距离的量算方法与应用(武大遥感)

目录

一. 距离量算概述 (2)

二. 传统距离量测方法 (2)

2.1 利用地图比例尺进行距离量测 (2)

2.2 地图投影上进行距离量测 (2)

2.3 地图曲线量测两脚规法则 (3)

三. 传统计算方法的问题及局限性 (3)

四. 现代GIS系统中距离量算方法 (4)

4.1 算法概述 (4)

4.2 地球视为球体下的大地线 (4)

4.3 椭球面上的大地线计算 (4)

4.4归结大地线问题的计算步骤 (5)

五. 距离量算应用 (6)

一. 距离量算概述

所有空间分析的基础是使用距离计算。如果我们真实世界模型（根据调查的映射区域）被认为是一个平面（2D欧氏空间）或是一个完美的球体模型，那么，我们可以使用前面提供的简单距离公式De和Ds以进行两点之间的距离计算。但是，这两个公式对某些形式的空间分析有太多的局限性，需要另外的距离测量方法。在某些情况下，这些替代的计算方法可以直接从输入点对的坐标计算距离，但另外一些计算则是一个渐进的过程。事实上，渐进的计算方法是沿着指定的路径（之间的一系列紧密排列的点对），通过累加线段的长度计算的，这是计算距离最一般的方法。

二. 传统距离量测方法

2.1 利用地图比例尺进行距离量测

要想知道地面上两点之间的距离，除进行实地测量之外，大多数情况下，是运用地图进行量算的。在地图上量算两点间的距离，必须运用该地图的比例尺。例如在比例尺为1∶10 000的地图上，可以得知，图上1厘米，相当于实地距离10 000厘米或100米。如果其他条件相同，比例尺决定着地图内容的详细程度和精度，进而决定着一幅地图可能反映的区域大小。

当然，在大、中比例尺地图上计量相距不算太远的两点间的直线实地距离，只要用直尺量得图上距离，然后按比例尺计算即可。因为在这种情况下，地图的投影变形是极不明显的。此外，在普通小比例尺图上，特别是在等距投影的地图上，概略地运用图上所附的比例尺量算,也是可以的。

2.2 地图投影上进行距离量测

一般说来，在范围较小的大比例尺地图上，图面上各处的比例尺是一致的。但是在范围较大的小比例尺地图上，由于地图的投影变形，地图上的比例尺不可能处处一致。地图上普遍标注的比例尺，一般指地图上某个点或某条线附近的比例尺，也就是主比例尺。在有辅助几何面的投影中，离开这些点或线，图面上两点间的距离与实地距离之比，就会大于或小于这个比例尺。因此，为了准确地计量大范围内两点之间的距离，有的地图除表示出主比例尺外，还根据具体的变形和地图主比例尺绘制复式比例尺，也叫经纬线比例尺。不能简单地用主比例尺在地图的任何部位进行量算。

常用的海图，一般为墨卡托投影（圆柱投影的一种）。在这种图上，只有赤道符合主比例尺，没有变形。局部比例尺则随纬度增加而增大，例如在纬度60°附近，经线和纬线的长度都要扩大2倍左右；在纬度80°附近，经线和纬线长度能扩大将近6倍。在小比例尺地图上计量相距较远的两点的距离，必须充分了解地图投影的性质，而不能简单地应用主比

例尺进行量算。

2.3 地图曲线量测两脚规法则

在使用地图时，还常常需要量算地图上曲线的长度，例如河流的长度、道路的长度等。有了图面上的曲线长度，再用比例进行计算，即可求得实地的曲线长度。在图上量测曲线长度一般多用两脚规法。运用这种方法，首先要根据曲线的弯曲程度来确定两脚规的张度，例如,张度为2毫米，那么量取50次，就是图面的100毫米。用这种方法测得的长度，其精度主要取决于两脚规张度的大小。当曲线弯曲程度较小时，张度可以稍大一些；当曲线弯曲程度较大时，张度就要小些。通常使用的张度为1~4毫米。

量测曲线的长度,还可以用专门的仪器曲线计,但在常用的曲线量测法中，两脚规法则是一种比较精确的方法。

三. 传统计算方法的问题及局限性

大多数GIS软件在计算平面坐标点对之间的距离，且是局部距离时，使用标准的欧氏公式dE。重要的是要检查看看计算的距离是否是真正的距离，因为根据原始的经纬度数值计算的欧氏距离会产生不正确的结果。一些软件还提供了球面距离ds的计算方法，共选择使用。课堂上的例题——从美国波斯顿到英国布里斯托尔之间的便间接地证明了这个局限性。从美国波斯顿到英国布里斯托尔之间的一条大圆路径和一条恒间线。

图5-47大圆路径和恒间线距离的计算例子

计算的结果是大圆路径是5105.6 kms（球体半径取6371 kms），然而，恒间线距离是5283.4 kms。

四. 现代GIS系统中距离量算方法

4.1 算法概述

大地线为一曲面曲线,该曲线上每点的密切平面都包含该点的曲线法线。大地线是连接曲面上两点间的最短距离线。平面上的直线和球面上的大圆弧,分别是平面上和球面上的大地线。地球椭球面上两点的最短距离线即为大地线。在地球或椭球面几何空间上,两点之间的距离、方位应为大圆线或大地线的长度及方位。

4.2 地球视为球体下的大地线

在某些近似计算中,如忽略地球扁率,视地球椭球为球体,大地线即是大圆线。如图1,AB 为

球面上的一条大圆线,A、B两点的地理坐标分别为(φ1,λ1)、(φ2,λ2),解算球面三角形P1AB 得

式中,S、α1、α2分别为AB两点之间的大圆线长及该大圆线在A、B的方位角。

4.3 椭球面上的大地线计算

椭球面上的大地线计算远比球面复杂。根据大地线是最短距离线的极值条件,并引入欧拉方程,得到地球椭球面上的大地线微分方程为

方程(5)表明,地球椭球面的大地线上的各点纬线圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数,这便是著名的克莱劳(Clairaut)定理。式中的常数C称为大地常数。大地线方程是远距离大地问题解算的理论基础。

椭球面大地线计算可采用简化算法,其原理为:首先,将椭球面上的元素投影到球面上,并约

定在投影中,球面上点的纬度等于椭球面上相应点的归化纬度;椭球面上两点间的大地线投影到球面上为大圆弧;大地方位角之一保持不变。其次,将在球面上解算的球面元素按投影关系换算到椭球面上的相应元素。

如下图所示,设椭球面上大地线P1P2的长度为S,在P1、P2点的方位角为A1、A′2;对应于球面上的大圆线P′1P′2弧长为σ,在P′1、P′2点的方位角为A1、α′2。

由方程(5)并顾及归化纬度u的定义,得到以下方程

通过数值积分法求解方程(7)并取有限项,得到S与σ、l与λ的关系

上两式中

4.4归结大地线问题的计算步骤

1)将椭球面元素投影到球面上,计算归化纬度