10小学奥数——数阵+进位制 试题及解析
经典奥数数阵图问题例题
1．把1至6分别填入图18-1的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．[分析与解]记横行的中间一个数为a，则有1+2+3+…+6+a＝21+a＝2倍对应和，所以a 可以填奇数，即1，3，5，对应和为11，12，13，下面给出几种填法：其中的每个图形的横行左右可调换位置，每个竖列的后三个数字位置任意排列．2．把l0至20这11个数分别填入图18-2．的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．[分析与解]设中间圆圈内的数为a，有a被加了5次，而其他位置圆圈内的数字在计算5次和是都只被加了1次，所以有5个和＝(10+11+…+19+20)+4a＝165+4a，因为5个和，165都是5的倍数，所以4a也应该是5的倍数，则a应是5的倍数，所以a可取10，15，20．当a为10时，有5个和＝165+4×10＝205，所以每条线段上的和为205÷5＝41，如下左图；当a＝15时，有5个和＝165+4×15＝225，所以每条线段上的和为225÷5＝45，如下中图；当a＝20时，有5个和＝165+4×20＝245，所以每条线段上的和为245÷5＝49，如下右图．3．请分别将l，2，4，6这4个数填在图18-3的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．[分析与解]在计算3个圆圈内的数字和时，已经填出的3个数字各计算了2次，中间的数字计算了3次，另外3个位置只计算了1次，中间的数字较另外3个位置多计算了2次．设中间那个数为a，有2a+2×(5+7+3)+(1+2+4+6)＝15+15+15，即2a+43＝45，有a＝1．于是得到下图：4．在图18-4的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数．那么标有*的圆内填的数是多少?[分析与解]我们知道在计算图中所有线段两端数字的和时，每个圆圈内的数字都被加了2次，于是有这7个连续自然数和的2倍为10+6+9+12+8+11+14＝70，即这7个连续自然数的和为35，则中间数为35÷7＝5，于是这7个数为2，3，4，5，6，7，8．能得到14的只有6+8，如果*填8那么和为14的线段另一端为6，则和为11的线段另一端为5，和为8的另一端为3，则和为12的线段另一端无法填出；所以，*只能填6，可以如上分析得到填完的下图：5．图18-5的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填入圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．[分析与解]当六条线上的数分别相加时，数6只加了1次，其余各数分别加了两次．又已知每条对角线上各数之和都等于23，所以这九个连续自然数之和应是(6×23+6)÷2＝72．于是九个数的中间数是72÷9＝8，由此可知这九个连续自然数是4，5，6，7，8，9，10，11，12．其中显然只有11+12＝23，故x＝11，y＝12和x=12，y＝11．首先考虑x＝11，y＝12的情况．注意7若不与x或y在一条线上，则23－7＝16，只能表示成10+6，而过7的线段却有两条，所以必须f＝7，于是c ＝4，d＝5，再由a+b＝23－6＝17，可知a、b均不为10，e＝10，a＝8，b ＝9，于是得到下图：当x＝12，y＝11时，同理可得：6．将1，2，3，…，9，10这10个数分别填入图18-6中的圆圈内，使得每条线段两端的数相乘的积，除以13都余2．问这5个商数的和是多少?[分析与解]在2～90中被13除余2的数有2，15，28，41，54，67，80．其中可以被分解成1～10中两数乘积的有：2＝1×2，15＝3×5，28＝4×7，54＝6×9，80＝8×10，正好1～10中每个数字出现了一次，因此可得如下的结果，当然将下图对称变换，旋转变换得到的图形仍然符合题意．有2×1÷13＝0……2；3×5÷13＝1……2；4×7÷13＝2……2；6×9÷13＝4……2；8×10÷13＝6……2．这些商的和为0+1+2+4+6＝13．7．在图18-7的中间圆圈内填一个数，计算每一线段两端的两数之差(大减小)，然后算出这3个差数之和．那么这个差数之和的最小值是多少?[分析与解]中间数只要在19与65之间，19和65与它的差数(大数减小数)之和都是65－19＝46，所以中间的数填48，三个差数之和最小．那么差数之和为65－48+48－48+48－19＝65－19＝46．8．请在图18-8中的7个小圆圈内各填入一个自然数，使得图中给出的每个数都是相邻两个圆圈中所填数的差(大数减小数)，并且所填的7个数之和是1997．[分析与解]设1左边圈内的数为a，则从a开始顺时针依次对给出的七个差做加法或减法运算，最后结果仍等于a，也就是说，加上的数的和应等于减去的和．又1+2+3+4+5+6+7+8＝28，于是给出的七个数应当分成和为14的两组．经分析可知仅有4种不同的分法：①7+6+1＝2+3+4+5，②7+5+2＝1+3+4+6，③7+4+3＝1+2+5+6，④7+4+2+1=3+5+6．其中①又可以分为两种情况：☆加上2、3、4、5，减去7、6、1，这时七个数的总和时7a+32，★加上7、6、1，减去2、3、4、5，这时七个数的总和时7a－32．同样②③④也都分两种情况．②的第一种情况就是加上1、3、4、6，减去7、5、2，七个数的和时7a+16．因为1994＝7×285+2，所以①的两种情况都无法使总和为1994，这是因为32－2与32+2都不是7的倍数，而②的第一种情况满足，此时a＝283(1994＝7×283+16)，具体填法如下：9．图18-9是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，J，h，i 处分别填入整数l至9．如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？[分析与解]设每个圆内的数字之和为k，则五个圆圈内的数字之和时5k，它等于1~9的和即45，再加上两两重叠处的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是1+2+3+4＝10，最大是6+7+8+9＝30，所以，有5k在(45+10＝)55～75(＝45+30)之间的，那么k在11～15之间．验证，当k＝11，13，14时对应有如下填法，当时当k＝12，15时无解．所以，这个相等的和最大是14，最小为11．评注：这道题，同学往往只是计算到k在11～15之间，然后说最大为15，最小为11，但是没有进一步去验证是否存在这样的填法，导致错误，所以同学们以后在自己认为已经解决问题时，不妨验证一下，对于有些问题，不妨深究深究．[分析与解]10个连续自然数中，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．图中三个2×2的正方形中四数之和相等，所以2+3+…+11再加上两个重复的数，和倍3整除．因为2+3+…+11＝65，要使和数最小，两个重复数的和应最小，这两个数可以取2与5，或3与4．这和数是24．和数为24是可能的，如下两图：[分析与解]图中十个数点和为45，除去中心圆圈中的数后是3的倍数，因此中心圆圈只可能为0，3，6，9．当中心为0时，每个阴影三角形三顶点和为15．考虑包括中心圆圈的三个阴影三角形中，除0以外另两个数和为15．而0～9中这样的数组只有(6，9)，(7，8)两组，因此中心为0时没有正确填图；当中心为9时，同理可知也不存在正确的填图；当中心为3时，阴影三角形三顶点和为14，含3的三个阴影三角形中另两个数和为11，这样的数组只有(2，9)，(4，7)，(5，6)．简单尝试可知中心为3时也没有正确的填图；当中心填6时，经尝试有如下的结果：13．如图18-13，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等．问这5个数的和最大可能是多少?[分析与解]1~9和为45．设3个只属于一条边的数和为3k，则每条边上五个数字和为(45×2－3k)÷30＝30－k．3k最小时，取3k＝1+2+3＝6，一条边上的和为30－6÷3＝28；3k最大时，取3k＝9+8+7＝24，一条边上的和为30－24÷3＝22．因此这个和最大为28，最小为22．以和为28为例，此时三边中间的小三角形内的数为1，2，3，有上方两个三角形和+1+左边两个三角形和＝28；左边两个三角形和+3+右边两个三角形和＝28；右边两个三角形和+2+上方两个三角形和＝28；于是有2倍(上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和)+1+3+2＝28+28+28，即上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和＝39．可得上方两个三角形和为14，左边两个三角形和为13，右边两个三角形和为12．下面我们给出一种填法：每边和为22时，同理可得，我们给出一种填法：14．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填入图l8-14的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式．[分析与解]除式只有4种可能：8÷4＝2，6÷3＝2，8÷2＝4和6÷2＝3，其中后两种情况乘法式子将无法满足，前两种情况对应着如下两种填法：15．图18-15包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?[分析与解]如下图所示，设最左边的四个数为a，b，c，d，则第一组数算式计算结果为a+b，c+d，a+c，b+d．而最右边圆圈内数为，a+b+c+d，也就是四个数的和，因此我们可以重新理解题目为找到四个自然数，使它们两两相加的四个和与它们自身全不相等，求它们和的最小值．最小的四个数(1，2，3，4)易知不符合题意，同样(1，2，3，5)也不成立，当这四个数为(1，2，3，6)时有正确填图如下，因此最右边的数最小为12．。
小学五年级奥数第10讲 数阵(含答案分析)
第10讲数阵一、知识要点填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。
这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。
把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
二、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
练习1：1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2.把1—9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。
3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
练习2：1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。
2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
第1题第二题第三题【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
练习3：1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。
3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。
第1题第二题第三题【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
练习4：1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
小学四年级奥数第10课数阵图试题附答案-精品
小学四年级上册数学奥数知识点讲解第10课《数阵图》试题附答案第十二讲数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.例1将1〜8这八个自然数分别填入下图中的八个。
内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上,应如何填？例2请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图Q）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？例3如下图Q）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.例4请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等,应怎样填？例5将1~16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34,图中已填好八个数，请将其余的数填完.答案第十二讲数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.例1将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个O内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？分析为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如上图（2）.由条件得出以下四个算式:a+b+c=14(1)c+d+e=14(2)e+f+g=14(3)a+h+g=14(4)由(1)+(3),得：a+b+c+e+f+g=28,(a+b+c+d+e+f+g+h)-(d+h)=28,d+h=(1+2+3+4+5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同样可得b+f=8,又1,2,3,4,5,6,7,8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法.又由对称性，不妨设b=2,f=6,d=3,h=5.a,c,e,g可取到1,4,7,8若a=l,则c=14-(1+2)=11,不在1,4,7,8中，不行.若c=l,则a=14-(1+2)=11,不行, 若81,则c=14-(1+3)=10,不行. 若g=l,则a=8,c=4,e=7.填的飘嘉踊畿篇分析思考过程可以看出‘确定各边顶点所应例2请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？分析为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）・设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+3k2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k2a+(1+2+3+4+5+6+7)=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=l,则k=10,直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中, 2+7=3+6=44-5=9,因此得到一个解为：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.若平4,则k=12,直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，117=2+6=3+5=8,因此得到第二个解为:a=4,b=l,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.若a=7,则k=若,直线上另外两个数的和为7•在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+47,因此得到第三个解为：a=7,b=l,c=2,d=3,e=6,f=5, g=4.解：共得到三个解：如下图.上几霜翳疆胪，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数用每条直线例3如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三 个数的和都等于大圆圈上三个数的和.分析为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）⑴+（2）+（3） （a+b+c ）+56=3（a+b+c ）a+b+c=28贝Ua=28-（4+9）=15 b=28-（8+9）=11 c=28-（17+9）=2解：见图. H 892例4请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等,应怎样填？分析为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图(2)所示.设A+B+C=A+F+G-A+D+E=B+D+F=C+E+G=k(A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)+(C+E+G)=5k,3A+2B+2c+2D+2E+2F+2G=5k,2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k.因为56+A为5的倍数，得A=4,进而推出k=12.因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12,不妨设B=l,F=5,D=6,则012-（4+1）=7,G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.解：得到一个基本解为：（见图）例5将1―16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34,图中己填好八个数，请将其余的数填完.分析为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示.9+15+a+c=34,5+10+e+g=34,7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34,c+d+e+f=34,化简得:a+c=104+6=10.e+g=193+16=19,6+13=19b+d=131+12=13,f+h=152+13=15,3+12=15.a,b,c,d,e,f,g,啦分别从1,2,3,4,6,12,13,16中选取.因为a+c=10,所以只能选a+c=4+6；b+d=13,只能选b+d=13；e+g=19,只能选e+g=3+16；f+h=15,只能选£+11=2+13若d=l,c=4,则e+f=34-1-4=29,有巳=16,f=13.若#1,c=6,则e+f=34-1-6=27,那么e、f无值可取,使其和为27.若d=12,c=4,则e+f=34-12-4=18,有巳=16,f=2.若#12,c=6,则e+若34-12-6=16,有『3,f=13.解：共有三个解（见图）.习题十二L如果把例1的条件改为“使四边形每条边上的三个数之和都等于121其他条件不变，又应如何填？2.请在下图（1）中圆圈内填入1〜9这九个数，其中6,8已填好，要求A、B、C、D四个小三角形边上各数字之和全都相等.3,将1-10这十个数填入如上图（2）的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23,应怎样填？和四个正方形.若想打电话，必须首先将1〜12这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26,假如你要打电话，那么你将怎样填数？5 .请在下图的空格内填入1〜46这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之 和都等于93.应怎样填？6 .把1〜8这八个数字分别填入下图Q ）中的圆圈内，使每个圆周上与每条 直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法.，下图（2）中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的 数，使交点上的数恰好等于四周四个方格内的数的和.应怎样填？四年级奥数上册：第十二讲数阵图习题中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形4.右图是一部古怪的电话, 0管/§习题十二1.如果把例1的条件改为“使四边形每条边上的三个数之和都等于12”，其 他条件不变，又应如何填？2,请在下图Q ）中圆圈内填入1~9这九个数，其中6,8已填好，要求A 、B 、C 、D 四个小三角形边上各数字之和全都相等.3,将1~10这十个数填入如上图（2）的圆圈内，使每个正方形的四个数字 之和都等于23,应怎样填？和四个正方形.若想打电话，必须首先将1〜12这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26,假如你要打 电话，那么你将怎样填数？5.请在下图的空格内填入1〜46这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之 和都等于93.应怎样填？ 中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形 4.右图是一部古怪的电话, Q4率由(1)6.把1〜8这八个数字分别填入下图Q）中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法.7,下图（2）中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的数，使交点上的数恰好等于四周四个方格内的数的和.应怎样填？附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。
小学奥数：数阵图(二).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
奥数数字谜、数阵、数表练习及答案
⑵能不能使 个三角形顶点上数字之和各不相同?
如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
【分析】⑴不能．如果这 个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于 。
考察外面的 个三角形，每个三角形顶点上的数的和是 ，在它们的和 中，大正方形的 、 、 、 各出现一次，中正方形的 、 、 、 各出现二次。即 。
数字谜问题被称作思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。数字谜也是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。和数字谜问题类似的，数阵、数表问题由于其本身的数学美感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决。
我们现在来看 的情形。由于 能被 整出，由倒除法可以断定除数是 ， 。
第三层，因为 ，只有 满足要求，即 。从而 ， 。所以这个算式的商数是 。被除数是 。
完整的除式如图。
1.下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。已知 不是 的倍数， 不是 的倍数，那么 代表的四位数是多少？
【例5】（2008年迎春杯初赛）在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立。则被除数应是___________。
【分析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析。
由 ,得 。因为 ,所以，我们可以得知 或者 ，我们现来看看 可以不可以。
假设 ，则 没有进位， 所得个位 必是偶数， 必是 ,因为 ,所以，必进位。所以， 必是奇数。
【例2】在下面的残缺算式中，只写出五个 ，那么这个算式的商数是______。
【分析】为了便于说明，用英文来表示几个关键的数。
从除式的第一层看，商的百位数字是 ，只能是 ， ， ， 。
小学奥数：数阵图(一).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行.若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行.若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。
10小学奥数——数阵+进位制试题及解析
10⼩学奥数——数阵+进位制试题及解析⼩学奥数——数阵、进位制⼀.选择题（共16⼩题）1.在右图的66⽅格内，每个⽅格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每⾏、每列、每个标有粗线的23长⽅形的六个字母均不能重复.那么，第四⾏除了⾸尾两个⽅格外，中间四个⽅格填⼊的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E2.如图，请将0、1、2、?、14、15 填⼊⼀个的表格中，使得每⾏每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各⼀个，⽽除以4的商也恰为0、1、2、3各⼀个.表格中已经填好了⼏个数，那么，这个表格中最下⽅⼀⾏的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.5283.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33的幻⽅中，使横向、纵向和对⾓线⽅向数字和相等，则(+=)A E4.将1，2，3，4，5，6分别填⼊66的⽅格⽹（如图所⽰）的36个⼩⽅格中，使得每⼀⾏每⼀列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现⼀次，并且满⾜与不等号相邻的两个数中⼩数是⼤数的约数，那么，第⼆⾏从左到右的第6个数是()（左图是⼀个33的例⼦）A.5B.4C.3D.25.9、“九宫阵”是⼀个99的⽅阵，它是由九个33的“九宫格”（图中⿊实线围住的⽅阵）组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填⼊空格内，使得每⾏、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现⼀次.当填写完后，那么，位于第4⾏第4列的数字是()A.2B.4C.6D.86.在如图⽅格表中的每个⽅格中填⼈⼀个字母，使得⽅格表中每⾏、每列及两条对⾓线上的四个⽅格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在⽅格应填的字母是()C.CD.D7.我国古代的“河图”是由33的⽅格构成，每个⽅格内均有数⽬不同的点图，每⼀⾏、每⼀列以及每⼀条对⾓线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④8.如图的九个⽅格中，分别填⼊九个整数，使得每⼀横⾏，每⼀竖列及每⼀条对⾓线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻⽅），现在已填⼊三个整数：1，3，4及⼀个☆号，那么含有“☆”号的⼩⽅格中应填⼊的数是()A.9B.8C.7D.69.如图有九个空格，要求每个格中填⼊互不相同的数，使得每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数之和都相等，则图中左上⾓的数是()A.9B.1610.九宫图的每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数的和都相等，那么x等于()A.47B.48C.50D.5111.古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的()A.出⼊相补原理B.等差数列求和C.⼗进制计数法12.⽤a，b，c，d，x分别表⽰五进制中5个互不相同的数字.如果adx，adc，aab是由⼩到⼤排列好的连续⾃然数，那么cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰是( ) A.48B.71C.82D.10813.⼆进制数2(101)可⽤⼗进制表⽰为2120215?+?+=，⼆进制2(1011)可⽤⼗进制表⽰为32120212111?+?+?+=，那么⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为( )A.25B.27C.29D.3114.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.213415.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.016.下列数不是⼋进制数的是( ) A.125D.128⼆.填空题（共30⼩题）17.N 是⼀个⼗进制中的⾃然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则⼗进制中N 最⼩值是 .18.在r 进制中有这样⼀个算式：10(120)(44)(2016)r r ?=，其中结果已转换为⼗进制，那么r = .（填数字）19.⼀个超过20的⾃然数N ，在14进制与20进制中都可以表⽰为回⽂数（回⽂数就是指正读与倒读都⼀样的数，⽐如12321、3443都是回⽂数，⽽12331不是回⽂数），N 的最⼩值为（答案⽤10进制表⽰）.20.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(230)(255)(+= 10). 21.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(135)(12)(+= 10).22.如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，⽐如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=?-+?-+?-+?-+?-，所以20就是“中环数”，⽽227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在⼩于1000的正整数中，“中环数”有个.23.将六进制中的数2015改写成⼗进制是 .24.请将⼗进制数120转化成⼆进制： .25.两个七进制整数454与5的商的七进制表⽰为 . 26.计算：(2)(2)1101101?=(2).27.⼗进制中数57改写成四进制为4(321)，计算：44(1003)(1012)+= 7（结果⽤七进制表⽰）28.巴依⽼爷请阿凡提为其整修花园，要求⼀个⽉完成，3⽉1⽇开始，31⽇结束，每天的⼯钱为⼀钱黄⾦.巴依⽼爷是出了名的守财奴，阿凡提要求每天结束时结算⼯钱，巴依⽼爷只有⼀块31钱的⾦条，他让阿凡提切割尽量少的次数，聪明绝顶的阿凡提只做了次切割，就解决了问题.29.⼗进制中697改写成七进制为7(2014)，今天是2014年2⽉23⽇，计算：77(2014)(223)+=7.（结果⽤七进制表⽰）.30.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ? ⼆进制11011100101110111100031.仔细观察下⾯表⽰数的⽅式，第六⾏表⽰ .32.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1021024=，在⼆进制中就是10000000000.那么⼆进制中的“10110”⽤⼗进制表⽰是.33.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1021024=，在⼆进制中就是10000000000.那么，⼗进制中的2014⽤⼆进制表⽰是.34.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1022014=，在⼆进制中就是10000000000.那么，⼗进制中的1039⽤⼆进制表⽰是.在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了10111+=，?那么，⼆进制中的“111100”⽤⼗进制表⽰是 .36.⼗进制中259改写成五进制为5(2014)，今天是2014年2⽉23⽇，计算：55(2014)(223)+=5.37.在n 进制的数中，若(1030)140n =，则n = .38.⼗进制计数法，是逢10进1，如102421041=?+?，21036531061051=?+?+?；计算机使⽤的是⼆进制计数法，是逢2进1，如21027121211111=?+?+?=，3210212121202011100=?+?+?+?=，如果⼀个⾃然数可以写成m 进制数45m ，也可以写成n 进制数54n ，那么最⼩的m = ，n = .（注:)n n aa a a a a ={个39.在美洲的⼀个⼩镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的，如果⼗进制中的147在20进制中的读⾳是“seyth ha seyth ugens ”，⽽⼗进制中的49在20进制中的读⾳是“naw ha dew ugens ”，那么20进制中读⾳是“dew ha naw ugens ”的数指的是⼗进制中的数 .40.有⼀天，唐僧师徒四⼈来到⼀个被称为“长寿岛”的地⽅，迎⾯⾛来⼀位青年，他⾃称有101岁了，孙悟空灵机⼀动，出了⼏道算术题给他算：11+=？；111++=？；1111+++=？；23?=？.这位青年的计算结果是：112+=，1113++=，11114+++=，2310?=.孙悟空仰天⼀笑，⼤声说，我知道你是岁.41.欢欢，迎迎各有4张卡⽚，每张卡⽚上各写有⼀个正整数.两⼈各出⼀张卡⽚，计算两张卡⽚上所写数的和，结果发现⼀共能得到16个不同的和.那么，两⼈卡⽚上所写数中最⼤数最⼩是 .42.⼆进制数进⾏加、减、乘、除运算时是满进⼀，退⼀作 . 43.把⼗进制数分别化成⼆进制数.44.⼀个⾃然数在四进制表⽰当中的各位数字之和是5，在五进制表⽰当中的各位数字之和是4，那么这个⾃然数除以3的余数是2，满⾜要求的最⼩⾃然数是（⼗进制表⽰） .45.把⼆进制数2(10111)化为⼗进制数是10；把⼗进制数10(37)化成⼆进制数是2.46.把5盏电灯并排安在台⼦上，⽤〇表⽰点亮的电灯，⽤●表⽰关掉的电灯.〇和●按⼀定的顺序排列，可以表⽰⼀定的数值，如图：“00101” 5=，省略最前⾯的零可简写成“1” 1=，“10” 2=，“11” 3=，“100” 4=，那么“11011” = ，“11110” = . 三.计算题（共4⼩题）47.⼆进制是计算技术中⼴泛采⽤的⼀种计数⽅法，⼆进制数是⽤0和1两个数字来表⽰的.其加、减法的意义我我们平时学习的⼗进制类似. （1）⼆进制加法.在⼆进制加法中，同⼀数位上的数相加只有四种情况：000+=，011+=，101+=，1110+=. ⼆进制加法算式和⼗进制写法⼀样，算法也⼀样，也要求数位对齐，从低位到遍位依次运算，但“满⼆进⼀”.例：（2）⼆进制减法.⼆进制减法算式和⼗进制写法⼀样，算法也⼀样，也要数位对齐，从低位到⾼位依次运算，相同数位上的数不够减时，向⾼⼀位借，但“借⼀当⼆”.例：阅读以上关于⼆进制的介绍，请你完成以下⼆进制计算.（要求列竖式计算）（1）10111- （2）101101101+.48.（1）把⼆进制数101011100写成⼗进制数是什么？（2）把⼗进制数234写成⼆进制数是什么？ 49.把下列⼗进制数分别改写成⼆进制数.（1）(10)17 （2）(10)23 50.计算下列各题. （1）(2)(2)10011100+ （2）(2)(2)10111001- （3）(2)(2)100111? （4）(2) (2)1110111÷参考答案与试题解析⼀.选择题（共16⼩题）1.在右图的66⽅格内，每个⽅格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每⾏、每列、每个标有粗线的23长⽅形的六个字母均不能重复.那么，第四⾏除了⾸尾两个⽅格外，中间四个⽅格填⼊的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E 【解析】依题意可知：⾸先根据排除法看第⼀宫格，第⼀列不能有A，第⼆⾏不能有A.那么A只能在第⼀⾏第⼆列.幻⽅规律排除法确定第三⾏第四列也是A；第四⾏第四列的数字是C；接着第五⾏第四列就是F；那么第⼆⾏的第四列是B；继续推理得：故选：C.2.如图，请将0、1、2、?、14、15 填⼊⼀个的表格中，使得每⾏每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各⼀个，⽽除以4的商也恰为0、1、2、3各⼀个.表格中已经填好了⼏个数，那么，这个表格中最下⽅⼀⾏的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.528【解析】依题意可知：可将数独拆分成余数数独和商的数独.商的数独注意某两个格⼦如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，利⽤这个条件可以填完这两个数独，再合并成原表格.故选：A.3.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33的幻⽅中，使横向、纵向和对⾓线⽅向数字和相等，则(+=)A EA.32B.28C.26D.24【解析】所以，151732+=+=A E故选：A.4.将1，2，3，4，5，6分别填⼊66的⽅格⽹（如图所⽰）的36个⼩⽅格中，使得每⼀⾏每⼀列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现⼀次，并且满⾜与不等号相邻的两个数中⼩数是⼤数的约数，那么，第⼆⾏从左到右的第6个数是()（左图是⼀个33的例⼦）A.5B.4C.3故选：D.5.9、“九宫阵”是⼀个99的“九宫格”（图中⿊实线围住的⽅阵）的⽅阵，它是由九个33组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填⼊空格内，使得每⾏、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现⼀次.当填写完后，那么，位于第4⾏第4列的数字是()A.2B.4C.6D.8【解析】由分析可知位于第4⾏第4列的数字是2；故选：A.6.在如图⽅格表中的每个⽅格中填⼈⼀个字母，使得⽅格表中每⾏、每列及两条对⾓线上的四个⽅格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在⽅格应填的字母是()A.AB.BC.CD.D【解析】如上图：①D≠、C、A，只能是B；同理，★部分的字母A≠、B、D，只能是C，所以，★部分的⽅格中填⼊的字母是C.故选：C.7.我国古代的“河图”是由33的⽅格构成，每个⽅格内均有数⽬不同的点图，每⼀⾏、每⼀列以及每⼀条对⾓线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④【解析】每个点表⽰1，中间数就是5，幻和是5315=.左下⾓的数是：15528--=，P点的数是：15816--=.P点有6个点组成，与③相同.故选：C.8.如图的九个⽅格中，分别填⼊九个整数，使得每⼀横⾏，每⼀竖列及每⼀条对⾓线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻⽅），现在已填⼊三个整数：1，3，4及⼀个☆号，那么含有“☆”号的⼩⽅格中应填⼊的数是()A.9B.8C.7D.6【解析】如图341B=，=，即12A B A=?，☆31249=?÷=.，因此4☆312C3C B=☆4故选：A.9.如图有九个空格，要求每个格中填⼊互不相同的数，使得每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数之和都相等，则图中左上⾓的数是()A.9B.16C.21D.23【解析】如图，设相应⽅格中的数为1x ，2x ，3x ，4x ；由已知条件：⾏、列及对⾓线的三个数的和都相等，可以列出下⾯的等式（⽅程）: ？⼗1x ⼗2x =？3413213x x x x x ++=++=⼗419x +，这样，前⾯两个式⼦的和就等于后⾯两个式⼦的和，即有2?？1x +⼗23411319x x x x ++=++⼗234x x x ++，所以1319162+==. 答：图中左上⾓的数是16. 故选：B .10.九宫图的每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数的和都相等，那么x 等于( )A.47B.48C.50D.51【解析】幻和是：23739x x ++=+， (39)1623c x x =+--=， (39)372321a x x =+--=-，(39)(21)1639211644b x x x x =+---=+-+-=； (39)443742e x x =+--=-；所以：(21)(42)39x x x x +-+-=+214239x x x x ++--=+ 2102x = 51x =. 故选：D .11.古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的( ) A.出⼊相补原理B.等差数列求和C.⼗进制计数法【解析】古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的⼗进制计数法；故选：C .12.⽤a ，b ，c ，d ，x 分别表⽰五进制中5个互不相同的数字.如果adx ，adc ，aab 是由⼩到⼤排列好的连续⾃然数，那么cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰是( ) A.48B.71C.82D.108【解析】由于是连续的正整数，且adc ，aab ，个位与⼗位均发⽣了变化，可知是发⽣了进位，因为1adc adx -=，所以1c x -=. ⼜因1aab adc -=，即：(5)(5)1a b d c +-+=，所以5()()1a d b c -+-=；由于a ，b ，c ，d ，e 都是0⾄4之间的不同整数，从⽽可以推知：1a d -=，4c b -=.经检验，得4c =，0b =，3e =，2a =，1d =，于是有： 5(413)cdx =，210451535+=?+??， 42553=?++， 10053=++， 108=.答：cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰108. 故选：D .13.⼆进制数2(101)可⽤⼗进制表⽰为2120215?+?+=，⼆进制2(1011)可⽤⼗进制表⽰为32120212111?+?+?+=，那么⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为( )A.25B.27C.29D.31【解析】2(11011)，432101212021212=?+?+?+?+?， 168021=++++，2421=++，27=；⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为27. 故选：B .14.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.2134【解析】因为五进制数不可能出现5，6，7，8，9，所以55、106、732不可能是五进制数，2134有可能是五进制数，所以有可能是五进制数的是2134. 故选：D .15.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.0【解析】3894971÷=?，（末位） 974241÷=?， 24460÷=?， 6412÷=?， 1401÷=?，把所有余数倒序排列，即：12011. 所以，10(389)(=412011)，所以，把389化为四进制数的末位为1. 故选：A .16.下列数不是⼋进制数的是( )A.125B.126C.127D.128【解析】⼋进制的数是由除以8的余数得来的数计数的，不可能出现8，所以128不合题意；故选：D .⼆.填空题（共30⼩题）17.N 是⼀个⼗进制中的⾃然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则⼗进制中N 最⼩值是 13 .【解析】从上表可以看出符合条件的数最⼩是13. 故答案为：13.18.在r 进制中有这样⼀个算式：10(120)(44)(2016)r r ?=，其中结果已转换为⼗进制，那么r = 7 .（填数字）【解析】10(120)(44)(2016)r r ?=2(12)(44)2016r r r ?+??+= (1)(2)789r r r ?+?+=?? 7r =故答案为：7.19.⼀个超过20的⾃然数N ，在14进制与20进制中都可以表⽰为回⽂数（回⽂数就是指正读与倒读都⼀样的数，⽐如12321、3443都是回⽂数，⽽12331不是回⽂数），N 的最⼩值为 105 （答案⽤10进制表⽰）.【解析】因为20N >，所以N 在14进制与20进制中都不是⼀位数，我们希望N 尽可能⼩，故设1420()()N aa bb ==，即1420N a a b b =+=+，所以1521N a b ==，即N 是15的倍数，⼜是21的倍数，即是357105??=的倍数，⽽101420(105)(77)(55)==，符合题意，故N 的最⼩值为105. 故答案为105.20.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(230)(255)(+= 197 10). 【解析】26(230)2636017218090=?+?+?=++=26(255)26565172305107=?+?+?=++= 90107197+=故答案为：197.21.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(135)(12)(+= 67 10). 【解析】解法⼀：666(135)(12)(151)+=2106(151)1656163618567=?+?+?=++=解法⼆：2106(135)1636563618559=?+?+?=++=106(12)16268=?+?= 59867+=故答案为：67.22.如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，⽐如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=?-+?-+?-+?-+?-，所以20就是“中环数”，⽽227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在⼩于1000的正整数中，“中环数”有 31 个.【解析】由题意，910210002<<，所以1000化为⼆进制为10位数，由于如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，。
小学奥数：数阵图(二).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
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小学奥数——数阵、进位制一.选择题（共16小题）1.在右图的66⨯方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的23⨯长方形的六个字母均不能重复.那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E2.如图，请将0、1、2、⋯、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个.表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.5283.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33⨯的幻方中，使横向、纵向和对角线方向数字和相等，则(+=)A EA.32B.28C.26D.244.将1，2，3，4，5，6分别填入66⨯的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是()（左图是一个33⨯的例子）A.5B.4C.3D.25.9、“九宫阵”是一个99⨯的方阵，它是由九个33⨯的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现一次.当填写完后，那么，位于第4行第4列的数字是()A.2B.4C.6D.86.在如图方格表中的每个方格中填人一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是()A.AB.BC.CD.D7.我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④8.如图的九个方格中，分别填入九个整数，使得每一横行，每一竖列及每一条对角线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻方），现在已填入三个整数：1，3，4及一个☆号，那么含有“☆”号的小方格中应填入的数是()A.9B.8C.7D.69.如图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是()A.9B.16C.21D.2310.九宫图的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么x等于()A.47B.48C.50D.5111.古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指.等到10根手指用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的()A.出入相补原理B.等差数列求和C.十进制计数法12.用a，b，c，d，x分别表示五进制中5个互不相同的数字.如果adx，adc，aab是由小到大排列好的连续自然数，那么cdx 所表示的整数写成十进制的表示是( ) A.48B.71C.82D.10813.二进制数2(101)可用十进制表示为2120215⨯+⨯+=，二进制2(1011)可用十进制表示为32120212111⨯+⨯+⨯+=，那么二进制数2(11011)用十进制表示为( )A.25B.27C.29D.3114.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.213415.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.016.下列数不是八进制数的是( ) A.125B.126C.127D.128二.填空题（共30小题）17.N 是一个十进制中的自然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则十进制中N 最小值是 .18.在r 进制中有这样一个算式：10(120)(44)(2016)r r ⨯=，其中结果已转换为十进制，那么r = .（填数字）19.一个超过20的自然数N ，在14进制与20进制中都可以表示为回文数（回文数就是指正读与倒读都一样的数，比如12321、3443都是回文数，而12331不是回文数），N 的最小值为 （答案用10进制表示）.20.十进制10(23)在六进制中表示为6(35)，66(230)(255)(+= 10). 21.十进制10(23)在六进制中表示为6(35)，66(135)(12)(+= 10).22.如果一个数的二进制表示与负二进制表示的形式相同，这样的数称为“中环数”，比如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-，所以20就是“中环数”，而227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在小于1000的正整数中，“中环数”有 个.23.将六进制中的数2015改写成十进制是 .24.请将十进制数120转化成二进制： .25.两个七进制整数454与5的商的七进制表示为 . 26.计算：(2)(2)1101101⨯=(2).27.十进制中数57改写成四进制为4(321)，计算：44(1003)(1012)+= 7（结果用七进制表示）28.巴依老爷请阿凡提为其整修花园，要求一个月完成，3月1日开始，31日结束，每天的工钱为一钱黄金.巴依老爷是出了名的守财奴，阿凡提要求每天结束时结算工钱，巴依老爷只有一块31钱的金条，他让阿凡提切割尽量少的次数，聪明绝顶的阿凡提只做了 次切割，就解决了问题.29.十进制中697改写成七进制为7(2014)，今天是2014年2月23日，计算：77(2014)(223)+=7.（结果用七进制表示）.30.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯ 二进制110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯.那么二进制中的“1111”用十进制表示是 .31.仔细观察下面表示数的方式，第六行表示 .32.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于+=，十进制的3在二进制中变成了101111024，即1021024=，在二进制中就是10000000000.那么二进制中的“10110”用十进制表示是.33.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于+=，十进制的3在二进制中变成了101111024，即1021024=，在二进制中就是10000000000.那么，十进制中的2014用二进制表示是.34.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于+=，十进制的3在二进制中变成了101111024，即1022014=，在二进制中就是10000000000.那么，十进制中的1039用二进制表示是.35.日常生活中经常使用十进制来表示数，要用10 个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.在电子计算机中用二进制，只要用两个数码0和1.正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯那么，二进制中的“111100”用十进制表示是 .36.十进制中259改写成五进制为5(2014)，今天是2014年2月23日，计算：55(2014)(223)+=5.37.在n 进制的数中，若(1030)140n =，则n = .38.十进制计数法，是逢10进1，如102421041=⨯+⨯，21036531061051=⨯+⨯+⨯；计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如21027121211111=⨯+⨯+⨯=，3210212121202011100=⨯+⨯+⨯+⨯=，如果一个自然数可以写成m 进制数45m ，也可以写成n 进制数54n ，那么最小的m = ，n = .（注:)n n aa a a a a =⨯⨯⨯⋯⨯{个39.在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的，如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens ”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens ”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens ”的数指的是十进制中的数 .40.有一天，唐僧师徒四人来到一个被称为“长寿岛”的地方，迎面走来一位青年，他自称有101岁了，孙悟空灵机一动，出了几道算术题给他算：11+=？；111++=？；1111+++=？；23⨯=？.这位青年的计算结果是：112+=，1113++=，11114+++=，2310⨯=.孙悟空仰天一笑，大声说，我知道你是 岁.41.欢欢，迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个正整数.两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和.那么，两人卡片上所写数中最大数最小是 .42.二进制数进行加、减、乘、除运算时是满 进一，退一作 . 43.把十进制数分别化成二进制数.44.一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5，在五进制表示当中的各位数字之和是4，那么这个自然数除以3的余数是2，满足要求的最小自然数是（十进制表示） .45.把二进制数2(10111)化为十进制数是10；把十进制数10(37)化成二进制数是2.46.把5盏电灯并排安在台子上，用〇表示点亮的电灯，用●表示关掉的电灯.〇和●按一定的顺序排列，可以表示一定的数值，如图：（1）按图中的规律，●〇●●〇表示 ；（2）如果用1表示〇，用0表示●，则“00001” 1=，“00010” 2=，“00011” 3=.“00100” 4=，“00101” 5=，省略最前面的零可简写成“1” 1=，“10” 2=，“11” 3=，“100” 4=，那么“11011” = ，“11110” = . 三.计算题（共4小题）47.二进制是计算技术中广泛采用的一种计数方法，二进制数是用0和1两个数字来表示的.其加、减法的意义我我们平时学习的十进制类似. （1）二进制加法.在二进制加法中，同一数位上的数相加只有四种情况：000+=，011+=，101+=，1110+=. 二进制加法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要求数位对齐，从低位到遍位依次运算，但“满二进一”.例：（2）二进制减法.二进制减法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要数位对齐，从低位到高位依次运算，相同数位上的数不够减时，向高一位借，但“借一当二”.例：阅读以上关于二进制的介绍，请你完成以下二进制计算.（要求列竖式计算） （1）10111- （2）101101101+.48.（1）把二进制数101011100写成十进制数是什么？ （2）把十进制数234写成二进制数是什么？ 49.把下列十进制数分别改写成二进制数.（1）(10)17 （2）(10)23 50.计算下列各题. （1）(2)(2)10011100+ （2）(2)(2)10111001- （3）(2)(2)100111⨯ （4）(2)(2)1110111÷参考答案与试题解析一.选择题（共16小题）1.在右图的66⨯方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的23⨯长方形的六个字母均不能重复.那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E 【解析】依题意可知：首先根据排除法看第一宫格，第一列不能有A，第二行不能有A.那么A只能在第一行第二列.幻方规律排除法确定第三行第四列也是A；第四行第四列的数字是C；接着第五行第四列就是F；那么第二行的第四列是B；继续推理得：故选：C.2.如图，请将0、1、2、⋯、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个.表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.528【解析】依题意可知：可将数独拆分成余数数独和商的数独.商的数独注意某两个格子如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，利用这个条件可以填完这两个数独，再合并成原表格.所以7814784⨯⨯=.故选：A.3.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33⨯的幻方中，使横向、纵向和对角线方向数字和相等，则(+=)A EA.32B.28C.26D.24【解析】所以，151732+=+=A E故选：A.4.将1，2，3，4，5，6分别填入66⨯的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是()（左图是一个33⨯的例子）A.5B.4C.3D.2【解析】通过排除试填，得到如下答案，如图：故选：D.5.9、“九宫阵”是一个99⨯的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）⨯的方阵，它是由九个33组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现一次.当填写完后，那么，位于第4行第4列的数字是()A.2B.4C.6D.8【解析】由分析可知位于第4行第4列的数字是2；故选：A.6.在如图方格表中的每个方格中填人一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是()A.AB.BC.CD.D【解析】如上图：①D≠、C、A，只能是B；同理，★部分的字母A≠、B、D，只能是C，所以，★部分的方格中填入的字母是C.故选：C.7.我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④【解析】每个点表示1，中间数就是5，幻和是5315⨯=.左下角的数是：15528--=，P点的数是：15816--=.P点有6个点组成，与③相同.故选：C.8.如图的九个方格中，分别填入九个整数，使得每一横行，每一竖列及每一条对角线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻方），现在已填入三个整数：1，3，4及一个☆号，那么含有“☆”号的小方格中应填入的数是()A.9B.8C.7D.6【解析】如图341B=，⨯⨯=⨯⨯，即12A B A=⨯，☆31249=⨯÷=.⨯⨯，因此4☆312C3C B⨯⨯=☆4故选：A.9.如图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是()A.9B.16C.21D.23【解析】如图，设相应方格中的数为1x ，2x ，3x ，4x ；由已知条件：行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式（方程）: ？十1x 十2x =？3413213x x x x x ++=++=十419x +， 这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和， 即有2⨯？1x +十23411319x x x x ++=++十234x x x ++， 所以1319?162+==. 答：图中左上角的数是16. 故选：B .10.九宫图的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么x 等于( )A.47B.48C.50D.51【解析】幻和是：23739x x ++=+， (39)1623c x x =+--=， (39)372321a x x =+--=-，(39)(21)1639211644b x x x x =+---=+-+-=； (39)443742e x x =+--=-；所以：(21)(42)39x x x x +-+-=+214239x x x x ++--=+ 2102x = 51x =. 故选：D .11.古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指.等到10根手指用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的( ) A.出入相补原理B.等差数列求和C.十进制计数法【解析】古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指.等到10根手指用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的十进制计数法； 故选：C .12.用a ，b ，c ，d ，x 分别表示五进制中5个互不相同的数字.如果adx ，adc ，aab 是由小到大排列好的连续自然数，那么cdx 所表示的整数写成十进制的表示是( ) A.48B.71C.82D.108【解析】由于是连续的正整数，且adc ，aab ，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，因为1adc adx -=，所以1c x -=. 又因1aab adc -=，即：(5)(5)1a b d c +-+=，所以5()()1a d b c -+-=；由于a ，b ，c ，d ，e 都是0至4之间的不同整数， 从而可以推知：1a d -=，4c b -=.经检验，得4c =，0b =，3e =，2a =，1d =，于是有： 5(413)cdx =，210451535+=⨯+⨯⨯， 42553=⨯++， 10053=++， 108=.答：cdx 所表示的整数写成十进制的表示108. 故选：D .13.二进制数2(101)可用十进制表示为2120215⨯+⨯+=，二进制2(1011)可用十进制表示为32120212111⨯+⨯+⨯+=，那么二进制数2(11011)用十进制表示为( )A.25B.27C.29D.31【解析】2(11011)，432101212021212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 168021=++++，2421=++，27=；二进制数2(11011)用十进制表示为27. 故选：B .14.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.2134【解析】因为五进制数不可能出现5，6，7，8，9，所以55、106、732不可能是五进制数，2134有可能是五进制数， 所以有可能是五进制数的是2134. 故选：D .15.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.0【解析】3894971÷=⋯，（末位） 974241÷=⋯， 24460÷=⋯， 6412÷=⋯， 1401÷=⋯，把所有余数倒序排列，即：12011. 所以，10(389)(=412011)，所以，把389化为四进制数的末位为1. 故选：A .16.下列数不是八进制数的是( )A.125B.126C.127D.128【解析】八进制的数是由除以8的余数得来的数计数的，不可能出现8，所以128不合题意； 故选：D .二.填空题（共30小题）17.N 是一个十进制中的自然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则十进制中N 最小值是 13 . 【解析】从上表可以看出符合条件的数最小是13. 故答案为：13.18.在r 进制中有这样一个算式：10(120)(44)(2016)r r ⨯=，其中结果已转换为十进制，那么r = 7 .（填数字） 【解析】10(120)(44)(2016)r r ⨯=2(12)(44)2016r r r ⨯+⨯⨯+= (1)(2)789r r r ⨯+⨯+=⨯⨯ 7r =故答案为：7.19.一个超过20的自然数N ，在14进制与20进制中都可以表示为回文数（回文数就是指正读与倒读都一样的数，比如12321、3443都是回文数，而12331不是回文数），N 的最小值为 105 （答案用10进制表示）.【解析】因为20N >，所以N 在14进制与20进制中都不是一位数， 我们希望N 尽可能小，故设1420()()N aa bb ==，即1420N a a b b =+=+，所以1521N a b ==，即N 是15的倍数，又是21的倍数，即是357105⨯⨯=的倍数， 而101420(105)(77)(55)==，符合题意， 故N 的最小值为105. 故答案为105.20.十进制10(23)在六进制中表示为6(35)，66(230)(255)(+= 197 10). 【解析】26(230)2636017218090=⨯+⨯+⨯=++=26(255)26565172305107=⨯+⨯+⨯=++= 90107197+=故答案为：197.21.十进制10(23)在六进制中表示为6(35)，66(135)(12)(+= 67 10). 【解析】解法一：666(135)(12)(151)+=2106(151)1656163618567=⨯+⨯+⨯=++=解法二：2106(135)1636563618559=⨯+⨯+⨯=++=106(12)16268=⨯+⨯= 59867+=故答案为：67.22.如果一个数的二进制表示与负二进制表示的形式相同，这样的数称为“中环数”，比如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-，所以20就是“中环数”，而227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在小于1000的正整数中，“中环数”有 31 个.【解析】由题意，910210002<<， 所以1000化为二进制为10位数，由于如果一个数的二进制表示与负二进制表示的形式相同，这样的数称为“中环数”，所以2的偶次方可与0或1相乘（不能全部是0)，2的奇次方只能与0相乘， 所以在小于1000的正整数中，“中环数”有52131==个. 故答案为31.23.将六进制中的数2015改写成十进制是 442 . 【解析】32106(2015)26061666=⨯+⨯+⨯+⨯ 43266=++442=故答案为：442.24.请将十进制数120转化成二进制： (10)(2)1201111000= . 【解析】1202600÷=⋯， 602300÷=⋯， 302150÷=⋯， 15271÷=⋯， 7231÷=⋯， 3211÷=⋯，故(10)(2)1201111000=. 故答案为：(10)(2)1201111000=.25.两个七进制整数454与5的商的七进制表示为 65 . 【解析】位值原理展开：2107(454)475747449574235=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+= （5）75=235547÷= 十进制转换成七进制方法是短除倒取余数法十进制转换七进制用短除倒取余法 107(47)(65)=故此题答案是6526.计算：(2)(2)1101101⨯= 1000001 (2).【解析】所以，(2)(2)(2)11011011000001⨯=. 故答案为：1000001.27.十进制中数57改写成四进制为4(321)，计算：44(1003)(1012)+= (254) 7（结果用七进制表示） 【解析】303104410(1003)(1012)1434141424(137)+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为2749= 13749239÷=⋯⋯ 39754÷=⋯⋯ 107(137)(254)=.所以447(1003)(1012)(254)+= 故答案为：(254)28.巴依老爷请阿凡提为其整修花园，要求一个月完成，3月1日开始，31日结束，每天的工钱为一钱黄金.巴依老爷是出了名的守财奴，阿凡提要求每天结束时结算工钱，巴依老爷只有一块31钱的金条，他让阿凡提切割尽量少的次数，聪明绝顶的阿凡提只做了 4 次切割，就解决了问题.【解析】阿凡提切成的金条分别是021=，122=，224=，328=，4216=， 514-=（次)故答案为：4.29.十进制中697改写成七进制为7(2014)，今天是2014年2月23日，计算：77(2014)(223)+= (2240)7.（结果用七进制表示）.【解析】777(2014)(223)(2240)+= 故答案为：(2240).30.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯ 二进制110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯.那么二进制中的“1111”用十进制表示是 15 . 【解析】二进制的1111书写为32102(1111)121212121814121115=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故此题答案是15.31.仔细观察下面表示数的方式，第六行表示 7 .【解析】由题意可知，第一列的黑点表示，“4”，第二列的黑点表示“2”，第三列的黑点表示“1”，所以第六行是4217++=. 故答案为7.32.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯二进制110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于1024，即1021024=，在二进制中就是10000000000.那么二进制中的“10110”用十进制表示是 22 .【解析】二进制下的10110转换成十进制就是按照位置原来展开式：就是432102(10110)12021212021160814120122=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为22.33.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯二进制110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于1024，即1021024=，在二进制中就是10000000000.那么，十进制中的2014用二进制表示是 11111011110 .【解析】短除法，倒取余数为11111011110综上所述：1111101111034.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制012345678⋯二进制0110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于1024，即1022014=，在二进制中就是10000000000.那么，十进制中的1039用二进制表示是10000001111.【解析】短除倒取余，10000001111.故本题答案为10000001111.35.日常生活中经常使用十进制来表示数，要用10 个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.在电子计算机中用二进制，只要用两个数码0和1.正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制012345678⋯二进制0110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，⋯那么，二进制中的“111100”+=，十进制的3在二进制中变成了10111用十进制表示是60.【解析】二进制中的“111100”用十进制表示是：54321⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+12121212020=+++++32168400=60故答案为：60.36.十进制中259改写成五进制为5(2014)，今天是2014年2月23日，计算：55(2014)(223)+= (2242)5.【解析】故答案为：(2242).37.在n 进制的数中，若(1030)140n =，则n = 5 . 【解析】32(1030)1030n n n n =⨯+⨯+⨯+ 33140n n =+=，从9开始分析逐次少1，能够得出140，只有3535140+⨯=. 所以5n =. 故答案为：5.38.十进制计数法，是逢10进1，如102421041=⨯+⨯，21036531061051=⨯+⨯+⨯；计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如21027121211111=⨯+⨯+⨯=，3210212121202011100=⨯+⨯+⨯+⨯=，如果一个自然数可以写成m 进制数45m ，也可以写成n 进制数54n ，那么最小的m = 11 ，n = .（注:)n n aa a a a a =⨯⨯⨯⋯⨯{个【解析】4545m m =+； 5454n n =+；那么： 4554m n +=+即：4(1)5(1)m n -=-，如果15m -=，14n -=，则6m =，5n =，但此时n 进制中不能出现数字5； 如果110m -=，18n -=，则11m =，9n =，符合题意. 即m 最小是11，n 最小是9. 故答案为：11，9.39.在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的，如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens ”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens ”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens ”的数指的是十进制中的数 182 .【解析】147在20进制中是77读音是“syeth ha seyth ugens “，49在20进制中是29读音是“naw ha dew ugens “，所以syeth 代表的是7而ha 和ugens 则分别代表了第二位和末位，所以naw 和dew 分别代表了2和9.那么20进制中读音是“dew ha naw ugens “的数是20进制中的92(2和9对换位置即可），所以十进制中的数是9202182⨯+=. 故答案为182.40.有一天，唐僧师徒四人来到一个被称为“长寿岛”的地方，迎面走来一位青年，他自称有101岁了，孙悟空灵机一动，出了几道算术题给他算：11+=？；111++=？；1111+++=？；23⨯=？.这位青年的计算结果是：112+=，1113++=，11114+++=，2310⨯=.孙悟空仰天一笑，大声说，我知道你是 37 岁.【解析】根据112+=，1113++=，11114+++=，2310⨯=，可得：“长寿岛”的地方采用的是“六进制”， 那么：101转化为十进制是： 312111160616---⨯+⨯+⨯ 3601=++ 37=（岁)答：这个青年37岁. 故答案为：37.41.欢欢，迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个正整数.两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和.那么，两人卡片上所写数中最大数最小是 10 .【解析】一个人控制最高位和最低位：0000，0001，1000，1001； 另一个人控制中间两位：0000，0010，0100，0110.最大数最小是1001也就是9，容易发现8不行.原题要求正整数， 所以每个数再加1. 故答案是：10.42.二进制数进行加、减、乘、除运算时是满 二 进一，退一作 .【解析】二进制数进行加、减、乘、除运算时是满二进一，退一作二； 故答案为：二，二.43.把十进制数分别化成二进制数.【解析】解（1）252121÷=⋯， 12260÷=⋯， 6230÷=⋯， 3211÷=⋯， 1201÷=⋯，故102(25)(11001)=.（2）2(111010)，543210121212021202=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 32168020=+++++， 58=；210(111010)(58)=；故答案为：(11001)，(58).44.一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5，在五进制表示当中的各位数字之和是4，那么这个自然数除以3的余数是2，满足要求的最小自然数是（十进制表示） 56 . 【解析】4105(23)(11)(21)==，数字之和不是4； 4105(32)(14)(24)==，数字之和不是4； 4105(113)(23)(43)==，数字之和不是4； 4105(122)(26)(101)==，数字之和不是4； 4105(131)(29)(104)==，数字之和不是4； 4105(203)(35)(120)==，数字之和不是4； 4105(212)(38)(123)==，数字之和不是4；4105(221)(41)(131)==，数字之和不是4； 4105(230)(44)(134)==，数字之和不是4；4105(302)(50)(200)==，数字之和不是4； 4105(311)(53)(203)==，数字之和不是4； 4105(320)(56)(211)==，数字之和是4，563182÷=⋯⋯.故答案为：56.45.把二进制数2(10111)化为十进制数是 (23)10；把十进制数10(37)化成二进制数是2.【解析】（1）2(10111)，432101202121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 160421=++++， 23=；210(10111)(23)=；（2）372181÷=⋯， 18290÷=⋯， 9241÷=⋯， 4220÷=⋯， 2210÷=⋯， 1201÷=⋯，故102(37)(100101)=. 故答案为：(23)，(100101).46.把5盏电灯并排安在台子上，用〇表示点亮的电灯，用●表示关掉的电灯.〇和●按一定的顺序排列，可以表示一定的数值，如图：。