大学物理习题及解答(刚体力学)

1 如图所示，质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度0v 。绕管心作半径为r D 的圆周运动，然后向下慢慢拉绳，使小球运动轨迹最后成为半径为r 1的圆，求(1)小球距管心r 1时速度大小。(2)由r D 缩到r 1过程中，力F 所作的功。

解 (1)绳子作用在

小球上的力始终通过中

心O ，是有心力，以小球

为研究对象，此力对O 的

力矩在小球运动过程中

始终为零，因此，在绳子缩短的过程中，小球对O 点的角动量守恒，即

1

0L L =

小球在r D 和r 1位置时的角动量大小 1100r mv r mv = 1

00r r v v =

(2)可见，小球的速率增大了，动能也增大了，由功能定理得力所作的功 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=1)(21 2

1)(21 2

1212102020210202021r r mv mv r r mv mv mv W

2 如图所示，定滑轮半径为r ，可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动，转动惯量为J ，轮上绕有一轻绳，一端与劲度系数为k 的轻弹簧相连，另一端与质量为m 的物体相连。 物体置于倾角为θ的光滑斜面上。 开始时，弹簧处于自然长度，物体速度为零，然后释放物体沿斜面下

滑，求物体下滑距离l 时，

物体速度的大小。

解 把物体、滑轮、弹簧、

轻绳和地球为研究系统。在

物体由静止下滑的过程中，只有重力、弹性力作功，其它外力和非保守内力作功的和为零，故系统的机械能守恒。

设物体下滑l 时，速度为v ，此时滑轮的角速度为ω

则 θωsin 2121210222mgl mv J kl -++= （1）

又有 ωr v = （2） 由式（1）和式（2）可得 m r J kl mgl v +-=22

sin 2θ

本题也可以由刚体定轴转动定律和牛顿第二定律求得，读者不妨一试。 3 如右图所示，一长为l 、质量为m '的杆可绕支点O 自由转动，一质量为m 、速率为v 的子弹射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转为︒30。问子弹的初速率为多少？

解 把子弹和杆看作一个系统，系统所受的外力有重力和轴对细杆的约束力。在子弹射入杆的极短时间里，重力和约束力均通过轴O ，因此它们对轴O 的力矩均为零，系统的角动量应当守恒。于是有 ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=2231 ma l m a mv （1）

子弹射入杆后，细杆在摆动过程中只有重力作功，故如以子弹、细杆和地球为一系统，则此系统机械能守恒。于是有

()()︒-'+︒-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'30cos 1230cos 13121222l g m mga ma l m ω （2）

解式（1）和式（2），得 ()()(

)2

2323261ma l m ma l m g ma v +'+'-=

F T2 F T1 F T 4 如图所示，一轻绳跨过两个

质量为m 、半径均为R 的均匀圆盘状滑轮，绳的两端分别系着质量为m 和2m 的重物，系

统由静止释放，绳与两滑轮无

相对滑动，求重物的加速度和两滑轮间绳的张力。

解： 图示受力图

ma F mg 22T2=-

βI R F R F T T =-2

βI R F R F T T =-1

ma mg F =-T1

及 2

21mR I = 、βR a = 得 g a 4

1=

所以 mg I F F T T 8

111=+=β 5一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由

1.2×103r .min -1均匀的增加到

2.7×103r .min -1。（1）求曲轴转动的角加速度；

（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 6一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为m N 1003.23⋅⨯，涡轮的转动惯量为2m kg 0.25⋅。当轮的转速由13min r 1080.2-⋅⨯增大到14min r 1012.1-⋅⨯时，所经历的时间为多少？

题6解1：在匀变速转动中，角加速度t 0

ωωβ-=，由转动定律βI M =，可得飞轮所经历

的时间 s .)n n (M I I M t 810200

=-=-=πωω

解2：飞轮在恒外力矩作用下，根据角动量定理，有

)(I Mdt t 00ωω-=⎰

则

s .)n n (M

I I M t 810200

=-=-=πωω 7.如图所示，质量kg 161=m 的实心圆柱体A ，

其半径为cm 15=r ，可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量kg 0.82

=m 的物体B 。求：

（1）物体由静止开始下降s 0.1后的距离；（2）绳的张力

解：（1）分别作两物体的受力分析图。对实心圆柱体而言，由转动定律得 ββ2121r m I r F T == （1）

对悬挂物体而言，依据牛顿定律，有

a m F g m F P 2T 2T 2='-='- （2）

且T

T F F '=。又由角量与线量的关系，得

β

r a =

解上述方程组，可得物体下落的加速度 21222m m g m a +=

在t = 1.0 s 时，B 下落的距离为

m 45.222121222=+==m m gt m at s

（2）由式（2）可得绳中的张力为

()N 2.3922121=+=-=g m m m m a g m F T

8. 在光滑的水平面上有一木杆，其质量为kg 0.11=m ，长为cm 40=l ，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动，一质量为g 102=m 的子弹，以12s m 100.2-⋅⨯=v 的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。

解：根据角动量守恒定理

ωω'+=)I I (I 2

12 式中2222)l (m I =为子弹绕

轴的转动惯量，I 2ω为

子弹在陷入杆前的角动量，v 2=ω为子弹在此刻绕轴的角速度。12211l m I =为杆绕轴的转动惯量，ω'是子弹陷入杆后它们一起绕轴的角速度。可得杆的角速度为