随机振动功率谱密度值

T0
T0 2 wenku.baidu.com0 2
功率谱密度（PSD）（Power Spectral Density） 单位频带上的功率，当波的频谱密度乘以一个适 当的系数后将得到每单位频率波携带的功率。
由傅里叶变换可知：
X (i ) x(t )e
it
dt
1 it X (t ) x(i )e d 2 π
系统传递函数 频率响应函数
H ( )
Gout () H () Gin ()
阻尼比 范围（0－1） 内为欠阻尼 无阻尼固有频率
c /(2 km)
0 k / m
传递函数
H ( s)
x( s ) 1 2 f ( s) m s cs k
频率响应函数
s jw
H ( ) 1 m 2 jwc k
无阻尼时
H ( )
1 m 2 k
傅里叶函数的时移性质
1 X (t ) 2 π



x(i )e it d

1 X (t ) 2 π


x (i )e i ( t ) d
Rx ( ) lim x lim
T T0 0
1 T0 0

T T0 0 2 2 T T0 0 2 2
T0

T0 2 T0 2
1 X (-i ) X (i )eiw d 2T0
2

- T0
lim
X (i ) 2T0
e i d



-
S ( x)e i d
自相关函数是功率谱密度 函数的傅里叶变换
Rx ( )


-
S ( )ei d
由傅里叶变换可知：
以电阻为例，单位电阻在T0时间，做的功

E( x )
2
T0 2 T0 2
x 2 (t ) d t
当T0较长时，平均功率为：
lim
T0

T0
1 T0 1 T0

T0 2 T0 2
x 2 (t )dt

lim

T0 2 T0 2
1 x(t )dt[ 2


X (i )eiwt d ]dt
模态分析主要目的：
获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时， 系统发生共振现象。
模态是结构所固有的一种特性，它与本身的材料 特性，约束方式，结构形状有关，而与输入的加载形 式等激励形式无关。
单自由度系统频响函数分析 粘性阻尼系统
•强迫振动方程及其解
m x c x kx f
X (iw)e iwt d ]dt

T0
lim
1 1 X (iw)[ 2T0 2







T0

lim
1 X (iw) X (i )d 2T0
1 2 X (iw) d 2T0

T0
lim
sx ( )dd


Sx（w）为功率谱密度
工程中把随机过程处理成零平均值
xy (t1 , t2 )
x (t1 , t2 )
E ( x1 y 2 )
x y
1
2
E ( x1 x2 )
x x
1
2
分子成为互相关函数和自相关函数：
Rxy (t1, t2 ) E( x1 y1 ) E[ x(t1 ) y(t2 )]
Rx (t1 , t2 ) E( x1 x2 ) E[ x(t1 ) x(t2 )]
如齿轮轴虽然是定则系统，但受随机激励是随机振动
随机激励 随机响应
齿轮轴
三、动力学分析
模态分析 动力学分析
谐响应分析
随机振动分析
3.1、模态分析
模态分析经典定义：将线性时不变系统 振动微分方程组中的物理坐标变换为模 态坐标，使方程组解耦，成为一组以模 态坐标及模态参数描述的独立方程，坐 标变换的变换矩阵为振型矩阵，其每列 即为各阶振型。
3.2.随机振动
离散系统回归方程：
y回 kx b
偏差：
y (kx b)
偏差平方期望：
E（2） E[( y kx b) 2 ]
求偏导：
E (2 ) 0 k
E (2 ) 0 b
偏差平方差期望值最小
2 2 2 2 [E(2 )]min y k 2 x y (1 xy )
式中
xy
E{[ x E ( x)][y E ( y)]}
x y
两个随机变量可以看做两个不同随机过程取出的
xy (t1 , t2 )
E{[ x E ( x)][y E ( y)]}
x y
式中：x1 x(t1 ), y2 y(t2 ) 若两个随机过程从同一个随机过程取 出 E{[ x1 E ( x1 )][x2 E ( x2 )]} x (t1 , t2 ) x1 x2
两时间段相隔

则：Rxy ( ) E[ x(t ) y(t )]
Rx ( ) E[ x(t ) y(t )]
样本函数时间的平均
Rxy ( ) lim Rx ( ) lim
T0
1 T0 1 T0

T0 2 T0 2
x(t ) y(t )d x(t ) x(t )d
•解的形式（s为复数）及拉氏变换：
x Xe
st
..
.
(ms2 cs k ) x(s) f (s)
自由振动
m x c x kx 0
ms cs k 0
2
..
.
s1, 2 0 j 0 1 2
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻尼系统的固有频率
1 S x ( ) 2


-
R ( )e i d
随机响应 输入自相关系数
Gin ( ) Rx ( )
经傅里叶变换，时域转换为频域
1 Gin ( ) S x ( ) 1 Gin ( ) S x ( ) 2 2

- -
i R ( )e d R ( )e i d
一、振动系统
定则系统 振动系统 随机系统 定则系统：
参量的变化规律可以用时间确定函数表述的振动系统
随机系统：
无法用时间的确定函数描述，而只能用有关统计性描述的 振动系统
二、随机振动
激励 随机激励（激励不能用确定描述函数表示） 定则激励
随机振动：受随机激励的系统称为随机振动，即使定则系 统 ，受随机激励也是随机振动 。
x(t ) x(t )d
iwt t t x(t )[ x(i )eiwt eii d ]dt d
T T0 0
1 2T0 0

T T0 0 2 2 T T0 0 2 2
lim lim

T0

T0 2 T0 2
T0 1 iwt x(i )ei [ 2 x ( t ) e dt]d T0 2T0 2