逻辑运算

L = A B C + AB C = A B C + A B C
= A+ B + C + A+ B + C
= A+ B+C + A+ B+C
A
≥1 ≥1
A+ B+ C
B
≥1 ≥1
≥ 1
A+ B+ C
≥1
L
C
逻辑函数的代数化简法举例
L 例1. 化简逻辑函数： = AB + A C + BC + AB CD
例: 逻辑函数 L = ( A+ B)( A+ C) 的对偶式为
L′ = AB + AC
当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。 当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。 这就是对偶规则。利用对偶规则， 这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的 运算公式，例如， 运算公式，例如，吸收律
2、基本公式的证明 、 例
(真值表证明法) 真值表证明法)
， AB =
证明 A + B = A⋅ B
A+ B
列出等式、 列出等式、右边的函数值的真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B 1 1 0 1 0 1 A+B 0+0=1 0+1=0 1+0=0 1+1=0
A⋅ B AB
1 0 0 0 0·0 = 1 0·1 = 1 1·0 = 1 1·1 = 0
F = [( A + B)C + D ]( A + C )
对偶规则： 3. 对偶规则：
对于任何逻辑函数式，若将其中的与（ 换成或（ ）， ），或 对于任何逻辑函数式，若将其中的与（• ）换成或（+），或（+） ） 换成与（ ）；并将1换成 ）；并将 换成0， 换成 换成1；那么， 换成与（•）；并将 换成 ，0换成 ；那么，所得的新的函数式就 的对偶式， 是L的对偶式，记作 的对偶式 。 L′
重叠律： 重叠律： 反演律： 反演律： 吸收律
A+A=A A+B=A· B
A ·A=A AB = A + B
A + A ⋅ B＝A
A + A ⋅ B＝A + B
A ⋅ ( A + B)＝A )
( A + B) ⋅ ( A + C) ＝A + BC
其它常用恒等式 AB＋AC＋BC＝AB + AC ＋ ＋ ＝ AB＋AC＋BCD＝AB + AC ＋ ＋ ＝
= AC + D（AC + AB + BC） L 合并
= AC + ABD + BCD L 吸收
左边=右边，等式得证
2.1.3 逻辑函数的代数法化简
1、逻辑函数的最简与-或表达式 逻辑函数的最简与在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中， 在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数 最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。 最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。
2.2
逻辑函数的卡诺图化简法
2.2.1 最小项的定义及性质 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数
代数法化简在使用中遇到的困难： 代数法化简在使用中遇到的困难： 1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所 逻辑代数与普通代数的公式易混淆， 逻辑代数与普通代数的公式易混淆 有公式熟练掌握； 有公式熟练掌握； 2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验 代数法化简无一套完善的方法可循， 代数法化简无一套完善的方法可循 和灵活性； 和灵活性； 3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简 用这种化简方法技巧强，较难掌握。 用这种化简方法技巧强 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。
A+B 1 1 1 0
0 0
公式的证明方法： 公式的证明方法：(1)检验等式两边函数的真值表是 否一致; (2)用简单的公式证明略为复杂的公 式。
2.1.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则 ： 在包含变量 逻辑等式中，如果用另一 在包含变量A逻辑等式中 逻辑等式中， 个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。 个函数式代入式中所有 的位置，则等式仍然成立。这一规 的位置 则称为代入规则。 则称为代入规则。 例：B (A + C) = BA+BC， ， 用A + D代替A，得 代替 B [(A +D) +C ] = B(A +D) + BC = BA + BD + BC 代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围
=AB+ AC +
配项法： 配项法： + A = 1 A
)
例2.1.7
已知逻辑函数表达式为
L = ABD + A B D + ABD + A B C D + A B CD
，
要求：（ ）最简的与-或逻辑函数表达式 并画出相应的逻辑图； 或逻辑函数表达式， 要求：（1）最简的与 或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图； ：（ （2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。 ）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。 解： L = AB( D + D ) + A B D + A B D( C + C )
Z 1 1 1 0
X 0 0 1 1
Y 0 1 0 1
Z 1 0 0 0
X 0 0 1 1
Y 0 1 0 1
Z 0 1 1 0
X 0 0 1 1
Y 0 1 0 1
Z 1 0 0 1
Z = XY
&
Z = X +Y
Z = X ⊕Y = XY + XY
>1 =1
Z=X ⊙Y = X Y + XY
>1 =
>1
2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 2.1.1
1、基本公式 A 0、1律： + 0 = A A 互补律： 互补律： + A = 1 交换律： 交换律： + B = B + A A A+1=1 A·1=A A·A=0 A·B=B·A A·0=0
结合律： 结合律：A + B + C = A wk.baidu.com ( B + C ) A · B · C = A · ( B · C ) A 分配律： 分配律： ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C )
F = AB + C ⋅ D + AC 例: F = AE + ( A + B )C + A D +
F ′ = ( A + E ) ⋅ ( AB + C )( A + D)
a. ( F' )' = F b. 若 F = G，则 F ' = G' G， 注意： 注意：反演规则与对偶式的区别 变量是否取反
= A + BC + CB + BD + DB
下面有两种化简结果:
= A + BC + CB + BD + C D + DB = A + BC + CB + BD + DB + CD
= A + BC + C D + DB
= A + CB + BD + C D
代数化简法的优缺点
优点： 优点：不受变量数目的限制。 缺点：没有固定的步骤可循,需要熟练运用各种公式和定理； 缺点 化简较复杂的逻辑函数时需要一定技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
2.1
2.1.1
逻辑代数
逻辑代数的基本定律和恒等式
2.1.2 逻辑代数的基本规则 2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法
2.1
逻辑代数
逻辑代数又称布尔代数。 逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不 又称布尔代数 可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则， 可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用 于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、 于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分 析和设计。 析和设计。 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数 字电路中往往是将事情的条件作为输入信号， 字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号 表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“ 表示。 表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1” 和“0”表示。 表示
L = AB C + ABC
= AB( C + C ) = AB
吸收法： 吸收法： A + AB = A
L = AB + ABCD(E + F) = AB
消去法： 消去法：A+ AB = A+ B
L = AB + AC + BC = AB + ( A + B)C A+ B = AB A+AB=A+B = AB+ AB = AB+ C + C + L = AB + AC + BC = AB + AC + ( A+ A)BC =AB + AC + ABC + ABC = ( AB + ABC ) + ( AC + ACB)
=AB + A B D + A B D = AB + A B ( D + D )
= AB + A B
= AB + A B
A B &
&
AB
&
L
& &
)
= AB ⋅ A B
)
A⋅ B
例2.1.8 试对逻辑函数表达式
L = A B C + AB C
进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。 进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。 解：
用逻辑代数定律证明等式
例：证明 A + C + D ( A + C )( A + B )( B + C ) = AC + ABD + BCD 成立
证： 左边 = AC + D ( AC + A B + BC )
L 反演
= AC + D[ AC(B + B + AB(C + C + BC( A + A ] L配项 ） ） ）
L = A B + CD + 0
的非函数
解：按照反演规则，得 按照反演规则，
L = (A + B) ⋅ (C + D ) ⋅ 1 = ( A + B )(C + D )
应用反演规则时要注意以下两点： 应用反演规则时要注意以下两点： （1）保持运算的先后顺序不变，必要时加括号 ）保持运算的先后顺序不变，必要时加括号; （2）变换中，多个变量上的公共非号保持不变。（思考： ）变换中，多个变量上的公共非号保持不变。 思考： 为什么） 为什么） 例: F = AB + C ⋅ D + A C
解: L = AB + A C + BC = AB + ( A + B)C
= AB + AB C = AB + C
例2. 化简 L = AB + AC + BC + C B + BD + DB + ADE ( F + G ) 解: L = AB + AB + AC + BC + CB + BD + DB + ADE( F + G)
L = AC + C D
“与-或” 表达式 与 “与非 与非”表达式 与非-与非 与非 与非” “或-与”表达式 或与 “或非－或非” 表达 或非－或非” 或非 式 “与-或-非”表达式 与
= A C ⋅C D
= ( A + C )( C + D )
= ( A + C ) + ( C+D )
= AC + C D
反演规则： 2. 反演规则： 对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（ 对于任意一个逻辑表达式 ，若将其中所有的与（• ）换成 ），或 ）；原变量换为反变量 或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变 ）， ）换成与（ ）；原变量换为反变量， 量换为原变量； 换成0， 换成 换成1； 量换为原变量；将1换成 ，0换成 ；则得到的结果就是原 换成 函数的反函数。 函数的反函数。 例2.1.1 试求
2 .逻辑代数与硬件描述语言基础 逻辑代数与硬件描述语言基础
2.1 2.2 逻辑代数 逻辑函数的卡诺图化简法
2.3 硬件描述语言 硬件描述语言Verilog HDL基础 基础
教学基本要求
1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式 熟悉逻辑代数常用基本定律、 和规则。 和规则。 掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法。 2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法。
2、逻辑函数的化简方法 、 化简的主要方法： 化简的主要方法： １．公式法（代数法） 公式法（代数法） ２．图解法（卡诺图法） 图解法（卡诺图法） 代数化简法： 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 并项法: A+ A =1 并项法:
此外, 还有与-或 非门 非门(AND-OR-INVERTER) 此外 还有与 或-非门
集成门电路举例
例：7400 (四2输入与非门) 引脚排列图
7420 ：双4输入与非门 , 7430 ：8输入与非门, 7404/ 4069 ：六反相器(六非门) ， 7402/4001 ：四2输入或非门，4002 ：二4输入或非门
基本逻辑运算，符号，逻辑门 基本逻辑运算，符号，
Z = X ⋅ Y = XY
Z = X +Y
Z=X
&
>1
1
与门
或门
非门， 非门，反相器
复合逻辑运算、 复合逻辑运算、符号与逻辑门
与非(NAND) 与非 或非(NOR) 或非 异或(XOR) 异或 同或(XNOR) 同或
X 0 0 1 1
Y 0 1 0 1