晶格振动 (2.双原子模型)
位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线
位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线一维双原子链是研究晶格振动的常见模型之一，其可用于解释晶体的声学和光学性质。
在研究晶格振动的过程中，色散曲线是一个重要的参考内容，它描述了晶格振动的频率与波矢之间的关系。
本文将介绍一维双原子链的晶格振动色散曲线的相关内容。
一维双原子链是由两种原子按照ABAB...的周期性排列形成的周期性结构。
为了便于分析，我们假设这两种原子的质量分别为m1和m2，弹性常数分别为k1和k2。
通过应用牛顿定律和胡克定律，可以得到一维双原子链中晶格振动的运动方程。
在固体物理学中，将波的传播方向为x轴，位置为x的原子质点振动的位移为u(x, t)，根据牛顿定律和胡克定律，可以得到一维双原子链的晶格振动的运动方程为：m1∂²u(x, t)/∂t² = k1[u(x+a, t) - u(x, t)] + k2[u(x-a, t) - u(x, t)]m2∂²u(x, t)/∂t² = k2[u(x+a, t) - u(x, t)] + k1[u(x-a, t) - u(x, t)]其中，a为晶格常数，表示相邻原子之间的距离。
通过将位移u(x, t)展开为平面波的形式，可以将上述两个方程变换为光学模式和声学模式的形式，从而得到晶格振动的色散关系。
对于光学模式，位移u(x, t)可以表示为：u(x, t) = A1exp[i(kx-ωt)] + A2exp[-i(kx-ωt)]其中，A1和A2为振幅，k为波矢，ω为角频率。
将该位移代入运动方程中，可以得到：m1ω² = 2k1 - 2k1cos(ka)m2ω² = 2k2 - 2k2cos(ka)并且，根据周期性边界条件，可以得到波矢k满足的条件为：exp(ika) + exp(-ika) = 2cos(ka) = -m2/m1通过解以上方程组，可以得到光学模式的色散关系，即角频率ω与波矢k之间的关系。
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
晶格振动模式密度
热力学
热容量
晶格振动模式密度可以影响固体 的热容量，通过分析晶格振动模 式密度，可以更准确地描述固体
热容量的变化规律。
热传导
晶格振动模式密度对热传导过程也 有重要影响，它决定了固体内部热 能传递的速率和方式。
相变
晶格振动模式密度在相变过程中扮 演着重要角色，可以影响相变温度 和相变过程中的能量变化。
根据晶体的结构和对称性，建立晶格模型 。
根据原子间的相互作用势，确定原子间的 相互作用。
3. 求解振动方程
4. 计算振动模式密度
根据晶格模型和原子间的相互作用，求解 晶体的振动方程。
根据求解得到的振动方程，计算晶体的振 动模式密度。
结果分析
振动模式密度的分布
振动模式的能量分布
分析计算得到的振动模式密度在晶格 中的分布情况，了解晶体的振动特性。
CHAPTER
材料科学
材料性质预测
晶格振动模式密度可用于预测材 料的物理性质，如热导率、弹性 常数等，有助于材料设计和优化 。
相变研究
通过研究晶格振动模式密度随温 度的变化，有助于理解材料的相 变行为，如金属向绝缘体的转变 等。
环境科学
污染物扩散
晶格振动模式密度可以影响气体在材料中的扩散系数，对于 理解污染物在环境中的传播和扩散具有重要意义。
光学
光的吸收和散射
晶格振动模式密度对光与物质相互作用过程中的吸收和散射有重 要影响，可以改变光的传播方向和强度。
光的折射和反射
晶格振动模式密度可以影响光的折射和反射，从而改变光在物质表 面的行为。
非线性光学效应
通过研究晶格振动模式密度，可以深入了解非线性光学效应的机制， 为新型光学材料和器件的开发提供理论支持。
§3-2 一维双原子链的晶格振动
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。
(二) .长波极限
当|q∣→0, λ→∞时, 相邻原胞间的振动相位差qa→0。 利用 cosqa ≈1 －（1/2）（qa）2 （1－x）1/2 ≈1－(x/2) （x为小量） 式（3－23）中 ωA2=（β1＋β2）/m- (β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可简化为
2 1 A＝ m
12
(3-33)
即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙” 在第一布里渊区边界上，由式（3－30）
A2 1e 2 iqd e iqa A 1e 2 1
iqa
可得 对光学支 A2＝－A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈－A1 对声学支 A2＝A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈A1 由于q→π/a，相邻原胞运动的相位差 qa→π。
(3-30)自推
正号对应声学支，负号对应光学支。当q→0时 A 2＝A 1 声学支 A2＝－A1 光学支 在长波极限情况下，
声学格波描写原胞内原子的同相运动， 光学格波描写原胞内原子的反相运动。
两支格波最重要的差别：
分别描述了原子不同的运动状态。
参见FD动画
45
（三）. q趋近第一布里渊区边界
三维晶体：原胞的总自由度数为3S,则 晶体中原子振动可能存在的运动形式 就有3S种，用3S支格波来描述。其中 在三维空间定性地描述原胞质心运动 的格波应有3支，也就是说应有3支声 学格波，其余3（S-1）支则为光学格 波。例如硅晶体属于金刚石结构，每 个初基原胞含两个原子，即S=2 , 它有 3支声学格波和3支光学格波。
晶格震动与声子理论
晶格震动与声子理论晶格震动是在固体中传播的一种能量传递方式，它与固体的物理性质以及热学性质密切相关。
声子理论则是描述晶格震动的理论模型，通过声子理论可以深入理解固体的热导率、比热容等性质。
一、晶格震动的基本概念晶体是由多个离子或原子组成的周期性排列结构，通过共价键或者离子键相互连接。
在晶体结构中，原子相对位置是固定的，但是它们仍然能够发生小幅度的振动，也称为晶格震动。
晶格震动可以看作是晶体中原子粒子的一种集体运动，这种运动反映了晶体中粒子固有的势能曲线和受到的限制。
二、声子理论的基本原理声子是描述晶格振动的基本概念，也称为晶格振动子。
在声子理论中，晶体的振动被描述为一系列离散的模式，每个模式都有特定的频率和振幅。
声子理论可以用简谐振动模型来描述，即将晶体中的每个原子近似看作一个简谐振子。
根据经典力学，每个原子的振动可以用哈密顿量来描述，而哈密顿量由原子之间的相互作用势能确定。
声子的能量与频率之间存在关系，即E=hf，其中E为能量，h为普朗克常数，f为频率。
由此可见，声子的频率与晶体的化学成分、晶格结构及其形变等因素都有关系。
三、晶格震动对固体性质的影响晶格震动对固体性质的影响非常重要。
首先，声子的频率和波矢决定了固体的热导率。
声子在固体中的传播受到一些散射机制的影响，如声子-声子散射、声子-杂质散射、声子-晶格缺陷散射等。
这些散射过程会导致声子的传播速度减小，从而造成热阻力的增加。
其次，晶格震动对固体的比热容有着重要影响。
根据热力学理论，固体的比热容与其内部能量和自由度有关。
晶格震动可以激发固体中的原子或离子在空间中振动，增加了固体的自由度，从而增大了比热容。
另外，晶格震动还对固体的电子结构和光学性质等方面产生重要影响。
声子的振动会引起准粒子（如声子极化子）的激发，并且可以调控固体中的电子动量和波矢，从而影响固体的导电性和光学特性。
四、声子理论的应用声子理论在凝聚态物理、材料科学和固体电子学等领域都有广泛的应用。
晶格振动模式
2 (m M )
(q)
mM
2
m
2
q
M
2a
2a
0
2a
q
2a
称为一维复式晶格的 第一布里渊区
一维复式晶格的色散关系曲线
即一维复式晶格的倒格子原胞
如m<M，色散关系中存在频隙
周期性边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，
每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的
布拉菲晶格： xn Aei(qnat)
复式晶格：
x2n Aei(q2nat )
x Be 2n1
i[q(2n1)at ]
一组确定的q, 决定一种格波，或振动模式。
每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是
表示整个晶体所有原子都参与的频率 ，初相位
的振动，也称为一个振动模式。
有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N 种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。
晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示
方程的一般解可表示为特解的线性叠加
3N
qk AklSin(lt l ) k 1,2,,3N l 1
模式，即代表一种格波。
例如：
q,
1 2
a
,
2
m
长波极限， ,q 0 整个晶格象刚体一样作整体运
动,因而恢复力为0,故 0 2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
物理学中的晶格动力学
物理学中的晶格动力学晶格动力学，是研究晶体内部原子和分子振动、相互作用以及热力学性质的学科。
在传统物理学中，固体的研究大多侧重于宏观物理性质，并将原子和分子看作独立的粒子。
然而，在晶体内部，原子和分子之间的相互作用十分复杂，需要采用动力学模型来描述晶体性质。
本文将介绍晶格动力学的基本概念和工具，以及该领域的研究进展。
1. 晶格振动和声子晶格振动是晶体中原子和分子之间的振动，可以分为纵波和横波两种。
在简单晶体中，振动可以用简谐振动的方法来描述。
而在复杂的晶体中，振动可以相互耦合，难以用简单模型描述。
因此，研究晶格振动需要引入声子的概念。
声子是晶体中的电子和原子振动的基本激发。
简单来说，声子就是晶体中的声波，只不过是由原子和分子的振动构成的。
每个振动模式可以看作是一种声子，具有特定的振动频率和能量。
通过计算声子的能级和频率，可以得到晶体的热力学性质，如热容和热传导系数。
2. 声子的描述和计算方法声子的描述需要用到量子力学中的量子化方法。
从正则量子化方法出发，可以得到晶体中的声子将会被量子化为一系列的振动模式，而每个振动模式都有一个特定的频率和能量。
声子的频率和能量与晶体内部的几何构型紧密相关，因此对于不同的晶体结构，其声子的频率和频谱也有所不同。
计算声子的频率和振动模式需要使用到晶格动力学理论。
该理论可以根据晶体原子间的相互作用势能推导出局部振动的能量和频率，从而描述无数个晶体原子间振动的整体频率分布。
具体来说，晶格动力学理论将晶体内部的原子或者分子看成是一系列的弹性小球，并描述其在相互作用水平上的弹性运动。
该运动由牛-威-平当前向方程描述，并可以得到晶体内部的声子频率、振动模式和产生热力学效应的方法。
3. 晶格动力学的应用晶格动力学广泛应用于材料科学，尤其是对材料的力学性能、热力学性能进行研究。
例如，晶格动力学可以用于研究晶体的热导率，从而帮助设计更高效的热管理材料。
另外，晶格动力学还可以用于研究晶体的声学性能，例如声信号传递和控制。
晶格振动的经典理论
这种性质称作格波的简约性。一维 单原子链的倒格矢：
第十四页，共65页。
Gn
n 2
a
1 4a
2
4 5
a
q1
2 1
2a
q2
2 2
5 2a
参考黄昆书 p85 图
由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状
态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性
波的重大区别。
第十五页，共65页。
β称为恢复力常数
d 2V dr2
a
第十页，共65页。
如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原子受到的力：
f n f 1 f 2 n n 1 n n 1 n 1 n 1 2 n
于是第n个原子的运动方程可写为：
mdd22tnn1n12n
一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有 同样的方程，所以它是和原子数目相同的 N个联立的线性齐 次方程。
其中L1、L2、L3＝0，±1, ±2 ······，b1、b2、b3是倒格子基矢，
N1，N2，N3是a1，a2，a3方向的初基原胞数。
第二十页，共65页。
每一组整数（L1,L2,L3 ）对应一个波矢量q。将这些波矢在倒
空间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个点所占的“体
积”等于“边长”为(b1/N1)、(b2/N2)、(b3/N3)的平行六面体 的“体积”，它等于：
第二十三页，共65页。
vs
Y
a m
a
随着 q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里
渊区边界，格波频率达到极大值。
q a
max
4
m
相速和群速：
晶格振动谱实验测定方法
qy
K h q1
q3
q2
q1 + q2
qx
正常散射过程的结论
p2 p2 (q)
2m 2m
p
p'
q
Gn
1 2m
p
2
p
2
q
1
p
p
晶格振动谱的测定
（1）测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
（2）确定声子的频率
E 'n En (q)
根据入射中子和散射中子方向的几何关系
k
q
k
k k
q
固定入射光的频率和入射方向，测量不同方向的散射光的频率，可以得到 声子的振动谱
布里渊散射
☆光子与长声学波声子相互作用 --光子的布里渊散射 长声学波声子
光子的频率
k
q
k
光子被长声学波声子散射，入射光子与散射光子的波矢大小近似相等
☆长声学波声子波矢的模： ☆长声学波声子波矢的方向：
2. 态密度： g (ω) = f (ω)
测定的原理：通过辐射波和晶格振动的相互作用来完成。
研究声子谱（振动谱）的实验方法
其中最重要、最普遍的方法是：
Far- Infrared and
电 磁
Infrared Spectroscope
波 Raman Spectroscope
Brilouin Spectroscope
Diffuse X-Ray Scattering
(FIR) (IR) (R) (B)
远红外和红外光谱 喇曼光谱 布里渊散射谱 X 射线漫散射
Inelastic neutron Scattering Ultrasonic methods
一维双原子链的晶格振动
22 //N aa N
2020/4/1
注意:
• 这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对 应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q）， 所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个 简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时 ，晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振 能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光 谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这 种特点，所以称ω0 所对应的格波为光学波。 现在来考察一下两种原子的振幅比。把
式（3－23）代入（3－22）可得
A2 A1
2020/4/1
1eiq a 1eiq a
e 2 iqd
§3－2 一维双原子链的晶格振动
一、模型与色散关系
设一维晶体由N个初基原胞组成，每个初基 原胞有二个质量相等的原子，分别用A与B表 示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹 性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右 侧B原子距离为d，弹性系数为β2 ，与其左侧 B原子的距离为（a-d）弹性系数为β1，为确定 起见，并设d<（a-d），β1<β2。
（3－23）
即有两支ω～q 的色散关系。
当取“－”号时，ω记为ωA，称为声学支 取“＋”号时，ω记为ω0，称为光学支
2020/4/1
2020/4/1
声学支（Acousticbranch）
ωA2=（β1＋β2）/m -(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m
它具有q=0时，ωA ＝0的特征。 而光学支（Optical branch）格波
2020/4/1
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
晶格振动对晶体的许多性质有影响
若A、B有异于零的解，则其行列式必须等于零，
即
2ks-m2 -2kscosqa
-2kscosqa 2ks-M2
得： 2={(m+M)[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系， 即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于 一维简单晶格，只能存在一种 格波）。两种不同的格 波各有自己的色散关系：
四、 周期性边界条件（波恩—卡门边界条件）
由振动 波函数单值的要求，对波矢的取值范围进行了 限定:一维不喇菲格子，q介于(-/a, /a)之间;一维双原 子的复式格子，q介于(-/2a, /2a)之间.
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成 如下面所述的周期性边界条件模型（包含N个原胞的环 状链作为有限链的模型）：
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动， 其结果表现为晶格中的格波。
一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简 谐平面波的线性叠加。
当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简 谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认 为它们的存在是相互独立振动的模式。
例如：波矢q´ =/2a原子的振动同样可以当作波矢q =5/2a的原子的振动（ q -q´ =2/a）。
•
•••
红线： q =5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相 差是2+ /2。
•
绿线： q´ =/2a，=4a
两相邻原子振动的位相
差是/2。
格波与一般连续介质波的比较
A：振幅； ：角频率； 0 1 2 3 4 n：1，2，3，4……N； aq：相邻原子的位相差； naq：第n个原子振动的位相差。 此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。
固体物理学中的晶格振动
固体物理学中的晶格振动在固体物理学中，晶格振动是一个重要而有趣的研究领域。
晶格振动指的是晶体中原子或离子在其平衡位置附近发生的微小振动。
这种振动是由于原子或离子之间的相互作用而产生的。
晶格振动广泛应用于各种领域，如材料科学、固体力学和纳米技术等。
本文将介绍晶格振动的基本原理和应用。
晶格振动的基本原理是基于区域平衡理论。
根据这个理论，晶体中的每个原子或离子都处于一个平衡位置，附近的原子或离子对其施加一个平衡力。
当原子或离子受到微小扰动时，平衡力会使其回到平衡位置，并且会引起周围原子或离子的扰动。
这种扰动会在整个晶体中传播，形成晶格振动。
晶格振动有两种基本类型：声子振动和光子振动。
声子振动是通过晶体中的弹性介质传播的机械波。
它的频率和波矢由晶体的结构确定。
光子振动是通过晶体中的电磁介质传播的电磁波。
它的频率和波矢由晶体的电子结构和禁带结构决定。
晶格振动在材料科学中有广泛的应用。
例如，在合金的研究中，了解晶格振动对合金的力学性能和热学性能的影响非常重要。
通过研究晶格振动，可以预测合金的热膨胀性质、热导率和声速等。
这对于材料的设计和制备具有重要意义。
此外，晶格振动还在固体力学中起着重要作用。
晶格振动对晶体的弹性性能和声学性能有直接影响。
通过研究晶格振动，可以预测晶体的弹性恢复和声学传播特性，这对于材料的强度和稳定性分析非常重要。
晶格振动在纳米技术中也发挥了关键作用。
由于纳米材料的尺寸非常小，其表面与体积之比很大，晶格振动对它们的性质有显著影响。
例如，纳米材料的热导率会因为晶格振动的限制而降低。
这一特性被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
尽管晶格振动在许多领域中都起着关键作用，但要准确地描述和理解它仍然具有挑战性。
由于晶格振动是一个多粒子系统，需要考虑到多个原子或离子之间的相互作用和非线性效应。
因此，研究晶格振动需要使用复杂的数学模型和计算方法。
总之，晶格振动在固体物理学中是一个重要的研究领域。
通过研究晶格振动，我们可以更好地理解晶体的性质和行为，并在材料科学、固体力学和纳米技术等领域中应用这一知识。
3.1一维晶格振动
注意：晶格振动波矢只能取分立的值
由于
π π q a a 2 h 即 a Na a N N 所以 h 2 2
结论：由 N 个原胞组成的一维单原子链，波矢 q 可以取 N 个
不同的值，每个q对应一个格波，共有N个不同的格波。 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目 每个q对应一种频率，即对应于一种振动模，即由N个原胞 组成的一维单原子链具有 N 种振动模 , 对应着该晶体中的自 由度数。
N个原子有限链 玻恩---卡门周期性边界条件
(2)波矢q的取值 考虑到链的循环性，晶体中任一个原子，当其原胞标数增 加N（N为晶体中原胞的个数 ）后，其振动情况复原。由玻 恩---卡门周期性边界条件，在由N个原胞组成的单原子链中：
n n N A exp[i(t naq)] A exp{ i[t (n N )aq]} exp(iNaq) 1 cos Naq i sin Naq 1 Naq 2h （h为任意整数）
2
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结
为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
则有
1 u (r ) u (a) 2 2
在上述近似下，相邻原子间的相互作用力:
du du f dr d
β被称为弹性恢复力系数或力常数。弹性恢复力系数
下面考察第n个原子的经典运动方程,它受到左右两个近邻 原子对它的作用力： 左边第n-1个原子与它的相对位移和作用力：
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近 似），电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例：
q1
q2
2
1
2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
第三章晶格振动
2
aq
sin
m
2
2.色散关系
当
q
a,max源自2;m当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
2π / a
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q, q 2π s ( s为整数), a
m
M
m 2
M
2
2m M
4m M(aq) 2
1 2
mM
mM
m
M
m
M 1
4m M
m M 2
(aq)
2
1
2
mM
m
M m M 1
2m M
m M 2
(aq)2
mM
2mM
m M
(aq)
2
A
2
aq mM
vpq
2
vp
a mM
(2)相邻原子的振幅之比
2 cosaqA M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cosaqB 0
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力 常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aei t naq
将试探解代入振动方程得色散关系:
子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格
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本征方程
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
本征方程
2 M
2
2 cos( qa ) 2 m
2
2 cos( 2
( M m ) M Mm
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
• 由
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
• 可得
A B
2 M
2
2 cos( qa )
0
• 因为对光学支 min ( q )
2 m
• 所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的 振幅方向相反
a
qa
声学 ( q ) 光学 ( q )
2 M 2 m
光学 ( q )
常数 !
LO: 纵光学支 (lognitudinal optical ramus)
LA: 纵声学支 (lognitudinal acoustical ramus)
(二）
晶格振动，声子(II)
2、一维双原子链的晶格振动
2、一维双原子链的晶格振动 M
2n-2 平衡时 振动时偏离 平衡位置
d x2n dt
2 2 2
2n-1
2n
2n+1 2n+2
m
a
x2n-1 x2n
x2n+1 x2n+2
M
( x 2 n 1 x 2 n ) ( x 2 n 1 x 2 n ) ( x 2 n 2 x 2 n 1 ) ( x 2 n x 2 n 1 )
2
• 由
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
• 可得
A B
2 cos( qa ) 2 m
2
0
• 因为对声学支 max
(q )
2 M
• 所以振幅之比大于零，这表示相邻不同原子的 振幅都有相同的方向，代表质心的振动
振幅之比——光学支
2
m 2 Mm cos( qa )
2
1/ 2
2 (q ) (1
2 sin ( qa / 2 ) 1 4 Mm
1 2 2
Mm M m
约化质量 边界 q
1 2
长波近似
q 0
2 声学 ( q ) M m 2
纵振动
横振动
声学支 质心运动
光学支 原子的相对运动
LA
LO
TA TO
q =0 L: lognitudinal (纵向的) T: transverse （横向的）
一维三维：色散关系与振动自由度
• 一维单原子线性链的色散关系：一个声学支 • 一维双原子线性链的色散关系：一个声学、一 个光学支 • 三维？原胞内有s个原子？ • 与原胞内原子的自由度有关：3个声学、3s-3个 光学支格波 • 对于q的N个取值（N：原胞个数），共有3N个 声学、(3s-3)N个光学振动模式
m
d x 2 n 1 dt
2
M
d x2n dt
2 2
2
( x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n ) ( x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1 )
x 2 n 1 Ae x 2 n Be
i r2 n 1 q t i r2 n q t
光学支
LO
LA
离子晶体中长光学波 有特别作用：相对振 动产生电偶极矩，与 电磁波相互作用，导 致强烈的红外光吸收
q
声学支
/a
0
/a
光学支 (2/1/2 M>m
LA LO
(2/m1/2 (2/M1/2
声学支
/a
q
振幅之比——声学支
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
m
d x 2 n 1 dt
2
M B (e
2
iqa
e e
iqa iqa
) A 2 B )B 2 A
m A (e
2
iqa
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0