5.2.1三角函数的概念
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限相同，结果不同。定义不同不好
研究。
sin =
=
cos =
=
tan =
=
设P(a,b)是终边上任意点
这种定义法称为终边定义法
思考3：为了使sinα ，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选
在何处最好？为什么有如此一问？那是因为我们人是追求简单与
美的。把复杂问题简单化是人不懈的追求。
求不出来怎办？
求不出来，求不出来不要求，就用sin这个符号表示
这个对应法则，即f=sin。所以，y=f(A)=sinA
同理，cos、tan也与
sin一样
上述定义只限于直角三角形中的锐角，
而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
°
120 =?
cos150° =?
°
tan315 =?
一、任意角的三角函数
按章建跃老师的−
,tan
=
。
−
同学们，疑问：那四个象限岂不是三角函
数值都一样了？
sin在第一、二象限是正，在第三、四
象限是负。cos在第一、四象限是正，
在二、三象限是负。tan在第一、三象
限是正，在二、四象限是负，并且终边
不能落在y轴。
同学们以为定义是四个象限不同，
但结果相同。正确的是定义四个象
跟这节课讲的内容有关。
同学们，初中我们学过锐角三角函数正弦sinA、余弦cosA、正切tanA,我想问
sin、cos、tan是什么意思？这个问题在初中很难讲清楚，但在高中可以讲清楚。
sinA=
=
=
=
对于任意的锐角A，都有唯一的一个比值y与它对应。
同学们，这样的对应法则f它的解析式能求出来吗？
《2017版高中数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为：
数学是基础教育阶段最为重要的学科之一，其终极培养目标可以描述为：会用数
学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世
界。
那数学上如何表达刻画这种周期现象？
那就是用三角函数来刻画。为什么三角函数可以刻画表达周期现象，这
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
°
转化为求 0~2（或0° ~360
角的三角函数值
.
）
现在终于知道
三角函数为什
么能刻画自然
或社会里的周
期现象了吧？
备课后记
不管是用终边定义法定义三角函数，还是用单位圆法定义三角函数，都逃脱不
了学生这样的追问:
1、老师，初中里的锐角三角函数与高中的三角函数有什么关系？
o
x
（ +） （ ）
sin
cos
tan
需要死记硬背吗？ 只要紧紧抓住三角函数的定义就可以了。
是任
意角
sin < 0
例4若ቄ
成立，则角为第几象限角角？
> 0
sin < 0
三、四
tan > 0
三
一
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角
的同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
|OP|=r=1
以原点为圆心,以单位长
度为半径的圆叫做单位
圆.
Y
P(a,b)
O
M
X
sin =
=b
cos = =a
tan =
=
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P( x, y )
规定:（1） 叫做 的正弦，记作 sin ,即 sin = ；
这种定义法
2
0
1
3 不存在
180o 270o 360o
0
0
0
不在
0
1
0
)
例2：已知角α的终边经过点 P (-1, 3，求角α的正弦、
余弦和正切值。
|OP|=r =
cos = =
tan = =
−
−
y
r
sin = =
P(-1, 3)
(−1)2 +( 3)2 = 2
此题用终边
定义法方便
上哪里，比值都不变。
第一象限角不一定是锐角，但只要
终边落在第一象限，那三角函数的
定义就是上述样子。
思考2，当终边落在第二、三、四象限时，三角函数该如何定义？
终边落在第二、三、四象限的三角函数的定
义域终边落在第一象限的三角函数的定义是
一样的。
绝不会是这样，比如当终边落在第二象限时，
sin =
,cos
O
A（1,0） 是要能跟现实吻合，能解决现实问题，这现实
问题就是自然和社会现象的周期性，三角函数
为解决自然和社会现象的周期性而生。
根据三角函数的定义，确定它们的
定义域（弧度制）
思考
4
三角函数
y
sin
P(x,y)
cos
O
A(1,0)
x
tan
定义域
R
R
例1：求
1
2
x= ,y=--
5
sin
3
5.2三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念
温州市瓯海区三溪中学 张明
同学们，大千世界有种现象非常普遍，不但常见还非常迷人，那就是周期现
象。周期现象指现实世界中的许多运动具有循环往复、周而复始的规律。比如地
球自转引起的昼夜交替和公转引起的四季的交替、月亮圆缺，海洋的潮汐，物体
做匀速圆周运动时位置变化，都是周期现象。
称为单位圆
定义法
（2）叫做 的余弦,记作cos,即cos = ；
y
（3） 叫做的正切，记作,即 = ( ≠ 0)
x
有的同学会疑问：三角函数要这样定义，那样
定义不行吗？
O
P(x,y)
O
可以。数学的本质在於它的自由. －－－康扥尔
(Cantor)。但数学上概念的定义不是胡来，而
3
2
y
==−
5
cos
3
5
tan
3
5
的正弦,余弦和正切值.
3
==
=
5
3 O
3
2
1
2
=− 3
r=1
注意：此题用单
位圆定义法求。
1
2
3
2
1
P( , −
x
)
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧
度数
sinα
0
cosα
1
tanα
0
30o
45o
60o
90o
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
2
2
1
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，
在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα，tanα
的值分别如何表示？
sin =
P
cos
b
O
y
a
|OP|=r= 2 + 2
M
x
tan
=
=
=
=
=
问：上述比值跟点P在终边上
的位置有关吗？
只要P不落在原点，无论在终边
=
−
=−
M
O
x
例3 若将 P (-1, 3 ) 改为P(-a, a)，如何求的三个三角函数值呢？
用终边定义法，分a>0与a<0两种情形讨论．
y
探
究
的终边
P
o
x
A(1,0)
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
（ +）（ ）
o
x
（ ）（ ）
y
（ - ）（ + ）
o
x
（ ）（ + ）
y
（ -） （+ ）
研究。
sin =
=
cos =
=
tan =
=
设P(a,b)是终边上任意点
这种定义法称为终边定义法
思考3：为了使sinα ，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选
在何处最好？为什么有如此一问？那是因为我们人是追求简单与
美的。把复杂问题简单化是人不懈的追求。
求不出来怎办？
求不出来，求不出来不要求，就用sin这个符号表示
这个对应法则，即f=sin。所以，y=f(A)=sinA
同理，cos、tan也与
sin一样
上述定义只限于直角三角形中的锐角，
而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
°
120 =?
cos150° =?
°
tan315 =?
一、任意角的三角函数
按章建跃老师的−
,tan
=
。
−
同学们，疑问：那四个象限岂不是三角函
数值都一样了？
sin在第一、二象限是正，在第三、四
象限是负。cos在第一、四象限是正，
在二、三象限是负。tan在第一、三象
限是正，在二、四象限是负，并且终边
不能落在y轴。
同学们以为定义是四个象限不同，
但结果相同。正确的是定义四个象
跟这节课讲的内容有关。
同学们，初中我们学过锐角三角函数正弦sinA、余弦cosA、正切tanA,我想问
sin、cos、tan是什么意思？这个问题在初中很难讲清楚，但在高中可以讲清楚。
sinA=
=
=
=
对于任意的锐角A，都有唯一的一个比值y与它对应。
同学们，这样的对应法则f它的解析式能求出来吗？
《2017版高中数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为：
数学是基础教育阶段最为重要的学科之一，其终极培养目标可以描述为：会用数
学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世
界。
那数学上如何表达刻画这种周期现象？
那就是用三角函数来刻画。为什么三角函数可以刻画表达周期现象，这
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
°
转化为求 0~2（或0° ~360
角的三角函数值
.
）
现在终于知道
三角函数为什
么能刻画自然
或社会里的周
期现象了吧？
备课后记
不管是用终边定义法定义三角函数，还是用单位圆法定义三角函数，都逃脱不
了学生这样的追问:
1、老师，初中里的锐角三角函数与高中的三角函数有什么关系？
o
x
（ +） （ ）
sin
cos
tan
需要死记硬背吗？ 只要紧紧抓住三角函数的定义就可以了。
是任
意角
sin < 0
例4若ቄ
成立，则角为第几象限角角？
> 0
sin < 0
三、四
tan > 0
三
一
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角
的同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
|OP|=r=1
以原点为圆心,以单位长
度为半径的圆叫做单位
圆.
Y
P(a,b)
O
M
X
sin =
=b
cos = =a
tan =
=
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P( x, y )
规定:（1） 叫做 的正弦，记作 sin ,即 sin = ；
这种定义法
2
0
1
3 不存在
180o 270o 360o
0
0
0
不在
0
1
0
)
例2：已知角α的终边经过点 P (-1, 3，求角α的正弦、
余弦和正切值。
|OP|=r =
cos = =
tan = =
−
−
y
r
sin = =
P(-1, 3)
(−1)2 +( 3)2 = 2
此题用终边
定义法方便
上哪里，比值都不变。
第一象限角不一定是锐角，但只要
终边落在第一象限，那三角函数的
定义就是上述样子。
思考2，当终边落在第二、三、四象限时，三角函数该如何定义？
终边落在第二、三、四象限的三角函数的定
义域终边落在第一象限的三角函数的定义是
一样的。
绝不会是这样，比如当终边落在第二象限时，
sin =
,cos
O
A（1,0） 是要能跟现实吻合，能解决现实问题，这现实
问题就是自然和社会现象的周期性，三角函数
为解决自然和社会现象的周期性而生。
根据三角函数的定义，确定它们的
定义域（弧度制）
思考
4
三角函数
y
sin
P(x,y)
cos
O
A(1,0)
x
tan
定义域
R
R
例1：求
1
2
x= ,y=--
5
sin
3
5.2三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念
温州市瓯海区三溪中学 张明
同学们，大千世界有种现象非常普遍，不但常见还非常迷人，那就是周期现
象。周期现象指现实世界中的许多运动具有循环往复、周而复始的规律。比如地
球自转引起的昼夜交替和公转引起的四季的交替、月亮圆缺，海洋的潮汐，物体
做匀速圆周运动时位置变化，都是周期现象。
称为单位圆
定义法
（2）叫做 的余弦,记作cos,即cos = ；
y
（3） 叫做的正切，记作,即 = ( ≠ 0)
x
有的同学会疑问：三角函数要这样定义，那样
定义不行吗？
O
P(x,y)
O
可以。数学的本质在於它的自由. －－－康扥尔
(Cantor)。但数学上概念的定义不是胡来，而
3
2
y
==−
5
cos
3
5
tan
3
5
的正弦,余弦和正切值.
3
==
=
5
3 O
3
2
1
2
=− 3
r=1
注意：此题用单
位圆定义法求。
1
2
3
2
1
P( , −
x
)
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧
度数
sinα
0
cosα
1
tanα
0
30o
45o
60o
90o
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
2
2
1
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，
在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα，tanα
的值分别如何表示？
sin =
P
cos
b
O
y
a
|OP|=r= 2 + 2
M
x
tan
=
=
=
=
=
问：上述比值跟点P在终边上
的位置有关吗？
只要P不落在原点，无论在终边
=
−
=−
M
O
x
例3 若将 P (-1, 3 ) 改为P(-a, a)，如何求的三个三角函数值呢？
用终边定义法，分a>0与a<0两种情形讨论．
y
探
究
的终边
P
o
x
A(1,0)
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
（ +）（ ）
o
x
（ ）（ ）
y
（ - ）（ + ）
o
x
（ ）（ + ）
y
（ -） （+ ）