正定矩阵的性质及其应用_____

正定矩阵的性质及其应用

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摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。

关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用

The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract:

Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations.

Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application

1. 引言

矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有着广泛的应用。本文主要介绍正定矩阵的等价定理及其一些重要的性质，最后给出正定矩阵在数学及其它学科中的若干应用。

2. 正定矩阵的等价定理

首先我们给出正定矩阵的定义。

定义1[1] 设()T f x X AX =为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数12,,,n c c c ，都有

12(,,,)0n f c c c >,

则称()T f x X AX =为正定二次型。正定二次型对应的矩阵A 称为正定矩阵。

必须指出的是，只有实对称矩阵才有正定与负定之说，所以判定一个矩阵是否正定时，首先判定该矩阵是否为实对称矩阵。而对于实对称矩阵正定性的判定，除利用定义外还可以运用一些等价定理。下面我们就给出实对称矩阵A 正定的若干等价条件。

定理1 设A 是n 阶实对称矩阵，则下列命题等价：

（1）A 是正定矩阵；

（2）A 的所有特征值都大于零；

（3）存在正定矩阵B ，使得2A B =；

（4）A 合同于n 阶单位矩阵E ；

（5）A 的所有主子式都大于零；

（6）A 的所有主子矩阵都是正定矩阵；

（7）A 的所有顺序主子式都大于零；

（8）对任意n m ⨯实矩阵P ,如果P 的秩为m ，都有T P AP 为正定矩阵；

（9）对任意可逆矩阵Q ,T Q AQ 为正定矩阵；

（10）设1223T A A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

,则1A 和13212T A A A A --都正定； （11）存在可逆矩阵P ，使得T A PP =.

这些等价条件我们可以通过循环证明得出，在判定矩阵正定性时，使用何种方法，要视情况灵活运用。另外，运用这些条件我们还可以得出正定矩阵的一些重要性质。

3. 正定矩阵的若干性质

性质1若A 是正定矩阵，则1A -，*A ,kA , k A (k 是正整数)也是正定矩阵。

性质2 若A 和B 为同阶的正定矩阵，则A B +, 00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

也是正定矩阵。 性质3 若A =()ij a 为n 阶正定矩阵，则0ii a >（1,2,,i n =）.

性质4 若A 是正定矩阵，则A 的元素的绝对值最大者必是主对角元。

性质5 若A 是n 阶正定矩阵,则1122nn A a a a ≤（1,2,,i n =）.

证明 设

1T nn A A a αα⎛⎫

= ⎪⎝⎭， 其中1A 为1n -阶顺序主子式，()12,,,T n n nn a a a α=.因A 正定，则1A 是正定的，于是

111111111000101

n n T T T nn nn A A E E A a a A A ααα

ααα----⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 两边取行列式，得 ()11T nn A A a A αα=-. (*)

因为1A 正定，则11A -正定，1T A αα≥0，10A > ，由(*)式得

1nn A A a ≤.

同理， 121,1n n A A a --≤，其中2A 为A 的2n -阶顺序主子式。这样继续下去，可得

1,21,1,1122n n n n n n nn A A a A a a a a a --≤≤≤≤.

性质6 若A 和B 都是n 阶实对称矩阵，且B 是正定矩阵，则存在一个n 阶实可逆矩阵P 使得T P AP 与T P BP 同时为对角形。

证明 由于B 是正定矩阵，所以存在可逆阵C ，使得 T C BC E =. ① 又由于T C AC 仍为对称矩阵，所以存在正交矩阵D ,使得

()12T T n D C AC D λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, ② 其中12,,,n λλλ为T C AC 的特征值。 令P CD =，则P 为可逆矩阵，且

()()12T T n P AP CD A CD λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, ()()T T T P BP CD B CD D ED E ===.