2垂径定理

课题02：24.1.2垂直于弦的直径（1）

编制：彭泉松审定：彭泉松

课标要求：学生灵活运用垂径定理解决问题。

德育目标：结合教学内容，向学生进行爱国主义教育和美育渗透，培养独立思考与小组交流。学习目标：1、理解圆的轴对称性及垂径定理的推证；能应用垂径定理进行计算和证明。

2、通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

学习重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．

学习难点：垂径定理的证明与运用．

学习过程：一、知识复习：学生口答圆的有关概念

二、自学课本P81 结合实验活动，提出问题：

1、探究：让学生用自己的方法探究圆的对称性，引导学生努力发现：

圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．分析证明：

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

求证：AE=EB，= ，= ．

证明：

垂径定理：

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB，= ，= .

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；

③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

（二）知识迁移中发现新问题

1、剖析：

2、新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）

，，……（包括原定理，一共有10种）

(三)探究新问题，归纳新结论：推论（学生理解）

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

三、例题讲解：

例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，

因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，

例2、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

归纳：解决有关弦的问题，经常做过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，

连结半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件

四、当堂训练（A 组） 1、按图填空：在⊙O 中，

（1）若MN ⊥AB ，MN 为直径，则________，________，________；

（2）若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则_______，________，________；

（3）若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则________，________，________；

（4）若 = ，MN 为直径，则________，________，________

2、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，

那么下列结论中，错误的是（ ）． A ．CE=DE B ．»»BC

BD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD 3、如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3， 则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8

（B 组）4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ， 则经过P 点的最短弦长为________；最长弦长为_______．

5、 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点． 求证AC=BD ．

6、如图，在⊙O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，O D ⊥AB 于点D ，

OE ⊥AC 于E ，求证：四边形ADOE 是正方形

（C 组） 7、如图，⊙O 的直径为4，动弦C D ⊥直径AB 于E ，C F ⊥当弦CD 运动时，OE 2+EF 2的值是否发生变化，若不 变，求出其值，若变化，请说出理由。

预习安排：预习P82—83 运用垂径定理 板书设计：24.1.2垂直于弦的直径（1）

（1）圆的轴对称性；(2) 垂径定理及应用．(3) 垂径定理和勾股定理

学习反思： o C

A B D E B A O M B A

C E

D O B C D O F A E