幂级数和函数的分析性质1

1 2 当 | x | 1, 2
即 x 2时,
级数收敛,
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
1 2 当 | x | 1, 2
即 x 2时,
级数发散,
收敛半径为r 2.
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当x 2时, 级数为
n1

1 , 2
级数发散,
1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, n 1 2
证：x [a, a], 即 | x | a, 有
| an x n || an | a n
已知级数 | a n | a n收敛，
n 0
由M判别法，知幂级数在闭 [a, a]一致收敛 区间 .
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
定理3′
若幂级数 an x n的收敛半径 r 0, 且在x r
例

n 1

x n 1 n
幂级数和函数的分析性质
n 1 0 n 1
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
x0 n n {| | }有界 x1 | x0 |
n n | na n x0 1 | M | an x1 |
n 由比较判别法知， na n x0 1收敛 n 0
即r1 r2
同法可证 2 r1 r

r1 r2

幂级数的收敛区间为( 2, 2).
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
二、幂级数和函数的分析性质
若幂级数 an x n的收敛半径 定理3 （内闭一致收敛性）
[ r 0, 则幂级数 an x n 在任意闭子区间 a , a ] ( r , r )
n 0

n 0
都一致收敛 .
§9.3 幂级数
x 2 n 1 例 1 求幂级数 n 的收敛区间. n 1 2 x x3 x5 解 级数为 2 3 缺少偶次幂的项 2 2 2 2 n 1 x 2 n 1 x un ( x ) n , un1 ( x ) n1 , 2 2

2 n 1 n un 1 ( x ) x 2 1 2 lim lim | n1 2 n1 | x , n n u ( x ) 2 x 2 n

n 0

x
0
an n1 a1 2 a2 3 x x a n t dt a0 x x 2 3 n 1 a n n1 x n 0 n 1
n
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
定理4
幂级数 an x n与幂级数 a n x n na n x n1 , （ ）
n 0
n 0

则幂级数 an x n 在[0, r ] [ r ,0] 一致收敛 x r 处收敛， .
逐项求导后得到的幂级数
(a
n 0

n
x ) a1 2a2 x 3a3 x nan x
n
2
n 1
na n x n1
n 1

逐项求积分后得到的幂级数
an n1 又( x ) an x n n 0 n 1 n 0
由上面结论可知， an t n dt与 an x n收敛半径相同 .
x n 0 0 n 0


幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
注：上述三个幂级数的收敛半径相同，但它们的收敛 域可能不相同.
n 0 n 0 n 1




n 0

x
0
an n1 an t dt x 具有相同的收敛半径 . n 0 n 1
n
n n 1

证：设 an x 与 na n x n1的收敛半径分别为 和r2 , 即证r1 r2 . r1
n 0

先证r1 r2 . x0 : 0 | x0 | r1 , x1 :| x0 || x1 | r1
n | an x1 | 收敛， n N , 有 n 0
x n n n 1 n | an x1 | | 0 |n | nan x || an x | | n x0 | x1 | x0 | x1 x0 n n lim | | 0 n | x | x1 0