数理统计习题课
概率论与数理统计 习题课1-1
P( A B C ) =
事件的关系 互斥： 互斥：AB = φ 对立事件， 对立事件，样本空间的划分
P ( B A) = P ( B )
n个事件两两互斥，就称这n个事件互斥 个事件两两互斥，就称这n
独立
P ( A B ) = P ( A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
n个事件独立的要求很高
3 1 1 2 4未中， 3 或者1、、未中， 伤 L因此总的概率为 C 4 6 2 3
3 4
1 3 1 1 ∴ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − − C 4 6 6 2
4
3
1 n k k
条件概率
乘法公式
全概公式和贝叶斯公式
n个独立事件至少发生其一的概率
伯努利概型
在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率 重伯努利试验中，事件A恰好发生k
k Pn (k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2, L , n
1. B
掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7 2. 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中 一颗为1的概率。 一颗为1的概率。 解：
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 求他拨号不超过3次而接通电话的概率； （1）求他拨号不超过3次而接通电话的概率； 若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ （2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：设A = {第 i 次拨号拨对 }, i = 1,2,3 i
1 3
表示施放4枚深水炸弹击沉潜水艇的事件 解 设A表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，则 表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A =（2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若,（4）若A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ⊂，则Φ=BC解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
习题课3抽样分布
一、主要内容 二、重、难点 三、典型例题
一、主要内容
1. 数理统计的一些基本概念：总体、样本、 抽样、简单随机抽样、统计量 2、三大抽样分布的定义及相关性质 3、三大抽样分布的定义及相关性质
二 重点、难点
1、三大抽样分布的定义及相关性质 2三大抽样分布的定义及相关性质
三、典型例题
1.填空、选择题
1 2
2
)
2
cov( X 1, X 1 ) cov( X 1, X 2 )]
2
1 ( 2 0) 2 2 2
D（X 1 X）=D( X 1） D( X）-2cov(X 1 , X )=
2
1 1 2 2 2 2 2 2
1 1 同理 cov( X 2 , X ) 2 , D（X 2 X）= 2 2 2 cov( X 1 X , X 2 X ) cov( X 1 , X 2 ) cov( X 1 , X ) cov( X , X 2 ) cov( X , X ) 0
2 (n 1), 2 (9)
7 S12 故 4
2 9 S 2 (7), 2 5
即得结论 练习题 （2）
(n 1) S 2 (n 1) S 2 2 (n 1), 故D( ) 2(n 1) 2 2 (n 1) 2 2 4 2 2 所以， 4 D( S ) 2(n 1), 则D( S ) n 1
n1
2 ( X X ) i i 1
n1
n1 1
2 (n1 1) (n1 1) S X
2
2
2 2 (n1 1)S X
则 同理
E ( ( X i X ) ) E (
数理统计教程课后重要答案习题
第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα， 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
概率论第一章习题课
概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
数理统计课后习题答案—杨虎
习题一、基本概念1．解： 设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他 4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ 2.解： 由题意得：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N 4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293=--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯= 7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 8．解：由已知条件得：(1,),1()iX Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().ni X i Y B n p p F μ==-∑9.解: 1))1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2)λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3)()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4)1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1)()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)nii n S n S DXX D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)nii DXX n σ=∴-=-∑ 11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1)()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)2222,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,16u n n⎛⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解： 设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-()()12()2()12P T P T pP T ppP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF == 17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N n nn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=- 又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N n nσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x a f x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P X P X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)m i i X N m σ=∑，21~(0,)m ni i m X N n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解： 由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解： 1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a XP 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P c T P c S X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,)1()()1cov(,)()1(,)1i j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=--=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1．解：矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni i i i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln n i i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解： 1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤= 2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3． 1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 4) 解： 矩估计：00ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解： 矩法：()/0()(1)(2)x txEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰ X αβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ====极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx ni n L enx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n nL L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x tx EX dx dte dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆ2Mθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏222ln ln43ln ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；5.解：1,ln lninx n nxiL e e L n nxλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。
概率论与数理统计随机变量及其分布习题课
01 排列及其逆序数
解 以X表示此人外出时电话铃响的次数, 由题意知X~π(2t), t表示外出的总时间，则X的的分布律为
当t=10/60=1/6时， （1）
，故所求概率为
（2）设外出最长时间为t（单位：h）， 因为X~π(2t)，
3
01 排列及其逆序数
因此无电话打进的概率为
，
要使
即
，
解之得
0.3466小时约为21分钟，因此，某人应控制外出时间小
16
01 排列及其逆序数
ꢀ例8 设随机变量
,记
， 则A. p随着 μ的增加而增加
C. p随着μ的增加而减少
B. p随着 σ的增加而增加 D. p随着σ的增加而减少
解
因为 为单调增函数, p σ
,
所以 随着 的增加而增加
应选B.
17
01 排列及其逆序数
ꢀ例9 测量某距离时,随机误差X(单位:cm)具有密度函数：
则性。
6
01 排列及其逆序数 ꢀ例3 设随机变量X的概率密度为 为X的分布函数, 求 解 由题意知,X的分布函数为
因此，
F(x)
7
01 排列及其逆序数 ꢀ例4 设某加油站每周补给一次油,如果这个加油站每 周的销售量(单位:千升)为一随机变量,其密度函数为
试问该加油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概 率控制在5%以下?
，求
解 当y≤0时,Y的密度函数为 当y>0时,Y的分布函数为
的分布. ；
对上式两边关于y求导，得
20
01 排列及其逆序数 即
这是伽玛分布
的概率密度函数.
21
01 排列及其逆序数
ꢀ例11 设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9A~11A 之间.若此电流通过2Ω的电阻,在其上消耗的功率W=2I2, 求W的概率密度.
概率论与数理统计习题课1
（2）机床因无人照管而停工的概率.
解：设 A 机床甲不需要工人照顾， B 机床乙不需要工人照顾， C 机床丙不需要工人照顾，
依题意，A、B、C 相互独立。
2019/7/17
16
第1章 习 题 课
（1） P( A B C ) P( ABC )
)
1
29 90
61 90
.
3
P(B1B2 ) P( Ai )P(B1B2 | Ai )
i 1
1 ( 3 7 7 8 5 20) 2 . 3 10 9 15 14 25 24 9
2019/7/17
21
第1章 习 题 课
从而
P ( B1
|
B2 )
P(B1B2 ) P(B2 )
于是 P( A) p 0.25(1 p) p [0.25(1 p)]2 p .
这是一个几何级数求和问题。由于公比
0 0.25(1 p) 1，该级数收敛。
P( A)
p
.
1 0.25(1 p)
若甲乙胜率相同，则
p
0.5 p 3 .
1 0.25(1 p)
i 1,2,3,.
A 甲获胜，
B 乙获胜，
2019/7/17
18
第1章 习 题 课
则 A A1 A1B2B3 A4 A1B2B3 A4B5B6 A7 ;
P( A1 ) p ; P( A1B2B3 A4 ) 0.25(1 p) p ; P( A1B2B3 A4B5B6 A7 ) [0.25(1 p)]2 p ;
应用数理统计课后习题参考答案
习题五1试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（α=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5.假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===L 不全相等 .计算结果：表5.1 单因素方差分析表注释: 当=0.001表示非常显著，标记为 ‘***’，类似地，= 0.01，0.05，分别标记为 ‘**’ ，‘*’ .查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异.2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（α=0.05）解根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 .假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 .检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 .计算结果：表5.2 单因素方差分析表查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05，所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 .3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ，另试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（α=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用.设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12.假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij yi j ==来源于正态总体2~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ=1,2,3,4j = .记i α⋅为对应于i A 的主效应；记j β⋅为对应于j B 的主效应；检验的问题：（1）10:i H α⋅全部等于零，11:i H α⋅不全等于零；（2）20:j H β⋅全部等于零，21:j H β⋅不全等于零； 计算结果：表5.3 双因素无重复试验的方差分析表查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值，或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用.设每个工人在每台机器上的日产量都服从正态分布且方差相同 .试检验：（α=0.05）1） 操作工之间的差异是否显著？ 2） 机器之间的差异是否显著？3） 它们的交互作用是否显著？解 根据问题，这是一个双因素等重复(3次)试验的问题，要考虑交互作用.设因素,A B 分别表示为机器和操作，试验指标为日产量，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ijk y i j ==来源于正态总体2~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j =，1,2,3k = .记i α⋅为对应于i A 的主效应；记j β⋅为对应于j B 的主效应；记ij γ为对应于交互作用A B ⨯的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α⋅全部等于零，11:i H α⋅不全等于零； （2）20:j H β⋅全部等于零，21:j H β⋅不全等于零； （3）30:ij H γ全部等于零，31:ij H γ不全等于零；计算结果：表5.4 双因素无重复试验的方差分析表查表0.95(3,24) 3.01F =，0.95(2,24) 3.4F =，0.95(6,24) 2.51F =，计算值 3.01,A F <3.4, 2.51B A B F F ⨯>>，或0.05A p >>，而,B A B p p ⨯均显著小于0.05，所以拒绝2030,H H ，接受10H ，认为操作工之间的差异显著，机器之间的差异不显著，它们之间的交互作用显著 . 5 某轴承厂为了提高轴承圈退火的质量，制定因素水平分级如下表所示因素 上升温度℃ 保温时间(h)出炉温度℃水平1 800 6 400 水平28208500试填好正交试验结果分析表并对试验结果进行直观分析和方差分析 .解 根据题意，这是一个3因素2水平的试验问题 .试验指标为硬度的合格率 .应选择正交表44(2)L 来安排试验，随机生成正交试验表如下：方差来源 自由度 平方和 均方 F 值 P 值 因素A 因素B 相互效应A ×B误差 总和3 2 6 24 352.750 27.167 73.5 41.333 144.750.917 13.583 12.250 1.7220.5323 7.8871 7.11290.6645 0.00233** 0.00192**由此可见第三号试验条件为：上升温度800℃、保温时间6h 、出炉温度500℃ . 直观分析需要计算K 值，计算结果如下：直观分析 由计算的K 值知，因素A 、B 、C 的极差分别为70，40，40，因此主次关系为A B C >=，B ，C 相当 .由于试验指标为硬度的合格率，应该是越大越好，所以各确定因素的水平分别是121,,A B C ，即最佳的水平组合是121A B C ，即最佳搭配为：上升温度800℃、保温时间8h 、出炉温度400℃.采用方差分析法，计算得下表：表5.7 方差分析表方差来源平方和 自由度 均方差 F 值 A 1225 1 1225 1 B 400 1 400 0.33 C 400 1 400 0.33 误差 1225 1 1225 总和32504如果显著性检验水平取0.1α=，则查表得0.9(1,1)39.9F =，显然计算的F 值1,0.33A B C F F F ===均小于查表值，所以认为三个因素对结果影响都显著 .6问应选用哪张正交表安排试验，并写出第8号试验的条件；如果9组试验结果为（单位：kg/100m 2）：62.925，57.075，51.6，55.05，58.05，56.55，63.225，50.7，54.45，试对该正交试验结果进行直观分析和方差分析.解 该问题属于3因素3水平的试验问题，试验指标为水稻产量 .根据题意应选择正交表49(3)L 来安排试验，随机生成正交表如下：由表可知，第8号试验的条件：品种（A 3）珍珠矮11号，插值密度（B 2）3.75棵/100m 2，施肥量（C 1）0.75kg/100m 2纯氨； 直观分析需要计算K 值，计算结果如下：同上题进行直观分析，得出K 值的大小关系为：111312212223333132,,K K K K K K K K K >>>>>>由直观分析看出：本例较好的水平搭配是：113A B C 采用方差分析法，计算得下表：表5.10 方差分析表方差来源平方和自由度 均方差F 值A 1.759 2 0.879 0.0223B 65.861 2 32.931 0.8361C 6.660 2 3.330 0.0845 误差78.776 239.388 39.3880.9(2,2)9F =，所以认为三个因素对结果影响都不显著.7 在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比A ，吡啶量B 和反应时间C 三个因素，它们各取了7个水平如下：原料配比A ：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 吡啶量B ：10，13，16，19，22，25，28 反应时间C ：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5试选用合适的均匀设计表安排试验，并写出第7号试验的条件；如果7组试验的结果（收率）为：0.33，0.336，0.294，0.476，0.209，0.451，0.482，试对该均匀试验结果进行直观分析并通过回归分析发现可能更好的工艺条件.解 根据题意选择均匀设计表47(7)U 来安排试验，有3个因素，根据使用表，实验安排如：表5.11 试验安排表6 6 5 4 0.4517 7 7 7 0.482 所以第7号实验的条件为：原配料比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h.通过直观分析，最好的实验条件是：原配料比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h. 通过回归分析，最合适的实验条件是：原配料比2.6，吡啶量16ml，反应时间0.5h.习题六1 从某中学高二女生中随机选取8名，测得其升高、体重如下：1 2 3 4 5 6 78身高（cm）160 159 160 157 169 162 165 154体重（kg）49 46 53 41 49 50 48 43在绝对距离下，试用最短距离法和离差平方和法对其进行聚类分析.解由R软件，用最短距离（左）和差离平方和法（右）对题目进行聚类分析如下图6.1，表6.1和表6.2：最短距离法离差平方和法图6.1 聚类树形图表6.1 聚类附表(最短距离法)步骤聚类合并系数首次出现的阶段类别下一步组1 组2 组1 组21 1 6 5.000 0 0 22 1 2 10.000 1 0 43 4 8 13.000 0 0 74 1 7 13.000 2 0 55 1 3 13.000 4 0 66 1 5 17.000 5 0 7表6.2 聚类附表(离差平方和法)2 已知五个变量的距离矩阵为03674012340444401592343331).;2);3)036034022020401000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭试用最短距离法和最长距离法对这些变量进行聚类，并画出聚类图和二分树.解 针对距离矩阵1），采用两种方法计算如下. ①最短距离法的聚类步骤如下：12345036740159036020w w w w w ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭a ）将()236,1w w f h =合并为一类，，{}11456,,,,H w w w h =距离矩阵如下0743023060⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭{}()457457),,,2b w w h w w f h ==合并为一类，{}2167,,,H w h h =距离矩阵如下：034030⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭{}()()1681689),,3,3c w h h w h f h f h ===合并为一类，最后，，聚类图和树状图如图6.2：图6.2 聚类图（左）与树状图（右）②最长距离法与最短距离法类似，步骤如下： a ）()236,1w w f h =合并为一类，{}11456,,,,H w w w h =距离矩阵如下0746025090⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ {}(){}4574572167),,,2,,,b w w h w w f h H w h h ===合并为一类，距离矩阵如下：067090⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭{}()()1681689),,69c w h h w h f h f h ===合并为一类，最后，，，聚类图和树状图如图6.3：图6.3 聚类图（左）与树状图（右）（2）针对距离矩阵2）012340234034040⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭①最短距离法的聚类步骤如下 a ）()216,1w w f h =合并为一类，{}13456,,,,0342043040H w w w h =⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭距离矩阵如下{}()367367),,,2b w h h w h f h ==合并为一类，{}24567,,,,H w w h h =聚类矩阵如下：043040⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭{}(){}()4784789879),,3,,4c w h h w h f h h w h f h ====合并为一类，最后，，聚类图和树状图如图6.4：图6.4 聚类图（左）与树状图（右）②由于本题数据的特殊性，最长距离法与最短距离法结果相同（略）. (3)044440333022010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭最短距离法的聚类步骤如下a ) ()456,1w w f h =合并为一类，{}11236,,,,H w w w h =距离矩阵如下0444033020⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭{}(){}36736724567),,,2,,,,b w h h w h f h H w w h h ===合并为一类，距离矩阵如下：044030⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭{}(){}()4784789879),,3,,4c w h h w h f h h w h f h ====合并为一类，最后，，，聚类图和树状图如图6.5：图6.5 聚类图（左）与树状图（右）由于本题数据的特殊性，最长距离法与最短距离法结果相同(略).3 在一项关于作物对土壤营养的反应的研究中，要测定土壤的总磷量和总氮量（占干物质重的百分比），今对10份土样测得数据如下：总氮量（％）0.120.63 1.19 2.30 1.29 0.73 0.52 0.33 0.61 0.470.66在绝对距离下，试用重心法对其进行聚类分析.解由R软件得到重心法聚类分析的结果如图6.6与表6.3：图6.6 聚类树形图表6.3 聚类过程记录表步骤聚类合并系数首次出现的阶段类别下一步组1 组2 组1 组21 1 8 .001 0 0 22 1 10 .002 1 0 43 6 9 .005 0 0 64 15 .010 2 0 75 2 4 .010 0 0 86 67 .027 3 0 77 1 6 .048 4 6 88 1 2 .459 7 5 99 1 3 2.572 8 0 04 1975年Dagnelie收集了11年的气象数据资料如下表变量年序x1x2x3x4其中：x 1—前一年11月12日的降水量；x 2—7月均温；x 3—7月降雨量；x 4—月日辐射，试对这四个气象因子进行主成分分析. 解 由R 软件分析得到如下表6.4，6.5：表6.4 各主成分的重要性:主成分1 主成分2 主成分3 主成分4 标准差 1.6103349 0.9890848 0.53407741 0.37854199 方差贡献率 0.6482947 0.2445722 0.07130967 0.03582351 累积贡献率0.64829470.89286680.964176491.00000000表6.5 因子荷载:主成分1 主成分2 主成分3 主成分4 X1 0.291 0.871 0.332 -0.214 X2 -0.506 0.425 -0.742 -0.111 X3 0.577 0.136 -0.418 0.688 X4-0.5710.2050.4040.685由于前两个主成分对应的累积贡献率已经达到89.287，因此选取主成分的数目为2.5 对某初中12岁的女生进行体检，测量其身高x 1、体重x 2、胸围x 3和坐高x 4，共测得58个样本，并算得1234(,,,)x x x x x ='的样本协方差为19.9410.5023.566.5919.7120.958.637.97 3.937.55S ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 试进行样本主成分分析.解 首先计算样本的相关系数矩阵：10.484410.32240.887210.70330.59760.31251⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设相关系数矩阵的特征值和特征向量分别为d 和v 阵，计算得到0.0546000 0 0.312600= 000.96470 000 2.6681d ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即四个特征值依次为：2.6681，0.9647，0.3126，0.0546，前两个主成分的累计贡献率为：90.8471%，因此提取主成分为2.四个特征根相应的特征向量为0.06000.70600.5333 0.4620 0.7317 0.17430.34040.5642=0.60570.19320.60400.48060.30690.65870.48460.4870v -⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭ 因此，两个主成分的表达式为：112340.060.73170.60570.3069z x x x x =+-- 212340.7060.17430.19320.6587z x x x x =-+-+6 比较因子分析和主成分分析模型的异同，阐明两者的关系. 解（1）提取公因子的方法主要有主成分法和公因子法.若采取主成分法，则主成分分析和因子分析基本等价，该法从解释变量的变异的角度出发，尽量使变量的方差能被主成分解释；而公因子法主要从解释变量的相关性角度，尽量使变量的相关程度能被公因子解释，当因子分析目的重在确定结构时则用到该法.（2）主成分分析和因子分析都是在多个原始变量中通过他们之间的内部相关性来获得新的变量，达到既减少分析指标个数，又能概括原始指标主要信息的目的.但他们各有其特点：主成分分析是将n 个原始变量提取m 个支配原始变量的公因子，和1个特殊因子，各因子之间可以相关或不相关.（3）统用降维的方法，但差异也很明显：主成分分析把方差划分为不同的正交成分，而因子分析则把方差化分为不同的起因因子；因子分析中的特征值的计算只能从相关系数矩阵出发，且必须把主成分划分为因子.（4）因子分析提取的公因子比主成分分析提取的主成分更具有可解释性.（5）两者分析的实质及重点不同.主成分的数学模型为Y AX =，因子分析的数学模型为X AF ε=+.因而可知主成分分析是实际上是线性变换，无假设检验，而因子分析是统计模型，某些因子模型是可以得到假设检验的；主成分分析主要综合原始数据的信息，而因子分析重在解释原始变量之间的关系.（6）SPSS 数据的实现：两者都通过“analyzedata reduction Factor ···”过程实现，但主成分分析主要使用“descriptires ”,“extraction ”,“stores ”对话框，而因子分析处使用这些外，还可使用“rotaction ”对话框进行因子旋转.7 试对第4题的变量作因子分析，并将结果和上面的结果进行比较. 解 用SPSS 分析，计算结果如下表6.6-6.8：表6.6 反应压缩比情况表 提取方法: 主成分法计算的相关系数矩阵的特征值和方差贡献率：表6.7 方差解释度提取方法: 主成分法表6.8 主成分矩阵8 为研究某一树种的叶片形态，选取50片叶测量其长度x 1（mm ）和宽度x 2（mm ），按样本数据求得其平均值和协方差矩阵为：129048134,92,4845x x S ⎛⎫=== ⎪⎝⎭求出相关系数阵R ，并由R 出发作因子分析；解1）求相关系数矩阵：904810.7303,48900.73031S R ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2）用R 软件求R 的特征根及其相应的特征向量，软件输出结果如下：$values[1] 2.99393809 0.07273809 $vectors[,1] [,2] [1,] 0.7071068 -0.7071068 [2,] 0.7071068 0.7071068122.9939,0.0727,λλ∴==12(),()0.7071,0.7071-0.7071,0.7071T Tηη==3) 求载荷矩阵A ：1.22350.19071.22350.1907A -⎛⎫= ⎪⎝⎭4）22121.5333, 1.5333,h h == 0.98810.154*0.98810.154A -⎛⎫= ⎪⎝⎭12121,1,0.3043,0.3043u u v v ===-=，222222000011112,0,()0.9074,20i i iii i i i i i A u B v C u v D u v =========-===∑∑∑∑9 1981年，生物学家Grogan 和Wirth 对两种蠓虫Af 和Apf 根据其触角长度x 1和翼长x 2进行了分类，分类的数据资料如下：Af 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 x 2 1.27 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 Apf 1 2 3 4 5 6 x 1 1.14 1.18 1.20 1.26 1.28 1.30 x 2 1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96 （1）试建立Af 和Apf 的Fisher 判别模型；（2）对样本（1.24，1.80），（1.28，1.84），（1.40，2.04）进行判别分类. 解 （1）建立Fisher 判别模型991122121111(,)(1.42,1.75),(,)(1.23,1.93)99T TT T i i i i i i x x y y μμ======∑∑120.08480.1490.01980.0218,0.1490.39120.02180.039A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12120.0080.0130.0130.0332A A n n ⎛⎫+== ⎪+-⎝⎭∑()120.19,0.18Tμμ-=-，()()121 1.325,1.842T μμ+= 1345.05135.42135.4283.33--⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑， 带入Fisher 判别函数 ()12345.05135.42[(,)(1.325,1.84)]0.19,0.18135.4283.33Tx x -⎛⎫-- ⎪-⎝⎭1291.301741.336944.534x x =--（2）把三个样本（1.24，1.80），（1.28，1.84）,(1.4,2.04)带入模型，得到结果：三个样本均属于Apf 类.10 在两个玉米品种之间进行判别：137玉米G 1和甜玉米G 2，选取的两个变量是：x 1—玉米果穗长；x 2—玉米果穗直径，两个类的样本容量为n 1＝n 2＝40，实际算得两个类的样本均值和样本协方差为：121218.5625.348.120 4.4589.661 3.720,,,5.98 4.12 4.458 4.350 3.720 3.410x x S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭试建立G 1，G 2的Bayes 类线性判别函数.解 因为已知两类的样本均值和样本协方差为：12(18.56,5.98),(25.34,4.12)T T x x ==，128.120 4.4589.661 3.720,4.458 4.350 3.720 3.410S S ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可计算得到修正的公共协方差矩阵和逆矩阵12120.2280.1450.1450.0992A A n n ⎛⎫+== ⎪+-⎝⎭∑，15.6393.738.25147.38--⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑()()()121216.78,1.86,21.95,5.052TTμμμμ-=-+= 带入Fisher 判别函数()112121(())()2T W x x μμμμ-=-+-∑ ()()12 5.6393.73[(,)21.95,5.05] 6.78,1.868.25147.38Tx x -⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭1274.396.951141.29x x =-+-。
习题课2
e−5 ⋅ 5k ≈∑ ≈ 0.986305. k! k=0
点评: 点评 保险业是概率论的生长点和重要应用领 域之一. 本例为简化起见, 不计利息与管理费. 域之一 本例为简化起见 不计利息与管理费
13
设随机变量X 在区间[2， 上服从均匀 例7 设随机变量 在区间 ，5]上服从均匀 分布，现对X 次独立观测， 分布，现对 进行 3 次独立观测，试求至少有 两次观测值大于3的概率 的概率。 两次观测值大于 的概率。 设随机变量Y 解 设随机变量 是3次独立观测中观测值大 次独立观测中观测值大 的次数, 于3的次数 则 Y ~ B(3, p),其中p是X大于3的概率. 的次数 由题意知 X 的概率密度为
P( Ak ) = P( X = k) =
1 k 对k ≥ 1, P(B Ak ) = ( ) , 2 λk −λ 1 k P( Ak B) = P( Ak )P(B Ak ) = e ⋅ ( ) , k! 2
10
k!
e , k = 0,1,2,⋯
∴P(B) = P ∑Ak B = ∑P( Ak B) k=1 k=1
X − 200 P( A ) = P{X ≤ 200} = P ≤ −0.8 1 25 =φ−0.8) = 0.212; ( φ P( A2 ) = P{200 ≤ X ≤ 240}= 2 (0.8) − 1 = 0.576;
15
P( A3 ) = 1 − P( A ) − P( A2 ) = 0.212. 1
1
一般要学会做三类习题： 一般要学会做三类习题： ①利用某些已知条件求出随机变量的分布律或 密度函数； 密度函数； 利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率； ②利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率； 利用分布律或密度函数，求出分布函数。 ③利用分布律或密度函数，求出分布函数。 4. 二维随机变量及其联合分布函数； 二维随机变量及其联合分布函数； 二维离散型随机变量及其联合分布律； 二维离散型随机变量及其联合分布律； 二维连续型随机变量及其联合概率密度。 二维连续型随机变量及其联合概率密度。 5. 二维随机变量的边缘分布和条件分布。 二维随机变量的边缘分布和条件分布。 6. 随机变量的相互独立性。 随机变量的相互独立性。 7. 随机变量函数的分布。 随机变量函数的分布。
(完整版)数理统计课后习题答案—杨虎
习题一、基本概念1．解： 设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他 4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ 2.解： 由题意得：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N 4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.30.2 0.11 2 3 4 xy5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293=--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯= 7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 8．解：由已知条件得：(1,),1()iX Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().niX i Y B n p p F μ==-∑9.解: 1))1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2)λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3)()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4)1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1)()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)nii n S n S DXX D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)nii DXX n σ=∴-=-∑ 11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1)()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)2222,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,162u n n⎛⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解： 设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-((12(2(12P T P T pP T p p P T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=-又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N nnσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P XP X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m n i i m X n χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)m i i X N m σ=∑，21~(0,)m n i i m X N n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解： 由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解： 1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a XP 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P c T P c S X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,))(1()()1cov(,)()1(,)1j i j j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X D X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=---=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1．解：矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++=()()11111ln ln(1)ln nnni i i i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln n i i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解： 1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤= 2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3． 1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 4) 解： 矩估计：00ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解： 矩法：()/0()(1)(2)x txEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰ Xαβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ====极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx ni n L enx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n nL L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x tx EX dx dte dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫⎛== ⎪⎝⎝⎭∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；5.解：1,ln lninx n nxiL e e L n nxλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。
概率论与数理统计多维随机变量及其分布习题课
概率论与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题课Ὅ例1 袋中有1个红球、2个黑球与3个白球. 解（1）因为是有放回的取球, 故（2）求二维随机变量(X ,Y )的概率分布.（1）求 ;别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数.回地从袋中取球两次,每次取一个球,以X 、 Y 、 Z 分现有放（2）根据题意, X 、Y 可能的取值为0,1,2,{X =1,Y =0}、{X =1,Y =1}、{X =2,Y =0}.当(X ,Y )的取值为{X =0,Y =0}时, 表示取到了两个白球, 则(X ,Y )可能的取值有{X =0,Y =0}、{X =0,Y =1}、 {X =0,Y =2}、则二维随机变量同理可得，因此，(X,Y)的联合概率分布为X Y0123 11/41/31/91/421/61/901/631/36001/36设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分Ὅ例2解布,Y 的概率分为 .机变量Z =XY 的分布函数,则函数 的间断点个数为__. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3记 为随由于x与y相互独立，故（1）若z<0,则所以z=0为间断点，故有一个间断点，应选B.Ἲ方法归纳本题求间断点的个数，实际上就是要求分布函数的表达式，其中X为连续型随机变量，Y为离散型随机首先将离散型随机变量Y的不同取值分别代入，变量。
写出的表达式, 再对中z的取值进行讨论，进而确定间断点的个数。
Ὅ例3 设随机变量相互独立,其中X 1与X 2的概率分布为均服从标准正态分布, X 3 （1）求二维随机变量的分布函数,结果用标准正态分布函数表示.（2）证明随机变量Y 服从标准正态分布.解（1） 由二维随机变量的分布函数的定义，可得因为，则可将离散型随机变量不同取值分情况代入，即又因为X1，X2，X3相互独立,故（2）证明：因此，Y服从标准正态分布.Ἲ方法归纳本题也是一个即含有连续型随机变量，又含有离散型随机变量的混合表达式的随机变量分布函数问题，对于此按照离散型随机变量不同取值代类问题有效的方法是：后展开，利用概率的计算公式，获得仅含有连续型随机变量的表达，再利用连续型随机变量的已知条件求解即可.Ὅ例4解设二维随机变量（X,Y）在区域上服从均匀分布，令求二维随机变量的概率分布.因为（X,Y）为区域D上的均匀分布,如图所示,区域D的面积为 , 故二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为根据的定义,将分以下四种情况讨论:①②③④因此, 的概率分布为Z101Z201/4011/21/4Ὅ例5设随机变量X与Y相互独立, 且分别服从参数为1和4的指数分布,则 ___.A. B. C. D.解又因为X与Y相互独立,故故应选A.Ὅ例6设（X,Y）是二维随机变量,X的边缘概率密度为在给定X=x(0<x<1)的条件下，Y的条件概率密度为（1）求（X,Y）的概率密度；（2）Y的边缘概率密度；（3）求 .解（1）由题意知,（2）Y的边缘概率密度为 .当0<y<1时, .故，Y的边缘概率密度为（3）Ὅ例7设X与Y是两个相互独立的随机变量，且. 如果随机变量Z的定义如下求Z的分布律.解因X与Y两个相互独立，其联合概率密度为由此可得，;.因此, Z 的分布律为Z01Ὅ例8解 设二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,令（1）写出(X ,Y )的概率密度函数;.（1）由题意知，(X ,Y )的联合概率密度为（3）求Z =U +X 的分布函数（2）问U 与X 是否相互独立?（2）设t为常数，且0<t<1, 则因为，所以U 与X 不相互独立.（3）当z<0时，；综上所述，Z的分布函数为Ἲ 方法归纳本题是一个综合性的题目,考察了联合概率密度函数、随机变量的独立性以及混合型随机变量分布函数的求解.独立性的讨论中，首先对U 与X 的关系进行初步的判断，因U 与X 有关，显然是不独立的，因此只需要找到一组反例，证明不独立即可.在 时，先根据U 与X 的取值在求Ὅ例9 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为解（1）求条件概率密度（2）求条件概率（1）关于X 的边缘概率密度为故条件概率密度 ,即（2）关于Y的边缘概率密度为所以因此,Ὅ例10解设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布,则 ___.A.与μ无关,与σ2有关B. 与μ有关,与σ2无关C.与μ、σ2都有关D. 与μ、σ2都无关由正态分布的性质可知X-Y服从正态分布，且,则故因此，概率与μ关无,与σ2有关，应选A.Ὅ例11解 设X 与Y的联合概率密度函数为求Z =X -Y 的密度函数.的阴影部分,因此有综上所述,Z的概率密度为Ὅ例12解求Z =X +Y 的密度函数.设随机变量X 与Y 相互独立,且 . 由题意知X 和Y 的概率密度函数为因Z =X +Y ，则Z 的取值范围如下图所示:随机变量X与Y相互独立，利用卷积公式,可以求出Z的概率密度函数,即当z<0时, ;当z>1时，综上所述，Z的概率密度为；.Ὅ例13解设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为试求：（1）常数b的值；（2）边缘概率密度；（3）随机变量的分布函数.（1）由概率密度函数的性质可得 .（2）当0<x<1时,因此，关于X的边缘概率密度为当y>0时,因此，关于Y的边缘概率密度为（3）因为，故X与Y相互独立.记X、Y、U的分布函数分别为，根据最大值的分布公式有 .利用(2)中求出的概率密度函数,可以求出 , 即将X、Y的分布函数代入最大值的分布公式，可得学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
习题课4
第二步: 第二步 对似然函数取对数 ln L(θ ); 第三步:对 求导并令其等于0, 得似然方程(组 第三步 对ln L(θ )求导并令其等于 得似然方程 组) 第四步: 求解似然方程. 第四步 求解似然方程 注：当似然方程无解的时候, 应直接寻求 当似然方程无解的时候 使似然函数达到最大的解求得极大似然估计。 使似然函数达到最大的解求得极大似然估计。
2
n
n
2 i
− nX .
2
点评：以上公式极其简单 点评：以上公式极其简单, 却是统计学中常 用公式, 务必熟记. 用公式 务必熟记
9
是取自正态总体N(0, 22)的 例2 设X1, X2, X3, X4是取自正态总体 的 一个样本, 一个样本 令
Y = a ( X 1 − 2 X 2 )2 + b( 3 X 3 − 4 X 4 )2 ,
1 . F −α (n1, n2 ) = 1 F (n2 , n1 ) α
2
4. 两个抽样分布定理的重要结论 两个抽样分布定理的重要结论: 单个正态总体): 单个正态总体 Th6.2.4 (单个正态总体 2 X −µ (n − 1)S2 σ ~ t(n − 1); ~ χ 2 (n − 1). X ~ N(µ , ); σ2 n S n 两个独立正态总体): 两个独立正态总体 Th6.2.5 (两个独立正态总体
1 1 Y1 = ( X 1 + X 2 + ⋯ + X 6 ), Y2 = ( X 7 + X 8 + X 9 ), 6 3 1 9 2 2 2(Y1 − Y2 ) S = ∑ ( X i − Y2 ) , Z= . 2 i =7 S
证明： 证明：Z ~ t (2) . 点评： 点评： 历史上研究生入学试题. 历史上研究生入学试题
应用数理统计课后习题参考答案
习题五1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g)日期重旦量1 5500 5800 5740 57102 5440 5680 5240 56004 5400 5410 5430 54009 5640 5700 5660 570010 5610 5700 5610 5400试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05)解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5.2假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5检验的问题：H。
：i 2 L 5, H i : i不全相等.计算结果：注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所以拒绝H。
，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验解根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 .2假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 .日产量操作工查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。
，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异3试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另一个是温度试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ）解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12.2假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j ,）,i 1,2,3,j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应；检验的问题：（1） H i 。
(完整版)数理统计课后习题答案—杨虎
习题一、基本概念1．解： 设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他 4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ 2.解： 由题意得：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N 4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.30.2 0.11 2 3 4 xy5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293=--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯= 7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 8．解：由已知条件得：(1,),1()iX Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().niX i Y B n p p F μ==-∑9.解: 1))1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2)λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3)()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4)1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1)()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)nii n S n S DXX D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)nii DXX n σ=∴-=-∑ 11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1)()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)2222,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,162u n n⎛⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解： 设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-((12(2(12P T P T pP T p p P T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=-又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N nnσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P XP X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m n i i m X n χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)m i i X N m σ=∑，21~(0,)m n i i m X N n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解： 由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解： 1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a XP 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P c T P c S X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,))(1()()1cov(,)()1(,)1j i j j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X D X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=---=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1．解：矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++=()()11111ln ln(1)ln nnni i i i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln n i i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解： 1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤= 2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3． 1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 4) 解： 矩估计：00ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解： 矩法：()/0()(1)(2)x txEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰ Xαβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ====极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx ni n L enx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n nL L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x tx EX dx dte dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫⎛== ⎪⎝⎝⎭∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；5.解：1,ln lninx n nxiL e e L n nxλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。
数理统计课后题答案完整版汪荣鑫
数理统计习题答案第一章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑ 2. 解：子样平均数()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯= 子样方差()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差4.32S == 3. 解：因为 所以 i i x a cy =+所以 x a cy =+ 成立()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 所以 222x ys c s = 成立()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-()61303103042420909185203109240.444=--++++-++=()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247x y x y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-[]12424334353202132.00=-++++++-+++++=()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦= 利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯ 6. 解：变换()1027i i y x =-()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- =26.85()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦=7解：154158162166178()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦= 8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n iji j x xn n x xn x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
L( ) 4 6 (1 )2 (1 2 )4 , ln L( ) ln 4 6 ln 2 ln(1 ) 4 ln(1 2 ), d ln L( ) 6 2 8 6 28 24 2 ,
d 1 1 2 (1 )(1 2 )
令 d ln L( ) 0, 解得 7 13 .
d (4) 解似然方程得 的极大似然估计量ˆ.
4)要掌握估计量的评选标准.
(1)无偏性: E(ˆ) .
(2)有效性: (3)相合性:
2010年5月1日8时48分
D(ˆ1) D(ˆ2 ),ˆ好. 0, lim P(| ˆ | ) 1.
n
pp3
概率论与数理统计
数理统计习题课
5) 要会正态总体未知参数的区间估计.
nF n1( x) f ( x)
nxn1
n
,
0,
0 x
其它
2010年5月1日8时48分
pp22
概率论与数理统计
数理统计习题课
E(ˆ2 )
n
n
1
E(
X(n)
)?
E( X(n) ) xfX(n) ( x) d x
0
x
nx n1
n
d
x
n ,
E
nf X( n
n1) (Xx)(nn)10n,xnn,1
i 1
为D(X)的无偏估计.
解
n1
E[C ( Xi1
Xi
)2 ]
n1
C E(Xi1
Xi
)2
i 1
i 1
n1
C {D( Xi1 Xi ) [E( Xi1 Xi )]2}
i 1
而X1, X2 , ···, Xn 相互独立，且与X 同分布
2010年5月1日8时48分
pp19
概率论与数理统计
属于拒绝域,从而对H0作出判断.
2010年5月1日8时48分
pp5
概率论与数理统计
二、重要公式与结论
数理统计习题课
1. 样本( X1,, Xn )取自X表示Xi独立同( X )分布.
2. E( X ) E( X ) , E(S2 ) D( X ) 2 D( X ) D( X ) 2 .
概率论与数理统计
数理统计习题课
例4 设总体X的概率分布为
X0
1
23
P 2 2 (1 ) 2 1 2
其中(0<<1/2)是未知参数,利用总体X如下样本值
3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 求的矩估计值和最大似然估计值.
解 : E( X ) 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 (1 2 ) 3 4 ,
d
12
因7 13 1 不合题意， 12 2
所以的最大似然估计值为 ˆ＝7－ 13 .
■
12
2010年5月1日8时48分
pp14
概率论与数理统计
数理统计习题课
例5
设 ˆ1,ˆ2 是参数 的二个相互独立的无偏估计量, 且 D(ˆ1 ) 2D(ˆ2 ). 找出常数 k1, k2, 使 k1ˆ1 k2ˆ2
x 1 (3 1 3 0 3 1 2 3) 2, 8
令E( X ) x,即3 4 2,
解得 的矩估计值为 ˆ 1 .
4
2010年5月1日8时48分
pp13
概率论与数理统计
3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3
X0
P 2
对于给定的样本值,似然函数为
数理统计习题课
1
23
2 (1 ) 2 1 2
(2) 令 A1 1 ;
(3) 解上面方程，得 ˆ ˆ( X1,, Xn ).
2010年5月1日8时48分
pp2
概率论与数理统计
数理统计习题课
极大似然法求估计量的步骤:(一般情况下)
(1) 构造似然函数 L( ) :
n
L( ) f ( xi ) ;
(
2)
取对数：ln
i 1
L(
);
(3) 令 d ln L 0;
S4
pp9
概率论与数理统计
解
数理统计习题课
X
~
N (0,1)
1
2
n i1
(Xi
X )2
~
2(n
1)
n
X
n
1
2
n
(Xi X )2
i 1
n 1
n(n 1)(X ) ~ t(n 1) n (Xi X )2 i1
故应选(B)
■
2010年5月1日8时48分
pp10
概率论与数理统计
数理统计习题课
将其视为取自总体N (2 ,2 2 )的简单随机样本,则
其样本均值为1 n
n i 1
(Xi
Xni )
1 n
2n i 1
Xi
2X,
2010年5月1日8时48分
pp11
概率论与数理统计
数理统计习题课
样本方差为 1 Y . n1
由于E( 1 Y ) 2 2 ,所以E(Y ) 2(n 1) 2 .
概率论与数理统计
数理统计
习题课
2010年5月1日8时48分
pp1
概率论与数理统计
一、主要内容及要求
数理统计习题课
1)掌握统计量的概念,会判断哪些样本的函数 是统计量；
2)掌握正态总体的样本均值和样本方差的定 义及其分布；
3)要会熟练运用矩法和极大似然法求估计量. 矩法求估计量的步骤:
(1) 求 1 E( X );
pp7
概率论与数理统计
数理统计习题课
三、典型例题分析与解答
例1 设总体 X ~ N (72,100) ,为使样本均值大于
70 的概率不小于 90% ,则样本容量 n 4—2 — .
解 设样本容量为 n , 则 X ~ N (72,100) n
故
P
(
X
70)
P
X
72
70
72
P
X
72
0.2
n
10 n 10 n 10 n
P X 72 0.2 n 0.2 n
10 n
令 0.2 n 0.9 查表得 0.2 n 1.29
即 n 41.6025 所以取 n 42 ■
2010年5月1日8时48分
pp8
概率论与数理统计
数理统计习题课
例2 设 X1, X 2,, X n 是来自正态总体N ( , 2 )
的简单随机样本, X 是样本均值,
设为总体X的分布中的未知参数,X1,X2,…,Xn
为取自X的样本,若存在两个统计量:
ˆ1( X1, X2 ,, Xn ), ˆ2 ( X1, X2 ,, Xn )
使得对给定的 (0<<1), 有:
P(ˆ1 ˆ2 ) 1 . 则称 [ˆ1,ˆ2 ] 为 的置信度为1- 的置信区间, ˆ1,ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
x
x
1
e dx0
2
不含有， 故不能由此得到 的矩估计量.
2010年5月1日8时48分
pp17
概率论与数理统计
解
数理统计习题课
要求：
E(X 2)
2
A2
1 n
n i 1
X
2 i
E( X 2 ) x2 f ( x; ) d x
x2
1
x
e dx
x
2
1
e
x
d
x
2
0
2 2.
2ˆ2
1 n
也是 的无偏估计, 并且使它在所有这样形状的估
计量中方差最小. 解:
E(ˆ1) E(ˆ2 ) E(k1ˆ1 k2ˆ2 ) (k1 k2 ) .
欲使E(k1ˆ1 k2ˆ2 ) ,只须k1 k2 1.
又因为ˆ1与ˆ2相互独立, D(ˆ1) 2D(ˆ2 ),故
D(k1ˆ1 k2ˆ2 ) k12D(ˆ1) k22D(ˆ2 ) (2k12 k22 )D(ˆ2 ).
2010年5月1日8时48分
pp4
概率论与数理统计
数理统计习题课
6) 要会根据样本进行正态总体的假设检验.
假设检验的步骤:
(1) 由实际问题提出原假设H0(与备择假设H1); (2) 选取适当的统计量,并在H0为真的条件下确 定该统计量的分布;
(3) 根据问题要求确定显著性水平(一般题目
中会给定),从而得到拒绝域; (4) 由样本观测值计算统计量的观测值,看是否
C {D( Xi1 Xi ) [E( Xi1 Xi )]2}
i 1 n1
C 2D( X ) C 2(n 1)D( X ) D( X )
i 1
C 1 . 2(n 1)
■
2010年5月1日8时48分
pp20
概率论与数理统计
例8
数理统计习题课
设总体 X ~ U [0, ], 参数 0, X1, X2 ,, Xn
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2,
S22
1 n
n i1
(Xi
X
)2,
S32
1 n 1
n i1
(Xi
)2,
S42
1 n
n i1
(Xi
)2,
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为:
(A) X n 1
S1
(C) X n
S3
2010年5月1日8时48分
(B) X n 1
S2 (D) X n
2010年5月1日8时48分
pp15
概率论与数理统计
数理统计习题课
欲使D(k1ˆ1 k2ˆ2 )为最小, 只须