《圆心角、弧、弦、弦心距间关系》习题
沪科版数学九年级下册《圆心角、弧、弦、弦心距间关系》习题
《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》习题
1．下列说法中正确的是（ ）．
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．等弧所对的圆心角相等
C ．相等的弦所对的弦心距相等
D ．弦心距相等，则弦相等
2．在半径为5cm 的圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）． A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm
3．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm
5．弦AB 把⊙O 分成1∶2两部分，AB ＝8cm ，则弦AB 的弦心距等于___________． 6．直径为20cm 的圆中，有一条长为310cm 的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________．
7．在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB ＝50°，则弦AB 所对的圆心角的度数是___________，弦AB 所对的两条弧的度数是___________．
8．在⊙O 中，OC 是半径，弦EF 过OC 的中点且垂直于OC ，则弦EF 所对的圆心角的度数是___________，弦EF 的弦心距和弦EF 的长的比是___________．
9．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连结CE 、BC ，求证：BC ＝CE ．（用两种方法加以证明）。
圆心角弧弦弦心距之间的关系典型例题
圆心角弧弦弦心距之间的关系典型例题能力素质例1．如图7.4－1，已知⊙O的直径为10cm，弦CD＝EF，OA⊥CD于A，OB⊥EF于B，EF＝8cm，求OA的长．分析：在解决弦、弧、弦心距的问题时，常要作出半径或弦心距，使弦的一半、弦心距、半径构成直角三角形，同时注意在同圆或等圆中圆心角、弦、弧、弦心距的关系的运用．解：连接OF，CD＝EF，OA⊥CD，OB⊥EF，∴OA＝OB，AC＝AD，BE＝BF．∴直径为10cm．故OF＝5cm．∴OA＝3cm．点击思维例2．如图7.4－2，M、N分别为⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD，求证∠AMN＝∠CNM．分析：由弦AB＝CD，应想到利用弦、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理．因为M、N分别是AB、CD的中点，连接OM、ON，则有OM⊥AB，ON⊥CD，OM＝ON，故易得结论．证明：连接OM、ON．∵M、N分别是AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD．由AB＝CD，得∴OM＝ON．∴∠OMN＝∠ONM．∵∠AMN＝90°－∠OMN，∠CNM＝90°－∠ONM，∴∠AMN＝∠CNM．学科渗透例3．如图7.4－3，AB是⊙O的直径，过AB上任意一点Q作与AB 相交成45°的弦PR．如果⊙O的半径为R，求证PQ2＋QR2是定值．解：连接OP、OR，作OD⊥PQ，D为垂足，设OQ长为m．①＋②，整理得－PQ)－2m2．∴PQ2＋QR2＝2R2与m无关．说明：本例采用引入参数求定值，显然引起图形变化的“基本元素”是Q点的位置．如何描述Q点位置呢？故设OQ＝m较为有利．中考巡礼例4．(1999年北京市海淀区)如图7.4－4，已知在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E，求证CB2＝CF·CE．分析：要证CB2＝CF·CE，即证明△CBE∽△CFB．已有∠BCE是公共角，还需找一组角对应相等．由已知条件不难看证明：连接FB，CD过圆心O，且CD⊥AB．∵∠BCE是公共角，∴CB2＝CF·CE．。
九年级数学下册 第24章 圆 24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系同步练习
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系一、选择题1．在⊙O 中含有圆心角的是( )图K －5－12．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1∶2∶3，则这三个扇形中圆心角度数最大的是( )A ．30° B．60° C．120° D．180°3．如图K －5－2，在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( )图K －5－2A ．40° B．45° C．50° D．60°4．如图K －5－3，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠A 的度数为( )图K －5－3A ．50° B．55° C．60° D．65°5．如图K －5－4，AB ︵是半圆，O 为AB 的中点，C ，D 两点在AB ︵上，且AD ∥OC ，连接BC ，BD ，OD .若∠COD ＝62°，则AD ︵的度数为( )图K －5－4A ．56° B．58° C ．60° D．62°6．如图K －5－5，在△ABC 中，∠A ＝70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 的度数为( )图K －5－5A ．140° B．135° C．130° D．125°7．如图K －5－6，已知AB 和CD 是⊙O 中相等的两条弦，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，BA ，DC 的延长线交于点P ，连接OP .下列四个说法中：①AB ︵＝CD ︵；②OM ＝ON ；③PA ＝PC ；④∠BPO ＝∠DPO ，正确的个数是( )图K －5－6A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题8．如图K －5－7，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，如果OE ＝OF ，那么____________(只需写出一个正确的结论).链接听课例2归纳总结图K －5－79．如图K －5－8，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________°.图K －5－810．如图K －5－9，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为________．图K －5－911．2017·黄山部分地区月考如图K －5－10，⊙O 的半径是8，AB 是⊙O 的直径，M 为AB 上一动点，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，则CM ＋DM 的最小值为________．图K －5－10三、解答题12．如图K －5－11，AB ，CE 是⊙O 的直径，∠COD ＝60°，且AD ︵＝BC ︵. (1)请你写出与∠AOE 相等的圆心角；(2)连接AE ，AD ，DC ，BE ，写出其中与线段AE 相等的弦.链接听课例1归纳总结图K －5－1113．如图K －5－12，在⊙O 中，C ，D 是直径AB 上的两点，且AC ＝BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，点M ，N 在⊙O 上．求证：AM ︵＝BN ︵.链接听课例1归纳总结图K －5－1214．2017·牡丹江如图K －5－13，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E . 求证：AD ＝BE .图K －5－1315．如图K －5－14，⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点分别为M ，N ，且AB ＝CD . 求证：∠AMN ＝∠CNM .图K －5－1416．如图K －5－15，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点．连接AB . (1)求证：AB 平分∠OAC ；(2)延长OA 至点P 使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．图K －5－15如图K －5－16，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是AB 上的两点，MC ⊥AB 交⊙O 于点M ，N ，PD ⊥AB 交⊙O 于点P ，Q .(1)求证：PM ＝QN ；(2)若AC ＝BD ，求证：AM ︵＝BP ︵；(3)若AM＝MP＝PB，求证：C是OA的中点．图K－5－16详解详析[课堂达标] 1．[答案] D 2．[答案] D 3．[答案] A4．[解析] C 连接OC ，OD.∵BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.又∵OA ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠A ＝60°.5．[解析] A ∵AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠COD ＝62°，可得∠AOD ＝56°，∴AD ︵的度数为56°.6．[解析] D 如图，过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，OP ⊥BC ，垂足分别为M ，N ，P. ∵∠A ＝70°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝110°. ∵⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等， ∴OM ＝ON ＝OP ，∴O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴∠BOC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12×110°＝125°.7．[解析] D ∵AB ＝CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴AB ︵＝CD ︵，OM ＝ON ，∴PO 是∠BPD 的平分线，∴∠BPO ＝∠DPO ；易证△POM ≌△PON ，∴PM ＝PN ，∴PM －AM ＝PN －CN ，即PA ＝PC.综上所述，说法①②③④都正确．故选D.8．[答案] 答案不唯一，如AB ＝CD 9．[答案] 40[解析] ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.∵∠B ＝70°，∴∠C ＝∠B ＝70°，∴∠A ＝180°－2×70°＝40°. 10．[答案] 50°[解析] 连接CD ，∵∠A ＝25°，∠C ＝90°， ∴∠B ＝65°. ∵CB ＝CD ，∴∠B ＝∠CDB ＝65°，∴BD ︵的度数为50°. 11．[答案] 16[解析] 以AB 为对称轴作点C 的对称点C′，连接C′D，则CM ＋DM 的最小值为线段C′D 的长．又∵AC ︵＝CD ︵＝AC′︵＝60°，∴∠C′OD＝180°，即C′D 是直径， ∴CM ＋DM 的最小值为16.12．解：(1)∵AD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠BOC. ∵∠COD ＋∠AOD ＋∠BOC ＝180°，∠COD ＝60°， ∴∠AOD ＝∠BOC ＝60°. 又∵∠AOE ＝∠BOC ，∴与∠AOE 相等的圆心角有∠AOD ，∠COD ，∠BOC. (2)∵与∠AOE 相等的圆心角有∠AOD ，∠COD ， ∴与线段AE 相等的弦有AD ，CD. 13．证明：如图，连接OM ，ON.∵AB 是⊙O 的直径，C ，D 是直径AB 上的两点，且AC ＝BD ， ∴OC ＝OD.在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND ， ∴∠COM ＝∠DON ，∴AM ︵＝BN ︵. 14．证明：如图，连接OC ，∵AC ︵＝CB ︵，∵CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 和△COE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS)， ∴OD ＝OE.又∵AO ＝BO ，∴AD ＝BE.15．证明：连接OM ，ON ，如图．∵M ，N 分别为AB ，CD 的中点， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴∠AMO ＝∠CNO ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴OM ＝ON ， ∴∠OMN ＝∠ONM ， ∴∠AMN ＝∠CNM.16．[解析] (1)连接OC ，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，则∠AOC ＝∠BOC ＝60°，根据等边三角形的判定，可得△OAC 和△OBC 都是等边三角形，于是OA ＝AC ＝OB ＝BC ，因此四边形AOBC 是菱形，再由菱形的性质可得AB 平分∠OAC.(2)根据三角形内角和定理可计算出∠OCP ＝90°，再利用锐角三角函数的定义，可计算PC 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ， ∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. 又∵OA ＝OB ＝OC ，∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝OB ＝BC ，∴四边形AOBC 是菱形，∴AB 平分∠OAC. (2)由(1)知，△OAC 是等边三角形， ∴∠AOC ＝∠OCA ＝∠OAC ＝60°. ∵OA ＝AC ，OA ＝AP ，∴AP ＝AC ，∴∠APC ＝∠ACP ＝12∠OAC ＝30°，∴∠OCP ＝∠OCA ＋∠ACP ＝60°＋30°＝90°.∴在Rt △OPC 中，PC ＝OC tan ∠APC ＝1tan30°＝133＝ 3.[素养提升]证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，MN ⊥AB ，PQ ⊥AB ， ∴AM ︵＝AN ︵，BP ︵＝BQ ︵.∵AM ︵＋PM ︵＋BP ︵＝AN ︵＋QN ︵＋BQ ︵， ∴PM ︵＝QN ︵，∴PM ＝QN.(2)连接OM ，OP ，如图所示．∵OA ＝OB ，AC ＝BD ，MN ⊥AB ，PQ ⊥AB ， ∴OC ＝OD ，∠MCO ＝∠PDO ＝90°. 又∵OM ＝OP ，∴Rt △MOC ≌Rt △POD ， ∴∠MOA ＝∠POB ，∴AM ︵＝BP ︵. (3)∵AB 是⊙O 的直径，AM ＝MP ＝PB ， ∴∠MOA ＝∠MOP ＝∠POB ＝60°. 又∵OM ＝OA ，∴△OMA 是等边三角形． 又∵MC ⊥OA ，∴C 是OA 的中点．。
圆心角、圆周角、弦、弧、弦心距经典训练题
圆的相关知识第一部分姓名：一、圆的定义:（1）在同一平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
（2）线段绕一固定不动的端点旋转一周时另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆，固定不动的端点叫做圆心，线段的长叫做半径。
（3）综合看成：圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．二、点与圆的位置：关系有三种（点到圆心的距离与圆的半径的数量比较）：（1）点在圆外，这个点到圆心的距离大于半径；（2）点在圆上，这个点到圆心的距离等于半径；（3）点在圆内，这个点到圆心的距离小于半径.。
二、相关概念：（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
（2）优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；（3）劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）（4）半圆（弧）：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（5）弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦；（6）弦心距：圆心到弦的距离。
（7）圆心角：顶点在圆心，两边为半径所组成的图形；（8）圆周角：顶点在圆上，两边为弦组成的图形。
（9）同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
（10）等圆：能够重合的两个圆（即半径相等的两个圆）叫做等圆。
（11）等弧：在同圆或等圆中能够完全重合的两条弧叫做等弧三、圆心角定理：（1）圆心角的度数等于它所对弧的度数；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等，所对的圆周角相等。
（3）简单地说：知一则知四。
即同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中，有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．四、圆周角定理：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（2）圆周角等于同弧所对圆心角的度数的一半。
（3）半圆（直径）所对的圆周角是直角，反之90°的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
沪科版数学九年级下册-圆心角、弧、弦、弦心距间的关系习题
)*#89
+*$89
,*(89
-*%89
Rx,;!
)*" \!!!+*. \!!!,*0 \!!!-*/ \
aeB !!A`j\,;4)c*12c)* !!
6 $ 7
!!!
6 2 7
)!8+'4*+ ¡3½ "#$%)4?+ '*1
) ) )
)
)
'+ · ¸ A B h i "# 1 $% "# 1 $%
%&#$'%10/'@#"'&)d"* !!
)*#"'! +*#$'
,*$%'! -*2%'
)*'*;'+ ,*'*<'+
+*'*1'+ -*oUVz
~«áâ@*~ B*æ§@Zà®c:$%!*ZY¬¤à®¿~«*! !'
B~«@*!
) )
)
)
) ) ) ) )
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿 羡你悠然书气
人生若只如初见 任你方便时来 随你心性而去 却为何，有人
为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
晨起凭栏眺 但见云卷云舒
风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷 和其中的一字一句 幸遇只因这一次
% !+,"#3 +') ½ #"1/& ' @ "#- R ) 1 2 c
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
圆心角、弧、弦的关系精选题38道
圆心角、弧、弦的关系精选题38道一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．125．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝°．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为（度）．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为度．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC ＝120°，那么OM的长为．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是°．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC BD（填“＞”“＜”或“＝”）．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．圆心角、弧、弦的关系精选题38道参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，∴CM＝＝＝4，∴BC＝2CM＝8．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．5．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．【解答】解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，DB，由已知条件可知AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，即2AC＞AB，问题得解．【解答】解：取弧AB的中点D，连接AD，DB，∵＝2，∴AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题．8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．【解答】解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由正六边形ABCDEF，可求出的度数，再得到∠ADB的度数．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于圆O∴的度数等于360°÷6＝60°∴∠ADB＝30°故选：C．【点评】理解正多边的定义；掌握圆周角定理及其推论．10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出∠BOE＝120°，根据点C、D是的三等分点求出的度数是80°，再求出答案即可．【解答】解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴的度数是120°，∵点C、D是的三等分点，∴的度数是×120°＝80°，∴∠BOD＝80°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，题目比较典型，难度不是很大．11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴的度数为56°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°【分析】连接O1P，O2P，如图，先根据O1P＝O1O2得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．【解答】解：连接O1P，O2P，如图，∵P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π【分析】连接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出＝，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴＝，∴＝，∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝3，∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．【解答】解：A．如图，弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；C．如图，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；D．如图，弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．【分析】如图，连接OD交AC于H，连接BC．利用勾股定理求出BC，再利用相似三角形的性质求出OH，AH，DH，证明△DMH∽△AOH，构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝6，∵＝，∴OD⊥AB，∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，∴△AOH∽△ACB，∴＝＝∴＝＝∴OH＝，AH＝，∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，∵DM⊥AC，∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，∴△DMH∽△AOH，∴＝，∴＝，∴DM＝1，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°【分析】由题意可得△OAB为等边三角形，从而可求得弦AB所对的圆心角的度数．【解答】解：∵在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，∴OA＝OB＝AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴弦AB所对的圆心角的度数为60°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为y＝．【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD ＝90°，求得∠P AC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵P A⊥BC，∴∠P AC＝90°，∴∠P AC＝∠PBD，∴△P AC∽△PBD，∴＝，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴＝，∴xy＝30，∴y＝，故答案为：y＝．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝40°．【分析】先根据在⊙O中，＝，可得出＝，再由∠AOB＝40°即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，＝，∴＝，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为60°．【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．【解答】解：如图，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是＜S≤．【分析】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC 面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE 最长，进而得出答案．【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，∴CF＝FO＝，∴S△AOC＝×1×＝，则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，∵△AOC面积确定，∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．当∠COD＝90°时DE最长为半径，S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．∴＜S≤，故答案为：＜S≤．【点评】此题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，正确得出四边形的最大值是解题关键．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为52°．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠OBC，求出∠C，再根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠C，再求出答案即可．【解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是8．【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中，，∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝8，故答案为8．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为35（度）．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵∠AOB＝110°，∴∠A＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为64度．【分析】根据对顶角相等求出∠AOC＝32°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC ＝∠AOE，求出∠AOE的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵∠BOD＝32°，∴∠AOC＝∠BOD＝32°，∵＝，∴∠AOE＝∠AOC＝32°，∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，故答案为：64．【点评】本题考查了对顶角相等和圆心角、弧、弦之间的关系，能根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠AOE是解此题的关键．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为．【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，∴OM＝＝，故答案为：．【点评】本题考查圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，勾股定理，全等三角形以及直角三角形的边角关系，掌握圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求是解决问题的关键．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝4﹣4．【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF＝45°，根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：连接OC，作EF⊥OC于F，∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，∴CE＝CA，∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∴∠CAE＝30°，∴∠ECF＝45°，设EF＝x，则FC＝x，在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，∴OF＝＝x，由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，解得，x＝2﹣2，∵∠EOF＝30°，∴OE＝2EF＝4﹣4，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是60°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，得到答案．【解答】解：∵OA＝OB＝AB＝6，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角的定义、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC＝BD（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出＝即可．【解答】解：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AC＝BD，故答案为：＝．【点评】本题考查圆心角、弦、弧的关系，掌握在同圆与等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组量也对应相等是正确解答的前提．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是80度．【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得圆心角的度数．【解答】解：∵周角的度数是360°，∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，故答案为：80．【点评】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB ＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，通过证得△CAD≌△BAD（SAS），得出∠ACD＝∠ABD，进而根据ASA证得△CED≌△BFD（ASA），即可证得结论；（2）根据圆内接四边形的性质证得∠ABD＝90°，从而证得AD是直径，根据勾股定理求得ED，进而求得AB，然后根据勾股定理求得AD，从而求得半径．【解答】（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活应用性质定理是解题的关键．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到＝，结合图形得到＝，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠C＝∠B，∴CE＝BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．【解答】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵•AF•BC＝•AC•AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB＝AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．【解答】证明：∵＝，∴AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∵∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．。
圆心角、弧、弦的关系精选题38道
圆心角、弧、弦的关系精选题38道一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．125．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝°．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为（度）．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为度．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD 的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是°．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC BD（填“＞”“＜”或“＝”）．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．圆心角、弧、弦的关系精选题38道参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．故选：D．4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，∴CM＝＝＝4，∴BC＝2CM＝8．故选：A．5．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°【解答】解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC【解答】解：取弧AB的中点D，连接AD，DB，∵＝2，∴AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故选：C．8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于圆O∴的度数等于360°÷6＝60°∴∠ADB＝30°故选：C．10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°【解答】解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴的度数是120°，∵点C、D是的三等分点，∴的度数是×120°＝80°，∴∠BOD＝80°，故选：C．11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴的度数为56°．故选：C．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°【解答】解：连接AC，∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，故选：C．14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°【解答】解：连接O1P，O2P，如图，∵P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．故选：A．15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴＝，∴＝，∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝3，∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，故选：A．16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【解答】解：A．如图，弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；C．如图，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；D．如图，弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；故选：B．17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．【解答】解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝6，∵＝，∴OD⊥AB，∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，∴△AOH∽△ACB，∴＝＝∴＝＝∴OH＝，AH＝，∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，∵DM⊥AC，∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，∴△DMH∽△AOH，∴＝，∴＝，∴DM＝1，故选：C．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°【解答】解：∵在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，∴OA＝OB＝AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴弦AB所对的圆心角的度数为60°．故选：B．二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为y＝．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵P A⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴＝，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴＝，∴xy＝30，∴y＝，故答案为：y＝．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝40°．【解答】解：∵在⊙O中，＝，∴＝，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°．故答案为：40．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为60°．【解答】解：如图，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于2．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：223．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是＜S≤．【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，∴CF＝FO＝，∴S△AOC＝×1×＝，则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，∵△AOC面积确定，∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．当∠COD＝90°时DE最长为半径，S四边形AODC＝S△AOC+S△COD＝+×1×1＝．∴＜S≤，故答案为：＜S≤．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为52°．【解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°，故答案为：52°．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是8．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中，，∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝8，故答案为8．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为35（度）．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵∠AOB＝110°，∴∠A＝＝35°，故答案为：35．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为64度．【解答】解：∵∠BOD＝32°，∴∠AOC＝∠BOD＝32°，∵＝，∴∠AOE＝∠AOC＝32°，∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，故答案为：64．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，∴OM＝＝，故答案为：．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD 的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝4﹣4．【解答】解：连接OC，作EF⊥OC于F，∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，∴CE＝CA，∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∴∠CAE＝30°，∴∠ECF＝45°，设EF＝x，则FC＝x，在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，∴OF＝＝x，由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，解得，x＝2﹣2，∵∠EOF＝30°，∴OE＝2EF＝4﹣4，故答案为：4﹣4．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是60°．【解答】解：∵OA＝OB＝AB＝6，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为：60．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC＝BD（填“＞”“＜”或“＝”）．【解答】解：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AC＝BD，故答案为：＝．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是80度．【解答】解：∵周角的度数是360°，∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，故答案为：80．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠C＝∠B，∴CE＝BE．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．【解答】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵•AF•BC＝•AC•AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【解答】证明：∵＝，∴AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∵∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA．第31页（共31页）。
九年级数学下册第24章圆24-2圆的基本性质第3课时圆心角弧弦弦心距间关系同步练习含解析沪科版
24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系一、选择题1．在⊙O 中含有圆心角的是()图K －5－12．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1∶2∶3，则这三个扇形中圆心角度数最大的是()A ．30° B．60° C．120° D．180°3．如图K －5－2，在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为()图K －5－2A ．40° B．45° C．50° D．60°4．如图K －5－3，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠A 的度数为()图K －5－3A ．50° B．55° C．60° D．65°5．如图K －5－4，AB ︵是半圆，O 为AB 的中点，C ，D 两点在AB ︵上，且AD ∥OC ，连接BC ，BD ，OD .若∠COD ＝62°，则AD ︵的度数为()图K －5－4A ．56° B．58° C．60° D．62°6．如图K －5－5，在△ABC 中，∠A ＝70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 的度数为()A ．140° B．135° C．130° D．125°7．如图K －5－6，已知AB 和CD 是⊙O 中相等的两条弦，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，BA ，DC 的延长线交于点P ，连接OP .下列四个说法中：①AB ︵＝CD ︵；②OM ＝ON ；③PA ＝PC ；④∠BPO ＝∠DPO ，正确的个数是()图K －5－6A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题8．如图K －5－7，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，如果OE ＝OF ，那么____________(只需写出一个正确的结论).链接听课例2归纳总结图K －5－79．如图K －5－8，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________°.图K －5－810．如图K －5－9，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为________．图K －5－911．2017·黄山部分地区月考如图K －5－10，⊙O 的半径是8，AB 是⊙O 的直径，M 为AB 上一动点，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，则CM ＋DM 的最小值为________．三、解答题12．如图K －5－11，AB ，CE 是⊙O 的直径，∠COD ＝60°，且AD ︵＝BC ︵. (1)请你写出与∠AOE 相等的圆心角；(2)连接AE ，AD ，DC ，BE ，写出其中与线段AE 相等的弦.链接听课例1归纳总结图K －5－1113．如图K －5－12，在⊙O 中，C ，D 是直径AB 上的两点，且AC ＝BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，点M ，N 在⊙O 上．求证：AM ︵＝BN ︵.链接听课例1归纳总结图K －5－1214．2017·牡丹江如图K －5－13，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E . 求证：AD ＝BE .图K －5－1315．如图K －5－14，⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点分别为M ，N ，且AB ＝CD . 求证：∠AMN ＝∠CNM .图K －5－1416．如图K －5－15，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点．连接AB . (1)求证：AB 平分∠OAC ；(2)延长OA 至点P 使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．图K －5－15如图K －5－16，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是AB 上的两点，MC ⊥AB 交⊙O 于点M ，N ，PD ⊥AB 交⊙O 于点P ，Q .(1)求证：PM ＝QN ；(2)若AC ＝BD ，求证：AM ︵＝BP ︵；(3)若AM ＝MP ＝PB ，求证：C 是OA 的中点．图K －5－16详解详析[课堂达标] 1．[答案] D3．[答案] A4．[解析] C 连接OC ，OD.∵BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.又∵OA ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠A ＝60°.5．[解析] A ∵AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠COD ＝62°，可得∠AOD ＝56°，∴AD ︵的度数为56°. 6．[解析] D 如图，过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，OP ⊥BC ，垂足分别为M ，N ，P. ∵∠A ＝70°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝110°. ∵⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等， ∴OM ＝ON ＝OP ，∴O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴∠BOC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12×110°＝125°.7．[解析] D ∵AB ＝CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴AB ︵＝CD ︵，OM ＝ON ，∴PO 是∠BPD 的平分线，∴∠BPO ＝∠DPO ；易证△POM ≌△PON ，∴PM ＝PN ，∴PM －AM ＝PN －CN ，即PA ＝PC.综上所述，说法①②③④都正确．故选D.8．[答案] 答案不唯一，如AB ＝CD 9．[答案] 40[解析] ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.∵∠B ＝70°，∴∠C ＝∠B ＝70°，∴∠A ＝180°－2×70°＝40°. 10．[答案] 50°[解析] 连接CD ，∵∠A ＝25°，∠C ＝90°， ∴∠B ＝65°. ∵CB ＝CD ，∴∠B ＝∠CDB ＝65°， ∴∠BCD ＝50°， ∴BD ︵的度数为50°. 11．[答案] 16[解析] 以AB 为对称轴作点C 的对称点C ′，连接C ′D ，则CM ＋DM 的最小值为线段C ′D 的长． 又∵AC ︵＝CD ︵＝AC′︵＝60°，∴∠C ′OD ＝180°，即C ′D 是直径， ∴CM ＋DM 的最小值为16.12．解：(1)∵AD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠BOC. ∵∠COD ＋∠AOD ＋∠BOC ＝180°，∠COD ＝60°， ∴∠AOD ＝∠BOC ＝60°. 又∵∠AOE ＝∠BOC ，∴与∠AOE 相等的圆心角有∠AOD ，∠COD ，∠BOC. (2)∵与∠AOE 相等的圆心角有∠AOD ，∠COD ， ∴与线段AE 相等的弦有AD ，CD. 13．证明：如图，连接OM ，ON.∵AB 是⊙O 的直径，C ，D 是直径AB 上的两点，且AC ＝BD ， ∴OC ＝OD.在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ， ∴Rt △OMC ≌Rt △OND ， ∴∠COM ＝∠DON ，∴AM ︵＝BN ︵. 14．证明：如图，连接OC ，∵AC ︵＝CB ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.∵CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 和△COE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DOC＝∠EOC，∠CDO＝∠CEO，CO ＝CO ， ∴△COD ≌△COE(AAS)， ∴OD ＝OE.15．证明：连接OM ，ON ，如图．∵M ，N 分别为AB ，CD 的中点， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴∠AMO ＝∠CNO ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴OM ＝ON ， ∴∠OMN ＝∠ONM ， ∴∠AMN ＝∠CNM.16．[解析] (1)连接OC ，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，则∠AOC ＝∠BOC ＝60°，根据等边三角形的判定，可得△OAC 和△OBC 都是等边三角形，于是OA ＝AC ＝OB ＝BC ，因此四边形AOBC 是菱形，再由菱形的性质可得AB 平分∠OAC.(2)根据三角形内角和定理可计算出∠OCP ＝90°，再利用锐角三角函数的定义，可计算PC 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ， ∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. 又∵OA ＝OB ＝OC ，∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝OB ＝BC ，∴四边形AOBC 是菱形，∴AB 平分∠OAC. (2)由(1)知，△OAC 是等边三角形， ∴∠AOC ＝∠OCA ＝∠OAC ＝60°. ∵OA ＝AC ，OA ＝AP ，∴AP ＝AC ， ∴∠APC ＝∠ACP ＝12∠OAC ＝30°，∴∠OCP ＝∠OCA ＋∠ACP ＝60°＋30°＝90°.∴在Rt △OPC 中，PC ＝OC tan∠APC ＝1tan30°＝133＝ 3.[素养提升]证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，MN ⊥AB ，PQ ⊥AB ， ∴AM ︵＝AN ︵，BP ︵＝BQ ︵.∵AM ︵＋PM ︵＋BP ︵＝AN ︵＋QN ︵＋BQ ︵，∴PM ︵＝QN ︵，∴PM ＝QN.(2)连接OM ，OP ，如图所示．∵OA ＝OB ，AC ＝BD ，MN ⊥AB ，PQ ⊥AB ， ∴OC ＝OD ，∠MCO ＝∠PDO ＝90°. 又∵OM ＝OP ，∴Rt △MOC ≌Rt △POD ， ∴∠MOA ＝∠POB ，∴AM ︵＝BP ︵. (3)∵AB 是⊙O 的直径，AM ＝MP ＝PB ， ∴∠MOA ＝∠MOP ＝∠POB ＝60°. 又∵OM ＝OA ，∴△OMA 是等边三角形． 又∵MC ⊥OA ，∴C 是OA 的中点．。
《24.2.2圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》同步练习1
《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》同步练习一、选择题1．下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等2．如图所示，在⊙O中，，那么（）A．A B＞2CD B．A B＜2CD C．A B=2CD D．无法比较3．如图所示，AB是所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交，AC于C，D，AD的垂直平分线EF分别交AB，AB于E，F，DB的垂直平分线GH分别交，AB于G，H，则下面结论不正确的是（）A．B．C．E F=GH D．4．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有（）①；②∠AOD=∠DOC=∠BOC；③AD=CD=OC；④△AOD沿OD翻折与△COD 重合．A．4个B．3个C．2个D．1个5．下列命题是真命题的是（）A．相等的弦所对的弧相等B．圆心角相等，其所对的弦相等C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等D．弦相等，它所对的圆心角相等二、填空题6．A，B，C，D为圆上顺次四点，且弧AB，BC，CD，DA的度数之比为2：3：4：1，则∠AOB=_________度，∠DOA=_________度．7．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为_________度．8．如图，在⊙O中，，∠A=40°，则∠B=_________度．9．如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC=40°，则∠AOE的度数是_________度．10．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=_________度．三、解答题1．如图所示，⊙O在△ABC三边截得的弦长相等，∠A=70°，求∠BOC．。
上海教育版数学九下27.2《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》同步练习
27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、课本巩固练习1、如图，弧AB与弦AB那条长?为什么?2、在⊙O中，如果AB，CD是直径，那么图中相等的弧有哪些？为什么？3、如图，已知在⊙O中，AB，CD分别是弦，OE AB⊥,OF CD⊥,垂足分别是点E，F,请增加一个条件，使得OE OF=.4、已知：如图，⊙O的弦AB与CD相交于点P，OM AB⊥,ON⊥DC，垂足分别为M,N，且弧AD=弧BC，求证：OM=ON.二、基础过关第1题D第3题DAB一、选择题1. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧.其中正确的命题有（ ）个.A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列说法正确的是（ ）A. 弦是直径B. 半圆是弧C. 过圆心的线段是直径D. 圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆3. 在⊙O 中，圆心角BOA ∠是圆心角COD ∠的两倍，则下列式子中能成立的是（ ）A. 2AB CD =B. 2AB CD =C. AB CD =D. AB CD =4. 在⊙O 中，圆心角90AOB ∠=，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径长为（ ）A.D. 165．如图1，ABC ∆内接于⊙O ，445==∠，AB C 则⊙O 的半径为（ ） A ．22 B ．4C ．32D ．56．如图2，在⊙O 中，点C 是AB 的中点， 40=∠A ，则BOC ∠等于（ ） A ． 40 B ． 50 C ． 70 D ． 80图1 图2二、填空题.5. （1）圆上任意两点之间的部分叫做________；（2）连结圆上任意两点的线段叫做_________；过圆心的弦就 是__________；（3）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做_____________；（4）____________叫做优弧；____________叫做劣弧.6. 从圆心到弦的距离叫做_____________，它和所对的弦的位置关系是______________.7. 如图，在⊙O 中，AD 为直径，AOB BOC COD ∠=∠=∠，那么（1）AB 所对的圆心角是_______度；（2）与AB 相等的弧有_______________；（3）BD 与CO 的位置关系是__________.8. 如图，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦CE ∥AB ，40EOC ∠=，则BOC ∠=______________.9. 如图，已知CD 是⊙O 的直径，E 是圆上一点，且45EOD ∠=，A 是DC 延长线上一点，AE 与⊙O 交于点B ，如果AB=OC ，则_______EAD ∠=.10. 在半径是5的圆内，圆心角是100所对的弦长为____________（用锐角三角比表示）. 11.如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ， 55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠=________ 度． 12. 如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点， 130=∠D ，则BAC∠的度数是 ．13. 如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知第9题图第8题图第7题图AOEDCBA图13BC=8cm,DE=2cm ，则AD 的长为 .图11 图12三、解答题14. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，且AC=BD ，半径OE 、OF 分别过C 、D 两点.求证：AE BF =.15. 如图，已知⊙O 的半径OA 、OB ，C 在AB 上，CD OA ⊥于D ，CE OB ⊥于E ，CD CE =. 求证：AC BC =.16. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CO AB ⊥，D 是CO 的中点，DE ∥AB.求证：2CE AE =.第11题图第12题图BA第13题图17. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥于M ，DN AB ⊥于N. 求证：AC BD =.18、如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A ．B 和C ．D ，求证：AB=CD ．19、如图，EF 为⊙O的直径，过EF 上一点P 作弦AB ．CD ，且∠APF=∠CPF．求证：PA=PC ．20、如图，⊙O 的弦CB ．ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．第14题图AABEFO PC12DO ·CAEBD。
九年级数学上册24.1圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系、圆周角、圆的内接四边形试题
圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 圆周角 圆的内接四边形一、填空题1．圆的一条弦与直径成45°角;且把直径分成1cm 和5cm 长的两段;则这条弦的弦心距是________cm;这条弦长是_________cm 。
2．在⊙O 中;圆心角∠AOB=90°;点O 到弦AB 的距离为4;则⊙O 的直径的长为_______。
3．如图7—40;在⊙O 中;弦AB 所对的劣弧为圆周的41;圆半径为2cm;则圆心角∠AOB=______。
弦AB 的长为_______cm;AB 弦的弦心距为_______cm 。
4．如图7—41;弦AB 的长等于⊙O 的半径;如果C 是⋂AmB 上任一点;那么sinC=________。
5．如图7—42;四边形ABCD 是圆内接四边形;如果⋂BCD 的度数为240°;那么∠C=_______。
6．圆内接四边形ABCD 的内角∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶4;则∠A=________;∠D=_______。
二、选择题1．下列命题正确的是（ ）。
（A ）度数相等的弧是等弧 （B ）长度相等的弧是等弧 （C ）在同圆中;若⋂⋂=CD AB 2;则AB=2CD（D ）在同圆中;弧的度数相等;则它所对的圆心角相等2．在⊙O 中;A 、B 、C 、D 为圆上的点;且∠AOB=2∠COD 。
则下列式子能成立的是（ ）。
（A ）AB=2CD（B ）⋂⋂=CD AB 2（C ）⋂⋂<CD AB 2（D ）⋂⋂=CD AB3．在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦;则此弦所对的圆周角为（ ）。
（A ）60°或120°（B ）30°或150°（C ）60°（D ）120°4．如图7—43;AC 是⊙O 的直径;点B 、D 在⊙O 上;图中等于BOC ∠21的角有（ ）。
（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个5．如图7—44;已知AB 是半圆的直径;∠BAC=30°;D 是⋂AC 上任一点;那么∠D 的度数是（ ）。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—巩固练习(基础)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°2．⊙O中，M 为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定3．（2015•江干区一模）给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．三个点4．下列命题正确的是（）．A．经过三个点一定可以作圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．相等的弧就是等弧.5. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）A. 假设CD∥EF ;B. 假设AB∥EFC. 假设CD和EF不平行D. 假设AB和EF不平行6．下列语句中，正确的有（）个．（1）三点确定一个圆（2）平分弦的直径垂直于弦（3）相等的弦所对的弧相等（4）相等的圆心角所对的弧相等．A.0B.1C.2D.3二、填空题7. （2015秋•苍南县校级期末）已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为．8.①直径是弦；②经过三点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（填序号）．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .10．确定一个圆的两个条件是和，决定圆的位置，决定圆的大小.11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，BAOCDH（第9题图）且∠POM ＝45°，则AB ＝ .12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．（第12题图）三、解答题13.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行14.如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于F ，AE 为⊙O 的直径，试问两弦BE 与CF 的大小有何关系，说明理由．15．（2014•内江）如图所示，⊙O 半径为2，弦BD=2，A 为弧BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上，求四边形ABCD 的面积．‘【答案与解析】P OM N A B C D （第11题图）O M B A 1.【答案】A ；【解析】∵弦AB ∥CD ，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.2.【答案】C ； 【解析】 如图所示，连接AB 、AM 、BM ，在△ABM 中，AM+BM ＞AB,又AM=BM ，所以AB ＜2AM.答案为C.3.【答案】C ；【解析】A 、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B 、已知半径能确定半径的长，但不能确定圆心，故错误；C 、已知圆的直径既能确定圆的大小又能确定圆的位置，故正确；D 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，故选C ．4.【答案】C ；5.【答案】C ；【解析】用反证法证明CD ∥EF 时，应先假设CD 与EF 不平行．故选C ．6.【答案】A ；【解析】（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故本小题错误；（2）平分弦的直径，当被平分的弦是直径是直径不垂直于弦，故本小题错误；（3）相等的弦不在同圆或等圆中，所对的弧不一定相等，故本小题错误；（4）相等的圆心角不在同圆或等圆中所对的弧不一定相等，故本小题错误；综上所述，正确的有0个．故选A .二、填空题7．【答案】60°；【解析】∵弦AB 把圆周分成1：5的两部分，∴弦AB 所对的圆心角的度数=×360°=60°． 故答案为60°．8．【答案】①③；9．【答案】60°；10．【答案】圆心，半径；圆心，半径11．【答案】；【解析】如图，设AB ＝x ，在Rt ⊿AOD 中: x²+（2x ）²＝5²， x ＝, 即 AB 的长＝.第11题 第12题12．【答案】90° ；【解析】如图，连结AB 、BC ，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.13. 【答案与解析】已知如图所示，直线L1、L2被直线L3所截，∠1+∠2=180°求证：L1∥L2证明：假设L1、L2不平行，即L1、L2相交于P点，则有∠1+∠2+∠P=180°∴∠1+∠2＜180°，这与已知条件∠1+∠2=180°矛盾，∴假设不成立，结论成立即直线L1∥L214.【答案与解析】BE=CF．理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABE=90°=∠ADC，又∠AEB=∠ACB，∴∠BAE=∠CAF，∴»»BE CF．∴BE=CF．15.【答案与解析】解：连接OA交BD于点F，连接OB，∵OA在直径上且点A是弧BD中点，∴OA⊥BD，BF=DF=在Rt△BOF中由勾股定理得OF2=OB2﹣BF2OF==1∵OA=2∴AF=1∴S△ABD==∵点E是AC中点∴AE=CE又∵△ADE和△CDE同高∴S△CDE=S△ADE∵AE=EC，∴S△CBE=S△ABE．∴S△BCD=S△CDE+S△CBE=S△ADE+S△ABE=S△ABD=∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=2．。
四组量关系
弦、弦心距、弧、圆心角的关系一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A．AB=2CD B．AB >CD C．AB <2CD D．不能确定3．如图5，⊙O中，如果AB=2AC，那么（）．A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2ACBA(5) (6)4.如图，在半径为2cm的⊙O内有长为cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为( ).(A) 60°(B)90°(C)120°(D)150°5.下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等6.下列命题中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对二、填空题1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．(3) (4)4.⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．5.判断题（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等 （ ） 三、解答题1.已知：如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，∠AOC=∠BOC ，M 、N 分别为OA 、OB 的中点．求证：MC=NC ．2.如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC 、EB 、DF 是否相等？为什么？3.如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N •在⊙O 上．（1）求证：AM =DN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则 AM MNNB ==成立吗？BA4.如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求 BE的度数和 EF 的度数．5.．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．O6.如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．7.如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．NP。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》习题 1．下列说法中正确的是（ ）．
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．等弧所对的圆心角相等
C ．相等的弦所对的弦心距相等
D ．弦心距相等，则弦相等
2．在半径为5cm 的圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）．
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
3．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3
1，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm
5．弦AB 把⊙O 分成1∶2两部分，AB ＝8cm ，则弦AB 的弦心距等于___________．
6．直径为20cm 的圆中，有一条长为310cm 的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________．
7．在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB ＝50°，则弦AB 所对的圆心角的度数是___________，弦AB 所对的两条弧的度数是___________．
8．在⊙O 中，OC 是半径，弦EF 过OC 的中点且垂直于OC ，则弦EF 所对的圆心角的度数是___________，弦EF 的弦心距和弦EF 的长的比是___________．
9．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连结CE 、BC ，求证：BC ＝CE ．（用两种方法加以证明）
感谢您的阅读，祝您生活愉快。