材料的许用应力和安全系数计算三角

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第四节 许用应力·安全系数·强度条件. 强度计算。三角函数

由脆性材料制成的构件,在拉力作用下,当变形很小时就会突然断裂,脆性材料断裂时的应力即强度极限σb ;塑性材料制成的构件,在拉断之前已出现塑性变形,在不考虑塑性变形力学设计方法的情况下,考虑到构件不能保持原有的形状和尺寸,故认为它已不能正常工作,塑性材料到达屈服时的应力即屈服极限σs 。脆性材料的强度极限σb 、塑性材料屈服极限σs 称为构件失效的极限应力。为保证构件具有足够的强度,构件在外力作用下的最大工作应力必须小于材料的极限应力。在强度计算中,把材料的极限应力除以一个大于1的系数n (称为安全系数),作为构件工作时所允许的最大应力,称为材料的许用应力,以[σ]表示。对于脆性材料,许用应力

(5-8)

对于塑性材料,许用应力

(5-9)

其中、分别为脆性材料、塑性材料对应的安全系数。

安全系数的确定除了要考虑载荷变化,构件加工精度不同,计算差异,工作环境的变化等因素外,还要考虑材料的性能差异(塑性材料或脆性材料)及材质的均匀性,以及构件在设备中的重要性,损坏后造成后果的严重程度。

安全系数的选取,必须体现既安全又经济的设计思想,通常由国家有关部门制订,公布在有关的规范中供设计时参考,一般在静载下,对塑性材料可取;脆性材料均匀性差,且断裂突然发生,有更大的危险性,所以取,甚至取到5~9。 为了保证构件在外力作用下安全可靠地工作,必须使构件的最大工作应力小于材料的许用应力,即

(5-10)

上式就是杆件受轴向拉伸或压缩时的强度条件。根据这一强度条件,可以进行杆件如下三方

面的计算。

1.强度校核 已知杆件的尺寸、所受载荷和材料的许用应力,直接应用(5-10)式,验算杆件是否满足强度条件。

2.截面设计 已知杆件所受载荷和材料的许用应力,将公式(5-10)改成

由强度条件确定杆件所需的横截面面积。

3.许用载荷的确定 已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力,由强度条件

确定杆件所能承受的最大轴力,最后通过静力学平衡方程算出杆件所能承担的

最大许可载荷。

例5-4 一结构包括钢杆1和铜杆2,如图5-21a 所示,A 、B 、C 处为铰链连接。在

b

b

n σσ=

][s

s

n σσ=

][b n s n 0.2~5.1=s n 0.5~0.2=b n ][max

max σσ≤=

A N ][σN A ≥

][max σA N ≤

节点A 悬挂一个G=20kN 的重物。钢杆AB 的横截面面积为A 1=75mm 2,铜杆的横截面面积为A 2=150mm 2。材料的许用应力分别为=160MPa ,=100MPa ,试校核此结构的强度。

图5-21

解:(1)求各杆的轴力

取节点A 为研究对象,作出其受力图(图5-21b ),图中假定两杆均为拉力。由平衡方程

解得

两杆横截面上的应力分别为

由于,故此结构的强度足够。

例5-5 如图5-22a 所示,三角架受载荷Q=50kN 作用,AC 杆是圆钢杆,其许用应力=160MP a ;BC 杆的材料是木材,圆形横截面,其许用应力=8MP a ,试设计两杆的直径。

][1σ][2

σ045sin 30sin ,

012=︒-︒=∑X N N 030cos 45cos ,021=-+=∑Y G N N kN 4.101=N kN 6.142=N a

a A N MP =P ⨯⨯==-1391075104.106

3

111σa

A N MP =⨯⨯==-6.9710150106.146

3

222σa a M P =

[1σ][2σ

图5—22

解: 由于、已知,故首先求出AC 杆和BC 杆的轴力N 1和N 2,然后由

求解。

(1) 求两杆的轴力

取节点C 研究,受力分析如图5-22b ,列平衡方程

解得

解得

N AC =Q=50kN (拉)

N BC = - N AC = -50kN (压)

(2) 求截面直径

分别求得两杆的横截面面积为

直径

例5-6 图5-23所示某冷镦机的曲柄滑块机构,镦压时,截面为矩形的连杆AB 处于

水平位置,高宽比h/b=1.2,材料为45钢,许用应力[σ]=90MPa 。若不考虑杆的自重,已知

镦压力P=4500kN ,试按照强度条件确定h 、b 的大小。

][1σ][2σ]

[111σN ≥

A ]

[222σN ≥

A 030cos 30cos ,0=--=∑X ︒︒BC AC N N AC BC N N -=030sin 30sin ,0=--=∑Y ︒︒Q N N BC AC 2

242

6

32222

242

6

311

1cm 5.62m 105.62m 1081050][cm 13.3m 1013.3m 10

1601050][=⨯=⨯⨯=≥A =⨯=⨯⨯=≥A --σσN N cm

9.84,

cm 0.242

21

1≥=

≥=

π

π

A d A d

图5-23

解:如图5-23b 所示,AB 杆为轴向压缩,由截面法可得连杆的轴力数值大小为

N=P=4500kN

将强度条件改写为

,由于,所以

h=1.2b 0.245m

例5-7 图5-24a 所示的三角架由钢杆AC 和木杆BC 在A 、B 、C 处铰接而成,钢杆

AC 的横截面面积为A AC =12cm 2,许用应力[σ1]=160MP a ,木杆BC 的横截面面积A BC =200cm 2,许用应力[σ2]=8MP a ,求C 点允许起吊的最大载荷P 为多少?

图5-24

解: (1)求AC 杆和BC 杆的轴力

取节点C 研究,受力分析如图5-24b 所示,列平衡方程

-N AC cos300-N BC =0 N AC sin300 - P=0

解得

(2)求许可的最大载荷

P

][σN

A ≥

22.1b bh A ==2

2.1b ][σN ≥

m

204.0m 10902.1104500][2.16

3

=⨯⨯⨯=≥σN b

≥,0=∑X ,0=∑Y )(3)

(2压拉P N P N BC AC -==

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