复变函数课件2-3

(k 0,1, 2,, n)
(3) 根式函数的单值解析分支
w n z, 对根式函数
(1)
来说，当
z0w n 0 0
(2)
z 0 wk
z
n
n | z |e
k
i
2 k
n
k 0,1, n 1,
arg z z的主辐角
由于
Argz arg z 2k ,
n
re
n
ik
k
2k
n
=
arg z 2k k 0,1, n 1 n
w0 n re
i0
2 w1 n re i1
n
2 2 w2
2( n 1) wn 1
4. 分出w=Lnz的单值解析分支
wk (Ln z ) k ln r i(arg z 2k ), k 0,1,2,,
1
1. 乘幂: 设 a 为不等于零的一个复数, b 为任意一个
复数, 乘幂 a b 定义为 e bLna , 即 a b e bLna . 注：由于 Ln a ln a i(arga 2k ) 是多值的, 因而 b 一般情况下，a 也是多值的.
五、多支点函数
定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的
两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.
并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
上岸
下岸
下面看课本P72例题2.15
二、对数函数 满足方程 e w z ( z 0) 的函数 1. 定义 w f ( z )称为对数函数, 记为w Ln z.
令 2.计算公式： z rei , w u iv
由于 Arg z 为多值函数, 所以对数函数 w f ( z )
4. 一般指数函数 w a e
它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。 当a e, Ln e取主值时，便得到通常的单值的 指数函数w e z .
Arcsin z iLn( iz 1 z ) iLn( z z 2 1), 2 i 1 iz
2
（广义）简单曲线可作为其支割线. 例1 设 w Lnz 定义在沿负实轴割破的平面上，且 w(1) 3 i （是下岸相应点的函数值）求 (i ) 的 w 值. wk ( Lnz ) k ln z i (arg z 2k ) ( arg z ) 解： 求值： i ln | 1 | i(arg(1) 2k ) k 3 5 w(i) ln | i | i(arg(i) 2 ) i( 2 ) i 2 2
则从e
m ln z1 n
e
m （ln| z1 | i1 ) n m ln z1 n
相应地连续变动到
e e ，即回到了它从z1出发的值. 这时，称原点和无穷远点是w z m / n的n-1阶支点， 也称n-1阶代数支点。 当 b 为无理数或复数时，原点和无穷远点是 b w z 的无穷阶支点，此时函数是无穷多值的。
但若z沿某一条不包含原点的闭合曲线C1环绕一周回到原来的位置， z的幅角不变，因而二次根式的值也保持不变。
故对每一个z值，虽然其值是一个定值， 但它的辐角并不唯一，这就是根式函数产生 多值的原因.
(4) 分出根式函数的单值解析分支.
z 0 wk
z
n
re
n k
i
2 k
e 1 i 其中 k 0,1,2,. 故 (1 i ) 的辐角的主值为 ln2. 2 z zLna
1 2 k 2 k i ln 2 4 2 e 4
1 1 cos ln 2 i sin ln 2 2 2
w Lnz eu z e
w
u iv
re
i
也是多值函数, 并且每两值相差 2πi的整数倍. 如果将 Lnz ln z iArg z 中 Argz 取主值 arg z , 那末 Lnz 为一单值函数， ln z， 记为 称为 Lnz 的主值.
ln z ln z i arg z .
a e p
b
p [ln a i ( arg a 2 k )] q
e
p p ln a i ( arg a 2 k ) q q
e
b
q
ln a
p p cos q (arg a 2kπ ) i sin q (arg a 2kπ)
a 具有 q 个值,即取 k 0,1,, (q 1)时相应的值. b (3) 当 b 为无理数或复数时,函数w z 是无穷多值的。
1. 根式函数
(1)定义 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：
w z
n
, 根式的反函数.
(2) 幂函数的性质.
幂函数z=wn在w平面上单值解析，它把扩充w平面 变成扩充z平面，而
w n z n | z |e
i
arg z 2 k n
设 z cos w, 称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arc cos z.
四、反三角函数和反双曲函数 1. 反三角函数的定义
e r , v 2k (k Z ) u ln r (实对数), v 2k (k Z ) Argz w Lnz ln r i( 2k ) (k Z ) 即Lnz ln | z | iArgz ln | z | i(arg z 2k ) (k Z )
三、乘幂 a b 与幂函数
2. 一般幂函数 w z b ebLnz
(1) 当 b 为整数时,
b
a e e b ln a b (ln a iarg a ) 2 kbi e , e
bLna
b[ln a i ( arg a 2 k )]
a 具有单一的值.
b
p ( 2) 当 b ( p与q为互质的整数, q 0)时, q
2 k re i 2 wk n re ik i n1 n
re
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该 直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边 界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化
为单值函数来研究。
常用方法
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
wk (n z ) k n r ( z )e
wk在其定义域上解析,且
wk
i
arg(z ) 2 k n
,
k 0,1,, n 1

n
z

k
1 n
z
n
k
z
(5) w
定义
n
z 的支点及支割线
设w f ( z ) 为多值函数，a 为一定点，作小圆周
C : z a r ，若变点
z沿C
a
转一周，回到出发点时，
函数值发生了变化，则称
为 f ( z ) 的支点，如 w n z , z 0
就是其一个支点，这时绕 C : z r 转一周也可看作绕点
转一周，故点 也是其一个支点.
定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分 支的割线，称为多值函数的支割线. w n z 可以以负实轴为支割线. 如 注 a) 支割线可以有两岸. b) 单值解析分支可连续扩充到岸上. c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变. w n z ，当以负实轴为支割线时，当 z x 0 d) 对 时取正值的那个分支称为主值支.
3. 幂函数的解析性 原点和负实轴的复平面内是解析的, ( z b ) bz b1 .
除去 b为整数外, 它是一个多值函数，它的各个分支在除去
当 b 为有理数m / n(既约分数，n 1), 当一点z从z1出发按逆时针或顺时针连续变动 m/n n周时, Argz从1连续变动到1 2n，而w z
故当
n | z |e
k i Argz n
z 0 wk
z
n
下面以二次根式函数为例，简单介绍多值函数的特点。
设z rei (0 2 ), w z r eiArgz / 2 ,
对于复平面上某一固定点z来说，其幅角Argz的具体数值无法确定。
若z沿某一条闭合曲线C环绕原点一周回到原来的位置，z值虽然不 变，但其幅角却变为 2，从而w将由 r ei / 2连续变为 r ei ( 2 ) / 2 .
其余各值为 Lnz ln z 2ki ( k 1,2,), 对于每一个固定的k , 上式确定一个单值函数,
称为 Lnz 的一个分支. w=z的反函数， Lnz 说明：w=Lnz是指数函数e e z Lnz一般不能写成lnz, . 例1 求 Ln 2, Ln( 1) 以及与它们相应的主值 解 因为 Ln2 ln 2 2ki , 所以 Ln2 的主值就是 ln2. 因为 Ln( 1) ln 1 iArg ( 1) ( 2k 1)i ( k为整数) 所以 Ln( 1) 的主值就是 i . 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函 数是实变数对数函数的拓广.
和其它各分支处处连续 处处可导, 且 , 1 , (Lnz ) 1 . (ln z ) z z
从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数 w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支：