第一章 概率论与数理统计1

概 率 论

第一章 随机事件与概率

例1 设B A ,为随机事件，已知()

4.0,6.0)(,

5.0)(===A B P B p A P ，求 1) )(B A P + 2) )(B A P 3) ()B A P 4) )(B A P - 5) )(B A P +

例2 6个不同的球，投入编号为1到7的7个空盒中，求下列事件的概率：1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球

例3 袋中有两个5分的，三个贰分的，五个1分的钱币。任取其中5个，求钱额总数超过壹角的概率。

例4 验收一批共有60件的可靠配件，按验收规则，随机抽验3件，只要3件中有一件不合格就拒收整批产品，假设，检验时，不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ，而合格品被判为不合格品的概率为0.01，如果在60件产品中有3件不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？

例5 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有2件残品，且含0，1和2件残品的箱各占80%，15%和5%。现随意抽取一箱，从中随意检验4只，若未发现残品则通过验收，否则逐一检验并更换。试求：1）一次通过验收的概率 2）通过验收的箱中确无残品的概率。

例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10人中至少有4人治好，则认为这种药有效，反之，则无效，求：1）虽然新药有效，且把痊愈的概率提高到35%，但经过验收被否定的概率；2）新药完全无效，但经过试验被认为有效的概率。

例7 设B A ,是两个事件，0)(,0)(21>=>=P B P P A P ，且121>+P P ，证明：1

211)(P P A B P --≥ 例8 已知161)()(,0)(,41)()()(====

==BC P AB P AB P C P B P A P ，求C B A ,,全不发生的概率。

例9 在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们能构成三角形的概率。

例10 设有三门炮同时对某目标射击，命中的概率分别为0.2，0.3，0.5，目标命中一发被击毁的概率是0.2，命中两发被击毁的概率为0.6，命中三发被击毁的概率为0.9，求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。

例11 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。现该厂生产了)2n(n ≥台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：

1） 全部能出厂的概率； 2）其中恰好有两件不能出厂的概率； 3）其中至少有两件

不能

出厂的概率。

例12 某型号的高炮，每门炮发射一发击中飞机的概率是0.6。现若干门炮各发射一发，问

欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需配置几门炮？

习 题

一 填空题

1 设B A ,为随机事件，,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则()______=B A P

2 设事件B A ,相互独立，已知,8.0)(,

5.0)(==B A P A P 则()______=B A P ()______=B A P

3 设B A ,是两个任意不相容的事件，则________)(=-B A P

4 设B A ,是两个随机事件，已知()

7.0,4.0)(,3.0)(===B A P A B P B A P ，则 _______)(=+B A P

5 设41)()()(===C P B P A P ，81)()()(===BC P AC P AB P ，161)(=ABC P ，则 _______)(=C B A P ________)(=C B A P P(C B A ,,恰好发生一个)=________ P(C B A ,,至多出现一个)= ________ ()_______=C B A A P

6 一射手对同一目标射击4次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一

次的一射手对同一目标射击4次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一次的概率是81

80，则该射手的命中概率是________ 7 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是________

8 通信渠道传递15个信号，假设每个信号在传递过程中失真的概率为P ，若C B A ,,分别表示A ：无一信号失真；B ：恰有一信号失真；C ：两个以上信号失真，则____)(=A P ____)(=B P ____)(=C P

9 两封信随机地投入已标号为1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒刚好只投入一封信的概率为________

10 有k 个袋子，每个袋内均有n 张卡片，分别编有号码1，2，n , 。现在从每个袋中各取1张卡片，则取到卡片上的最大编号不超过2+m ，且不小于m 的概率为________

11 在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格边长为________时，才能使硬币不与线相交的概率不小于1%

12 甲、乙两射手对同一目标进行射击，甲射手的命中率为1P ，乙射手的命中率为2P ，

)1,0(21<

二 选择题

1 设B A ,为任意两个事件，且0)(,>⊂B P B A ，则下列成立的是（ ）

A ）)()(

B A P A P < B ）)()(B A P A P ≤

C ）)()(B A P A P >

D ）)()(B A P A P ≥ 2 设B A ,满足1)(=A B P ，则（ ）

A ）A 是必然条件

B ）0)(=A B P

C ）B A ⊃

D ）)()(B P A P ≤

3 对事件B A ,，下列命题正确的是（ ）

A) 事件B A ,互不相容，则事件B A ,也互不相容。 B) 如果B A ,相容，则B A ,也相容。

C) 如果B A ,互不相容，且,0)(,0)(>>B P A P 则B A ,相互独立。

D)若B A ,相互独立，则B A ,也独立。

4 设B A ,C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且,)()()(x C P B P A P ===则x 的最大值为（ ）

A) 21 B ) 1 C) 31 D) 4

1 5 已知B A ,C 为任意三个随机事件，则[]))((C A B A P -+等于（ ）

A) )()()()(ABC P AB P AC P A P -+- B) )()()()(ABC P AB P AC P A P --+

C) )()()(ABC P AC P A P +- D) )()(AC P A P -

6 10张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买一张，则前三个购买者中恰有一个中奖的概率为（ ）

A) 3.07.02310⨯⨯C B) 3.0 C) 407 D) 4021

三、解答题

1 袋中有8蓝2白共10个球，从中无放回地任取2次 ，每次任取一球。求下列事件的概率

1） 两次都是蓝球 2）两次中恰有一次取得蓝球 3）至少一次取得白球

4）第2次取到白球

2 现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有1红一黑2个球，2号盒中有4白4蓝共8个球，3号盒中有6白2蓝共8个球；先从1号盒中任取一球，如取得红球，则再从2号盒中任取一球；如取得黑球，则再从3号盒中任取一球，求：1）取得白球的概率 2）从3号盒中取得白球的概率。3）若取得的是白球，求它是从3号盒中取出的概率。