三、函数图像的旋转旋转是函数图像变换中相对复杂的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置和形状来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿原点逆时针旋转α角的方法如下：设新函数为y=f(xcosα+ysinα)，则原函数中每个点的坐标（x，y）将变为（xcosα+ysinα，-xsinα+ycosα），按照旋转的原理，需要将这些点在坐标系中沿逆时针方向旋转α角度即可实现。
函数图像的基本特征与应用
函数图像的基本特征与应用函数图像是数学中的重要内容之一，函数通常是指一个变量集合与另一个变量集合之间的映射关系。
在我们日常生活中，很多经济、科学和技术问题都可以用函数来描述。
通过观察函数图像的形态，我们可以发现很多特征，了解函数的性质，对于问题的解决有极大的帮助。
本文将介绍函数图像的基本特征与应用。
一、函数的基本特征函数图像的基本特征有：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和渐近线等。
1. 定义域和值域函数的定义域和值域是该函数的两个基本元素。
其中，定义域是指函数所能取到的所有自变量的取值范围，值域是指函数在定义域内所能取到的所有因变量的取值范围。
在函数图像中，定义域通常是横轴上的一段区间，值域通常是纵轴上的一段区间。
2. 单调性函数的单调性是指当定义域内的自变量增大时，函数值是单调递增还是单调递减。
如果函数单调递增，其图像将呈现出从左向右逐渐上升的曲线形态，如果函数单调递减，则图像将呈现出从左向右逐渐下降的曲线形态。
3. 奇偶性函数的奇偶性是指，当自变量变为相反数时，函数值是否改变。
如果函数在变化后值不变，则称函数为偶函数，反之为奇函数。
偶函数的图像通常呈现出轴对称的形状，奇函数的图像通常呈现出中心对称的形状。
4. 周期性函数的周期性是指，如果存在一个正数T，使得对于所有自变量x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数就具有周期T。
周期函数的图像通常呈现出一段重复出现的形态，可以用周期推断函数的性质。
5. 渐近线当函数的定义域趋于无穷时，函数图像可能会趋于一条直线，这个直线称为函数的渐近线。
函数的渐近线可以判断函数的增长趋势和极限值。
二、函数图像的应用函数图像的应用非常广泛，既可以用于科学和工程领域中的建模，也可以用于纯数学研究。
以下是几个常见的应用。
1. 数值计算我们可以用函数图像的形态来计算函数在某些特定点的值。
当自变量x取某一具体值时，函数图像的纵坐标即是函数的值。
同时，我们还可以用函数图像的单调性、奇偶性等特征来进行加速计算，这对于数据密集的计算任务有很大的优化效果。
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/11/28
29
解： 由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
2019/11/28
21
解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
2019/11/28
11
解： 即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
2019/11/28
12
解：
函数、方程、不等式 以及它们的图像
2019/11/28
1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
2019/11/28
2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
2019/11/28
32
（2）对于数列 {x n } ，若
一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用
一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用一次函数是数学中常见的一种函数类型，它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为已知值，x和y为自变量和因变量。
在这篇文章中，我们将讨论一次函数的函数图像以及如何使用方程解析解来解决实际应用问题。
一、一次函数的函数图像一次函数的函数图像是一条直线，其斜率确定了直线的倾斜程度，截距则决定了直线与y轴的交点。
根据斜率的正负，可以判断直线是上升还是下降。
下面我们来看几个具体的例子。
1. 实例一：y = 2x + 1这个函数表示了一个斜率为2，截距为1的直线。
根据斜率的正值，我们知道这条直线上升。
当x增加1个单位时，y增加2个单位。
当x减小1个单位时，y减小2个单位。
通过这些关系，我们可以画出该函数的函数图像。
2. 实例二：y = -3x + 2这个函数表示了一个斜率为-3，截距为2的直线。
根据斜率的负值，我们知道这条直线下降。
当x增加1个单位时，y减小3个单位。
当x减小1个单位时，y增加3个单位。
同样地，我们可以通过这些关系画出该函数的函数图像。
通过观察这些例子，我们可以发现直线的倾斜程度（斜率）以及它与y轴的交点（截距）等信息可以从一次函数的解析解中推导出来。
这样，我们可以在解析解的基础上直观地了解一次函数的函数图像。
二、一次函数方程解析解的实际应用一次函数的解析解除了可以用来绘制函数图像之外，还可以应用于解决实际问题。
我们将通过以下两个实际应用问题来说明。
1. 实例一：销售收入问题假设一个公司以每件产品x销售价y的方式进行销售。
已知该公司每个月的固定成本是1000元，每件产品的可变成本是30元。
我们希望找到销售多少件产品时，公司能够实现盈亏平衡。
根据以上信息，我们可以写出一次函数的方程：总收入 = 总成本根据题意，总收入为yx，总成本为1000 + 30x。
将它们相等并整理方程，可得：yx = 1000 + 30x解这个一次方程，我们可以求得x的解析解。
函数的图像与性质
函数的图像与性质函数是数学领域中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的图像是指函数的输入与输出之间的关系在坐标平面中所形成的图形。
函数的图像不仅反映了函数的性质，还能帮助我们更好地理解和应用函数。
一、函数的图像函数的图像可以通过绘制函数的图表或者绘制函数的曲线来展示。
在绘制函数的图像时，我们通常使用直角坐标系，其中横轴表示函数的输入，纵轴表示函数的输出。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过选取不同的x值，计算出对应的f(x)值，并将这些点在坐标平面上连接起来，就得到了函数f(x) = x^2的图像。
这个图像是一个抛物线，开口朝上，并且经过点(0,0)。
二、函数的性质函数的图像可以反映函数的一些重要性质，例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数的输入可能取值的范围，而值域是指函数的输出可能取值的范围。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的定义域和值域。
2. 奇偶性：一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = -f(x)；一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的奇偶性。
3. 单调性：一个函数在其定义域内的某个区间上是增函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)；一个函数在其定义域内的某个区间上是减函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) > f(x2)。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的单调性。
三、函数图像的应用函数的图像不仅仅是一种美观的几何形状，它还能帮助我们更好地理解和应用函数。
1. 函数的最值：通过观察函数的图像，我们可以确定函数的最大值和最小值。
最大值和最小值对于解决实际问题和优化函数的应用非常重要。
2. 函数的零点：函数的零点是指使得函数等于零的输入值。
在函数的图像上，零点对应的是函数与横轴的交点。
函数图像ppt课件
03
描点法
根据函数表达式，在坐标 系中逐个描出对应的点(x, y)，然后用平滑的曲线将 这些点连接起来。
计算法
利用数学软件或计算器， 输入函数表达式，自动生 成函数图像。
表格法
根据函数表达式和已知数 据，制作表格，然后在坐 标系中根据表格数据绘制 出函数图像。
函数图像的观察与分析
观察图像形状
通过观察函数的图像，可以初 步判断函数的类型（如一次函 数、二次函数、三角函数等）
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
复合函数的图像
复合函数的定义与性质
总结词
理解复合函数的定义与性质是绘制和分 析其图像的基础。
VS
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成 的函数。它具有一些特殊的性质，如复合 函数的导数、极限等。了解这些性质有助 于更好地绘制和分析复合函数的图像。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
二次函数的图像
二次函数的定义与性质
总结词
二次函数的定义、性质和 表达式
二次函数的定义
二次函数是指形式为 y=ax^2+bx+c（其中a、 b、c为常数，且a≠0）的 函数。
二次函数的性质
二次函数具有开口方向、 顶点、对称轴等性质，这 些性质决定了函数图像的 形状和位置。
复合函数图像的绘制
总结词
掌握绘制复合函数图像的方法是理解其性质 和应用的必要手段。
详细描述
绘制复合函数图像需要使用数学软件或绘图 工具，如Matlab、GeoGebra等。在绘制 过程中，需要注意函数的定义域、值域以及 函数的单调性、奇偶性等性质。
函数图像与变化规律的分析与应用
分段函数与连续函数的区别：分段函数在分段点处不连续，而连续函数在整个定义域内都连续。
代数法定义：通过代数运算研究函数的变化规律
数单调递减
导数与极值：导数为0的点为可 能的极值点，进一步判断确定 极值
微积分法定义 微积分法分析函数变化规律的方法 微积分法在函数图像分析中的应用 微积分法在解决实际问题中的应用
定义：通过建立微分方程来描 述函数的变化规律
适用范围：适用于描述具有连 续导数的函数变化规律
分析步骤：建立微分方程、求 解微分方程、分析解的特性
函数图像与变化规律在算法 优化中的优势
算法优化中函数变化规律的 实践案例
预测市场趋势：通过分析历史数据， 利用函数变化规律预测市场未来走 势，为企业决策提供依据。
预测交通流量：通过分析道路交通流 量数据，利用函数变化规律预测交通 拥堵状况，优化交通调度和路线规划。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
预测自然灾害：利用气象、地质等数 据，通过函数变化规律预测自然灾害 发生的时间、地点和强度，提前采取 应对措施。
代数法步骤：求导数、分析导数的符号、确定函数的单调性
代数法应用：研究函数的极值、最值、拐点等变化规律
代数法实例：以二次函数为例，通过求导数确定函数的开口方向、顶点坐标和对 称轴
导数几何意义：函数图像上 某一点的切线斜率
导数定义：函数在某一点的变 化率，表示函数在该点的斜率
导数与函数单调性：导数大于0， 函数单调递增；导数小于0，函
函数的图像及解析式
正比例函数
01
图像
正比例函数图像是一条过原点的 直线。
02
03
解析式
性质
$y = kx$，其中$k$是常数且$k neq 0$。
当$k > 0$时，图像位于第一、 三象限；当$k < 0$时，图像位 于第二、四象限。
一次函数
图像
一次函数图像是一条直线。
解析式
$y = ax +
分式
通过分式表示函数关系，如y=1/x。
对数式
通过对数运算表示函数关系，如y=log_a x。
函数解析式的应用示例
线性函数
y=kx+b，用于描述匀速直线运动、 弹簧的伸长量等。
幂函数
y=x^n，用于描述物体随时间加速 或减速运动。
三角函数
y=sin x、y=cos x，用于描述简谐振 动、交流电等周期性现象。
函数的图像及解析式
contents
目录
• 函数图像的绘制 • 函数的解析式 • 函数的性质与图像关系 • 常见函数的图像与解析式 • 函数图像与解析式的应用
01 函数图像的绘制
函数图像的基本概念
01
02
03
函数图像
表示函数中自变量与因变 量之间关系的曲线或曲面。
坐标系
确定函数图像在平面或空 间中的位置和方向。
解析式
以10为底的对数函数为$y = log_{10} x$，以自 然数e为底的对数函数为$y = ln x$。
3
性质
定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty, +infty)$。
05 函数图像与解析式的应用
解决实际问题
预测模型
数学中的函数图像的绘制与应用
数学中的函数图像的绘制与应用在数学中，函数是一个非常重要的概念。
而函数图像则是对函数进行可视化的一种方式，它可以让我们更加直观地理解函数的特征和性质。
本文将探讨函数图像的绘制方法、常见的函数图像形态及其应用。
一、函数图像的绘制方法函数图像绘制是一种基于函数的可视化表示方法。
为了绘制函数图像，我们需要先确定要绘制的函数。
这样才能在坐标系内绘制出函数的图像。
下面将介绍如何在笛卡尔坐标系中绘制常见的函数图像。
1. 直线函数的图像绘制直线函数方程为y=kx+b（其中k、b为常数），其图像通常是一条斜率为k，截距为b的直线。
这里以y=2x+1为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
（2）确定坐标：通过设定变量的值进行逐一计算；或设置x轴和y轴的单位间隔，根据方程中的值确定函数图像上的点坐标。
（3）依据坐标绘图：在坐标系中依照前面计算出来的坐标，描绘出直线。
2. 幂函数的图像绘制幂函数的方程通常具有以下形式：y=x^n（其中n为常数）。
幂函数的图像形态与其幂指数的正负有关。
当幂指数为正数时，函数的图像呈现出向上的凸形状；当幂指数为负数时，函数的图像则呈现出向下的凹形状。
以y=x^2为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
（2）确定坐标：通过设定变量的值进行逐一计算；或设置x轴和y轴的单位间隔，根据方程中的值确定函数图像上的点坐标。
（3）依据坐标绘图：在坐标系中依照计算出来的坐标，连结相邻的点形成一条曲线。
由于幂函数的曲线通常比较平滑，因此绘制时需要分段绘制（例如x<0部分，x=0的位置，x>0部分等），并且需要足够细致。
3. 三角函数的图像绘制三角函数具有周期性的特点，也就意味着可以将函数图像沿周期区间翻折并重叠，以此来推出整个函数图像的形态。
以下以正弦函数y=sin(x)为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
一些常用函数的曲线图及应用简说
一、正弦余弦曲线： 正弦曲线公式为：A 为波幅（纵轴），ω为（相位矢量）角频率=2PI/T ，T 为周期，t 为时间（横轴）， θ为相位（横轴左右）。
周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。
例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。
正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。
这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。
每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。
1、函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线。
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里n=12）等份。
把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里n=12）等份。
（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。
第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π，…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。
第三步：连线。
用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x （x ∈R ）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。
2、余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线。
根据诱导公式，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx的图象。
3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（23π，-1）、（2π，0）。
届高三数学一轮复习-函数的图像及其应用(共58张PPT)
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
作函数的图象
[例 1] 作出下列函数的图象： (1)y＝12|x|； [解] 作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图 象中 x≥0 的部分，加上 y＝12x 的图象中 x>0 部 分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝12|x|的图象， 如图中实线部分．
(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11； [解] (2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移 1 个 单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可 得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图． (3)因为 y＝2xx－－11＝2＋x－1 1，故函数图象可 由 y＝1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位而得，如图．
(2)伸缩变换：
f(ωx) ． y＝f(x)―0―<AA>―<1―，1，―横横―坐坐―标―标不―不变―变，―，纵―纵―坐坐―标标―伸缩―长―短为―为原―原来―来的―的―AA倍―倍→ y＝ Af(x) ．
(3)对称变换： y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝－f(x) ； y＝f(x)―关―于―y―轴―对―称→y＝ f(－x)； y＝f(x)―关―于―原――点―对―称→y＝ －f(－x) ． (4)翻折变换： y＝f(x)―去将―掉―y轴y―轴右―左边―边的―图―图， ―象―保翻―留折―y到轴―左―右边―边―去图→y＝ f(|x|) ； y＝f(x)―将―x―轴―下―方保―的 留―图x―轴象―上翻―方―折图―到―上―方―去→y＝ |f(x)| .
⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段
AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，
左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是
五大基本函数图像及性质
五大基本函数图像及性质经过数学发展的几千年，函数成为数学研究的主要内容之一，用来描述理解宇宙规律的精妙抽象工具，而函数图像则是这些函数形式反射出来的表达形式。
在数学探索中，五种基本函数图像最为常见，它们分别是：直线函数图像，二次函数图像，指数函数图像，对数函数图像和正弦函数图像。
直线函数图像是函数图像中最简单的一种形式，它可以用方程的形式y=kx +b来表示，其中K表示斜率，b表示偏移量，x、y是函数的模型变量，模型变量是可以表达数学物理实验结果的变量。
斜率便是表示函数图像斜线斜率，偏移量是表示函数图像经过y轴的截距，而此类函数一般没有极限，但伴随着变量不断变化而无限的延伸。
这种特性使它成为很多具有统计推论意义的实验结果的基础数据，在解决微积分问题时也是非常重要的概念。
二次函数图像的基本形式为y=ax^2 +bx +c，其中a,b,c代表的是函数的方程的三个常数，x是函数模型变量，y是函数的值，在实际应用中，一般需要将该方程写成y=a(x-h)^2 +k的形式；a为非负实数，当a为0时，表示函数直线，当a不为0时，表示函数曲线；h是函数的极值点横坐标，k是函数极值点的点的纵坐标，这样的函数有两个极值点，极值点的大小取决于a的正负，正值表示极值点为最小值，负值表示极值点为最大值。
指数函数图像是根据指数函数进行描述的，其基本形式为y=a^x，其中a为正实数，x为函数模型变量，y为函数值，这种函数图像有两个极限，即横坐标上趋于无穷大时，纵坐标为正负无穷大，指数函数在应用时非常广泛，它可以用来描述多种不同的物理实验结果，比如温度变化，加速速度的变化等等。
对数函数图像是根据对数函数来描绘的，其基本形式为y=loga(x)，其中a是底数，x是函数模型变量，y是函数值，这种函数图像的横坐标上的极限为0，纵坐标上的极限为正负无穷大，对数函数可以用来描述指数函数和二次函数的变化，在温度变化，分子运动速度和其它变化等等应用也十分重要。
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/10/23
30
解： sik n x k ( ) siknx
k2m k(2m 1)mZ
由①②可知，实数k的取值范围是
{kkm,mZ}
2019/10/23
31
例题5、函数 f ( x ) 在 (1,1) 上有定义，
f ( 1 ) 1 且满足 x,y(1,1)时，有
1
nl im lna(n)nl im 2nlna 0
2019/10/23
24
例题4、已知集合M是满足下列性质的 f ( x ) 的全体：存在非零常数T，对任意 xR，有 f(xT)T(fx)成立。
（1）函数 f(x) x是否属于集合M？说明理由； （2）设函数 f (x) a x (a0,a1)的图像与
y
o c
2019/10/23
x
13
解：
(c 1)2 4(c2 c) 0
1 c
2
c
f (c) 3c2 2c 0
2019/10/23
14
解：
1 c0 3
11c 4 , 8 1c2 1 39
ab(1, 4), a2 b2 (8,1)
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解（1）：
当 0m1时，f(x1)f(x2)0，
函数在 [, ] 上是减函数
当 m1时， f(x1)f(x2)0， 函数在 [, ]上是增函数
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解（2）：
由(1)可知，当 0m1时，
f (x) 为减函数， 则由其值域为 [lm o m ( g 1 )l,o m m ( g 1 )]
f(x)logm
函数图像的变换及应用
函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。
这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。
函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。
对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。
平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。
2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。
对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。
伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。
3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。
对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。
翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。
4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。
对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。
拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。
对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。
压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
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函数图像及应用
一、图像变换：
1、平移变换：y=f(x) y=f(x+h)（h>0） y=f(x) y=f(ωx)（ω>0）
y=f(x) y=f(x)+k （k>0）
2、对称变换：y=f(-x) 与y=f(x)图像关于 对称 y=-f(x) 与y=f(x)图像关于 对称 y=-f(-x) 与y=f(x)图像关于 对称 y=f(a-x) 与y=f(b+x)图像关于 对称
3、翻折变换：y=f(x) y=f(｜x ｜) y=f(x) y=｜f(x)｜ 典型例题
1、 作出下列函数的图像：
1)22+-=x
y 2)()23log 31+=x y 3)()x y -=2
1log
4)222+-=x x y 5)()2
41log -=x y 6)x lg y =
2、 说明下列函数图像与函数y=sin2x 与图像函数关系：
1)y=cos2x
2)y=sin2x+cos2x
3)y=sinx-cosx
3、 若函数y=f(2x)是偶函数，则函数y=f(2x+3)的对称轴方程为
4.命题甲：已知函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．命题乙：函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．
二、图像运用：
1、函数y=f(x)的零点： （“零点”不是点，而是数！）
即为方程 的根。
2、方程f(x)=g(x)的根： （函数 的零点）
几何意义：
练习
1、 方程根的个数 1)010x -
lgx = 2)x a a x log = ，（0<a<1） 3)x x lg sin = 4)22x x =
2、方程()13x lg +=+x 的根的情况：( )
A 只有一根
B 有两根，一正一负 ；
C 有两负根
3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x (x ＋4)，x <0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为________． 4.已知函数f (x )＝(15
)x －log 3x ，若x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为__________(正负情况)．
5.(原创题)已知当x ≥0时，函数y ＝x 2与函数y ＝2x 的图象如图所示，
则当x ≤0时，不等式2x ·x 2≥1的解集是__________．
6.已知函数f (x )＝x ＋log 2x ，则f (x )在[12
，2]内的零点的个数是______．
7、f(x)表示6422
1++-=x x y 和 62+-=x y 中的较小者，求f(x)的最大值
8.讨论下列方程的解的个数： 1)()R a a x x ∈=, 2)()()()x a x x -=-+-lg 3lg 1lg
9.不等式2log x x a > 对x ∈(0, 2
1)恒成立，求a 的取值范围
10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧．(2,5]
∈，3－，
1,2]－[∈，－32x x x x (1)画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间．
11.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为__________．
12、R 上奇函数f(x),满足f(1)=0，在(0,+ ∞)上为增，求不等式 xf(x) ≤0的解集
13、若f(x)，g(x)均为R 上的奇函数，F （x ）=()43sin 2)(3
+++⋅+⋅x x x g b x f a 在R 上的最大值为10，求F （x ）的最小值。
14. 设函数f (x )＝x ＋b ax －1
(x ∈R ，且a ≠0，x ≠1a )． (1)若a ＝12，b ＝－32，指出f (x )与g (x )＝1x
的图象变换关系以及函数f (x )的图象的对称中心； (2)证明：若ab ＋1≠0，则f (x )的图象必关于直线y ＝x 对称．。