曲线上一点处的切线学习教材PPT课件
《切线理论上》课件
02
切线的几何性质
切线的定义与性质
切线的定义
切线是一条与圆只有一个交点的 直线，这个交点叫做切点。
切线的性质
切线与半径垂直，切线与半径相 交于切点，切线在切点处与圆的 半径只有一个交点。
切线的判定定理
切线的判定定理：如果一条直线符合以下两个条件，则该直线为圆的切 线
直线过圆心；
数等，以拓展其应用领域。
针对切线理论在具体问题中的应 用，开展案例研究和实证分析， 提高其在实际问题中的可操作性
和实用性。
切线理论在其他领域的应用前景
在物理、工程、经济、金融等领 域中，探讨切线理论的应用可能 性，挖掘其潜在的价值和作用。
结合具体领域的特点和需求，开 发具有针对性的切线理论应用模 型和方法，提高其在解决实际问
切线的判定
如果直线与双曲线只有一个公 共点，则该直线为双曲线的切 线。
渐近线与切线的关系
双曲线的渐近线与切线在切点 处相交，且它们的斜率互为相
反数。
04
切线在实际问题中的应用
切线在物理问题中的应用
总结词
切线理论在物理问题中有着广泛的应用，特别是在力线表示速度的方向或加速度的方向，对于理解物体运动轨迹和变 化规律至关重要。例如，在曲线运动中，切线决定了物体的速度方向和轨迹形 状。
《切线理论上》ppt课件
目录
• 切线理论概述 • 切线的几何性质 • 切线在几何图形中的应用 • 切线在实际问题中的应用 • 切线理论的扩展与展望
01
切线理论概述
切线理论定义
切线理论是研究曲线在某一点 处的切线的几何理论。它主要 探讨曲线在某一点的切线的性 质和求法。
切线定义为曲线在某一点处与 该点处的极限相切的直线。
用导数求切线方程(课堂PPT)
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
例2 与直线 2xy40平行的抛物线 y x 2
的切线方程是（ ）
4
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
例3 求过曲线 y x3 2x 上的点 (1， 1) 的切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应
先设切点，再求切点，即用待定切点法．
5
设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 y|xx0 3x02 2
即 xy20 或 5x4y10
7
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
例4 求过点 ( 2 ，0 ) 且与曲线 y 1
x
相切的直线方程
8
设 P(x0，y0 )为切点，则切线的斜率为
y |x x0
1 x02
切线方程为
1 y y0 x02 (xx0)
y 1 x0
x102(xx0)源自又知切线过点 ( 2 ，0 ) ，把它代入上述方程，得
1 x0
1 x02
(2 x0)
9
解得
x0
1，y0
1 x0
1
故所求切线方程为 xy20
10
Thank You
11
用导数求切线方程
主讲人：甄玉星
1
四种常见的类型
类型一：已知切点，求曲线的切线方程 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
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类型一：已知切点，求曲线的切线方程 例1 曲线 yx3 3x2 1 在点 (1， 1) 处的 切线方程为
切线方程为 yy0(3x022)(xx0)
y (x 0 3 2 x 0 ) (3 x 0 2 2 )(x x 0 )
曲线的切线(详解)
曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。
当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。
2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。
问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。
小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。
问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。
小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。
3例2 已知曲线y=。
x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。
解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。
变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。
《切线的判定》课件
切线与过切点的半径所在的直 线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切 线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是 否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的 性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判 断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直 线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需 要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画 出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接 已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质 ，证明割线与圆只有一 个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理， 如果一条割线满足上述 性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的 运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用 切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定 定理来判断流体是否沿着流线流动。
第1讲曲线的切线 课时讲义
第1讲 曲线的切线1. 曲线的切线及切线方程是高考中的一个重要考点，曲线的切线与直线与二次曲线相切的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切则只有一个公共点．2. 高考中涉及曲线的切线，往往有如下题型：一是直接求切线的方程；二是通过曲线的切线求相关的参数；三是求切点的坐标或公切线等．1. (2018·苏州期中调研)已知曲线f(x)＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案：13解析：因为f ′(x )＝3ax 2＋1x ，所以f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13.2. (2018·南通一调)若曲线y ＝xln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则实数t 的值为________．答案：e －2解析：因为y ′＝1＋ln x ，所以当x ＝1时，y ′＝1，当x ＝t 时，y ′＝1＋ln t ．因为曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，所以1·(1＋ln t )＝－1，得t ＝e －2.3. 已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为________．答案：3解析：已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3(x＝－2舍去)．4. (2018·淮安期中)已知函数f(x)＝x 3.设曲线y ＝f(x)在点P(x 1，f(x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2，f(x 2))，记f′(x)为函数f(x)的导数，则f ′（x 1）f′（x 2）的值为________．答案：14解析：设点P(x 1，x 31)，曲线y ＝f(x)在点P(x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q(－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′（x 1）f′（x 2）＝3x 213x 22＝14., 一) 求切线的方程, 1) 已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l.(1) 求斜率最小的切线方程；(2) 求切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1) y′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点(2，53)，斜率k ＝－1，所以切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2) 由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1.因为α∈[0，π)，所以α∈[0，π2)∪[3π4，π)．故α的取值范围是[0，π2)∪[3π4，π)．点评：求切线方程的方法：① 求曲线在点P 处的切线，则表明点P 是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；② 求曲线过点P 的切线，则点P 不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为________．答案：1e解析：因为f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x.设切点P (x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.所以ln x 0＝1，所以x 0＝e ，所以k ＝1x 0＝1e., 二) 利用导数的几何意义求参数的值, 2) 已知函数f(x)＝e x ，g (x )＝x －m ，m ∈R. (1) 若曲线y ＝f (x )与直线y ＝g (x )相切，求实数m 的值； (2) 若h (x )＝f (x )·g (x )，求h (x )在[0，1]上的最大值．解：(1) 设曲线f (x )＝e x 与g (x )＝x －m 相切于点P (x 0，y 0)，由f ′(x )＝e x 知e x 0＝1，解得x 0＝0，可求得点P 为(0，1)，代入g (x )＝x －m ，得m ＝－1.(2) 因为h (x )＝(x －m )e x ，所以h ′(x )＝e x ＋(x －m )e x ＝[x －(m －1)]e x ，x ∈[0，1]． ① 当m －1≤0，即m ≤1时，h ′(x )≥0，此时h (x )在[0，1]上单调递增，所以h (x )max＝h (1)＝(1－m )e.② 当0<m －1<1，即1<m <2时，当x ∈(0，m －1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(m －1，1)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (0)＝－m ，h (1)＝(1－m )e.(ⅰ) 当－m ≥(1－m )e ，即ee －1≤m <2时，h (x )max ＝h (0)＝－m ；(ⅱ) 当－m <(1－m )e ，即1<m <ee －1时，h (x )max ＝h (1)＝(1－m )e.③ 当m －1≥1，即m ≥2时，h ′(x )≤0，此时h (x )在[0，1]上单调递减，所以h (x )max＝h (0)＝－m .综上，当m <e e －1时，h (x )max ＝(1－m )e ；当m ≥ee －1时，h (x )max ＝－m .点评：处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：① 切点处的导数是切线的斜率；② 切点在切线上；③ 切点在曲线上．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行．(1) 求a 的值；(2) 求此切线方程．解：(1) 由题得f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23，即当x ＝－a 3时f ′(x )取得最小值－9－a23.因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，所以－9－a 23＝－12，解得a ＝±3.由题设a <0，所以a ＝－3.(2) 由(1)知，切点坐标为(1，－12)， 所以切线方程为y ＋12＝－12(x －1)， 即12x ＋y ＝0., 三) 公切线问题, 3) 已知f(x)＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________．答案：－2解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，所以直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1.因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)，解得m ＝－2(m ＝4舍去)．曲线y ＝－1x(x ＜0)与曲线y ＝ln x 的公切线(切线相同)的条数为________．答案：1解析：设公切线切曲线y ＝－1x(x ＜0)与曲线y ＝ln x 的切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，它们是同一方程，因此对应系数相等，得x 2＝x 21，2x 1＝1－ln x 2，则2x 1＝1－2ln(－x 1)．由于函数y ＝－2x ＋1，y ＝2ln(－x )的图象仅有一个交点，则2x 1＝1－2ln(－x 1)仅有一个零点，则(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均唯一确定，即公切线的条数为1., 四) 曲线的切线的综合应用, 4) 函数y ＝f(x)图象上不同两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N)＝|k M －k N |MN(MN 为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f(x)在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f(x)＝x 3＋2上不同两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N)的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫0，3105解析：f′(x)＝3x 2， 设x 1＋x 2＝t(|t|>2)，则φ(M ，N)＝|3x 21－3x 22|（x 1－x 2）2＋（x 31＋2－x 32－2）2＝|3x 21－3x 22|（x 1－x 2）2[1＋（x 21＋x 1x 2＋x 22）2]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[（x 1＋x 2）2－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[（x 1＋x 2）2－1]2＝3|t|1＋（t 2－1）2＝3t 2＋2t2－2. 设g(x)＝x ＋2x ，x>4，则g′(x)＝1－2x2>0，所以g(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(4)＝92.所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N)<3105.设函数f(x)＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. (1) 求f (x )的解析式；(2) 证明函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心．(1) 解：f ′(x )＝a －1（x ＋b ）2，于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1（2＋b ）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2) 证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数，所以函数g (x )＝x ＋1x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x －1＋1x －1＋1，故函数f (x )的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．1. (2018·天津卷)已知函数f(x)＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________． 答案：e 2. (2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．答案：1解析：因为f ′(x )＝a －1x，所以f ′(1)＝a －1.又f (1)＝a ，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，整理得y ＝(a －1)x ＋1，所以切线l 在y 轴上的截距为1.3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x 3＋(a －1)x 2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________．答案：y ＝x解析：因为f(x)＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x[x 2＋(a －1)x ＋a]为奇函数，设g(x)＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则g(x)为偶函数，故a －1＝0，则a ＝1.设f(x)＝x 3＋x ，从而f ′(x)＝3x 2＋1，切线斜率k ＝f′(0)＝1，因此切线方程为y ＝x.4. (2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________． 答案：－3解析：f ′(x )＝a e x ＋(ax ＋1)e x ，则f ′(0)＝a ＋1＝－2，所以a ＝－3. 5. (2017·北京卷)已知函数f(x)＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2) 求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解：(1) 因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2) 设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈(0，π2)时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间[0，π2]上单调递减，所以对任意x ∈(0，π2]，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间[0，π2]上单调递减．因此f (x )在区间[0，π2]上的最大值为f (0)＝1，最小值为f (π2)＝－π2.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋12，g (x )＝x 2＋(b ＋1)x ，a ，b ∈R.(1) 若函数f (x )的图象在点(1，1)处的切线与g (x )的图象也相切，求a ，b 的值； (2) 若不等式f (x )≤0对于任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． (注：e 是自然对数的底数，e ≈2.718)解：(1) 由f (1)＝a ＋12＝1，得a ＝12，所以f (x )＝ln x ＋12x 2＋12，(2分)所以f ′(x )＝1x＋x ，从而f ′(1)＝2，所以函数f (x )的图象在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，y ＝x 2＋（b ＋1）x ，消y 得x 2＋(b －1)x ＋1＝0， 由Δ＝(b －1)2－4＝0，得b ＝3或b ＝－1，所以a ＝12，b ＝3或a ＝12，b ＝－1.(8分)(2) 不等式ln x ＋ax 2＋12≤0对于任意x ∈(0，＋∞)恒成立，即为a ≤－ln x ＋12x2对于任意x ∈(0，＋∞)恒成立． 设函数t (x )＝－ln x ＋12x 2，x ∈(0，＋∞)，则t ′(x )＝－1x ·x 2－（ln x ＋12）·2x x 4＝2ln xx3.(10分) 令t ′(x )＝0，得x ＝1，且当0<x <1时，t ′(x )<0；当x >1时，t ′(x )>0， 所以函数t (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以t (x )min ＝t (1)＝－12，(12分)所以a ≤－12.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12.(14分)1. 曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．答案：12ln 2解析：因为y ′＝1x ln 2，所以k ＝1ln 2，所以切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，令y ＝0，得x ＝1，令x ＝0，得y ＝－1ln 2，所以所求三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.2. 已知函数f(x)＝x －aln x ，g (x )＝－1＋ax(a ∈R)．(1) 当a ＝1时，求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程； (2) 设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间． 解：(1) f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，f (1)＝1，f ′(1)＝0，切点为(1，1)，斜率k ＝0， 所以曲线f (x )在点(1，1)处的切线方程为y ＝1.(2) h (x )＝x ＋1＋ax－a ln x ，h ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2.① 当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上，h ′(x )<0；在(1＋a ，＋∞)上，h ′(x )>0， 所以h (x )在(0，1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增； ② 当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，h ′(x )>0， 所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上，当a ＞－1时，h (x )在(0，1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，h (x )在(0，＋∞)上单调递增．3. 已知函数f(x)＝e x (ax 2－2x ＋2)，其中a >0.(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线与直线x ＋e 2y －1＝0垂直，求实数a 的值； (2) 讨论f (x )的单调性．解： f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a >0)．(1) 由题意得f ′(2)·(－1e 2)＝－1，即e 2(4a ＋4a －4)·(－1e 2)＝－1，解得a ＝58.(2) 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2－2aa.① 当0<a <1时，x 2>0，在(－∞，0)和(2－2a a ，＋∞)上，f ′(x )>0；在(0，2－2aa )上，f ′(x )<0，则f (x )的单调增区间为(－∞，0)和(2－2a a ，＋∞)，单调减区间为(0，2－2aa)；② 当a ＝1时，f (x )在R 上单调递增；③ 当a >1时，x 2<0，f (x )的单调增区间为(－∞，2－2a a )和(0，＋∞)，单调减区间为(2－2aa，0)．请使用“课后训练·第6讲”活页练习，及时查漏补缺！。
《切线理论》课件
积分在解决实际问题中常常需要用到 切线理论，如求曲线下面积、变速直 线运动的路程等。
导数的几何意义
导数描述了函数图像在某一点的切线 斜率，是微积分中研究函数变化率的 重要工具。
切线理论在其他学科的应用
物理学中的应用
在物理学中，许多概念和公式都 涉及到切线理论，如速度、加速
度、力的方向等。
工程学科中的应用
《切线理论》ppt课 件
• 切线理论简介 • 切线理论的基本原理 • 切线理论的实践应用 • 切线理论的扩展与深化 • 总结与展望
目录
Part
01
切线理论简介
切线理论的基本概念
切线理论是一种基于几何学和 微积分的数学理论，用于描述 曲线在某一点的切线性质。
切线是曲线在某一点上的极限 方向，表示曲线在该点的斜率 或变化率。
Part
02
切线理论的基本原理
切线的几何定义
切线是一条与曲线在某一 点仅有一个公共点的直线 。
切线与曲线在该点的切点 处相切，即切线的方向与 曲线的在该点的法线方向 重合。
切线是曲线在该点的导数 或微分的几何表示。
切线的性质
STEP 01
STEP 02
STEP 03
切线与曲线在该点的切点 处相切，即切线与曲线在 该点的切点处只有一个公 共点。
切线的方向与曲线的在该 点的法线方向垂直。
切线的斜率等于曲线在该 点的导数。
切线的计算方法
利用导数求切线斜率
01
对于给定的函数，求其在某一点的导数，即为该点处切线的斜
率。
利用点斜式求切线方程
02
已知一点和斜率，利用点斜式求直线方程，即为该点处切线的
方程。
利用切线与曲线的交点求切线方程
《二次曲线的切线》课件
二次曲线的切线在解析几何中的 应用
在解析几何中，二次曲线的切线可以用来研究曲线的性质 和关系。通过切线，我们可以更好地理解曲线的方程和参 数，从而更好地研究曲线的几何性质。
要点二
具体应用
在解析几何中，可以利用切线来研究曲线的对称性、中心 、顶点和焦距等性质，有助于我们更深入地理解曲线的结 构和性质。
在几何上，切线是唯一与曲线 在某一点既相切又平行的直线 。
03
二次曲线切线的求法
切线的点斜式方程
总结词
通过切点和斜率表示切线的方程。
详细描述
切线的点斜式方程是二次曲线切线的一种表示形式，它通过切点和该点的斜率 来表示切线方程。设切点为$(x_0, y_0)$，斜率为$m$，则切线的点斜式方程为 $y - y_0 = m(x - x_0)$。
切线的点向式方程
总结词
通过切点和方向向量表示切线的方程。
详细描述
切线的点向式方程是另一种表示形式，它通过切点和方向向量来表示切线方程。设切点为$(x_0, y_0)$，方向向 量为$(dx, dy)$，则切线的点向式方程为$(x - x_0)dx + (y - y_0)dy = 0$。
切线的参数式方程
在物理学中的应用
二次曲线的切线在物理学 中的应用
在物理学中，二次曲线的切线可以用来描述 物理现象和规律。例如，在力学中，物体的 运动轨迹可以看作是二次曲线的切线；在光 学中，光线通过透镜的路径也可以看作是二 次曲线的切线。
具体应用
在物理学中，可以利用切线来描述物体的运 动轨迹、光线的传播路径等物理现象，有助 于我们更准确地理解和描述物理规律和现象
《二次曲线的切线》ppt课件
• 二次曲线的基本概念 • 二次曲线的切线定义 • 二次曲线切线的求法 • 二次曲线切线的应用 • 二次曲线切线的扩展知识
高二数学曲线上一点处的切线
切线判定定理课件
强调切线判定定理在数学和实际问题中的重要性，并激发学生的兴趣和学习动力。
课堂互动
1 提供一些实例让学生尝试应用切线判定定理
提供一些具体的问题，鼓励学生应用切线判定定理来解决。
2 鼓励学生互相讨论，促进交流和学习
鼓励学生在小组内或全班上展开讨论，促进彼此之间的思想交流和学习。
Q&A
留出时间进行问题的解答和回答学生的疑问。
1 利用极限的定义推导出切线存在的条件
详细阐述如何利用导数的极限定义推导出切线存在的条件。
2 详细阐述每一步推导的原理和方法
逐步展示每个推导步骤的原理和方法，以确保学生理解证明的过程。
实例分析
1
将切线判定定理应用到具体曲线上
选择一个具体的曲线并应用切线判定定理，以加深学生对定理的理解。
2
求解曲线上某点的切线方程
通过计算导数值，求解曲线上特定点的切线方程。
3
解释切线方程的含义和应用
详细解释切线方程的意义以及在实际问题中的应用。
总结与回顾
1 系统总结切线判定定理的内容和应用
概括性总结切线判定定理的核心内容和实际应用。
2 提醒学生注意该定理的前置知识
强调学生需要具备哪些前置知识来更好地理解和应用切线判定定理。
切线判定定理ppt课件
本课程将介绍切线判定定理，该定理用于判断曲线上某点处的切线是否存在。
定理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容
1 切线判定定理的核心内容
该定理是用于判断曲线上某点处切线的存在性。
2 曲线上某点处的切线存在的条件
细致讲解曲线上某点的导数值的意义和条件。
3 切线方程的求解方法
详细介绍如何根据导数值求解切线方程。
切线判定定理的证明
高一数学复习考点知识讲解课件41---曲线上一点处的切线
高一数学复习考点知识讲解课件5.1.2瞬时变化率——导数第1课时曲线上一点处的切线考点知识1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．答案33 2解析S正六边形＝6×34＝332.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．答案3 2解析若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝1 2×1×3＝3 2.二、曲线的割线和切线问题2如图，过P 作割线PQ ，当点Q 逐渐向P 靠近时，有何现象出现？提示割线PQ 在点P 附近越来越逼近该曲线，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，此时称这条直线l 为曲线在点P 处的切线． 知识梳理名称割线切线斜率设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率例2已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是______；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是______． 答案54.1解析当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线． 跟踪训练2过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为________． 答案122－2解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k ＝2－11－0＝1.同理，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为k ＝2－112－0＝22－2.三、切线的斜率例3已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线在点P (2,4)处的切线方程． 解∵点P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， Δy Δx ＝13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝4·Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝4＋2·Δx ＋13(Δx )2，当Δx无限趋近于0，ΔyΔx无限趋近于4，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练3(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．答案(3,30)解析设点P坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即点P坐标为(3,30)．(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，则k AB＝3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－2Δx＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.1．知识清单：(1)以直代曲．(2)曲线的割线和切线．(3)求曲线在一点处的切线．2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线斜率为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝－Δx1＋Δx ，所以ΔyΔx ＝－11＋Δx， 所以当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于－1. 故函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－1.2．抛物线y ＝x 2在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案B解析∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14在抛物线y ＝x 2上，Δy Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫12＋Δx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122Δx＝1＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于1，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.3．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线斜率为12a ，则实数a 的值是() A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案B解析Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，因为当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2， 所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k ＝12， 所以12a ＝12，即a ＝1.4．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB的斜率为________． 答案－16解析由函数的解析式有Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，则Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx ).当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为k ＝－12(2＋Δx )＝－12(2＋1)＝－16.课时对点练1．已知函数f (x )的图象如图所示，A (x 0，y 0)在曲线上，x 0∈[2,2＋Δx ]且Δx 无限趋近于0，则在A 点处的切线斜率近似为()A ．f (2)B ．f (2＋Δx ) C.f (2＋Δx )－f (2)Δx D ．f (x 0)答案C解析由两点割线的斜率，当Δx 无限趋近于0时，函数f (x )在A 点处的切线斜率近似为f (2＋Δx )－f (2)Δx.2．已知抛物线y ＝14x 2，抛物线上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是抛物线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()Δx 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx ＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()1＋Δx 2 答案C解析当x ＝1＋Δx 时，y ＝14(1＋Δx )2.3．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则割线AB 的斜率为() A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 答案B解析f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3.4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．5．已知点P ()－1，1为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx 无限趋近于0时，若k PQ 无限趋近于－2，则在点P 处的切线方程为() A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝－2x －1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －2 答案B解析根据题意可知，在点P 处切线的斜率为－2，所以在点P 处的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，整理可得y ＝－2x －1.6．曲线y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是() A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2答案C解析因为Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限接近于0时，Δy Δx 无限接近于1x 2，所以函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率是k ＝4， 所以切线方程为y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 7．当h 无限趋近于0时，(4＋h )2－42h 无限趋近于______，4＋h －4h无限趋近于________．答案814解析(4＋h )2－42h＝8h ＋h 2h ＝8＋h ， 当h 无限趋近于0时，8＋h 无限趋近于8.4＋h －4h ＝4＋h －4h (4＋h ＋4)＝14＋h ＋4， 当h 无限趋近于0时，14＋h ＋4无限趋近于14.8．过曲线y ＝x 2上两点A ()2，4和B ()2＋Δx ，4＋Δy 作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为______．答案4.1解析k AB ＝Δy Δx ＝()Δx ＋22－22Δx ＝()Δx 2＋4Δx Δx＝Δx ＋4， 所以当Δx ＝0.1时，AB 的斜率为4.1.9．求函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的方程．解设点B (2＋Δx ，f (2＋Δx ))，则割线AB 的斜率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 当Δx 无限接近于0时，函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率为k ＝－3，又f (2)＝－22＋2＝－2，所以切线的方程为y －(－2)＝－3(x －2)，即3x ＋y －4＝0.10．求曲线y ＝x 在点(1,1)处的切线方程． 解∵点(1,1)在曲线y ＝x 上，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于12，∴在点(1,1)处切线的斜率为12，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.11．已知函数f (x )＝x 2图象上四点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，D (4，f (4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 1<k 3C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案A解析k 1＝f (2)－f (1)2－1＝4－1＝3，k 2＝f (3)－f (2)3－2＝9－4＝5，k 3＝f (4)－f (3)4－3＝16－9＝7， ∴k 1<k 2<k 3.12．若曲线y ＝ax 2在x ＝a 处的切线与直线2x －y －1＝0平行，则a 等于()A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－12或1答案A解析根据题意得Δy Δx ＝a (a ＋Δx )2－a ·a 2Δx ＝2a 2＋a ·Δx ，当Δx 无限接近于0时， 2a 2＝2，∴a ＝±1，当a ＝1时，y ＝x 2，切点是(1,1)，切线的斜率k ＝2，故切线方程是y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0和直线2x －y －1＝0重合，故a ＝－1.13．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为()A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)答案B解析设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx ＝(Δx )2＋2x 0Δx －3Δx Δx＝Δx ＋2x 0－3， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于2x 0－3，即k ＝2x 0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2.故切点坐标为(2，－2)．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．答案3x－y－11＝0解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，Δy Δx＝(x0＋Δx)3＋3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－10－(x30＋3x20＋6x0－10)Δx＝3x20＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.所以k＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.答案1 4解析根据题意，Δy Δx ＝a(x＋Δx)2＋1－ax2－1Δx＝2a·x·Δx＋a·(Δx)2Δx＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝ax20＋1，y0＝x0，解得a＝14.16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．解(1)ΔyΔx＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－2－(x2＋x－2)Δx＝2x＋1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2x＋1，∴直线l1的斜率k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－2 3.∴直线l2的方程为y＝－13x－229，即3x＋9y＋22＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。
高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第15讲 曲线的切
-2),则
e
x0
2 2x0 ex0 2,
b, 解得x0=ln
2,b=-2ln
2.
(2)y'=ln x+1,则曲线y=xln x在x=1与x=t处的切线斜率切线互相垂直得ln t+1=-1,则正数t的值为e-2.
【方法归纳】 (1)直线与曲线相切时,与切点坐标有关,若题中没有切点,则 需要设出切点坐标,利用切点在曲线上、切点在切线上和在切点处的导数值 等于切线的斜率三个性质建立方程组求解.(2)若两条直线的斜率都存在,且 互相垂直,则斜率乘积为-1.
x0
题型三 两曲线的公切线
例3 设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函 数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.
解析 因为函数f(x),g(x)的图象都经过点P(t,0), 所以f(t)=0,g(t)=0,即t3+at=0,bt2+c=0. 因为t≠0,所以a=-t2,c=ab. 又因为f(x),g(x)的图象在点P(t,0)处有相同的切线, 所以f '(t)=g'(t). 由题意知f '(x)=3x2+a,g'(x)=2bx, 所以3t2+a=2bt. 将a=-t2代入上式得b=t,则c=ab=-t3. 故a=-t2,b=t,c=-t3.
所以-1≤
ex
4
1 ex
2
<0,则α∈ 34
,
.
2.已知P是曲线y= 1 x2- 1 ln x上的动点,Q是直线y= 3 x-1上的动点,则PQ的最小
42
曲线上一点处的切线-PPT课件
求曲线在某点处的切线方程的
1、先利用切线斜率的定义求出 切线的斜率；
2、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
拓展研究
3.1.2 瞬时 变化率
1、平均变化率 一般的，函数 的平均变化率为
在区间上
例1、已知函数 分别计算在区间[-3，1]，[0，5]上 及 由本例得到什么结论? 的平均变化率。 一次函数y=kx+b在区间[m,n 平均变化率就等于k.
练习: P58-59:1,2
如何求曲线上一点的切线 ? y=f(x) 割 线 y Q (1)概念:曲线的割线和切线
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时
x
(2)如何求割线的斜率?
y
Q o P x
y=f(x)
y=f(x)
Q (3)如何求切线的斜率 ? y
割 线
T
切线
o
P
x
例1:已知 求曲线y=f(x)在x=2 处的切线的斜率.
利用割线求切线
,
练习:P59,4
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
平面曲线在一点处的切线
平面曲线在一点处的切线
平面曲线在一点处的切线是指该曲线在该点处的切线。
曲线在该点处的切线是经过该点的曲线上的两个非常接近的点所形成的直线，它描述了曲线在该点处的局部特性。
在数学上，可以通过对曲线在该点处进行导数计算来得到切线的斜率，从而得出切线的方程式。
切线可以帮助理解曲线的局部性质，例如曲线的方向变化、凸凹性质等。
在实际应用中，切线可以用于测量曲线在一点处的斜率、方向以及相关的物理量。
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(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P处切斜率)
练习: P60-61:1,2,3
例1:已知
f ( x) x ,求曲线
2
y=f(x)在x=2处的切线的斜率.
解 : 先求过(2,4)点的任意一条割线入手 P(2,4), Q(2 x, (2 x) 2 ),则 k PQ (2 x) 2 4 4 x (2 x) 2
3.1.2 瞬时变化率
曲线上一点处的切线
复习
平均变化率
一般的，函数 f ( x)在区间上
[ x1 , x2 ]的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
如何求曲线上一点的切线?切线.gsp
(1)概念:曲线的割线和切线
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线.
x
(2)如何求割线的斜率 ? y
y=f(x) Q
o P x
f ( x x) f ( x) f ( x x) f ( x) kPQ ( x x) x x
(3)如何求切线的斜率?
y
y=f(x)
Q
割 线
T
切线
o
P
x
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x
2
求(1) 点 A 处的切线的斜率. (2)点 A 处的切线的方程. 2．求曲线 y x 1 在点 P(-2，5)
2
处的切线方程与法线方程．
拓展研究
已知曲线y x 2x在
2
某点的切线斜率为2, 求此点坐标.
当x无限趋近于0时, k PQ无限趋近于常数 4 所以点P(2,4)处的切线斜率为 4
利用割线求切线
练习:P61,4
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
解 : P(1,2), Q(1 x, (1 x) 2 1), 则 k PQ (1 x) 2 1 2 2 x (1 x) 1
当x无限趋近于0时, k PQ无限趋近于常数 2 所以点P(2,4)处的切线斜率为 2
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、先利用直线斜率的定义求出 割线线的斜率；
2.求出当△x趋近于0时切线的斜
率
3、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
1．已知曲线 y 2x 上一点 A(1,2)，