代数系统期中复习
高考代数专题复习
高考代数专题复习1. 一元二次方程一元二次方程是高考数学中常见的题型之一。
一般形式为$ax^2+bx+c=0$，其中 $a$、$b$、$c$ 为已知数。
解一元二次方程的方法有以下几种：- 因式分解法：将方程因式分解为两个一次方程的乘积，然后求解每个一次方程。
- 公式法：利用一元二次方程的求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，求出方程的根。
- 完全平方式：配方后，根据完全平方式的公式求解。
在解题时，需要注意的是判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 的正负性，从而确定方程有几个解。
2. 函数与方程函数是代数学中的重要概念。
函数是一个对应关系，它将一个元素从一个集合映射到另一个集合的元素上。
高中数学中常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
方程是函数与自变量相等的关系式。
求解方程的过程，主要是根据方程等式两边的性质来推导出结论。
逆函数是指与原函数互为函数对的函数。
求解逆函数的方法有图像法、公式法和定义法等。
3. 等差数列与等比数列等差数列是指每个相邻的两个数之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$，其中 $a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差。
等比数列是指每个相邻的两个数之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为 $a_n=a_1q^{n-1}$，其中 $a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$q$ 表示公比。
求解等差数列和等比数列的问题，常用的方法有求和公式和递推公式。
以上是高考代数专题复习的简要内容，希望对你的备考有所帮助。
2023初中数学代数知识点总结归纳(中考复习)
1 二元二次方程与二元二次方程组 11 二元二次方程 含有两个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程，称为二元二次
方程 关于x，y的二元二次方程的一般形式是 ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²，bxy，cy²叫做方程的二次项，d，e叫做一次项，f叫做常数项
2 根据已知条件求二次函数 21 根据已知条件确定二次函数 22 二次函数的最大值或最小值 23 一元二次方程的图像解法
1数轴 11 有向直线 在科学技术和日常生活中，为了区别一条直线的两个
不同方向，可以规定其中一方向为正向，另一方向为负相 规定了正方向的直线，叫做有向直线，读作有向直线l
12 数轴 我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标 对于每一个坐标(实数)，在数周上可以找到唯一的点与之对应这
就是直线的坐标化 数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的
(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴
5 一次函数及其图像
51 一次函数及其图像
如果k=0时，函数变形为y=b，无论x在其定义域内取何值，y都有 唯一确定的值b与之对应，这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b与y轴交与点(0，b)，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截 距，简称纵截距
13 函数y=ax²+bx+c(a不等于0)的图像和性质 抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-b/2a，4ac-b²/4a)，对称轴方
程是x=-b/2a，当a〉0时，抛物线的开口向上，并且向上无限延伸;当a 〈0时，抛物线的开口向下，并且向下无限延伸
八年级下期中复习——代数专题
动物园讲解员的动物故事讲解与观众引导作为一名动物园讲解员，我有幸与各类动物长时间接触，学习到了许多它们身上独特的故事。
今天，我将带领大家一起探索动物世界，讲述一些动物的故事，并引导观众更好地欣赏这些美丽的生物。
1. 狮子王的骄傲在动物园中，最吸引人们目光的大概就是狮子了。
他们拥有壮丽的鬃毛和强壮的身躯，是动物界的王者。
然而，你知道吗，狮子们并非一开始就如此威猛。
幼年时期，狮子群的母狮会带领小狮子们一同出行，寻找食物。
通过这种方式，小狮子们学会了狩猎的技巧，并慢慢地变得强壮。
观众们可以通过观察狮子家族的互动了解到狮子们的成长历程，真正感受到狮子王的骄傲。
2. 稀世珍宝的大熊猫大熊猫是中国的国宝，同时也是世界上最稀有的动物之一。
我们经常会对大熊猫进行特殊的关照，因为它们在野外的生存环境越来越困难。
因此，观众朋友们来到动物园后，可以了解到大熊猫的保育情况，并通过讲解了解到大熊猫的生活习性和食物喜好。
同时，我们也通过展示大熊猫的运动场地，让观众近距离欣赏到这些可爱的动物，并加深大家对大熊猫保护的关注。
3. 可爱的企鹅家族在动物园中，企鹅是一支不容忽视的队伍。
它们体态矫健，行进有序，总是引人注目。
当我们讲解企鹅时，我们会结合实际情境，引导观众接近近似于南极环境的展示区域。
在这里，我们向观众介绍企鹅的生活习性、种类特点以及它们之间的社交规则。
通过观察企鹅们的行动，观众不仅能够感受到它们的活泼可爱，更能够学到一些关于适应环境的生存技巧。
4. 智慧动物的世界除了熊猫和企鹅，我们动物园中还有许多其他智慧动物。
例如，灵活聪明的猴子们，通过模仿人类的动作以及独特的表演来吸引观众的目光。
在讲解过程中，我们展示猴子们的技能和他们之间的互动，同时讲述一些关于猴子智慧的故事。
观众们可以从中体会到动物们的聪明才智，并更加了解到智慧动物的独特魅力。
作为动物园讲解员，我的责任不仅是告诉观众们动物的名字和特征，更重要的是通过讲解和引导，让观众们更好地理解动物的生活习性和保护价值。
《代数学》重点整理(复习提纲)
《代数学》重点整理第一章 代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。
2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。
3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。
5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。
6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+.7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =⨯1;②：a b a b a +⨯=⨯'8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b<a.9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M 若满足：(1))2(;1M ∈如果a 属于M,则它后面的数a ’也属于M.则集合M 含有一切自然数，即M=N.10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。
11、若|A|=m ，|B|=n ，则A →B 的所有不同映射的个数为m n 。
12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。
13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。
14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。
15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。
16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。
《线性代数》复习提纲(期中考试版)
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
代数方程专题复习.doc
(2) X 3-2X 2+X -2=0代数方程专题复习教学内 容知识点及 重点提示与记录例题精讲(3) 因式分解法解高次方程例题解下列方程：(1) 2X 3+7X 2-4X =0【可化为一元二次方程的分式方程的解法】1. 适宜用“去分母”的方法的分式方程 例题解下列方程4x-3x-45--- + ------ =—; --------x — 5 12 — x x —17 + 602. 适宜用“换元法”的分式方程例题解下列方程：(1) P4+5]工) + 6 =。
；(2)阳：+ 2、)+■ = ]].J + 1J \x + l) JT-1 %2 +2x【无理方程的解法】1. 只有一个含未知数根式的无理方程例题解下列方程：2 有两个含未知数根式的无理方程例题解下列方程：(1) Vx 2-2-V2x4-1 = 0(2) 77+2-77 = 1(1) 2^x-3 = x-6(2) 3-V2x-3 = x例2.(029■或 I ca例3. 3. 适宜用换元法解的无理方程例题 解方程 27X 2-2X + 4 = 3X 2-6X + 4[二元二次方程的解法】'二.一型：常见分类，二•二型：“二•一”型方程组的解法(1) 代入消元法(即代入法), ax + by = Q ,，一， 形如｛ , ? 的万程组or + dxy + ey =0 .(2) 逆用根与系数的关系形如的方程组[xy = b“二•二”型方程组的解法2, ax^ +/?x + c = 0形如，dx~ + ex + f = 0例题分析：|X +JI =8 (1)例1・解方程组I 智 ........... ⑵・* 2-0 QC9例4. k 为何值时，方程组L3. .3例6.解方程组广口例7.解方程组例8.解方程组例9.解方程组例10：(A)25 _ 35x x-20(A)25 _35x-20 x(A)岂里x x + 20(A)25 _35 x + 20 x(1) 有两组相等的实数解； (2) 有两组不相等的实数解; (3) 没有实数解。
第6章 代数系统基础汇总
1 2 3 4 6 12 1 0 1 2 3 5 11 2 1 0 1 2 4 10 3 2 1 0 1 3 9 4 3 2 1 0 2 8 a*b=|a-b|
6 5 4 3 2 0 6
12 11 10 9 8 6 0
3、子代数系统
V=<S，Ω>:代数系统 S′ S S′≠φ
子系统或子代 数
V′为V的子代数系统 每一个运算ω∈ Ω对 S′均封闭 V′ =<S′，Ω>是一个代数系统
定理
U=<X, ∘ > V=<Y, *> f:同态映射
Rf :X上的二元关系， 对于任意的x1,x2X x1Rfx2 f(x1)=f(x2) Rf是U上的同余关系
证明
③可传递性： (1) Rf是等价关系： ①自反性： x1Rfx2∧x2Rfx3 对任意的xX f(x1)=f(x2)∧f(x2)=f(x3) f(x)=f(x) f(x1)= f(x3) xRx x1Rfx3 ②对称性： x1Rfx2 f(x1)=f(x2) f(x2)=f(x1) x2Rfx1
变换运算表
g
1,2列交换 2,4列交换
1,2行交换
2,4行交换
一致
同构对运算保持相同的性质
设U=<X, ∘ >，V=<Y,*>同构，f是U到V的同构，则： (1) 若∘有幺元e *有幺元法f(e) (2) 若∘有零元 *有零元f() (3) 若xX有逆元x-1 f(x)Y有逆元f(x-1),反之亦然； (4) 若∘运算可交换 *运算也可交换 (5) 若∘运算可结合 *运算也可结合
+4 0 1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2
082线代期中复习指南
线代第一章复习指南行列式整理：夏晗一．基本定义1.行列式的定义2.定理：n元线性方程组的系数行列式不等于零时，方程组有唯一解。
3.顺序和逆序：按照排列的顺序任取两个数（ij ik）j>k若ij<ik 构成顺序若ij>ik 构成逆序逆序数就是逆序的数量，标记为τ。
逆序数+顺序数=n(n-1)/2逆序数是偶的叫偶排列，反之叫奇排列。
4.对换改变排列的奇偶性。
5.在全部的n(n>1)阶排列中奇偶各占一半。
6.行列式的一般式和定义式需要到书上找，这个是需要记下来的。
7.如果行列式有一行为零，则行列式为零。
8.上三角，下三角及对角行列式等于主对角线上n个元素乘积。
二．性质1.行列互换值不变（DT=D）2.交换行列式两行对应元素的位置，行列式变号。
推论：若一个行列式有两行相同，则其值为零。
3.数乘：乘到某一行就行了。
推论1：可提公因子。
推论2：两行对应成比例，其值为零。
4.如果第i行各元素都是两个元素的和，可将其写成两个行列式的和，就是分别拆开就行了。
5.行列式某一行的各元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。
6.n阶行列式D等于它的任一行的各元素与他们的代数余子式的乘积之和。
（代数余子式就是划去i行j列，剩下的M，符号是（-1）的i+j次方）推论引入了一个克罗内克符号：i=j时为1，i不=j时为0。
三．常见的行列式计算除了按照定义和性质死算的简单行列式外，书中介绍了两种：n阶三角行列式和范德蒙德行列式的算法，公式书上都已证出。
四．拉普拉斯展开定理k阶子式：交叉组成的k阶行列式余子式：划去n的行列后剩下的n-k阶代数余子式：加符号：-1的划去的所有下标的和的次方。
定理：设在n阶行列式中取定某一行（1<k<n）,则D等于位于这k行的所有k阶子式Ni（i=1234……）与它们各自对应的代数余子式Ai的乘积之和：D=∑（i=1~t）NiAi（t = n中取k的组合数）行列式的乘法法则：Cij=∑（k=1~n）aik bkj（i，j=12345……）五．克拉默法则n元线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有且仅有唯一解。
第六章 代数系统--复习
第一部分：代数系统基本概念及性质 第二部分：半群与群 第三部分：格与布尔代数
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代数系统基本概念及性质
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代数系统—基本定义
代数系统：设S是个非空集合且fi是S上的ni元 运算，其中i = 1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数系统，记 作< S， f1，f2，…，fm >。
– 同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运 算的作用下，能够保持关系的等价类。
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代数系统—基本定义
商代数：给定<S，⊙>及其上的同余关系E， 且由E对S所产生同余类构成一个商集S/E。 若在S/E中定义运算*如下： [x]E *[y]E = [x⊙y]E
其中[x]E，[y]E∈S/E 于是<S/E，*>构成了一个代数结构，则称
– 给定群<G，⊙>，子群<H，⊙>的左陪集关系，记作CH，其定义 为： CH ：= {<a，b＞| a，b∈G∧b-1⊙a∈H}。
• 群的同态与同构
– 给定群<G，⊙>和群<H，*>，则<G，⊙>~<H，*>： ( g)(g ∈HG∧(∀a)(∀b)(a，b∈G → g(a⊙b)= g(a)*g(b)))，并称g为从群<G，⊙>到群<H，⊙>的群 同态映射。
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群论-基本概念
• 子半群:给定半群<S，⊙>及非空集合T⊆S，若T对⊙封
闭，则称<T，⊙>为<S，⊙>的子半群。
– 子独异点
• 循环子半群：给定半群<S，⊙>及任意a∈S，则<{a，a2 ，a3，…}，⊙>是循环子半群。
代数基础复习
代数基础复习代数是数学中的一个重要分支，用符号代表数字和运算关系。
在代数学习的过程中，掌握一些基础知识和技巧是非常重要的。
本文将对代数基础进行复习，并介绍一些常见的代数概念。
一、代数基础概念1.1 变量和常数在代数中，我们常常用字母来表示未知数或变量，比如用x表示一个未知数。
常数指固定的数值，例如2、3或4等。
变量和常数是代数表达式的基本构成要素。
1.2 代数表达式代数表达式由数、变量、常数和运算符组成。
例如，2x + 3y就是一个代数表达式，其中2和3是常数，x和y是变量，"+"是运算符。
代数表达式可以进行各种运算，包括加减乘除等。
1.3 方程和不等式方程是一个等式，左右两边的代数表达式相等。
例如，2x + 3 = 7就是一个方程，求解这个方程可以得到变量x的具体取值。
不等式是关于大小关系的表达式，例如2x + 3 > 7就是一个不等式，求解这个不等式可以得到使不等式成立的变量取值范围。
二、代数基础运算2.1 加法和减法加法是代数中最基本的运算之一，用"+"符号表示。
减法是加法的逆运算，用"-"符号表示。
例如，5 + 3 = 8，8 - 3 = 5。
2.2 乘法和除法乘法是代数中常用的运算之一，用"*"或省略符号表示。
除法是乘法的逆运算，用"/"符号表示。
例如，5 * 3 = 15，15 / 3 = 5。
2.3 指数和根号指数运算是多次相乘的简写形式，用"^"符号表示。
例如，2^3表示2的3次方，结果为8。
根号运算是指数运算的逆运算，用"√"符号表示。
例如，√16 = 4，即找到一个数的平方等于16。
三、代数方程与不等式3.1 一元一次方程和不等式一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，形式一般为ax + b= c，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
线性代数期中考试(答案)
( C
n
)
( A) k A
( B) k A
(C ) k n A
1 0 0 1 0 0 1 1 0 A = 0 2 0 ， 则 A = 5、 设 0 0 1 0 0 3
6、 设 A=
1 −1 1 1 2 3 ， B= ；则 1 1 −1 −1 −2 4
ì ï ï x1 = ï ï ï ï 所 以 方 程 组 的 通 解 为 ï x2 = í ï ï ï ï ï ï ï ï î
0 −
3 16 7 1 − 16 0 0 0 0
9 16 5 − 16 0 − 0
9 16 5 16 0 0
ì x1 = - 4k 2 ï ï ïx = k + k +1 ï 2 1 2 ï 所以通解为 í , k1 , k 2 Î R ï x 3 = k1 ï ï ï x4 = k2 ï î
T T
( C )
中
考
试
试卷
使 用 班 级 ： 2009 经 管
考试形式：闭卷
7． A 为 m × n 矩 阵 ， r ( A) = r 的 充 分 必 要 条 件 是 ： (A)、A 中 有 r 阶 子 式 不 等 于 零 ， (C)、A 中 非 零 子 式 的 最 高 阶 数 小 于 r+1, （ 每 题 2 分 ， 共 16 分 ） 8 。.
嘉 兴 学 院
2010— 2011 学 年 第 一 学 期 期
课 程 名 称 ： 线 性 代 数 C(N) 班 级 ：____________
6. 已 知 An × n , Bm × n ， 则 ( AB ) 等 于 ： (A)、 AB ， (C)、 BAT ， (B)、 AT B ， (D)、 B T AT 。
期中复习-线性代数
⇒齐次线性方程组必有解：x1 = x2 =L= xn = 0
定理5：
若齐次线性方程组系数行列式D≠ 0 ⇒齐次线性方程组无非零解（只有零解）
定理 ′： 5
齐次线性方程组无解 ⇒ 齐次线性方程组系数行列式D = 0
第 页 16 25 例
第二章 矩阵的运算
一、 矩阵 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n = (aij )m×n A= M M M am1 am2 L amn
1 0 单 位 矩 阵 （ 单 位 阵 ） En= M 0 0 1 M 0 L L L 0 0 M 1
λ1 0 对角矩阵Λ= M 0
0
L L L
λ2
M 0
0 0 = diag ( λ1 , λ 2 , L , λ n ) M λn
把定义中的“ 换成“ 就是初等列变换 初等列变换； 了解：把定义中的“行”换成“列”，就是初等列变换； 矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换. 矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换. 初等变换
2、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵 行阶梯形矩阵、行最简形矩阵 行阶梯形矩阵
（1）行阶梯形矩阵
ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 +L+ ain Ajn = 0
(i ≠ j)
a1i A j + a2i A2 j +L+ ani Anj = 0 1
(i ≠ j)
例：
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D= −5 2 −1 2 0 4 −7 6
范德蒙德行列式的应用（证明不要求 结论会用就行 结论会用就行） 范德蒙德行列式的应用（证明不要求,结论会用就行） 应用
复旦大学数学学院高等代数历届期中考试大题精选之三（18级--20级）
复旦⼤学数学学院⾼等代数历届期中考试⼤题精选之三（18级--20级）本⽂收集了复旦⼤学数学学院 18 级到 20 级⾼等代数期中考试的精选⼤题, 其中⼀部分⼤题由习题课⽼师或任课⽼师⾃编⽽来, ⼀部分⼤题从兄弟院校的⾼等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编⽽来, 也有⼀部分⼤题已经融⼊到复旦⼤学⾼等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限, 这⾥我们不公布这些精选⼤题的解答, 但会根据情况附加⼀些注解, 以供读者参考.本科 18 级⾼代 I 期中考试⼆、(12分) 计算下列 n 阶⾏列式的值:|A |=1−a n 1b n11−a 1b 11−a n 1b n21−a 1b 2⋯1−a n 1b nn1−a 1b n1−a n 2b n11−a 2b 11−a n 2b n21−a 2b 2⋯1−a n 2b nn1−a 2b n⋮⋮⋮1−a n n b n11−a n b 11−a n n b n21−a n b 2⋯1−a n n b nn1−a n b n.五、(12分) 设函数 f (x )=m∑i =−k a ix i , 其中 k ,m 都是正整数. 设 n 阶⾮异阵 A 的每⾏元素之和都等于 c , 证明: f (A )=m∑i =−k a iA i 的每⾏元素之和都等于 f (c ).六、(10分) 设多项式 f (x )=a 0+a 1x +⋯+a n −1x n −1, ωk =cos 2k πn +i sin 2k πn (0≤k ≤n −1) 为全体 n 次单位根, 循环矩阵A =a 0a 1⋯a n −2a n −1a n −1a 0⋯a n −3a n −2⋮⋮⋮⋮a 2a 3⋯a 0a 1a 1a 2⋯a n −1a 0.证明: 恰有 n −r (A ) 个 n 次单位根是 f (x ) 的根 (不计重根数).七、(10分) 设 A ,B 为 n (n ≥3) 阶⽅阵, 满⾜ AB =0. 证明: |AB ∗+BA ∗|=0.注 第⼆⼤题⽤ Vander Monde ⾏列式. 第五⼤题是⽩⽪书例 2.22 的推⼴. 第六⼤题参考博⽂《》. 第七⼤题转化成矩阵秩的问题, 并⽤秩的不等式进⾏证明.本科 18 级⾼代 II 期中考试四、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, p ,q 是互素的整数且 q >1, 证明: 线性⽅程组 Ax =pq x 只有零解.五、(10分) 设 A 1,⋯,A n 为两两乘法可交换的 2019 阶实⽅阵, f (x 1,⋯,x n ) 是 n 元实系数多项式. 令 B =f (A 1,⋯,A n ), 证明: 存在 B 的某个特征值 λ0, 使得⽅程 f (x 1,⋯,x n )−λ0=0 有⼀组实数解.六、(10分) 设 A 为 n 阶复⽅阵, 证明: A 不可对⾓化当且仅当存在⼀元多项式 f (x ), 使得 f (A ) ⾮零, I n +f (A ) 可逆, 并且 (I n +f (A ))−1 与 I n −f (A )相似.七、(10分) 设 A 是 n 阶复⽅阵, 证明: 存在复数 c 1,⋯,c n −1, 使得A −c 1e A −c 2e 2A −⋯−c n −1e (n −1)A是可对⾓化矩阵.||()注 第四⼤题是⽩⽪书例 6.4 的推⼴. 第五⼤题需要⽤到如下结论"两个乘法可交换的奇数阶实矩阵必有公共的实特征向量", 其证明可参考教学论⽂ 12 的例 3. 第六⼤题利⽤ Jordan-Chevalley 分解定理来做. 第七⼤题利⽤ Jordan 标准型的应⽤或 Jordan-Chevalley 分解定理来做.本科 19 级⾼代 I 期中考试五、(10分) 设 n 阶⾮零复⽅阵 A 满⾜ A ∗=¯A ′, 求证: A 是⾮异阵.六、(10分) 设 A 为数域 K 上的 n 阶幂零阵, B 为 n 阶⽅阵, 满⾜ AB =BA 且 r (AB )=r (B ). 求证: B =0.七、(10分) 设 A 为 m 阶实反对称阵, C 为 n 阶实反对称阵, B 为 m ×n 阶实矩阵. 证明: A +I m 和 C −I n −B ′(A +I m )−1B 都是⾮异阵.注 第五⼤题是⽩⽪书例 2.21 的复版本. 第六⼤题利⽤⽩⽪书的例 3.75 来证明. 第七⼤题的第 1 ⼩问是⽩⽪书的例 3.78 (利⽤线性⽅程组的求解理论), 第 2 ⼩问可通过降阶公式 (构造⼀个⼤矩阵) 转化为第 1 ⼩问.本科 19 级⾼代 II 期中考试四、(14分) 设 n (n >2) 阶复⽅阵 A 的秩等于 2, 试求 A 的 Jordan 标准型.五、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, 其中阶数 n 为偶数, 并且对任意的 1≤r ≤n , A 的所有 r 主⼦式之和都是奇数. 证明: 不存在整数 k , 使得线性⽅程组 Ax =kx 有⾮零解.六、(10分) 设 A =(a ij ) 是 n 阶实⽅阵, 若对任意的 1≤i ≤n , 都有 |a ii |>∑j ≠i |aij |, 则称 A 是严格对⾓占优阵. 设 A ,B 均为主对⾓元都⼤于零的n 阶严格对⾓占优阵, 且满⾜ A 2(A +B )=(A +B )B 2, 证明: A =B .七、(10分) 设 a ,b 都是实数, 其中 b ≠0, 证明: 对任意的正整数 m , 存在 4 阶实⽅阵 A , 使得A m =a b 20−b a 2000a b 0−ba.注 第四⼤题先将 A 的 Jordan 标准型 J 写出, 通过计算 J 的秩可得到 5 个分类结果. 第五⼤题利⽤⽩⽪书的例 6.15, 再由反证法即得结论. 第六⼤题先利⽤⼽⽒圆盘定理得到 A ,B 特征值的实部都⼤于零, 再利⽤两次⽩⽪书的例 6.63 即得结论. 第七⼤题利⽤⼴义 Jordan 块 (⽩⽪书第366 页第 2 ⾏和第 3 ⾏的矩阵) 作为测试矩阵进⾏讨论.本科 20 级⾼代 I 期中考试四、记数域 K 上所有 n 阶⽅阵全体构成的线性空间为 M n (K). 对 A ∈M n (K), 考虑 C (A )={B ∈M n (K)∣AB =BA }.(1) 若 n =3, A =01000111, 求 C (A ) 的⼀组基.(2) 若 n =2, 试确定 dim C (A ) 的所有可能值.五、设 n 阶复⽅阵 A 不可逆, 证明: ⾄多只有两个复数 λ, 使得 λI n +A ∗ 不可逆.六、设 A ,B 为 n 阶⽅阵, 证明: |r (AB )−r (BA )|≤n2.七、设 A ,B 为 n 阶实⽅阵, 其中 A 是主对⾓元全⼤于零的上三⾓阵, 并且满⾜ AB +BA ′=2AA ′. 证明:(1) B 必为对称阵;(2) A 为对⾓阵当且仅当 B 2=AA ′;(3) |B |>0.本科 20 级⾼代 II 期中考试四、设 n 阶⽅阵 A 的极⼩多项式为 λ3−λ2, 试求 A 可能的互不相似的 Jordan 标准型的总个数.五、设 V 为线性空间, φ1,⋯,φk 是 V 上的线性变换, 满⾜: φ2i =φi (1≤i ≤k ), φi φj =0(1≤i ≠j ≤k ), 证明:()()V =k⨁i =1Im φi ⨁k⋂j =1Ker φj .六、设 n 阶复矩阵 A 的全体特征值都是属于开区间 (−1,1) 的实数, 证明: 矩阵⽅程 sin X =A 必有解.七、设 A ,B 为 n (n ≥2) 阶⽅阵, 满⾜: r (A )=n −1, AB =BA =0. 证明: A +B 为⾮异阵的充要条件是 A 的特征值 0 的代数重数等于 1 且 B 的秩等于 1.()Processing math: 100%。
期中考试试卷及答案
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其子代数包括(∅, ∗), ({1}, ∗), ({1, 8}, ∗), ({1, 4, 7}, ∗), (A, ∗)。
七、设(S, ∗)是半群，e∈S满足：(i) 对任意的x∈S有x ∗ e = x；(ii) 对任意的x∈S，存在x ∈S，使 得x ∗ x = e，试证明对任意的x, y, z∈S有x ∗ z = y ∗ z蕴涵x = y(8分)。
六、给定集合A = {1, 2, 4, 5, 7, 8}，在其上定义运算∗为模9乘运算，即对任意的a, b∈A，a ∗ b = ab mod 9，这里ab是普通乘法，请给出集合A上该运算的运算表，并给出代数(A, ∗)的所有子代 数(15分)。
七、设(S, ∗)是半群，e∈S满足：(i) 对任意的x∈S有x ∗ e = x；(ii) 对任意的x∈S，存在x ∈S，使 得x ∗ x = e，试证明对任意的x, y, z∈S有x ∗ z = y ∗ z蕴涵x = y(8分)。
八、设(A, ∗)和(B, ◦)都 是 只 有 一 个 二 元 运 算 的 代 数 系 统，ϕ : (A, ∗)→(B, ◦)是 满 同 态，证 明：(i)如果∗可交换，则◦也可交换；(ii)如果∗存在单位元e，则◦也存在单位元(10分)
2018抽象代数期中试卷
浙江师范大学《抽象代数》期中试卷考试形式：闭卷考试时间：100分钟 出卷时间：2018-5-6一、 填空题（共20分，每一空格2分）1．设S 是半群，则S 是群的当且仅当S 满足_________。
2．设(134)(562),(1263)(54)στ==，则τσ= _________。
3．在同构的意义下，4阶群只有2个，它们是_________。
4．在n 次对称群n S 中，k -循环置换)(21k i i i 的逆=-121)(k i i i _________。
5．群G 的阶为n ，G a ∈，a 的阶为m ，则n 与m 的关系是_________。
6. 设},,{c b a A =，请给出A 的一个二元运算(用运算表表示)，使A 成为一个群，如：_________。
7. 设H 是群G 的一个非空子集，则H 是群G 的一个正规子群当且仅当_________ 。
8. n 次对称群n S 中的阶为_________。
9. 有限群里阶数大于2的元素个数一定是_________。
10. m 阶循环群同构与_________。
二、 判断题（共16分，每一空格2分，对的打√，错的打×）1．在群G 中，对任意的G b a ∈,，有n n n b a ab =)(。
（ ）2．在交换群中，任意一个子群都是不变子群。
（ ）3．任何群都与一个置换群同构。
（ ）4．在一个半群中，有左单位元当且仅当它有右单位元。
（ ）5．满足消去律的半群必为群。
（ ）6．有限群中的每一个元素阶有限。
（ ）7．若H 是群G 的不变子群，K 是H 的不变子群，则K 是G 的不变子群。
（ ）8． 设H 是群G 的子群，则[:].G G H H=（ ）三、 计算题（每一小题8分，共16分）1．找出剩余类群15的的生成元及所有子群。
2． 设3S 是3次对称群，3A 是3S 中所有偶置换构成的集合。
(1) 写出33S A 和的所有元素；(2)求3S 关于3A 的左陪集分解和右陪集分解。
代数结构部分复习与思考题
2005.2
Discrete Math. SLZ 经济学院
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子群主要内容 1．子群的定义。 2.子群的三个判定定理及其应用。 3. 典型子群：由元素生成的子群<a>,群G的
中心C，若干个子群的交集。
子群复习要求 1. 会证明群的子集是子群。 2. 了解几个典型子群的定义。
一.代数系统部分 复习要点：
１．能够判定某个运算是否为给定集合上的二元或一元运算。 2. 能够求出给定二元或一元运算的结果。通过给定解析公式求出
相应的运算表。 3. 能指出给定运算所满足的算律（交换律、结合律、幂等律、分
配律和吸收律）。 4. 能求出给定运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 5.判断给定集合和运算能否构成代数系统。 6. 解子代数的基本概念 ; 7.同态的定义及其性质; 8.典型的同态实例 9. 代数系统的积代数
⑶ S3={0,1}, * 为普通乘法,则 S3 是 C .
⑷ S4={1,2,3,6}, ≼ 为整除关系，则 S4 是 D .
⑸ S5={0,1}, +, * 分别为模2的加法和乘法,则 S5是 E
2005.2
Discrete Math. SLZ 经济学院
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(4) 答案是 ⑦布尔代数;
< S4, ≼>是格,又与22的集合代数同构,所以是布尔代数.
两个二元运算并满足交换律、分配律、同一律和 补元律的代数系统。 2. 布尔代数的特殊性质：双重否定律和德摩根律。 3. 子布尔代数的定义。 4. . 对于任意自然数n，只有一个2n元的有限布 尔代数，就是幂集代数。
学习要求 1. 会判别一个格是布尔代数。 2. 证明布尔代数中的等式。 3. 判别子布尔代数。 4. 了解任意有限布尔代数都与某个幂集格同
代数复习要点
7、某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320—10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？
三点，则解析式为。
⑥ 二次函数 的顶点坐标为
(-1,3)，则 =____. =______.
⑦二次函数 与x轴的交点坐标为
。与 轴的交点坐标为。当 ____时， > 0.当 _____时， < 0.
⑧点(-2,3) _____抛物线 上的点。
⑨ 直线 与抛物线 的交点坐标
为。
十三、反比例函数
①反比例函数的一般形式：
② 反比例函数的图象为，当 ＞0时，图象位于一、三象限，象限，在每个象限内 随 的增大而少。当 ＜0时，图象位于二、四象限，在每个象限内 随 的增大而增大。
① 若 与 成反比例，当 ＝3时， ＝7则 与
的函数关系式为。
② 函数 的图象在第＿＿象限， 随 的增
大而＿＿＿。当 ＞0时图象位于第象限。
③ 若矩形的长为 cm。面积为 ,则矩形的宽
匀变速：平均速度＝
2）工作量问题（常把总量看作“1”）
工作总量＝工作效率×工作时间
3）增长率问题：
↓ ↓ ↓
增长值
初值―― →上升到b
4）数字问题：两位数10b+c，三位数100a+10b+c
奇数→2m+1偶数→2n
5）销售问题；单价×数量＝总价
6） 调配方案：
练习：
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1.
给出代数系统中6大律 4大特殊元的定义。
2.
什么是群？什么是环？什么是整环？什么是域？什么是格？什么是布尔代数？ 3. 对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统，
并简要说明理由。
（1）}3,3/1,2,2/1,1{1
=S ，*为普通乘法。
（2）{}+=,1,02
S 为普通乘法。
（3）n n S },1,1,0{3
-= 为任意给定的正整数且,*2≥n 为模n 乘法， 为模n 加法。
（4）≤=},3,2,1,0{4
S 为小于等于关系。
（5）},6,3,2,1{5
=S ﹡和+分别表示最小公倍数和最大公约数。
4. 设A ={2，4，6，8}，A 上的二元运算*定义为：a *b =min {a ，b }，则在独异点<A ，*>中，单位元是 ，
零元是 。
5. 关于群的说法正确的是
（A ）群都有子群 (B)群的陪集也是群（C ）群的并是群 （D ）有限群只有2个生成元
6. 关于无零因子环，正确的是
（A ）没有零元 （B ）xy=0，则x 和y 中必有一个是0
（C ）没有零因子 (D)零元不唯一
7. 关于单位元，正确的说法是
（A ）单位元就是1 （B ）单位元就是0
（C ）有单位元，说明有左右单位元（D ）单位元不唯一
8. Z 8的全部生成元是 ，它有 个子群。
9. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13424321σ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12344321τ σ-1= ，τσ= .
10. 证明实数域关于加法和乘法是域.
11. 设G 的运算表如下表所示，问G 是否为循环群？如果是，求出它所有的生成元和子群；
12. n=5时，所有不同构的格有哪些？请做出他们的哈斯图，并判断他们是不是分配格，有补格，以及布
尔代数？
13. 除逻辑代数以外请举出2个布尔代数的实例。
14.请用集合论和代数结构里面的概念和知识重新阐述一下“物以类聚，人以群分”。
15.通过本学期的学习，你认为代数结构和图论里面的每个章节内容是按照什么逻辑关系来组织的？
16.说明右边的二元运算是否满足交换律？、结合律？、幂等
律？.
17.G = 3 Z ={ 3 z | z ∈Z } , G 上的运算是普通加法. 那么G 只有两个生成元，
它们是。
18.无限循环群的子群无限的（填是/不是/不一定是）。
19.的轮换形式是
，对换形
式是。
20.a∧b=0的对偶式是。
21.两个布尔代数同构的充分必要条件是。
22.如果<S,*,>构成一个格，则*和不满足( )。
A、交换律；
B、幂等律；
C、结合律；
D、分配律。
23.证明集合的幂集关于交并构成布尔代数.
24.设G 是群，a , b G 是有限阶元．证明| a b | = | b a |.
25.针对下述运算求出单位元、零元和所有可逆元素的逆元. 设Q为有理数集合，*运算定义如下：xy
∈Q, x*y=x+y-xy.
26.什么是Klein 四元群，求Klein 四元群G 所有子群，并画出其子群格。
27.判断下图中的格是否为分配格；(2) 针对下图中的格求出每个格的补元，并说明它们是否为有补格.
28.设（G，*）是n元有限群，e为单位元，a1,a2,…,a n是G的任意n个元素，不一定两两不同。
试证：
存在正整数p和q，1≦p≦q≦n,使得a p*a p+1*…*a q=e.
29.设（G，*）是群，（A，*）和（B，*)是它的两个子群，C={a*b|a∈A,b∈B}.证明：若*满足交换律，
则（C，*）也是(G，*）的子群。