5.2.1三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念(教学设计)
5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)． 三角函数定义定义域 名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1：求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.。
5.2.1 三角函数的概念
答案:-
-
,tan α=
α= .
,
,则 sin α=
.
？
二、正弦函数、余弦函数、正切函数值在各象限的符号
1.在平面直角坐标系Oxy中,设α是一个任意角,它的终边与单
位圆相交于点P(x,y).
(1)根据三角函数的定义,三角函数值的符号与什么有关系?
提示:与点P的纵坐标和横坐标的符号有关.
(2)当|OP|=r时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示?
提示:sin α=,cos
α=,tan α=.
(3)对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否随点P在终边上
的位置的改变而改变?
提示:不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P(x,y)在终边
上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大
即=tan α(x≠0).=tan α(x≠0)也是以角为自变量,以单位
圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切
函数.
？
(2)将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,
记为:正弦函数 y=sin x,x∈R ;余弦函数 y=cos x,x∈R ;
正切函数 y=tan x, x≠ +kπ(k∈Z) .
的实际情况对参数进行分类讨论.
？
【变式训练1】 (1)求角π的正弦值、余弦值和正切值;
(2)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
解:(1)因为角π的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0),
高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
5.2.1三角函数的概念课件(人教版)
13
5
13
5
12
则sinα= ，cosα= ，tanα= ．
六、归纳小结提高认识
1.知识：三角函数的定义及其定义域.
2.数学思想方法：数形结合思想；类比法.
七、布置作业 检测目标
课本179-180页练习1、2、3、4题.
谢
谢！
作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则
|P0M0|=|y0|,|PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|,△OMP∽△OM0P0.
因为y0与y同号，所以y0= .即sinα= .
同理可得cosα= , tanα= .
于是
0 0
1
=
,即|y0|= .
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位
圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，
我们将它们统称为三角函数
2.三角函数的定义域：
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
| ≠ ＋， ∈
2
四、举例应用掌握定义
5
例1.求 的正弦、余弦和正切值.
3
5
解：在直角坐标系中，作∠AOB= ，易知∠AOB的终边与单
在锐角的终边上任取一点P(a, b),
设 OP r a 2 b2 0
P(a
, b)
y
P ( a, b)
MP b
sin
OP r
OM a
cos
OP
r
tan
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
5.2.1 三角函数的概念 教学设计(2)
【新教材】5.2.1 三角函数的概念三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。
三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。
三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。
紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。
三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。
三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三角函数的概念(基础知识+基本题型)(含解析)
5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一 任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二 三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三 诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角 的三角 函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四 三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴 同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一 三角函数的定义及函数值符号 【例1】 有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二 求三角函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应 熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一 般用弧度制表示.考点三 诱导公式一的应用 【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记 忆特殊角的三角 函数值.考点四 三角函数线的应用【例4】 利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点 与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连 线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内 的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。
2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念
[思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．
[解] (1)因为 105°，230°分别为第二、三象限角，所以 sin105°>0，cos230°<0.
于是 sin105°·cos230°<0.
π
2π
(2)因为 2 <3<π，所以 3 是第二象限角，所以 cos3<0，又因为－ 3 是第三象限角，
( ) ( ) 2π
2π
－
－
所以 tan 3 >0，所以 cos3·tan 3 <0.
判断三角函数值正负的 2 个步骤 (1)定象限：确定角 α 所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来 判断． 注意：若 sinα>0，则 α 的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在 y 轴的非负半轴上．
[答案] D
( )π
－ 5．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cos 4 ；③tan2，其中符号为负的个数
为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°)
＝sin80°>0
( )π
－ ②cos 4 >0
π ③∵ 2 <2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选 B.
一、选择题
( ) 3 4
－， 1．已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 5 5 ，则
tanα 的值为( )
4 A．－3
3 B．－4
4 C．－5
3 D．－5
4 5 34 － [解析] 由正切函数的定义可得，tanα＝ 5＝－3.
(新教材)高中数学必修第一册第5章 5.2.1三角函数的概念
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝ 22× 23＋12×12＝ 46＋14＝1＋4
6 .
(2)sin－116π＋cos 125πtan 4π. 解 原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋25πtan(4π＋0) ＝sin π6＋cos 25π×0＝12.
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
点P的纵坐标 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝ y ；点P的横坐标 x 叫做α的余
弦函数，记作cos
α，即cos
α＝
x
；把点P的纵坐标与横坐标的比值
y x
叫做α的正切，
记作tan
α，即tan
α＝ y x
(x≠0).
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan
x，x≠
π 2
＋kπ(k∈Z).
思考 三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？ 答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只 与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
其中符号为负的有
A.1个
B.2个
C.3个
√D.4个
解析 －100°在第三象限，故sin(－100°)<0； －220°在第二象限，故cos(－220°)<0； －10∈－72π，－3π，在第二象限，故 tan(－10)<0，cos π＝－1<0.
反思
感悟 判断三角函数值正负的两个步骤
5.2.1 三角函数的概念(教学课件)
y
( ) ( )
o
x
( )( )
y
( ) ( )
o
x
( )( )
y
( ) ( )
o
x
( )( )
sin
cos
tan
正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四象限的 角是负的。
余弦值x 对于第一、四象限的角是
正的，对于第二、三象限的角是 负的。
y
正切值 x 对于第一、三象限的角是正的， 对于第二、四象限的角是负的。
人教A版2019必修第一册
第 5章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念
学习目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义．
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各 象限的符号．
3.掌握公式一并会应用．
复习
1.1弧度的角： 等于半径长的圆弧所对的圆心角
2.角度制与弧度制的换算 180 弧度
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．
例5 求下列三角函数值：
(1) sin148010 (精确到0.001);
(2) cos 9 ; 4
(3)
tan
11 6
可以直接利用计算工具求三角函数的值．用计算工具求值时要 注意设置角的适当的度量制．
(1) sin148010 sin(4010 4 360) sin 4010 0.645
x
x
唯一确定的. 所以, y tan( x 0)也是以角为自变量, 以单位圆上点
x 的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数, 称为正切函数.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （trigonometic function），通常将它们记为：
1 5．2.1三角函数的概念(共46张PPT)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 B.由－π2＜α＜0 知 α 为第四象限角，
则 tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．
()
2．已知 sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角 θ 是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解得 b＝3(b＝－3 舍去)．
4．sin 780°＝________，cos94π＝________．
答案：
3 2
2 2
探究点 1 求任意角的三角函数值 (1)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 P35，y(y<0)，求 tan α 的值．
(2)已知角 α 的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α 的值．
第五章 三角函数
5．2 三角函数的概念 5．2.1 三角函数的概念
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
三角函数的概念
理解三角函数的概念，会求 给定角的三角函数值
掌握各象限角的三角函数值 三角函数值的符号判断
的符号规律
诱导公式一及应用
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵 三角
坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦 函数
函数和正切函数统称为三角函数
■微思考 1 (1)初中学习的锐角三角函数的定义是什么？ 提示：如图，在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则： sin B＝bc＝对 斜边 边， cos B＝ac＝斜 邻边 边， tan B＝ba＝邻 对边 边.
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件
(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
三角函数的概念(解析版)
5．2．1 三角函数的概念【知识点梳理】 知识点一：三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ，则22r x y +，那么： （1）y r 做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=； （2） x r 叫做α的余弦，记做cos α，即cos x rα=； （3）y x叫做α的正切，记做tan α，即tan (0)yx x α=≠．知识点诠释：（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离22r x y +，那么22sin x y α=+22cos x y α=+，tan yxα=． （2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．知识点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三：诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+=tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈注意：利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求02π～（或0360︒︒～）范围内角的三角函数值．知识点四、特殊角的三角函数值 0° 30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π sin α 0 12 22 3213222 12 0 1-cos α132 2212 012- 22- 32- 1- 0tan α0 331 33-1- 33- 0【题型归纳目录】 题型一：三角函数的定义 题型二：判断三角函数值的符号 题型三：确定角所在象限 题型四：诱导公式（一）的应用 题型五：圆上的动点与旋转点 【典型例题】题型一：三角函数的定义例1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设α是第二象限角，(),8P x 为其终边上的一点，且4sin 5α，则x =（ ） A ．3-B ．4-C ．6-D ．10-【答案】C【解析】因为(),8P x 为其终边上的一点，且4sin 5α， 所以2284sin 58x α，解得6x =±， 因为α是第二象限角，所以6x =-， 故选：C例2．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（ ）A 2B ．2C ．2D ．1【答案】A【解析】角α的终边上点(2,2)P -，则||22r OP ==22sin r α==. 故选：A例3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos αα+的值为（ ） A ．35 B ．25C ．1或25-D ．25或25-【答案】D【解析】由题意可得：点P 与原点间的距离()()22435r m m m =-+=，∴34sin ,cos 55m mm mαα-==. 当0m >时，则34sin ,cos 55αα==-，故22sin cos 5αα+=；当0m <时，则34sin ,cos 55αα=-=，故22sin cos 5αα+=-.故选：D.变式1．（2022·山西大附中高三阶段练习（文））已知角x 的终边上一点的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角x 的最小正值为（ ） A ．56πB ．53π C ．6π D ．3π 【答案】B 【解析】5153sincos 626ππ==， 角x 的终边上点的坐标为13()2，可得角为第四象限角，且tan 3x =- 所以53x π=. 故选：B变式2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））已知点2π(cos ,1)3P 是角α终边上一点，则cos α=（ ）A 5B ．5C 25D ．3 【答案】B【解析】依题意点P 的坐标为1(,1)2-，2211552125OP α-⎛⎫=-+=== ⎪⎝⎭故选：B.变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos 11tan ααα--+的值为（ ）A ．65-B ．1C ．2D ．3【答案】A()22345-+=，得4sin 5α，3cos 5α=-，4tan 3α=-，代入原式得4316554513⎛⎫--- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 故选：A变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =． 故选：C ．变式5．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m ，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值．【解析】()22sin 03m m α==≠+，5m ∴= 当5m =236cos 3m α==+15tan 3α==；当5m =236cos 3m α==+15tan 3α= 变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在函数()102y x x =->的图像上，求sin α，cos α的值．【解析】在函数()102y x x =->的图像上取一点2,1，则()225sin 21α=-+()2225sin 21α=-+5sin α=25cos α= 【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点(,)P x y ，P 到原点的距离为r （0r >）．则sin y rα=，cos xr α=．已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 题型二：判断三角函数值的符号例4．（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（ ） A ．sin 0α< B ．tan 0α> C ．cos 0α< D ．sin cos 0αα>【答案】C【解析】因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0,tan 0ααα><<，故ABD 错误，C 正确. 故选：C例5．（2022·湖北·高一阶段练习）下列各式的符号为正的是（ ） A ．cos3 B ．5ππsin cos 36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin2cos2-D ．7πtan8【答案】C 【解析】因为32ππ<<，所以1cos30-<<，故A 错误；因为35π223ππ<<，π026π-<-<，所以5πsin 03<，πcos 06⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 所以5ππsin cos 036⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故B 错误； 因为22ππ<<，所以sin 20,cos 20><，所以sin2cos20->，故C 正确；因为7π28ππ<< ，所以7πtan 08<，故D 错误. 故选：C.例6．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（文））sin 4tan7⋅的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不大于0【答案】B【解析】∵4在第三象限，∴sin40<，∵7在第一象限，∴tan 70>，∴sin 4tan70⋅<， 故选：B.变式7．（2022·江西省万载中学高一期中）设02πα≤<，如果sin 0α<且cos20α<，则α的取值范围是（ ） A ．π<α<3π2B ．3π2<α<2π C ．π4<α<34π D ．5π4<α<7π4【答案】D【解析】02πα≤<，sin 0α<，则π2πα<<，所以2π24πα<<， cos20α<，则5π7π222α<<，所以5π7π44α<<． 故选：D ．【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．题型三：确定角所在象限例7．（2022·全国·高一课时练习）点()cos2018,sin 2018P ︒︒所在的象限是（ ） A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】20185360218︒=⨯︒+︒在第三象限，cos 20180,sin 20180∴︒<︒<，∴点P 在第三象限. 故选：C.例8．（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】α为第二象限角，()90360180360k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ，()45180901802k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ；当()2k n n =∈Z 时，2α为第一象限角；当()21k n n =+∈Z 时，2α为第三象限角； 2α∴为第一或第三象限角；coscos22αα=-，cos02α∴<，2α∴为第三象限角.故选：C.例9．（2022·陕西汉中·高一期中）若cos tan 0αα<，且sin cos 0αα<，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】因为cos tan sin 0ααα=<，sin cos 0αα<，所以sin 0α<，且cos 0α>， 故a 是第四象限角． 故选：D变式8．（2022·全国·高三专题练习）若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】sin 0θ<，则角θ在第三，四象限，tan 0θ<，则角θ在第二，四象限， 所以满足sin 0θ<且tan 0θ<，角θ在第四象限. 故选：D变式9．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由点(sin ,tan )P αα在第四象限，可知sin 0,tan 0αα><， 则角α的终边在第二象限. 故选：B变式10．（2022·辽宁·高一期末）坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第（ ）象限. A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>， 则点P 位于第二象限， 故选：B【方法技巧与总结】 确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 题型四：诱导公式（一）的应用例10．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）17sin 4π=____________． 22【解析】17162sinsin sin 4444ππππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ 故答案为：22例11．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）13sin 3π=_________. 3【解析】因为133sin sin 4sin 333πππ⎛⎫===⎪⎝⎭. 3 例12．（2022·湖南·高一课时练习） 17tan()3π-＝______. 3【解析】17tan tan 6tan 3333ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3变式11．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））()cos 300-︒=______． 【答案】12【解析】()()1cos 300cos 360300cos602-︒=︒-︒=︒= 故答案为：12变式12．（2022·湖南·()3tan330sin 60︒+︒+-︒． ()3tan330sin 60︒+︒+-︒()()336060tan 36030sin 60︒+︒+︒-︒-︒360tan 30sin 60︒-︒-︒ 13332=3= 【方法技巧与总结】利用诱导公式一化简或求值的步骤（1）将已知角化为·360k α︒＋（k 为整数，0360α︒≤<︒）或2k πβ＋（k 为整数，02βπ≤<）的形式． （2）将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的． 题型五：圆上的动点与旋转点例13．（2022·湖南益阳·高一期末）在直角坐标系xOy 中，一个质点在半径为2的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点0P 为起点，沿逆时针方向匀速运动到P 点，每5s 转一圈，则2s 后0P P 的长为（ ） A ．42sin 5πB ．42cos 5πC ．24sin5π D ．24cos5π 【答案】C 【解析】由题意可知，一个质点在圆O 上每5s 逆时针方向转一圈，那么2s 后，到达P 点，所以04π5POP ∠=，而在0POP 中，02OP OP ==且为圆的半径，取0P P 的中点T ，如图，则2π5POT ∠=，所以2πsin sin 5PT POT OP ∠==，则012π2sin 25PT PP ==，所以02π4sin 5PP =故选：C例14．（2022·全国·高一专题练习）点P 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ） A ．13,22B ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛- ⎝⎭D ．321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】点P 从()1,0出发，沿单位圆逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，所以点Q 是角263π的终边与单位圆的交点，所以Q 2626(cos,sin )33ππ，又角263π的终边与262833-=πππ的终边是相同的，所以2621coscos 332==-ππ，2623sin sin 33==ππ132Q ⎛- ⎝⎭. 故答案为：A例15．（2022·江西师大附中高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，若点P 从()2,0出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动43π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是（ ） A ．(3- B ．(1,3--C ．(3D ．(1,3-【答案】B【解析】如图，作出半径为2的圆，由题意，43POQ π∠=，2OQ过Q 作QM x ⊥轴于M 点，3MOQ π∠=则1,3OM MQ ==(1,3Q ∴-- 故选：B变式13．（2022·江西·模拟预测（文））已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为12-，则点P 的横坐标为（ ）A ．13B ．12C 22D 3【答案】B【解析】由单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ， 点Q 的横坐标为12-，所以1cos 2xOQ ∠=-，即()223xOQ k k Z ππ∠=+∈， 所以()23xOP k k Z ππ∠=+∈，设点P 的横坐标为x ，则1 cos cos2cos332 x xOP kπππ⎛⎫=∠=+==⎪⎝⎭.故选：B变式14．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，滚珠P，Q同时从点(2,0)A出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q按顺时针方向每秒钟转6π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠P，Q第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠P，Q各自滚动的路程．【解析】（1）设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则ππ··2π36t t+=，4t∴=（秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C，则4π2cos13Cx==-，4π2sin33Cy==C∴点的坐标为(1,3)--，（2）第一次相遇时，P点滚动的路程为4π8π233⨯=，Q点滚动的路程为4π4π263⨯=，故第二次相遇时，P点滚动的路程为8π16π233⨯=，Q点滚动的路程为4π8π233⨯=．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点132P⎛-⎝⎭，则sinα的值为（）A．3B．12-C3D．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α== 故选：C ．2．（2022·江西赣州·高一期末）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin9︒的近似值为（π取近似值3.14）（ ）A ．0.039B ．0.157C ．0.314D ．0.079【答案】B【解析】假设圆的半径为1r =，此圆内接正二十边形等分成20个等腰三角形， 则每个等腰三角形的顶角为18°，选取其中一个小等腰三角形AOB ，过等腰三角形顶点O 向底边AB 作垂线OC ，垂足为C ，延长OC 交圆O 于点D ， 则由三线合一可知：9AOC BOC ∠=∠=︒， 则sin 9AC OA ︒=，其中π20AC AD ≈=，1OA =，所以π 3.14sin 90.1572020︒≈≈=故选：B3．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）如图，角α的终边与单位圆O的交点34(,)55A-，则4cos2sin5cos3sinαααα-=+（）A．203B．23C．45D．203-【答案】A【解析】因为角α的终边与单位圆O的交点34(,)55A-，||1OA=,故43 sin,cos55αα==-，所以344()24cos2sin2055345cos3sin35()355αααα⨯--⨯-==+⨯-+⨯，故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点1,3P m⎛⎫-⎪⎝⎭，则sinα=（）A．223B．13C．22D．13±【答案】C【解析】在单位圆中，22113m⎛⎫-+=⎪⎝⎭，解得22m=22sinα=.故选：C.5．（2022·江西上饶·高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sinαcosα的值为（）A ．15B ．25C 5D 25【答案】B【解析】设直角三角形的短边为x ，一个直角三角形的面积为10020204-=， 小正方形的面积为20，则边长为5大正方形的面积为100，则边长为10. 直角三角形的面积为1(25)20252x x x ⋅+=⇒=则直角三角形的长边为5 故2545sin αα=. 即2sin cos 5αα=.故选：B.6．（2022·北京市第五中学高一期末）在直角坐标系xOy 中，已知43sin ,cos 55αα=-=，那么角α的终边与单位圆O 坐标为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为43sin ,cos 55αα=-=，所以角α的终边与单位圆O 坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A7．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角【答案】C【解析】∵a 是第二象限角， ∴222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，即422k k παπππ+<<+，Z k ∈，∴2α是第一象限或第三象限角，故A 错误；由2α是第一象限或第三象限角，sin 02α>或sin 02α<，故B 错误；∵a 是第二象限角， ∴222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，∴4224k k ππαππ+<<+，Z k ∈，∴2α是第三象限，第四象限角或终边在y 轴非正半轴，sin20α<，故C 正确，D 错误. 故选：C ．8．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值x y 叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【解析】当甲：5sec 4β=-错误时，乙：5csc 3β=正确，此时53r y =，r ＝5k ，y ＝3k ，则|x |＝4k ，（k ＞0）， 4tan 3y x β∴==或4tan 3β=-，∴丙：3tan 4β=-不正确，丁：4cot 3β=不正确，故错误的同学不是甲；甲：5sec 4β=-，从而r ＝5k ，x ＝﹣4k ，|y |＝3k ，（k ＞0），此时，乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y ＝3k ＞0，x ＝﹣4k ＜0，34tan ,cot 43ββ∴=-=-，故丙正确，丁错误， 综上错误的同学是丁． 故选：D ． 二、多选题9．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是（ ） A ．sin20α> B ．cos20α> C ．cos02α> D ．tan02α>【答案】AD【解析】已知α是第一象限角，∴()π2π2π2k k k α<<+∈Z 由()4π24ππk k k α<<+∈Z ，2α角的终边在一、二象限或y 轴非负半轴上，sin20α>成立，A 正确；cos20α>不一定成立，B 错误； 由()πππ24k k k α<<+∈Z ，2α角的终边在第一象限或第三象限，cos 02α>不一定成立，C 错误；tan 02α>成立， D 正确. 故选：AD ．10．（2022·全国·高一单元测试）下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为32πC ．若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 【答案】BC【解析】选项A 中，75266πππ-=-+，是第二象限角，故A 错误； 选项B 中，设该扇形的半径为r ，则3r ππ⋅=，∴3r =，∴2133232S ππ=⨯⨯=扇形，故B 正确； 选项C 中，()22345r =-+=，cos 53x r α==-，故C 正确； 选项D 中，取30α=︒，则α是锐角，但260α=︒不是钝角，故D 错误． 故选：BC ．11．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（ ） A ．21sin θ=B ．α为钝角C ．27cos α= D ．点(tan θ，tan α)在第四象限【答案】ACD【解析】角θ的终边经过点(2,3)--，21sin θ=A 正确． θ与α的终边关于x 轴对称，由题意得α的终边经过点(3)-，α为第二象限角，不一定为钝角，27cos α=，B 错误，C 正确． 因为tan 30，3tan 0α=<，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确．故选：ACD12．（2022·全国·高一）以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标不可能的是（ ） A ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．312⎫⎪⎪⎝⎭C ．132⎛ ⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭【答案】ABD【解析】以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ， 则设运动过程中弧长对应的角为α，则133πα=， 根据三角函数的定义可得1313cos ,sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即132Q ⎛ ⎝⎭. 故选：ABD. 三、填空题13．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）角α的终边上有一点()()3,40P a a a ->，则sin α的值为______； 【答案】45【解析】由题意22(3)(4)5OP a a a -+，所以44sin 55a a α==． 故答案为：45．14．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在射线3(0)y x x =≥上，则角α的正弦值为______，余弦值为______． 【答案】312【解析】设角α的终边与单位圆的交点为(,)P x y ，则221x y +=，又3(0)y x x =≥，∴123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 于是3sin y α==1cos 2x α==,312 15．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边上有一点()3,P m -，且2sin α=，则m 的值为______． 【答案】5±0 【解析】由题意可知()222sin 43m α==-+，解得5m =±0． 故答案为：5±016．（2022·全国·高一课时练习）若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______． 【答案】－1【解析】因为角θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，tan 0θ<， 所以sin cos tan 1111sin cos tan y θθθθθθ=++=-+-=-． 故答案为：-1.17．（2022·江苏盐城·高一期末）已知角α为第一象限角，其终边上一点(),P x y 满足()()222ln 2ln x y x y -=+，则2cos α-sin α=________． 【答案】1【解析】由题意知，222ln(2)ln()x y x y -=+， 即222(2),,0x y x y x y -=+>， 化简得34x y =，则22223242cos sin 1.916x x x yx x αα--===++ 故答案为：1 四、解答题18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值. 【解析】225r x y a =+=，∴当0a >时，5r a =，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5α=，22sin cos 5αα∴+=-；当a<0时，5r a =-，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5=-α，22sin cos 5αα∴+=．综上可知，2sin cos αα+的值为25或25-.19．（2022·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m ，且满足2sin α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．【解析】(1)223m=+，解得0m =或5m =±∵α为第二象限角，∴m ＞0，所以m 5 ∴10sin α=(2)由（1）知0m =或5m =当0m =时，cos 1,tan 0αα=-=，所以cos tan 1αα+=-； 当5m =6cos α=，15tan α=cos ta n 615αα=+ 当5m =6cos α=15tan α=cos ta n 615αα=+ 综上所述，cos tan αα+的取值为1-或61561520．（2022·全国·高一课时练习）已知11sin sin αα=-，且lg cos α有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上有一点3,5M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1OM =（O 为坐标原点），求实数m 的值及sin α的值．【解析】（1）∵11sin sin αα=-，∴sin 0α<，∴角α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lg cos α有意义，可知cos 0α>，∴角α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上，角α是第四象限角（2）∵1OM =，∴22315m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得45m =±．又角α是第四象限角，故0m <，∴45m =-． ∴445sin 15α-==-． 21．（2022·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405sin450cos750︒-︒+︒；(2)t 15s 25an n 3i 4ππ⎛⎫- ⎝+⎪⎭. 【答案】331 【分析】利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算可得；(1)tan405sin450cos750︒-︒+︒()()()tan 36045sin 36090cos 236030=︒+︒-︒+︒+⨯︒+︒33tan 45sin 90cos3011=︒-︒+︒=-= (2)t 15s 25an n 3i 4ππ⎛⎫- ⎝+⎪⎭442tan 3sin 22ππππ⎛⎫+⨯+⎪⎛⎫=⎪-⨯⎝⎭ ⎝⎭3sin4tan ππ+= 31=。
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研究。
sin =
=
cos =
=
tan =
=
设P(a,b)是终边上任意点
这种定义法称为终边定义法
思考3：为了使sinα ，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选
在何处最好？为什么有如此一问？那是因为我们人是追求简单与
美的。把复杂问题简单化是人不懈的追求。
求不出来怎办？
求不出来，求不出来不要求，就用sin这个符号表示
这个对应法则，即f=sin。所以，y=f(A)=sinA
同理，cos、tan也与
sin一样
上述定义只限于直角三角形中的锐角，
而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
°
120 =?
cos150° =?
°
tan315 =?
一、任意角的三角函数
按章建跃老师的−
,tan
=
。
−
同学们，疑问：那四个象限岂不是三角函
数值都一样了？
sin在第一、二象限是正，在第三、四
象限是负。cos在第一、四象限是正，
在二、三象限是负。tan在第一、三象
限是正，在二、四象限是负，并且终边
不能落在y轴。
同学们以为定义是四个象限不同，
但结果相同。正确的是定义四个象
跟这节课讲的内容有关。
同学们，初中我们学过锐角三角函数正弦sinA、余弦cosA、正切tanA,我想问
sin、cos、tan是什么意思？这个问题在初中很难讲清楚，但在高中可以讲清楚。
sinA=
=
=
=
对于任意的锐角A，都有唯一的一个比值y与它对应。
同学们，这样的对应法则f它的解析式能求出来吗？
《2017版高中数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为：
数学是基础教育阶段最为重要的学科之一，其终极培养目标可以描述为：会用数
学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世
界。
那数学上如何表达刻画这种周期现象？
那就是用三角函数来刻画。为什么三角函数可以刻画表达周期现象，这
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
°
转化为求 0~2（或0° ~360
角的三角函数值
.
）
现在终于知道
三角函数为什
么能刻画自然
或社会里的周
期现象了吧？
备课后记
不管是用终边定义法定义三角函数，还是用单位圆法定义三角函数，都逃脱不
了学生这样的追问:
1、老师，初中里的锐角三角函数与高中的三角函数有什么关系？
o
x
（ +） （ ）
sin
cos
tan
需要死记硬背吗？ 只要紧紧抓住三角函数的定义就可以了。
是任
意角
sin < 0
例4若ቄ
成立，则角为第几象限角角？
> 0
sin < 0
三、四
tan > 0
三
一
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角
的同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
|OP|=r=1
以原点为圆心,以单位长
度为半径的圆叫做单位
圆.
Y
P(a,b)
O
M
X
sin =
=b
cos = =a
tan =
=
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P( x, y )
规定:（1） 叫做 的正弦，记作 sin ,即 sin = ；
这种定义法
2
0
1
3 不存在
180o 270o 360o
0
0
0
不在
0
1
0
)
例2：已知角α的终边经过点 P (-1, 3，求角α的正弦、
余弦和正切值。
|OP|=r =
cos = =
tan = =
−
−
y
r
sin = =
P(-1, 3)
(−1)2 +( 3)2 = 2
此题用终边
定义法方便
上哪里，比值都不变。
第一象限角不一定是锐角，但只要
终边落在第一象限，那三角函数的
定义就是上述样子。
思考2，当终边落在第二、三、四象限时，三角函数该如何定义？
终边落在第二、三、四象限的三角函数的定
义域终边落在第一象限的三角函数的定义是
一样的。
绝不会是这样，比如当终边落在第二象限时，
sin =
,cos
O
A（1,0） 是要能跟现实吻合，能解决现实问题，这现实
问题就是自然和社会现象的周期性，三角函数
为解决自然和社会现象的周期性而生。
根据三角函数的定义，确定它们的
定义域（弧度制）
思考
4
三角函数
y
sin
P(x,y)
cos
O
A(1,0)
x
tan
定义域
R
R
例1：求
1
2
x= ,y=--
5
sin
3
5.2三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念
温州市瓯海区三溪中学 张明
同学们，大千世界有种现象非常普遍，不但常见还非常迷人，那就是周期现
象。周期现象指现实世界中的许多运动具有循环往复、周而复始的规律。比如地
球自转引起的昼夜交替和公转引起的四季的交替、月亮圆缺，海洋的潮汐，物体
做匀速圆周运动时位置变化，都是周期现象。
称为单位圆
定义法
（2）叫做 的余弦,记作cos,即cos = ；
y
（3） 叫做的正切，记作,即 = ( ≠ 0)
x
有的同学会疑问：三角函数要这样定义，那样
定义不行吗？
O
P(x,y)
O
可以。数学的本质在於它的自由. －－－康扥尔
(Cantor)。但数学上概念的定义不是胡来，而
3
2
y
==−
5
cos
3
5
tan
3
5
的正弦,余弦和正切值.
3
==
=
5
3 O
3
2
1
2
=− 3
r=1
注意：此题用单
位圆定义法求。
1
2
3
2
1
P( , −
x
)
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧
度数
sinα
0
cosα
1
tanα
0
30o
45o
60o
90o
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
2
2
1
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，
在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα，tanα
的值分别如何表示？
sin =
P
cos
b
O
y
a
|OP|=r= 2 + 2
M
x
tan
=
=
=
=
=
问：上述比值跟点P在终边上
的位置有关吗？
只要P不落在原点，无论在终边
=
−
=−
M
O
x
例3 若将 P (-1, 3 ) 改为P(-a, a)，如何求的三个三角函数值呢？
用终边定义法，分a>0与a<0两种情形讨论．
y
探
究
的终边
P
o
x
A(1,0)
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
（ +）（ ）
o
x
（ ）（ ）
y
（ - ）（ + ）
o
x
（ ）（ + ）
y
（ -） （+ ）