2008年上海交通大学自主招生选拔测试试卷(数学篇)
08年交大自主招生试题
08年交大自主招生试题注意事项：1、本试卷共三部分，16题，满分100分。
2、考试时间为90分钟。
3、计算题的解答必须写出必要的解题过程，只有结果，没有过程的不能得分。
一、选择、填空题（共9题，每题4分）1、有一劲度系数为k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m 的小球。
先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触。
再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球离开地面h 为止。
在此过程中外力所作的功为________________。
2、有一弹簧振子的振动曲线如右图所示，则该弹簧振子的周期为____________。
3、中国有“蜻蜓点水”的成语，如果蜻蜓在平静的湖面上由西向东飞行，并等间隔地“点水”，试在下方方框内划出在水面上可能形成的水面波动的波阵面的情况。
4、密立根油滴实验是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生。
实验中，半径为r 、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，两块极板的电势差为12U 。
当电势差增加到412U 时，半径为r 2的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为： (A)2e ；(B)4e ；(C)8e ；(D)16e .选:___________5、有一足够长的铜管竖直放置，内有一截面大小与铜管的内截面相同的永久磁铁块，质量为m 。
不考虑磁铁与铜管间的摩擦因素，则磁铁的运动规律为 （A ）磁铁运动速度越来越大；（B ）磁铁运动速度逐渐增大到一定值时速度保持不变；（C ）磁铁运动速度逐渐增大到一定值时，速度又开始减小到一定值后保持不变； （D ）磁铁运动速度逐渐增大到一定值时，速度又开始减小到一定值，之后在一定区间变动。
选:____________6、电源电动势的定义是：__________________________________________________。
当导体棒在磁场中切割磁力线时，导致导体棒中产生动生电动势的非静电力是__________力。
（b ）7、如图所示，质量为m ，带电量为q 的粒子，在重力作用下由静止下落h 高度后垂直进入一高度为L 的匀强磁场区域，磁感应强度方向垂直纸面向内，大小为B 。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷·文科)(附答案-完全word版)
2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）__________录入者：福建泉州第七中学 林志敏老师考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11x -＜的解集是 ． 2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}AB =，则实数a = ．3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 4．若函数f (x )的反函数为12()log fx x -=，则()f x = ．5．若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ． 6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．8．在平面直角坐标系中，从六个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时，点P 的坐标是 ______ ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．1013．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件14．若数列{}n a 是首项为l ，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．5415．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） Ａ．ABB ．BCC ．CD D ．DA三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点． （1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22x x f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++．（1）若1231264a a a a ++++=，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准__________录入者：福建泉州第七中学 林志敏老师一、（第1题至第11题） 1. （0，2）. 2. 2.3. 1+i.4. ()2xx R ∈.5..6. -1.7. 4.8.45.9. 224x -+10. 10.5,10.5a b ==11. 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭.二、（第12题至第15题）三、（第16题至第21题）16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠EDF 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分 由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴ tan EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan5….12分 17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060……………………………4分 在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分 解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=………….4分2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分22211cos .214AC AD CDCAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 2cos 222t t =- …………...8分26t π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………………………….11分 ∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …………13分∴ ｜MN . ……………15分 19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知，2122,22210,2x x x x -=-⋅-=即解得 21x =…………6分∵ (220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y y =+= ……………...3分（2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分02x ≥λ∴的取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率.2k ⎛∈ ⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,22k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分21、【解】（1）()()()12312...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴= ………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分 ()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。
B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。
设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。
答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷·文科)试卷与答案
已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos ，直线 与函数 的图像分别交于M、N两点．
（1）当 时，求｜MN｜的值；题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
9．若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为 ，则该函数的解析式 ．
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是．
11．在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ．如果 是 围成的区域（含边界）上的点，那么当 取到最大值时，点 的坐标是______．
………………………………5分
（2）
…………...8分
…………………………….11分
∵ …………13分
∴｜MN｜的最大值为 .……………15分
19、【解】（1） .…………….2分
由条件可知， 解得 …………6分
∵ …………..8分
（2）当 ……………10分
即
………………13分
故m的取值范围是 …………….16分
记 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求证：当 是正整数时， ；
（3）已知 ，且存在正整数 ，使得在 ， ， ， 中有4项为100．求 的值，并指出哪4项为100．
2008年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准
__________录入者：福建泉州第七中学 林志敏老师
一、（第1题至第11题）
21、【解】（1）
………………..2分
∵ ………………..4分
张雪明老师自主招生真题解析(下午)
自主招生真题分类解析（下午课程）函数性态例1、若()f x 为R 上函数，且(10)(10)f x f x +=-，(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 为（ ）(A) 奇函数且周期函数； (B) 奇函数且非周期函数； (C) 偶函数且周期函数； (D) 偶函数且非周期函数．例2、设()f x 和()g x 是定义在R 上的两个函数，12,x x 是R 上任意两个不等的实数.（1）设1212|()()||()()|f x f x g x g x +≥+恒成立，且()y f x =是奇函数， 判断函数()y g x =的奇偶性并说明理由；（2）设1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-恒成立，且()y f x =是周期函数， 判断函数()y g x =的周期性并说明理由；（3）设1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-恒成立，且()y f x =是R 上的增函数， 判断函数()h x =()()f x g x +与函数'()()()h x f x g x =-在R 上的单调性并说明理由.例3、（交大2000联读）函数()f x =()x R ∈的反函数是_______________.例4、（交大2002保送）设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2()2a ba b a b f a f b f +<<==若满足，试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足34b <<.例5、（复旦2004保送）若存在M ，使任意t D ∈（D 为函数()f x 的定义域），都有()f x M ≤，则称函数()f x 有界．问函数11()sin f x x x =在1(0,)2x ∈上是否有界？例6、（交大2008冬令营）已知函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，且()f x x =没有实数根．那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．导数积分例1、已知函数32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 .例2、设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2008()f x ．例3、请您设计一个帐篷。
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
二、 选择题 （ 本大题满分１ 分） ６ 本大题共有
４ 每题都给出四个结论， 题， 其中有且只有一个 结论是正确的， 必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内， 选对得 ４ 否则一律得零分． 分，
的体积Ｖ ＝
１． ３已知向量 ＝（， ３，６ ＝（，）若 ２－ ） 。 ３ ， ∥６ 则 。 等于 ， 【 （） 矧
维普
２０ 年第 ２ ０８ 期
“（） ｈｘ 为偶函 ’ 的
（） Ａ 充分不必要条件． （） Ｂ 必要不充分条件． （） Ｃ 充要条件．
［ （） 答］
凳脚与地面所成 的角均为 ４ 。 确定节点Ｏ分细 ５，
（） ． （） ２ （） 吾 （） 吾 Ａ吾 Ｂ一． ｃ一 ． Ｄ一 ．
Ｕ ‘ ｏ
２
口２ ．
１已 ４ 知椭圆 一 ＋ ． ÷
图 １
＝１长轴 ， 在
９ 知 数列｛ｎ前ｎ ＝言ｎ ． 无穷 已 ０） 项和 ０—
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１则数列＿ｎ 的各项和为— ， 【） ０
２ 口２ ．
７ 已知 Ｐ是双 曲线 一 ＝ １ ． 右支上的一 点， 双曲线的一条渐近线方 程为 ３ ＝０ 设 ｘ一 ．
１２ ３上与 、Ｂ两点距离平方和最小的点， ， ，） 则
△Ｐ Ｐ Ｐ 的面积是 １２３
分别为双曲线的左、右焦点． Ｐ Ｉ 若Ｉ ＝ ３ 则Ｉ Ｉ ， Ｐ ＝— — ． ８ 已知一个 凸多面体共有 ９ ． 个面， 所有棱长 均为 １ 其平面展开图如 图 １ ， 所示， 则该凸多面体
ａ ｌ＝ １ ．若 ０ 、 ０ 、０ 成等 比数列， ａ １ ２ ５ 则 ｎ＝
图２
１） ， ， ６简。吾 ｓ ——． １ １． 和 １（，＋３ （，） 直线ｌ ： 以（０ ． ：（ ） ＋＝ ２： ２ 已知Ａ： ２、ｂ３４＝０ 设 ｉ ＝ ＝ 化 ｃ ＋＋ｎ ） ｓ （ ＝０ ３ ｙ １ ． 只是 ｉ 一
介绍几道2008年自主招生数学试题
+y 2=1有交点,则11a 2+1b2 1,即有1a 2+1b2 1.2 隐性轨迹为抛物线例3 (2008年重庆文)函数f (x )=si n x5+4co s x(0 x 2 )的值域是( ).A [-14,14]B [-13,13]C [-12,12]D [-23,23]常规解法 令5+4cos x =t(1 t 3),则sin 2x =16-(t 2-5)216,当0 x时,si n x =16-(t 2-5)216=-t 4+10t 2-94,f (x )=si n x 5+4co s x=-t 4+10t 2-94t =-(t 2+9t2)+104-2t 29t 2+104=12,当且仅当t =3时取等号.同理可得当 <x 2 时,f(x ) -12,综上可知f (x )的值域为[-12,12],故选C.图3轨迹解法 令Y =f 2(x )=sin 2x 5+4cos x ,则Y =sin 2x 5+4cos x =1-cos 2x 5+4cos x设P (-4cos x ,cos 2x )则Y 表示两点P (-4cos x,cos 2x ),A (5,1)连线的斜率,而点P 的轨迹为抛物线y =x 216(0 y 1)的一段,如图3,当直线AP 平行于x 轴时,Y 取最小值;当直线AP 与抛物线相切时,Y 取最大值14,所以0 Y 14,即-12f (x )12.所以函数f (x )的值域为[-12,12].介绍几道2008年自主招生数学试题湖北省十堰市东风高级中学 442001 甘志国高校自主招生考试数学试题材料鲜活,试题的结构常以5~7道解答题的形式出现(如2008年清华大学、北京大学、浙江大学的自主招生试题),也有与本省高考数学试卷的形式类似的(如2008年山东大学自主招生试题),试题的难度一般略高于高考题.下面介绍几道2008年自主招生数学试题,且这里给出的解答多与原参考答案不同.题1(2008年北京大学自主招生数学试题)求证:边长为1的正五边形对角线长为1+52.原参考解答是用平面几何中的三角形相似证得的,下面给出一种三角解法.解 选择正五边形的两条共顶点的对角线及其一边组成等腰三角形,再作其底边上的高,又设这个正五边形对角线长为x,得si n18 =0.5x ,x =12si n18.下面求sin18 (实际上,有很多资料把si n18 =5-14作为特殊角的三角函数值列出此值为黄金分割数5-120.618的一半,挺好记的;高一数学老师应当介绍si n18 的值及其算法,并不难):由公式sin2 =2s i n cos ,cos3 =4cos 3 -3cos 及si n36 =cos54 ,立得2si n18 cos18 =4cos 318 -3co s18 ,2sin18 =4co s 218 -3=4(1-sin 218 )-3,4sin 218 +2sin18 -1=0,si n18 =5-14所以所求正五边形对角线长为x =12s i n18 =1+52.题2(2008年复旦大学自主招生数学试题)请证明2是一个无理数.证明 假设2是有理数,则可设2=mn(m,n 是两个互质的正整数),得m 2=2n 2,所以m 2是偶数,进而得m 也是偶54ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志 2009年第1期数(因为当m 是奇数时,m 2是奇数),又可得m 2(=2n 2)是4的倍数,n 2是偶数,n 也是偶数,得m,n 均是偶数,这与m,n 互质矛盾!说明2是无理数.以上证明初二学生即可弄懂,反证法教科书上虽然作了介绍,但平时训练的极少,所以学生对这种证法很陌生(而2008年高考数学江苏卷第19题第(2)问就是需要用反证法证明的题目),我们在平时的教学中应当重视这方面的训练.2还是人类历史上发现的第一个无理数,是Py thagoras (约公元前500年,希腊学者)学派的成员H i ppasus 所发现的,从而产生了数学史上的第一次危机,所以学生还应当尽可能的通过课外阅读等手段扩大知识面.题3 (2008年浙江大学自主招生数学试题),A ={(x,y )|(x -1)2+(y -2)254},B ={(x,y )||x -1|+2|y -2| a },A B,求a 的取值范围.原参考解答是:通过换元后可知,题意即,若{(x,y )|x 2+y 254} {(x,y )||x |+2|y | a },求正数a 的取值范围.再通过画图(由对称性,可以只考虑第一象限的图形),得圆x 2+y 254的圆心即坐标原点到直线x +2y =a 的距离不小于该圆的半径52,得所求a 的取值范围是[52,+ ).下面给出一种所用知识更少的解法.解 题意即,若(x -1)2+(y -2)2 54|x -1|+2|y -2| a,求实数a 的取值范围.因为(x -1)2+(y -2)2 54|y -2|54-(x -1)2,所以题设等价于|x -1|+254-(x -1)2 a 恒成立.设|x -1|=t ,得t 0,题设即函数z =t+5-4t 2(t 0)的最大值z m ax a,下面用两种方法求z m ax .法1 可得(z -t)2=5-4t 2,5t 2-2z t+(z 2-5)=0, =4z 2-20(z 2-5) 0-52z52,还可得当且仅当t =12即x =32或-12时,z =52,所以z m ax =52.法2 可得5-4t 2 0,0 t52,所以可设t =52s i n (02),得z =t +5-4t 2=52s i n +5cos ,=52(15s i n +25cos )=52si n ( + )(02),其中 =arccos15.由此也可得:当且仅当 + = 2即 =arcsin 15也即t =12就是x =32或-12时,z m ax =52.所以所求a 的取值范围是[52,+ ).题4 (2008年浙江大学自主招生数学试题)已知x >0,y >0,a =x +y,b =x 2+xy +y 2,c =mx y,问是否存在正数m 使得对于任意正数x,y,可使a 、b 、c 为一个三角形的三条边,如果存在,求出m 的值;如果不存在,请说明理由.解 因为a >b ,所以存在正数m 满足题意的充要条件是对于任意的正数x,y 有下式成立:x +y +x 2+xy +y 2>mxyx 2+xy +y 2+mx y >x +y可设y =k 2x,(k >0),得1+k 2+1+k 2+k 4>mk1+k 2+k 4+m k >1+k 2(k +1k )+(k +1k )2-1m i n>mm >(k +1k)-(k +1k )2-1m ax设k +1k =t ,得t 2,所以(t +t 2-1)m in >mm >(1t +t 2-1)m ax再由函数的单调性,可立得满足题意的正数m 存在,且m 的值有无数多个,其取值范围是(2-3,2+3).题5 (2008年南京大学自主招生数学试题)若正数a 、b 、c 满足a +b +c =1,求证:(a +1a )(b +1b )(c +1c) 100027.高中生在学习 不等式的证明 时,大多都证明过这样的题:若正数a、b 满足a +b =1,求证:(a +1a )(b +1b) 254.简证如下:先得0<ab (a +b 2)2=14,又函数f (x )=55中学数学杂志 2009年第1期ZHON GXUES HUXUEZAZHIx +1x 在(0,1)上是减函数,所以ab +1ab 14+4=174,再得(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(b a +a b ) 174+2=254,对于该题的深入研究,就会得到题5的问题.下面给出题5的两个简证,并推广其结论.证法1 因为在题5的不等式中,当且仅当a =b =c =13时取等号,为了使a +1a =a +1m a +1m a + +1ma (共m 个1m a )能使用均值不等式且等号能取到,应让a =1ma且a =13,得m =9,所以有如下证法:a +1a=a +19a +19a + +19a (共9个19a ) 1010a(9a)9,同理,有b +1b10 10b (9b )9,c +1c 10 10c(9c)9所以(a +1a )(b +1b )(c +1c ) 10310abc(93abc)9,再由0<abc(a +b +c 3)3=127,可得:(a +1a)(b +1b )(c +1c ) 100027(当且仅当a =b =c =13时取等号).由此思路,还可证得.推广1 若正数a 1,a 2, ,a n 满足ni=1a i =1,则ni=1(a i+1a i ) (n +1n )n (当且仅当a 1=a 2= =a n =1n 时取等号).证法2 (a +1a )(b +1b )(c +1c )=a 2+1b 2+1c 2+1=a 2b 2c 2+(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)+(a 2+b 2+c 2)+1abca 2b 2c 2+3 (3a 2b 2c 2)2+3 (3a 2b 2c 2)+1abc =(3abc +13abc )3,再由0<abc(a +b +c 3)3=127,及函数f(x )=x +1x在(0,1)上是减函数,可得要证结论成立!推广2 若a,a 1,a 2, ,a nR +,ni=1a in a ,则ni=1(a i +aa i)ni=1a in+nani=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).证明ni=1(a i +aa i )=ni=1(a 2i +a)ni=1a i=1ni=1a i(a n +a n-11 i 1 na 2i 1+a n-21 i 1<i2 na 2i 1a 2i 2++a1 i 1<i 2< <i n-1 na 2i 1a 2i 2 a 2i n-1+a 21a 22 a 2n )=a n+nk =1a n-k1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2ni=1a i,注意到和式1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2是C k n 项的和,由均值不等式,得1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2 C k nC k n1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k)2=C k nC k n(a 1a 2 a n )2kC k n n=C k nnni=1a i2k(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).所以ni=1a i +aa ia n+nk =1an-kCk nnni=1a i2kn i=1a i=a +nni=1a i2nnn i=1a inni=1a i +a a inni=1a i +anni=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).又由均值不等式,得0<nni=1a ini=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时第一个 中取等号)再由函数f (x )=x +ax 在(0,a ]上是减函数,可得nni=1a i +anni=1a ini=1a i n+nani=1a i>0(当且仅当a 1=a 2= =a n 时 中取等号)从而可得推广2成立.(推广1显然是推广2的特例)56ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志 2009年第1期。
2008年上海市普通高等学校春季招生考试(数学)
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则AB = ． 【答案】{}4x x <【详解】略 2．计算：131lim 32n n n n +→∞+=+ ． 【答案】13【详解】 113131133lim lim 3232333n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞++==++． 3．函数()1f x x =-的定义域是 ． 【答案】[2,1)(1,3]-【详解】 定义域满足22360110x x x x x -≤≤⎧-++≥⎧ ⇒⎨⎨≠-≠⎩⎩4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 ． 【答案】712x π= 【详解】 12cos 1cos 44243x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =．若125a a a 、、成等比数列，则n a =．【答案】21n a n =-【详解】设公差为d ，则251,14a d a d =+=+，则21(14)(1)2d d d ⨯+=+⇒=．6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】cos α【详解】（方法一）：利用＂两角和公式＂直接求解；（方法二）：cos sin sin sin 36236πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin sin 2sin cos cos 666πππαααα⎛⎫⎛⎫=-++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=．设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点．若23PF =，则1PF = ．【答案】5【详解】由双曲线的一条渐近线方程为30x y -=可得：2a =，又双曲线的定义知12112325PF PF a PF PF -=⇒-=⇒=．8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V = ．【答案】16+【详解】凸多面体为：下半部分为正方体3111V ==，上半部分为正四棱锥221132V =⨯⨯．9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 ．【答案】1-【详解】 由113n n S a =-可得：11113n n S a --=-，两式相减得并化简：112n n a a -=-， 又11113132a a a =-⇒=-．所以1lim 11n x a S q →∞==--． 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】112【详解】如下图，当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性。
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人 中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。
08高考数学上海卷含答案
上海卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式11x -＜的解集是.2.若集合A ={x ｜x ≤2}、B ={x ｜x ≥a}满足{2}A B = ，则实数a = .3.若复数z 满足z =i (2-z ) (i 是虚数单位)，则z = .4.若函数f (x )的反函数为f -1(x )=x 2(x ＞0),则f (4)= .5.若向量a b 、满足1,2,a b == 且a 与b 的夹角为3π，则a b+ ＝ .6.函数f (xsin 2x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值是.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A (0，0)、B （2,0）、C （1,1）、D (0,2)、E (2,2)、F (3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，f (x )=lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ,b ,12，13.7，18. 3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 .10.某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a 、短轴长为2B r 椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 11.方程x 2+2x -1＝0的解可视为函数y -x +2的图像与函数y ＝x1的图像交点的横坐标.若方程x 4+ax -4=0的各个实根x 1, x 2,…，x k （k ≤4）所对应的点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14,x x i （I=1,2,…，k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 .二、选择（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 12.组合数C r n r n rn 、,1(≥>∈Z ）恒等于[答]（ ）（A ）.1111--++r n C n r (B)(n +1)(r +1)C 11--r n (C)nrC 11--r n (D)C rn 11--r n .13.给定空间中的直线l 及平面α.条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 [答]（ ）（A ）充要条件. （B ）充分大必要条件. （C ）必要非充分条件. （D ）既非充分又非必要条件. 14.若数列｛a n ｝是首项为l ，公比为a 23-的无穷等比数列，且｛a n ｝各项的和为a ，则A r 值是[答]（ ）（A ）1. (B)2. (C).21 (D).45 15.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是被圆的四等分点.若点P （x ，y ）、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤ x ′且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点O 满足，不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答]（ ） （A ） AB（B ） BC（C ） CD（D ） DA 三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.16.(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABC-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点.求直线DE 平平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平等于BO 的小路CD .已知某人从C 沿CD 走到D 用B 10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分. 已知函数f (x )=sin2x ,g (x )=cos ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ,直线x =t (t ∈R)与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点. (1) 当t=4π时，求｜MN ｜的值；(2) 求｜MN ｜在t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时的最大值.AEB 1D 1 D C 1A 1BCAODBC19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分. 已知函数f (x )=pqx212-.(1) 若f (x )＝2，求x 的值；(2) 若2tf （2t ）+mf （t ）≥0对于t ∈［1，2］恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
上海交大数学试题(2000-2008)
交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+-- ( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则10(2)f x dx =⎰__________． 2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x xx++的最小值是__________．3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+上的投影()ba = __________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=．试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)p p pp n np n+→∞+++> ．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．2000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。
2008高考上海数学理科试题含答案(全word版)
2008年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一 填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围 是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 二 选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）AE B 1D 1DC 1A 1 BC17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由AODBC19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m 成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.6.2.7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞ . 9.10.5,10.5a b ==. 10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞ .二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接CO . EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分 由题意，得1112EF CC ==. 112CF CB == ∴DF =. ……8分EF DF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠==……10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan5. ……12分17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分由题意，得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= ……6分 即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米） 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分[解法二]连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， ……2分 由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒AEB 1D 1D C 1A 1 BC AOD BCA ODBCH222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. ……6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， ……9分 ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ， ……4分⋅2211|4|455x y -==.点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 （2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+ ……8分22(3)14x x =-+- 25124()455x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分 ∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45，即||PA 的最小值为5. ……15分 19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xxf x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=解得 21x=20log (1x x >=∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022tttt t m -+-≥ 即24(21)(21)t t m -≥--，2210t->∵，2(21)t m ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x ⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214a b +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a 代入方程，得2212()b q c a a=-，即2222b qa qca =-当0qc =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当12qc =时，22211()24a b c c-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上； 当102qc qc >≠且时，2221()2142a b c c c-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0qc <时2221()211()42a b c qc c--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623aa =+， 1733a a =+，, 1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k aa +-=+10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++ ∴1111131(36)(6)(6)(6)33a a a a a =+++++++++ 113111(31)63333a a =++++++⨯13111(11)19823a =-+（3）当3d m =时，211a a m=+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a m m +=+∴； 11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴；1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，1923127m a a m m+=+∴211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，1923127m a a m m+-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31d m ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 1623133,3,m a a d m ++⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭1633310,,m a d a d m +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭192333113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m +-> 故数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。
2008年上海市普通高等学校春季高三数学招生考试试卷
2008年上海市普通高等学校春季高三数学招生考试试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接 填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.11或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则AB = .2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ . 3．函数()f x =的定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = . 6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V = . 9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列 中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）.11．已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++=11223a L c L c L +++k k c L +n n c L ++，则k c = (2)k n ≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于 [答] ( )（A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23-. 14．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 [答]（ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8.15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函 数”是“()h x 为偶函数”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 16．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知cos ,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值. [解]18. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围. [证明]（1）[解]（2）20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分. 某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O 分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）. [解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k AA +、、2k A +，判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅. [解]（1）（2）[证明]（3）22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）. [证明]（1）[解]（2）（3）表一、的取值或表达式线段s与线段1s的关系m rs所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段s1s长度相等线段s与线段12008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1.{}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]-. 4. 712x π=.5. 21n a n =-.6. cos α.7. 5.8. 1+9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32. 二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分 21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又 cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，sin θ∴==， …… 9分2c o s4s i n 2s i n 2θθθ∴-=-. …… 12分 18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB 的距离为=. …… 12分 19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+，11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=->， …… 9分[解法一]1()()m f x f x-∴=- =()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， …… 11分当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++，m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21x xm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …… 11分22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH .由题意可得，BH =设细钢管上下两段之比为λ. 已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即 45OBH ∠=.303,13BH OH λλ=∴=+，解得，0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63. （2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC =/设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH == …… 10分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =. 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则 560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， ∴ 对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分21. [解]（1） 1n a n =， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>，∴ {}n A 是T 点列. …… 3分 （2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-，()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 的右上方，1210ba a ∴=->， {}n A 为T 点列，10nb b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<. ∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明]1,m n p q m q n p ≤<<<+=+，q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++-12()q q p p b b b q p b --=+++≥-. ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤-. ③ …… 12分由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-， …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分()240b c ∆=-<，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上.…… 10分 [解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一. [解]（3）表一线段s 与线段1s 的关系、m r 的取值或表达式得分 s 所在直线平行于1s 所在直线1m =，1r ≠12分s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=，1m ≠15分线段s 与线段1s 长度相等()22145m r+=18分。
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上海市教育考试院 保留版权 数学2008春—第1页（共14页）2008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则A B =U .2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ . 3．函数26()1x x f x x -++=-的定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = . 6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V = . 9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列 得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人oyxb nb n-1b 2b 3b 1a 3a 2a 1a n-1a n......中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）. 11．已知12,,,n a a a L ；12,,,n b b b L （n 是正整数），令112n L b b b =+++L ，223L b b =+ ,n b ++L L ，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式： 1122n n a b a b a b +++=L 112233a L c L c L +++L k k c L + n n c L ++L ，则k c = (2)k n ≤≤. 12．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 . 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13．已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=r r，若//a b r r ，则λ等于 [答] ( )（A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23-. 14．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 [答]（ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8.15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函 数”是“()h x 为偶函数”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 16．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)得 分 评 卷 人已知2cos ,,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值. [解]18. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.[解]得 分 评 卷 人19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.已知函数()2()log 21x f x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； （2）记1()-f x 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围.[证明]（1）得 分 评 卷 人[解]（2）20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面. （1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45o，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）； （2）若凳面是顶角为120o的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O 分细得 分 评 卷 人AB CO钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）. [解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分5分，第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a L (,),n n A n a L ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅u u u u u u r r 构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=L ，其中j r 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭L ，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +， 判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证：>n q m p A A j A A j ⋅⋅u u u u u r u u u u u r r r.[解]（1）得 分 评 卷 人（2）[证明]（3）22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z . （1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）. [证明]（1）[解]（2）得 分 评 卷 人（3）表一、的取值或表达式线段s与线段1s的关系m rs所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段s1s长度相等线段s与线段12008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1.{}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]-U . 4. 712x π=. 5. 21n a n =-. 6. cos α. 7. 5. 8. 216+. 9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32. 二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题 号 13 14 15 16 代 号CDAB三．（第17至22题） 17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分 21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又 2cos ,,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，27sin 193θ∴=-=， …… 9分 2cos 14sin 2sin 2θθθ∴-=-. …… 12分18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分∴ 点F 到直线AB 的距离为 10272482+-=. …… 12分19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+Q，11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=->Q ， …… 9分 [解法一] 1()()m fx f x -∴=-=()()22log 21log 21x x --+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， …… 11分 当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21x x m -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …… 11分 22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭Q ， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH . 由题意可得，2033BH =. 设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分Q 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行. ∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=o .30203,13BH OH λλ=∴=+Q， 解得，230.63923λ=≈-. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==o，243AC =.设△ABC 的重心为H ，则8,87BH AH ==， …… 10分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =. 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、， 则 2255103760.822AA CC OA OH AH ''===+=≈， 2255101336.122BB OB OH BH '==+=≈， ∴ 对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分21. [解]（1） 1n a n=， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>， ∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-u u u u u u r u u u u u u u u r，()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--u u u u u u r u u u u u u u u r. …… 5分C /B /A /H OCB AQ 点2A 在点1A 的右上方，1210b a a ∴=->， {}n A Q 为T 点列，10n b b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<u u u u u u r u u u u u u u u r.∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分 （3）[证明] 1,m n p q m q n p ≤<<<+=+Q ，0q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++-L12()q q p p b b b q p b --=+++≥-L . ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤-L . ③ …… 12分 由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅u u u u u r u u u u u r r rn q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得22i z b b b =-±--， …… 2分∴ 点()2,2z P b b b ---或()2,2z P b b b ----，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分 （2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得2i z b c b =-±-， ∴ 点()2,z P b c b --或()2,z P b c b ---，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分 ()240b c ∆=-<Q，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点()22,()z P b r b m --+、()22,()z P b r b m ---+在圆C 上.…… 10分 [解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一. [解]（3）表一线段s 与线段1s 的关系、m r 的取值或表达式得分 s 所在直线平行于1s 所在直线1m =，1r ≠12分 s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=，1m ≠15分 线段s 与线段1s 长度相等()22145m r+=18分。
历年自主招生考试数学试题大全-2006年上海交通大学自主招生数学试题
2006年上海交通大学自主招生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1．矩形ABCD 中，AD =a ，AB =b ，过A 、C 作相距为h 的平行线AE 、CF ，则AF =____．2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是_________．3．2005！的末尾有连续________个零．4．210(2)x x -+展开式中，3x 项的系数为__________． 5．在地面距离塔基分别为100m 、200m 、300m 的A 、B 、C 处测得塔顶的仰角分别为,,,90αβγαβγ++=︒且，则塔高为______________．6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_____________；在一次游戏中，甲获胜的概率为___________．7．函数23log ()(,1y x ax a =----∞在上单调递增，则实数a 的取值范围是________．8．51x ω=是的非实数根，2(1)(1)ωωω++=_____________．9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值．10．已知2!(1)!(2)!k k a k k k +=++++，则数列{}n a 前100项和为___________． 二、解答题（第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分）11．a ，b ，c，abc ，b c ，a （b ）x 2b （c a ）x c （a b ）有两个相等根，求证：111,,a b c成等差数列．A D CF E B12．椭圆2221(1)x y a a+=>，一顶点A （0，1），是否存在这样的以A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由．13．已知|z |=1，k 是实数，z 是复数，求|z 2+kz +1|的最大值．14．若函数形式为(,)()()()(),(),()f x y a x b y c x d y a x c x =+其中为关于x 的多项式，(),()b y d y 为关于y 的多项式，则称(,)f x y 为P 类函数，判断下列函数是否是P 类函数，并说明理由．（1） 1+xy ； （2） 1+xy +x 2y 2．15．设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程．。
自主招生考试数学试卷及参考答案
自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。
自招 上海自主招生数学试题
B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年 上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................... 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案................................................................................... 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）................................................................... 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）................................................................. 14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 27 2014 年华师二附自主招生数学试题............................................................................................. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题............................................................................................. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题............................................................................................. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案................................................................................. 39
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则A B = .2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ . 3．函数()f x =的定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = . 6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V = . 9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）. 11．已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++ ，223L b b =+,n b ++ ，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式： 1122n n a b a b a b +++= 11223a L c L c L +++ k k c L +n n c L ++ ，则k c = (2)k n ≤≤.12．已知(1,2),(3,4A B，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13．已知向量(2,3),(3,)a b λ=-= ，若//a b ，则λ等于 [答] ( )（A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23-. 14．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 [答]（ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8.15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函 数”是“()h x 为偶函数”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 16．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3.（C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值. [解]18. (本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.[解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； （2）记1()-fx 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围. [证明]（1）[解]（2）20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45 ，确定节点O分细钢管上下两段的比Array值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120 的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）.[解]（1）（2）8分.在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅ 构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>= ，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +，判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅.[解]（1）（2）[证明]（3）8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）. [证明]（1）[解]（2）2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1.{}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]- . 4. 712x π=.5. 21n a n =-.6. cos α.7. 5.8. 1+9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32. 二．.三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分 21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又 cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，sin 3θ∴==， …… 9分2c o s4s i n 2s i n2θθθ∴-= …… 12分 18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分∴ 点F 到直线AB 的距离为=…… 12分 19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+ ，11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=-> ， …… 9分[解法一]1()()m f x f x-∴=- =()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， …… 11分当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21x xm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …… 11分 22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH .由题意可得，BH =设细钢管上下两段之比为λ. 已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠= .303,1BH OH λλ=∴=+ ，解得，0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63. （2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC = 设△ABC 的重心为H，则8,BH AH == …… 10分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =. 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， ∴ 对应于A BC 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8c m ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分21. [解]（1） 1n a n =， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>，∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-， ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+-- . …… 5分/点2A 在点1A 的右上方，1210b a a ∴=->， {}n A 为T 点列，10n b b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<. ∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分 （3）[证明] 1,m n p q m q n p ≤<<<+=+ ，0q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++-12()q q p p b b b q p b --=+++≥- . ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤- . ③ …… 12分 由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-， …… 2分∴ 点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴ 点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分 ()240b c ∆=-< ，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上. …… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一.。
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4．通信工程中常用 n 元数组( a1 , a2 , a3 , …, an )表示信息，其中 ai = 0 或 1, i, n ∈ N ．设
u = (a1 , a2 , a3 , …, an ) ， v = (b1 , b2 , b3 , …, bn ) 表示 u 和 v 中相对碰的元素不同的个数．
2008 年上海交通大学冬令营选拔测试 数学试题
说明：考试时间 2 小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予 A 的 认定。满分 l00 分。 一、填空题 1．若 f ( x) = 2．函数 y =
2x −1 3 ， g ( x) = f −1 ( x) ，则 g ( ) = x 5 2 +1
．
．
x +1 最大值为 x2 + 8
3．等差数列中， 5a8 = 3a13 ，则前 n 项和 S n 取最大值时， n 的值为 4．复数 | z |= 1 ，若存在负数 a 使得 z − 2az + a − a = 0 ，则 a =
2 2
． ．
5．若 cos x − sin x = ，则 cos x − sin x =
(1) u = (0, 0, 0, 0, 0) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u , v) = 1 ； (2) u = (1,1,1,1,1) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u , v) = 3 ； (3)令 w = ， u = ( a1 , a2 , a3 , …, an ) ， v = (b1 , b2 , b3 , …, bn) （ 0,0,0,0,0 ）
3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A 组，进行主客场比赛． 规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分 比赛结束后前两名可以晋级 (1)由于 4 支队伍均为强队，每支队伍至少得 3 分于是甲专家预测：中国队至少得 10 分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得 1 分才能确保出线．问：甲、乙专家哪个说的 对?为什么? (2)若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线?
．
1 3 5 7 ， a3 = ， a7 = − ， a2 = 6 ， a4 = 20 ， a6 = 42 ， a5 = − ， 2 4 6 8
．
a8 = 72 ，此数列的通项公式为
9． 甲、 乙两厂生产同一种商品． 甲厂生产的此商品占市场上的 80％， 乙厂生产的占 20％； 甲厂商品的合格率为 95％， 乙厂商品的合格率为 90％． 若某人购买了此商品发现为次品． 则 此次品为甲厂生产的概率为 ． 10．若曲线 C1 : x − y = 0 与 C2 : ( x − a ) + y = 1 的图像有 3 个交点，则
3 3
1 2
．
6． 数 列 {an } 的通项公式为 an =
1 ， 则这个数列的前 99 项之和 n n + 1 + (n + 1) n
3
.
7． (1 + x) + (1 + x) 2 + … + (1 + x)98 + (1 + x)99 中 x 的系数为 8． 数 列 {an } 中， a1 = − a0 ，
n个 0
求证： d (u , w) + d (v, w)≥d (u , v)
5．曲线 y 2 = 2 px( p＞0) 与圆 ( x − 2) 2 + y 2 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点在 y = xglish@
2 2 2 2
．
答案与解析索取 邮箱：iienglish@
二、解答题 1．30 个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为 a ； 把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b ． (1) a 是否有可能比 b 高? (2) a 和 b 是否可能相等?
2． 已知函数， f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) ， 且 f ( x) = x 没有实数根． 那么 f ( f ( x)) = x 是否有实数根?并证明你的结论．