数理统计习题课

概率论与数理统计
数理统计习题课
例4 设总体X的概率分布为
X0
1
23
P 2 2 (1 ) 2 1 2
其中(0<<1/2)是未知参数,利用总体X如下样本值
3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 求的矩估计值和最大似然估计值.
解 : E( X ) 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 (1 2 ) 3 4 ,
d (4) 解似然方程得 的极大似然估计量ˆ.
4)要掌握估计量的评选标准.
(1)无偏性: E(ˆ) .
(2)有效性: (3)相合性:
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D(ˆ1) D(ˆ2 ),ˆ好. 0, lim P(| ˆ | ) 1.
n
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5) 要会正态总体未知参数的区间估计.
nn
3. E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
T ~ t(n),则E(T ) 0, D(T ) n (n 2). n2
4. z z1 .
t (n) t1 (n).
F
(m,
n)
F1
1 (n,
m)
.
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5. X和S2分别是总体X的期望和方差的无偏估计.
L( ) 4 6 (1 )2 (1 2 )4 , ln L( ) ln 4 6 ln 2 ln(1 ) 4 ln(1 2 ), d ln L( ) 6 2 8 6 28 24 2 ,
d 1 1 2 (1 )(1 2 )
令 d ln L( ) 0, 解得 7 13 .
x
x
1
e dx0
2
不含有， 故不能由此得到 的矩估计量.
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概率论与数理统计
解
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要求：
E(X 2)
2
A2
1 n
n i 1
X
2 i
E( X 2 ) x2 f ( x; ) d x
x2
1
x
e dx
x
2
1
e
x
d
x
2
0
2 2.
2ˆ2
1 n
是来自总体X 样本，
(1) 试证明： 的矩估计量ˆ1 2 X 和修正的最大似
然估计量ˆ2
n
n
1
X
(
n)
均是 的无偏估计；
(2) 问：ˆ1 和ˆ2 哪一个更有效？
(1) 证 E(ˆ1) E(2X ) 2E( X ) 2E( X )
2 ,
2
2X 是 的无偏估计量.
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也是 的无偏估计, 并且使它在所有这样形状的估
计量中方差最小. 解:
E(ˆ1) E(ˆ2 ) E(k1ˆ1 k2ˆ2 ) (k1 k2 ) .
欲使E(k1ˆ1 k2ˆ2 ) ,只须k1 k2 1.
又因为ˆ1与ˆ2相互独立, D(ˆ1) 2D(ˆ2 ),故
D(k1ˆ1 k2ˆ2 ) k12D(ˆ1) k22D(ˆ2 ) (2k12 k22 )D(ˆ2 ).
n i 1
X
2 i
ˆ
1 2n
i
n 1
X
2 i
— 的矩估计量
■
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例7
设总体X的方差D(X)存在，且 D(X) > 0, X1, X2 , ···, Xn 为来自总体X的样本，试选择适当的常数C，使得
n1
C ( Xi1 Xi )2
D(
X(n)
),
又因为
E(X(n) )
n 1,
n
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例6 设总体X的分布密度为
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f ( x; )
1
x
e
( x R, 0)
2
X1, X2 ,, Xn 为来自总体X的样本. 求参数
的矩估计量. 分析： f ( x; )中只含有一个未知参数，一般地，
只需要求： E( X ) 1 A1 X 的矩估计量.
然而
E( X ) x f ( x; ) d x
例3 设总体X服从正态分布 N (, 2 )( 0) ,从
该总体中抽取简单随机样本X1, X2 ,, X2n(n 2) ,
其样本均值为 X
1 2n
2n i 1
Xi
,求统计量
n
Y ( Xi Xni 2 X )2
i 1
的数学期望E(Y ).
解一 : 考虑( X1 X n1 ),( X 2 X n2 ),,( X n X 2n ),
6. 1 ˆ为的矩估计, g( x)连续,则g(ˆ)为g( )的矩估计. 2 ˆ为的极大似然估计, g( x)单调,则g(ˆ)为g( )
的极大似然估计.
7. [ˆ1,ˆ2 ]为的置信度是1 的置信区间, g( x)单调, 则[g(ˆ1), g(ˆ2 )]为g( )的置信度为1 的置信区间.
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概率论与数理统计
一、主要内容及要求
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1)掌握统计量的概念,会判断哪些样本的函数 是统计量；
2)掌握正态总体的样本均值和样本方差的定 义及其分布；
3)要会熟练运用矩法和极大似然法求估计量. 矩法求估计量的步骤:
(1) 求 1 E( X );
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欲使D(k1ˆ1 k2ˆ2 )为最小, 只须
S 2k12 k22 2k12 (1 k1)2为最小.
由 dS dk1
4k1
2(1
k1 )
6k1
2
0
k1 k2
1
3 2
3
, .
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■
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P X 72 0.2 n 0.2 n
10 n
令 0.2 n 0.9 查表得 0.2 n 1.29
即 n 41.6025 所以取 n 42 ■
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例2 设 X1, X 2,, X n 是来自正态总体N ( , 2 )
的简单随机样本, X 是样本均值,
x 1 (3 1 3 0 3 1 2 3) 2, 8
令E( X ) x,即3 4 2,
解得 的矩估计值为 ˆ 1 .
4
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3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3
X0
P 2
对于给定的样本值,似然函数为
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1
23
2 (1 ) 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
(2) 令 A1 1 ;
(3) 解上面方程，得 ˆ ˆ( X1,, Xn ).
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极大似然法求估计量的步骤:(一般情况下)
(1) 构造似然函数 L( ) :
n
L( ) f ( xi ) ;
(
2)
取对数：ln
i 1
L(
);
(3) 令 d ln L 0;
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6) 要会根据样本进行正态总体的假设检验.
假设检验的步骤:
(1) 由实际问题提出原假设H0(与备择假设H1); (2) 选取适当的统计量,并在H0为真的条件下确 定该统计量的分布;
(3) 根据问题要求确定显著性水平(一般题目
中会给定),从而得到拒绝域; (4) 由样本观测值计算统计量的观测值,看是否
C {D( Xi1 Xi ) [E( Xi1 Xi )]2}
i 1 n1
C 2D( X ) C 2(n 1)D( X ) D( X )
i 1
C 1 . 2(n 1)
■
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例8
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设总体 X ~ U [0, ], 参数 0, X1, X2 ,, Xn
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E( Xi ) E( X ), D( Xi ) D( X ) ( i 1, 2, , n )
D( Xi1 Xi ) D( Xi1) D( Xi ) 2D( X )
E(Xi1 Xi ) E(Xi1) E(Xi ) 0
n1
E[C ( Xi1 Xi )2]
i 1 n1
,
0 x
其它
即ˆ2
n
n
1
X(n)
也是
的无偏估计量.
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(2)
问：ˆ1
2X
和 ˆ2
n
n
1
X(n)
哪一个更有效？
解
由于 D(ˆ1) 4D( X )
4 D( X ) 2 ,
n
3n
D(ˆ2 )
D(n n
1
X(n) )
(n
n
1)2
i 1
为D(X)的无偏估计.
解
n1
E[C ( Xi1
Xi
)2 ]
n1
C E(Xi1
Xi
)2
i 1
i 1
n1
C {D( Xi1 Xi ) [E( Xi1 Xi )]2}
i 1
而X1, X2 , ···, Xn 相互独立，且与X 同分布
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nF n1( x) f ( x)
nxn1
n
,
0,
0 x
其它
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E(ˆ2 )
n
n
1
E(
X(n)
)?
E( X(n) ) xfX(n) ( x) d x
0
x
nx n1
n
d
x
n ,
E
nf X( n
n1) (Xx)(nn)10n,xnn,1
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X ~ U[0, ]
f
(
x)
1
,
x [0, ]
0, 其它
FX(n) ( x)
0, x 0
x
F ( x)
f (t)dt
x
1,
,
0 x x
P{X(n) x} Fn(x)
X(n) max ( X1, X2,, Xn ) 的概率密度为
fX(n) ( x) F X(n) ( x)
设为总体X的分布中的未知参数,X1,X2,…,Xn
为取自X的样本,若存在两个统计量:
ˆ1( X1, X2 ,, Xn ), ˆ2 ( X1, X2 ,, Xn )
使得对给定的 (0<<1), 有:
P(ˆ1 ˆ2 ) 1 . 则称 [ˆ1,ˆ2 ] 为 的置信度为1- 的置信区间, ˆ1,ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
将其视为取自总体N (2 ,2 2 )的简单随机样本,则
其样本均值为1 n
n i 1
(Xi
Xni )
1 n
2n i 1
Xi
2X,
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样本方差为 1 Y . n1
由于E( 1 Y ) 2 2 ,所以E(Y ) 2(n 1) 2 .
d
12
因7 13 1 不合题意， 12 2
所以的最大似然估计值为 ˆ＝7－ 13 .
■
12
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例5
设 ˆ1,ˆ2 是参数 的二个相互独立的无偏估计量, 且 D(ˆ1 ) 2D(ˆ2 ). 找出常数 k1, k2, 使 k1ˆ1 k2ˆ2
属于拒绝域,从而对H0作出判断.
2010年5月1日8时48分
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概率论与数理统计
二、重要公式与结论
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1. 样本( X1,, Xn )取自X表示Xi独立同( X )分布.
2. E( X ) E( X ) , E(S2 ) D( X ) 2 D( X ) D( X ) 2 .
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三、典型例题分析与解答
例1 设总体 X ~ N (72,100) ,为使样本均值大于
70 的概率不小于 90% ,则样本容量 n 4—2 — .
解 设样本容量为 n , 则 X ~ N (72,100) n
故
P
(
X
70)
P
X
72
70
72
P
X
72
0.2
n
10 n 10 n 10 n
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2,
S22
1 n
n i1
(Xi
X
)2,
S32
1 n 1
n i1
(Xi
)2,
S42
1 n
n i1
(Xi
)2,
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为:
(A) X n 1
S1
(C) X n
S3
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(B) X n 1
S2 (D) X n
S4
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解
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X
~
N (0,1)
1
2
n i1
(Xi
X )2
~
2(n
1)
n
X
n
1
2
n
(Xi X )2
i 1
n 1
n(n 1)(X ) ~ t(n 1) n (Xi X )2 i1
故应选(B)
■
2010年5月1日8时48分
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n1
解二
:
记X
1 n
n i 1
Xi
,
X
1 n
n i 1
X ni
,显然有
2 X X X .因此
n
E(Y ) E[ ( Xi Xni 2 X )2 ]
i 1`
n
E{[( Xi X ) ( Xni X )]2 } 2(n 1) 2 .
i 1
■
2010年5月1日8时48分
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