计量经济学第二章简单线性回归模型公式

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计量经济学复习要点

计量经济学复习要点参考教材：李子奈潘文卿计量经济学数据类型：截面、时间序列、面板第二章简单线性回归回归分析的基本概念,常用术语现代意义的回归是一个被解释变量对若干个解释变量依存关系的研究,回归的实质是由固定的解释变量去估计被解释变量的平均值;简单线性回归模型是只有一个解释变量的线性回归模型; 回归中的四个重要概念1. 总体回归模型Population Regression Model,PRMt t t u x y ++=10ββ--代表了总体变量间的真实关系;2. 总体回归函数Population Regression Function,PRFt t x y E 10)(ββ+=--代表了总体变量间的依存规律;3. 样本回归函数Sample Regression Function,SRFtt t e x y ++=10ˆˆββ--代表了样本显示的变量关系; 4. 样本回归模型Sample Regression Model,SRMtt x y 10ˆˆˆββ+=---代表了样本显示的变量依存规律; 总体回归模型与样本回归模型的主要区别是：①描述的对象不同;总体回归模型描述总体中变量y 与x 的相互关系,而样本回归模型描述所关的样本中变量y 与x 的相互关系;②建立模型的依据不同;总体回归模型是依据总体全部观测资料建立的,样本回归模型是依据样本观测资料建立的;③模型性质不同;总体回归模型不是随机模型,而样本回归模型是一个随机模型,它随样本的改变而改变;总体回归模型与样本回归模型的联系是：样本回归模型是总体回归模型的一个估计式,之所以建立样本回归模型,目的是用来估计总体回归模型;线性回归的含义线性：被解释变量是关于参数的线性函数可以不是解释变量的线性函数线性回归模型的基本假设简单线性回归的基本假定：对模型和变量的假定、对随机扰动项u 的假定零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定普通最小二乘法原理、推导最小二乘法估计参数的原则是以“残差平方和最小”; Min21ˆ()niii Y Y =-∑01ˆˆ(,)ββ： 1121()()ˆ()nii i n ii XX Y Y XX ==--β=-∑∑ , 01ˆˆY Xβ=-βOLS 估计量的性质1线性：是指参数估计值0β和1β分别为观测值t y 的线性组合; 2无偏性：是指0β和1β的期望值分别是总体参数0β和1β; 3最优性最小方差性：是指最小二乘估计量0β和1β在在各种线性无偏估计中,具有最小方差; 高斯-马尔可夫定理OLS 参数估计量的概率分布OLS 随机误差项μ的方差σ2的估计拟合优度的检验R 2 离差平方和的分解：TSS=ESS+RSS“拟合优度”是模型对样本数据的拟合程度;检验方法是构造一个可以表征拟合程度的指标——判定系数又称决定系数;121SSE SST SSR SSRR SST SST SST-===-,表示回归平方和与总离差平方和之比；反映了样本回归线对样本观测值拟合优劣程度的一种描述； 2 2[0,1]R ∈；3 回归模型中所包含的解释变量越多,2R 越大变量显着性检验,t 检验例子：回归报告函数形式对数、半对数模型系数的解释101ˆˆˆi iY X =β+β：X 变化一个单位Y 的变化 2^22()i Var x σβ=∑2^22ie n σ=-∑201ˆˆˆln ln i i Y X =β+β: X 变化1%,Y 变化1ˆβ%,表示弹性; 301ˆˆˆln i i Y X =β+β：X 变化一个单位,Y 变化百分之1001ˆβ 401ˆˆˆln i iY X =β+β：X 变化1%,Y 变化1ˆβ/100; 第三章多元线性回归1、变量系数的解释剔除、控制其他因素的影响对斜率系数1ˆβ的解释：在控制其他解释变量X2不变的条件下,X1变化一个单位对Y 的影响；或者,在剔除了其他解释变量的影响之后,X1的变化对Y 的单独影响2、多元线性回归模型中对随机扰动项u 的假定,除了零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定以外,还要求满足无多重共线性假定;3、多元线性回归模型参数的最小二乘估计式；参数估计式的分布性质及期望、方差和标准误差；在基本假定满足的条件下,多元线性回归模型最小二乘估计式是最佳线性无偏估计式;最小二乘法 OLS 公式： Y ' X X)' (X ˆ-1=β估计的回归模型：的方差协方差矩阵：残差的方差： βˆ的估计的方差协方差矩阵是：4、修正可决系数的作用和方法;5、F 检验是对多元线性回归模型中所有解释变量联合显着性的检验,F 检验是在方差分析基础上进行的; 6、t检验7、可化为线性回归的模型 8、约束回归第四章放宽基本假设一、异方差什么是异方差异方差的后果ˆˆY =X β+u βˆ2ˆˆ'uu n k -s =异方差的检验White 检验异方差的处理加权最小二乘法异方差稳健标准误二、序列相关什么是序列相关序列相关的后果序列相关的检验DW 检验、LM 检验序列相关的处理广义最小二乘法 Newey-West 稳健标准误三、多重共线性多重共线性的概念多重共线性的后果多重共线性的检验多重共线性的处理四、工具变量什么时候需要工具变量作为工具变量的条件两阶段最小二乘法第五章专门问题一、虚拟变量1. 虚拟变量的定义：定性变量二值与多值；虚拟变量有时候不一定只是0和1；2. 如何引入虚拟变量：如果一个变量分成N 组,引入该变量的虚拟变量形式是只能放入N-1个虚拟变量；3. 虚拟变量系数的解释：不同组均值的差基准组或对照组与处理组4. 以下几种模型形式表达的不同含义；1tt t t u D X Y +++=210βββ：截距项不同；2tt t t t u X D X Y +++=210βββ：斜率不同；3tt t t t t u X D D X Y ++++=3210ββββ：截距项与斜率都不同；其中D 是二值虚拟变量,X 是连续的变量;第八章时间序列平稳性的概念白噪声随机游走单位根的概念单位根的检验ADF 检验,ADF 的三种形式单整趋势平稳与差分平稳协整的概念协整的检验误差修正模型Eviews 回归结果界面解释表计量经济学复习题第二章习题：1、2、3、5、6、7、9、10、11、12第三章习题：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13 第四章习题：2、5、6、8、9、10 第五章习题：1、2、3、5、6 第八章习题：1、2、5、6、7、8 1、判断下列表达式是否正确 2、给定一元线性回归模型：1叙述模型的基本假定；2写出参数0β和1β的最小二乘估计公式； 3说明满足基本假定的最小二乘估计量的统计性质； 4写出随机扰动项方差的无偏估计公式; 3、对于多元线性计量经济学模型：1该模型的矩阵形式及各矩阵的含义； 2对应的样本线性回归模型的矩阵形式； 3模型的最小二乘参数估计量;4、根据美国1961年第一季度至1977年第二季度的数据,我们得到了如下的咖啡需求函数的回归方程：D D D P I P t t t t t t tT Q 321'0097.0157.00961.00089.0ln 1483.0ln 5115.0ln 1647.02789.1ˆln ----++-=其中,Q=人均咖啡消费量单位：磅；P=咖啡的价格以1967年价格为不变价格；I=人均可支配收入单位：千元,以1967年价格为不变价格；P '=茶的价格1/4磅,以1967年价格为不变价格；T=时间趋势变量1961年第一季度为1,…,1977年第二季度为66；D 1=1：第一季度；D 2=1：第二季度；D 3=1：第三季度; 请回答以下问题：① 模型中P 、I 和P '的系数的经济含义是什么 ② 咖啡的需求是否很有弹性 ③ 咖啡和茶是互补品还是替代品④ 你如何解释时间变量T 的系数 ⑤ 你如何解释模型中虚拟变量的作用 ⑥ 哪一个虚拟变量在统计上是显着的 ⑦ 咖啡的需求是否存在季节效应5、为研究体重与身高的关系,我们随机抽样调查了51名学生其中36名男生,15名女生,并得到如下两种回归模型：h W5662.506551.232ˆ+-= t=h D W7402.38238.239621.122ˆ++-= t=其中,Wweight=体重单位：磅；hheight=身高单位：英寸请回答以下问题：① 你将选择哪一个模型为什么② 如果模型确实更好,而你选择了,你犯了什么错误 ③ D 的系数说明了什么6、以t Q 表示粮食产量,t A 表示播种面积,t C 表示化肥施用量,经检验,它们取对数后都是)1(I 变量且互相之间存在)1,1(CI 关系;同时经过检验并剔除不显着的变量包括滞后变量,得到如下粮食生产模型：t t t t t t C C A Q Q μααααα+++++=--1432110ln ln ln ln ln 1 ⑴ 写出长期均衡方程的理论形式； ⑵ 写出误差修正项ecm 的理论形式； ⑶ 写出误差修正模型的理论形式；⑷ 指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义;7、简述异方差对下列各项有何影响：1OLS 估计量及其方差；2置信区间；3显着性t 检验和F 检验的使用;8、假设某研究使用250名男性和280名女性工人的工资Wage 数据估计出如下OLS 回归：标准误其中WAGE 的单位是美元/小时,Male 为男性=1,女性=0的虚拟变量;用男性和女性的平均收入之差定义工资的性别差距;1性别差距的估计值是多少2计算截距项和Male系数的t统计量,估计出的性别差距统计显着不为0吗5%显着水平的t统计量临界值为3样本中女性的平均工资是多少男性的呢4对本回归的R2你有什么评论,它告诉了你什么,没有告诉你什么评价这个回归结果5另一个研究者利用相同的数据,但建立了WAGE对Female的回归,其中Female 为女性=1,男性=0的变量;由此计算出的回归估计是什么9、基于人口调查1998年的数据得到平均小时收入对性别、教育和其他特征的回归结果,见下表;其中：AHE=平均小时收入；College=二元变量大学取1,高中取0；Female女性取1,男性取0；Age=年龄年；Northeast居于东北取1,否则为0；Midwest居于中西取1,否则为0；South居于南部取1,否则为0；West居于西部取1,否则取0;表1：基于2004年CPS数据得到的平均小时收入对年龄、性别、教育、地区的回归结果概括统计量和联合检验SERR2注：括号中是标准误;（1）计算每个回归的调整R2;（2）利用表1中列1的回归结果回答：大学毕业的工人平均比高中毕业的工人挣得多吗多多少这个差距在5%显着性水平下统计显着吗男性平均比女性挣的多吗多多少这个差距在5%显着性水平下统计显着吗（3）年龄是收入的重要决定因素吗请解释;使用适当的统计检验来回答;（4）Sally是29岁女性大学毕业生,Betsy是34岁女性大学毕业生,预测她们的收入;（5）用列3的回归结果回答：地区间平均收入存在显着差距吗利用适当的假设检验解释你的答案;（6）为什么在回归中省略了回归变量West如果加上会怎样;解释3个地区回归变量的系数的经济含义;7Juantia是南部28岁女性大学毕业生,Jennifer是中西部28岁女性大学毕业生,计算她们收入的期望差距。

计量经济学第2章简单线性回归模型

1.1回归分析与回归函数
对回归的现代解释与古典意义有很大的不同定义：是关于研究一个叫做被解释变量（Y）的变量
对另一个或多个叫做解释变量（X）的变量的依赖关系，其用意在于通过后者的已知或设定值去估计或预测前者的均值。其中“依赖关系”，反映在一定的函数形式上：
注意： E(Y X ) F(X1, X2,, Xk )
1.1回归分析与回归函数
1855年，高尔顿发表《遗传的身高向平均数方向的回归》一文，他和他的学生通过观察1078对夫妇，以每对夫妇的平均身高作为自变量，取他们的一个成年儿子的身高作为因变量，分析儿子身高与父母身高之间的关系。发现：当父母越高或越矮时，子女的身高会比一般儿童高或矮，但是，当父母身高走向极端，子女的身高不会象父母身高那样极端化，其身高要比父母们的身高更接近平均身高，即有“回归”到平均数去的趋势。
其中，μ为随机误差项(stochastic error)或随机扰动项(stochastic disturbance )，表明除X之外影响Y的因素：忽略无数可能事件的影响测量误差
1.1回归分析与回归函数
例：假定E(Y|Xi)对X是线性的：
E(Y Xi ) 1 2 Xi 线性总体回归函数
-1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 Nhomakorabea1.2 Y
因而，要进一步研究变量之间的相关关系，就需要学习回归分析方法。
1.1回归分析与回归函数
二、回归分析
“回归”这个词最早由英国生物学家高尔顿在遗传学
中提出。
法兰西斯·高尔顿（1822.2.16－1911.1.17），英国人类学家、生物统计学家、英国探险家、优生学家、心理学家、差异心理学之父，也是心理测量学上生理计量法的创始人，遗传决定论的代表人物。高尔顿平生著书15种，撰写各种学术论文220 篇，涉猎范围包括地理、天文、气象、物理、机械、人类学、民族学、社会学、统计学、教育学、医学、生理学、心理学、遗传学、优生学、指纹学、照像术、登山术、音乐、美术、宗教等，是一位百科全书式的学者。

线性回归的基本模型

1.回归方程拟合程度检验在回归方程拟合程度检验中，应用可决系数指标来回加以检验，
可决系数越大，说明回归方程对实际数值的拟合程度越好
R2= ∑(ŷ-y)2/ ∑(y-y)2= S回/ S总=1- S残/ S总在考虑变量自由度的情况下，修正的可决系数：
R2= [S回/（n-k)]/[ S总/(n-1)]=1- [S残/(n-k)]/ [S总/(n-1)] =1-[27.08/(10-3)]/244.4/(10-1)]=0.84
592
-0.2054 -0.0286 0.1389
1.6416 -0.0839 B= (x’x)-1×x’y= -0.0839 0.0188
-0.2054 -0.0286 由此得多元回归方程为：
ŷ=4.58751+1.86847x1-1.79957x2
-0.2054 -0.0286 0.1389
166
多元回归模型中的回归系数检验采用t检验，公式如下：
tbj=bj/sbj
sbj= sy2×Ωjj=sy Ωjj
式中Ωjj为（x’x)-1矩阵中的第j个对角线的元素，上例中Sy=1.97;
Ω11=1.6416; Ω22=0.0188; Ω33=0.1389
则tb1=4.5875/(1.97 × 1.6416 )=1.82
n=6<30时，查七分布表ta/2(n-2)=t(0.025)(4)2.78 ta/2(n-2) ×Sy × 1+1/n+(x0-x)2/ ∑ (x-x)2=0.6579 所以建造成本的区间预测在显著性水平为a=5%，即以95%的概
率计算y0=15.081±0.6579，即在[14.4231—15.7389]万元之间
得y’=a+bx’化成直线方程的形式

庞浩计量经济学2第二章简单线性回归模型

17
三、总体回归函数
总体回归函数（population regression function，简称PRF）：将总体被解释变量Y的条件均值表现为解释变量X的函数。
E (Y | X i ) f ( X i )
当总体回归函数是线性形式时，
总体回归函数的条件期望表示方式
E (Y | X i ) f ( X i ) 1 2 X i
22
四、随机扰动项u
（一）定义各个被解释变量的个别值与相应的条件均值的偏差，被称为随机扰动项，或随机干扰项（stochastic disturbance），或随机误差项（stochastic error），用u表示。它可正可负，是一个随机变量。
ui Yi E (Y | X i ) Yi E (Y | X i ) ui Yi 1 2 X i ui
消费支出 Y
932
1259 1448 1651 2298 2289 2365 2488 2856 3150
25
Y
SRF1 SRF2
X
26
样本一
Y vs. X 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 X 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
4
（二）相关关系的种类
⒈按涉及变量的多少分为单相关多重（复）相关
相关关系的种类
⒉按表现形式的不同分为
线性相关
非线性相关正相关负相关完全相关
⒊单相关时，按相关关系的方向不同分为
4.按相关程度的不同分为
Hale Waihona Puke 不完全相关不相关5

计量经济学庞皓第二章简单线性回归模型

21
样本回归函数与总体回归函数的关系
Y
Yi
Yˆi
E (Yi X i )
Yi
ui
e i

A
SRF PRF
X
Xi
22
对样本回归的理解
对比：总体回归函数
E(Yi Xi)12Xi
Yi 12Xi ui
样本回归函数 Yˆi ˆ1 ˆ 2 X i
Yi ˆ1 ˆ2 Xi ei
注意：在计量经济学中，线性回归模型主要指就参数而言是“线
性”的,因为只要对参数而言是线性的,都可以用类似的方法去估
计其参数，都可以归于线性回归。
16
三、随机扰动项
◆概念
Y
在总体回归函数中，各个
Y i 的值与其条件期望
E (Y X i )
E(Yi X i ) 的偏差 u i 有很重
Yi
要的意义。若只有 X的影响，
E(YXi)Xi
12
1. 总体回归函数的概念
前提：假如已知所研究的经济现象的总体的被解释变量Y 和解释变量X的每个观测值（通常这是不可能的！），那
么，可以计算出总体被解释变量Y的条件期望 E(Y X i ) ，
并将其表现为解释变量X的某种函数
E(YXi)f(Xi)
这个函数称为总体回归函数（PRF）本质:总体回归函数实际上表现的是特定总体中被解释变量随解释变量的变动而变动的某种规律性。计量经济学的根本目的是要探寻变量间数量关系的规律,也就要努力去寻求总体回归函数。
如果能够通过某种方式获得 ˆ 1 和 ˆ 2 的数值，显然: ● ˆ 1 和 ˆ 2 是对总体回归函数参数 1 和 2 的估计
● Y ˆ i 是对总体条件期望 E (Yi X i ) 的估计

简单线性回归模型的估计与解释

简单线性回归模型的估计与解释简介简单线性回归模型是统计学中常用的一种回归模型，用于分析两个变量之间的关系。

本文将介绍简单线性回归模型的估计与解释方法。

一、模型的建立简单线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项。

二、模型参数的估计为了估计模型参数，常用的方法是最小二乘法。

最小二乘法的目标是使残差平方和最小化。

通过最小二乘法，我们可以得到β0和β1的估计值。

三、模型的解释1. 截距（β0）的解释截距表示当自变量X等于0时，因变量Y的平均值。

截距的估计值可以用来解释在X为0时的预测值。

2. 斜率（β1）的解释斜率表示因变量Y对自变量X的变化率。

当自变量X增加1个单位时，因变量Y的平均变化量为斜率的估计值。

斜率的正负决定了变量之间的正向或负向关系。

3. 模型的拟合优度拟合优度是用来评估模型对数据的拟合程度。

常用的指标是R方（R-Squared），它表示因变量的变异中能够被自变量解释的比例，取值范围为0到1。

R方越接近1，说明模型对数据的拟合越好。

四、模型的显著性检验为了检验自变量和因变量之间的关系是否显著，我们可以进行假设检验。

通常使用t检验对截距和斜率进行检验。

若p值小于显著性水平（通常为0.05），则认为存在显著关系。

五、模型的诊断与改进在应用简单线性回归模型时，需要进行模型诊断和改进。

常见的诊断方法包括残差分析、离群值检测和多重共线性检验等。

根据诊断结果，可以尝试改进模型，如加入非线性项或引入其他解释变量。

六、模型的应用简单线性回归模型广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会学等。

通过建立和解释简单线性回归模型，可以分析变量之间的相关性，预测未来趋势，为决策提供科学依据。

结论通过对简单线性回归模型的估计与解释，我们可以得到模型参数的估计值，解释截距和斜率的含义，评估拟合优度以及进行显著性检验。

同时，还需进行模型诊断和改进，以提高模型的准确性和可解释性。

计量经济学 (强烈推荐)第2章简单线性回归模型2

2
2
, 查 t 分布表得 t 2 (n 2)
则拒绝原假设 H 0 : 2 0 而不拒绝备择假设 H1 : 2 0 * t ( n 2 ) t t (n 2) ▼如果
2 2
则不拒绝原假设 H0 : 2 0
18
用 P 值判断参数的显著性
假设检验的 p 值：
ˆ 1 1
~ N (0,1)
ˆ ˆ z2 2 2 2 2 ~ N (0,1) ˆ ) SE ( 2
2 x i
注意:这时
ˆ) ˆ ) 和 SE( SE( 2 1
都不是随机变量(X、、n 都是非随机的）
6

2 ˆ 2.未知时，对作标准化变换 k
注意:这里的“ ^ ”，表示“估计的”,
这时区间估计的方式也可利用标准正态分布
11
3、当总体方差未知，且样本容量较小时
2
方法：用无偏估计 ˆ 2 去代替未知的，由于样本容量较小，“标准化变量” t （统计量）不再服从正态分布，而服从 t 分布。 ˆ
2
t
ˆ) SE ( 2
0
z
10
2.当总体方差 2 未知，且样本容量充分大时方法：可用无偏估计 ˆ 去代替未知的 2 ，
2
由于样本容量充分大，标准化变量Z*（统计量）将接近标准正态分布
ˆ 2 z ^ 2 ~ N (0,1) ˆ ˆ SE ( 2 )
* 2 x i
ˆ 2 2
可利用正态分布作Z检验 ˆ ˆ * 2 2 2 Z ~ N (0.1) ˆ ) SE ( ˆ ) SE ( 2 2
给定 , 查正态分布表得临界值 Z

第二章简单线性回归模型

Y 的条件均值
E (Y X i )
55
75
95
115
135
155
175
195
215
235
之间的对应关系是：家庭可支配收入 X 与平均消费支出 E ( Y X i ) 之间的对应关系是：
E ( Y X i ) = 15 + 2 X 3
i
的条件期望表示为解释变量的某种函数称为总体函数。这种把总体应变量 Y 的条件期望表示为解释变量的某种函数称为总体函数。简记 PRF。为 PRF。
（三）回归与相关的联系与区别
两者的区别在于：用途不同—— ——相关分析是用相关系数去度量变量之间线性（1）用途不同——相关分析是用相关系数去度量变量之间线性关联的程度，而回归分析却要根据解释变量的确定值，关联的程度，而回归分析却要根据解释变量的确定值，去估计和预测被解释变量的平均值；被解释变量的平均值；变量性质不同—— ——相关分析中把相互联系的变量都作为随（2）变量性质不同——相关分析中把相互联系的变量都作为随机变量，机变量，而在回归分析中，而在回归分析中，假定解释变量在重复抽样中具有固定数值，假定解释变量在重复抽样中具有固定数值，是非随机的，被解释变量才是随机变量。是非随机的，被解释变量才是随机变量。对变量的因果关系处理不同—— ——回归分析是在变量因果关（3）对变量的因果关系处理不同——回归分析是在变量因果关系确定的基础上研究解释变量对被解释变量的具体影响，对变量的处系确定的基础上研究解释变量对被解释变量的具体影响，理是不对称的，而在相关分析中，把相互联系的变量都作为随机变量，理是不对称的，而在相关分析中，把相互联系的变量都作为随机变量，是对称的。是对称的。

计量经济学(第二章简单线性回归)

Y SRF1 SRF2
X
样本回归线不是总体回归线，只是未知总体回归线的近似。
1.6.3 残差 ei
定义：ei = Yi −Y i ∧ Y 那么有： i = Yi + ei 对上例，有：
∧
Yi = Yi + ei = β 1 + β 2 X i + ei
∧
∧
∧
回归分析的思路
样本
一定方法得出近似看成是
零均值：E (Yi / X i ) = f ( X i ) Var (Yi / X i ) = σ 2 同方差： Cov 无自相关： (Yi , Y j ) = 0, i ≠ j 正态性： Yi ~ N ( f ( X i ), σ 2 )
2.2 普通最小二乘法（OLS）
基本思想数学过程估计结果
相关系数取值区间[-1，1]。相关系数具有对称性，即 ρ xy = ρ yx； X,Y都是随机变量，相关系数只说明其线性相关程度，不说明其非线性关系，也不反映他们之间的因果关系；样本相关系数是总体相关系数的样本估计量；简单线性相关包含了其他变量的影响。
1.3 回归分析和相关分析
1.3.1 回归分析古典意义：高尔顿遗传学的回归概念；现代含义：一个应变量对若干解释变量依存关系的研究；回归分析的目的：由固定的解释变量去估计和预测应变量的平均值；
三种距离
Y A( X i , Yi ) 横向距离纵向距离距离
∧
SRF A B
B( X i , Y i )
X
纵向距离 e i = Yi − Yi = Yi − β 过程
详见课本P24 举例：见Eviews练习1
2.2.3 OLS估计结果的离差形式

计量经济学(2012B)(第二章多元线性回归)详解

2 2i
n
n
2 i
i ( yi ˆ1x1i ˆ2 x2i )
i 1
i 1
n
i yi
n
(
y
ˆ x
ˆ x
) y
i1
i
1 1i
2 2i
i
i 1
n
y 2
(ˆ
n
x
y
ˆ
n
x
y )
i1
i
1 i1 1i i
2 i1 2 i i
TSS ESS
2.5 单个回归参数的置信区间与显著性检验
一、置信区间
H (4)
的拒绝域为：
0
F F (2, n 3)
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
，则拒绝 H ， 0
认为回归参数整体显著；
H 若 F F (2, n 3)
，则接受
，
0
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
yˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i
Sˆj : 或 t:
模型的估计效果. (5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两个
量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别? (6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均
重量是多少？ yˆ 5.2415 f
（磅）
（2）对于二元线性回归方程，求饲料投入的边际生产率？
(0.1527) (0.0439)
(0.5928) (9.6989)
(0.0027) (3.1550)
R2 0.9855, R2 0.9831 ， F 408.9551

计量经济学课件：第二章简单线性回归模型

第二章简单线性回归模型第一节回归分析与回归方程一、回归与相关 1、变量之间的关系（1）函数关系：()Y f X =，其中Y 为应变量，X 为自变量。

（2）相关关系或统计关系：当一个变量X 或若干个变量12,,,k X X X 变化时，Y 发生相应的变化（可能是不确定的），反之亦然。

在相关关系中，变量X 与变量Y 均为不确定的，并且它们之间的影响是双向的（双向因果关系）。

（3）单向因果关系：(,)Y f X u =，其中u 为随机变量。

在计量经济模型中，单一线性函数要求变量必须是单向因果关系。

在（单向）因果关系中，变量Y 是不确定的，变量X 是确定的（或可控制的）。

要注意的是，对因果关系的解释不是靠相关关系或统计关系来确定的，并且，相关关系与统计关系也给不出变量之间的具体数学形式，而是要通过其它相关理论来解释，如经济学理论。

例如，我们说消费支出依赖于实际收入是引用了消费理论的观点。

2、相关关系的类型 (1) 简单相关 (2) 复相关或多重相关 (3) 线性相关 (4) 非线性相关 (5) 正相关 (6) 负相关 (7) 不相关3、用图形法表示相关的类型上述相关类型可直观地用（EViews 软件）画图形来判断。

例如，美国个人可支配收入与个人消费支出之间的相关关系可由下列图形看出，它们为正相关关系。

15002000250030003500150020002500300035004000PDIP C E其中，PDI 为（美）个人可支配收入，PCE 为个人消费支出。

PDI 和PCE 分别对时间的折线图如下PROFIT 对STOCK 的散点图为05010015020025050100150STOCKP R O F I T其中，STOCK 为（美）公司股票利息，PROFIT 为公司税后利润，表现出明显的非线性特征。

以下是利润与股息分别对时间的序列图（或称趋势图）05010015020025020406080100120140GDP 对M2的散点图为02000040000600008000010000050000100000150000M2G D P其中M2为（中国）广义货币供应量，GDP 为国内生产总值。

第二章一元线性回归模型

__
__
2
/n
★样本相关系数r是总体相关系数的一致估计
相关系数有以下特点：
• • • • 相关系数的取值在-1与1之间。（2）当r=0时，线性无关。（3）若r＞0 ，正相关，若r＜0 ，负相关。（4）当0＜|r|＜1时，存在一定的线性相关关系，越接近于1，相关程度越高。 • （5）当|r|=1时，表明x与y完全线性相关（线性函数），若r=1，称x与y完全正相关；若r=-1，称x与y完全负相关。 • 多个变量之间的线性相关程度，可用复相关系数和偏相关系数去度量。
●假定解释变量X在重复抽样中取固定值。但与扰动项u是不相关的。(从变量X角度看是外生的)
注意: 解释变量非随机在自然科学的实验研究中相对
Yi 1 2 X i ui
●假定解释变量X是非随机的，或者虽然X是随机的，
容易满足，经济领域中变量的观测是被动不可控的， X非随机的假定并不一定都满足。
E( y xi ) 0 1xi
11
• 可以看出,虽然每个家庭的消费支出存在差异,但平均来说，家庭消费支出是随家庭可支配收入的递增而递增的。当x取各种值时, y的条件均值的轨迹接近一条直线,该直线称为y对x的回归直线。（回归曲线）。 • 把y的条件均值表示为x的某种函数，可写为：
E( y xi ) 0 1xi
Var ( y xi ) 2
Cov( yi , y j ) 0
y | xi ~ N (0 1xi , )
2
22
第三节参数估计
• 一、样本回归方程
• 对于
yi 0 1 xi ui
• 在满足古典假定下，两边求条件均值，得到总体回归函数：

统计学线性回归公式整理

统计学线性回归公式整理在统计学中，线性回归是一种用于建立变量之间线性关系的分析方法。

它通过构建一个线性方程来描述自变量与因变量之间的关系，并通过最小化残差平方和来确定回归系数。

在这篇文章中，我将整理统计学线性回归的公式及其应用。

一、简单线性回归简单线性回归是指只考虑一个自变量与一个因变量之间的关系的情况。

它的数学表达式可以表示为:Y = β₀ + β₁X + ε其中，Y代表因变量，X代表自变量，β₀和β₁分别代表截距和斜率，ε代表误差项。

通过最小二乘法，可以估计出截距和斜率的值。

二、多元线性回归多元线性回归是指考虑多个自变量与一个因变量之间的关系的情况。

它的数学表达式可以表示为:Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε其中，Y代表因变量，X₁、X₂、...、Xₚ代表自变量，β₀、β₁、β₂、...、βₚ分别代表截距和回归系数，ε代表误差项。

通过最小二乘法，可以估计出截距和回归系数的值。

在多元线性回归中，需要注意自变量之间的多重共线性问题。

如果自变量之间存在高度相关性，会导致估计结果不准确或不可解释。

因此，在进行多元线性回归分析时，要先进行变量选择或者采用正则化方法来应对多重共线性。

三、线性回归的假设在线性回归中，有一些假设需要满足，包括：1. 线性关系假设：因变量与自变量之间的关系是线性的。

2. 常态性假设：误差项ε服从均值为0、方差为常数的正态分布。

3. 独立性假设：误差项ε之间相互独立。

4. 同方差性假设：误差项ε的方差在所有自变量取值上都是相等的。

这些假设的满足与否对于回归分析的结果和解释具有重要意义，需要进行适当的检验和验证。

四、线性回归的应用线性回归在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 预测和预测分析：通过已知的自变量数据，可以利用线性回归模型对因变量进行预测，并进行概率分析。

2. 关联性分析：线性回归可以用于探索自变量与因变量之间的关系，并确定它们之间的强度和方向。

线性回归方程公式求法是什么

线性回归方程公式求法是什么线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。

线性回归方程公式线性回归方程公式：b=x1y1+x2y2+.xnyn-nXY/x1+x2+...xn-nX。

线性回归方程公式求法：第一：用所给样本求出两个相关变量的算术）平均值：x_=x1+x2+x3+...+xn/ny_=y1+y2+y3+...+yn/n第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子=x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn-nx_Y_分母=x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2-n___^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。

其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。

先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=x1y1+x2y2+...xnyn-nXY/x1+x2+...xn-nX后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程X为xi的平均数，Y为yi的平均数线性回归方程的应用线性回归方程是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。

这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其位置参数的模型更容易拟合，而且产生的估计的统计特性也更容易确定。

线性回归有很多实际用途。

分为以下两大类：如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。

当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个y值。

给定一个变量y和一些变量X1,...,Xp，这些变量有可能与y 相关，线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度，评估出与y不相关的Xj，并识别出哪些Xj的子集包含了关于y 的冗余信息。

计量经济学：简单线性回归

10
E(y|x) as a linear function of x, where for any x the distribution of y is centered about E(y|x)
11

It is useful to break y into two components.

The piece β0 + β1x is sometimes called the systematic part of y

These are called moment restrictions
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2.2.2 Deriving OLS using M.O.M.

The method of moments approach to estimation implies imposing the population moment restrictions on the sample moments What does this mean? Recall that for E(X), the mean of a population distribution, a sample estimator of E(X) is simply the arithmetic mean of the sample
n
ˆ = β 1
∑ (x − x )( y
i =1 i n i =1

Slope parameter β1=dE(y/x)/dx indicating one-unit increase in x changes the expected value of y by the amount β1.. Intercept parameter β0 : indicating the expected value of y when x takes zero.

计量经济学第二章简单线性回归模型

这样的“规则和方法”有多种，最常用的是最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。
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一、简单线性回归模型的基本假设 1、为什么要作基本假定？
● 只有对随机扰动的分布作出假定，才能确定所估计参数的分布性质，也才可能进行假设检验和区间估计 ●只有具备一定的假定条件，所作出的估计才具有较好的统计性质。
Y Yi

Yi ei
SRF PRF
ˆ Y i
E (Yi X i )
ui
A
Xi
X
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第二节简单线性回归模型的最小二乘估计
一、简单线性回归模型的基本假设二、普通最小二乘估计（OLS）三、OLS回归线的性质四、最小二乘估计的统计性质
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▼回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。
第二章简单线性回归模型
主要内容：回归分析概述一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型检验一元线性回归模型预测实例

离散变量的期望值定义为E(X)
2
• 方差的性质

方差
Var ( X ) E X i X 2
2
3
• 协方差的性质协方差
Cov( XY ) E X i X Yi Y
i i __ 2 __ i i
__
__
2
其中：分别是变量 X 和 Y 的样本观测值 X i和 Y __i X 和 Y 分别是变量 X 和 Y 样本值的平均值
8
相关系数的取值范围：-1≤≤1
>0 为正相关， < 0 为负相关； ||=0 表示不存在线性关系；线性 ||＝1 表示完全线性相关；线性 0<||<1表示存在不同程度线性相关： || < 0.4 为低度线性相关； 0.4≤ || ＜0.7为显著线性相关； 0.7≤|| ＜1.0为高度线性相关。

计量经济学知识点

计量经济学知识点计量经济学是一门融合了经济学、统计学和数学的交叉学科，它运用数学和统计方法来分析经济数据，从而揭示经济现象之间的数量关系和规律。

以下将为您介绍一些计量经济学的重要知识点。

一、回归分析回归分析是计量经济学的核心方法之一。

简单线性回归模型是最基础的形式，它假设因变量（Y）与一个自变量（X）之间存在线性关系，可以用方程 Y ＝β₀＋β₁X ＋ε 来表示。

其中，β₀是截距，β₁是斜率，ε 是随机误差项。

在进行回归分析时，我们需要估计参数β₀和β₁。

常用的估计方法是最小二乘法，其目标是使残差平方和最小。

通过计算得到的回归系数可以解释自变量对因变量的影响程度。

多元线性回归则是将简单线性回归扩展到多个自变量的情况，模型变为 Y ＝β₀＋β₁X₁＋β₂X₂＋… ＋βₖXₖ ＋ε。

回归分析还需要进行一系列的检验，包括模型的拟合优度检验（如R²统计量）、变量的显著性检验（t 检验）和整体模型的显著性检验（F 检验）等。

二、异方差性异方差性是指误差项的方差不是恒定的，而是随着自变量的取值不同而变化。

这会导致最小二乘法估计的有效性受到影响。

为了检测异方差性，可以使用图形法（如绘制残差图）或统计检验方法（如怀特检验）。

如果发现存在异方差性，可以采用加权最小二乘法等方法进行修正。

三、自相关性自相关性指的是误差项在不同观测值之间存在相关性。

常见的自相关形式有正自相关和负自相关。

自相关性会使估计的标准误差产生偏差，影响参数估计的有效性和假设检验的结果。

常用的检测方法有杜宾瓦特森检验。

解决自相关问题可以采用广义差分法等方法。

四、多重共线性多重共线性是指自变量之间存在较强的线性关系。

这会导致回归系数估计值不稳定，难以准确解释变量的影响。

可以通过计算方差膨胀因子（VIF）来判断是否存在多重共线性。

解决多重共线性的方法包括删除相关变量、增大样本容量或使用岭回归等方法。

五、虚拟变量虚拟变量常用于表示定性的因素，例如性别、季节、地区等。

计量经济学-第2章-简单线性回归模型

Cov(ui , u j ) E[ui E(ui )][u j E(u j )]
E(uiu j ) 0
(i j)
假定4：随机扰动 u i 与解释变量 X 不相关
Cov(ui , Xi ) E[ui E(ui )][ Xi E( Xi )] 0
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假定5：对随机扰动项分布的正态性假定
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图1 . 2
概
率密
f (ˆ)
度
f (*)
偏倚 E( *)
估计值
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2. 最小方差性
前提：样本相同、用不同的方法估计参数，可以找到若干个不同的估计式
目标：努力寻求其抽样分布具有最小方差的估计式—— 最小方差准则，或称最佳性准则（见图1.3）
既是无偏的同时又具有最小方差的估计式，称为最佳无偏估计式。
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正规方程和估计式
取偏导数为0，得正规方程
Yi nˆ1 ˆ2 Xi XiYi ˆ1 Xi ˆ2 Xi2
用克莱姆法则求解得观测值形式的OLS估计式：
^ n
2
n
X iYi
X
2 i
(
X i Yi Xi )2
^
1
X
2 i
Yi
Xi
X iYi
n
X
2 i
(
Xi )2
y＝33.73＋0.516 x
这一方程表明：父母平均身高每增减一个单位时，其成年子女的身高仅平增减0.516个单位。
注意几个概念
● Y 的条件分布
当解释变量 X 取某固定值时（条件），Y 的值不确定，Y 的不同取值形成一定的分布，即Y 的条
件分布。
Y
● Y 的条件期望
对于X 的每一个取值，对Y 所形成的分布确

计量经济学第二章一元线性回归方程 1

估计量的均值期望等于总体回归参数真值23一元线性回归模型的参数估计最小二乘估计量的性质有效性最小方差性即在所有线性无偏估计量中最小二乘估计量具有最小方差505123一元线性回归模型的参数估计最小二乘估计量的性质有效性假设为不全为零的常数则容易证明具有最的小方差普通最小二乘估计量ordinaryleastsquaresestimators称为最佳线性无偏估计量bestlinearunbiasedestimatorblue5223一元线性回归模型的参数估计由于最小二乘估计量拥有一个好的估计量所应具备的小样本特性它自然也拥有大样本特性

样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。该线称为样本回归线（sample regression lines）记样本回归线的函数形式为： ˆ ˆ ˆ Yi f ( X i ) 0 1 X i 称为样本回归函数（sample regression function，SRF）
21
2.1 回归分析概述
样本回归函数

这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代

则：
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2.1 回归分析概述
样本回归函数的随机形式/样本回归模型：

同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：
ˆ ˆ ˆ ˆ Yi Yi i 0 1 X i ei

式中，ei称为(样本)残差或剩余项（residual），代表了其他影响Yi的随机因素的集合，可看成ui 的估计量
E (Y | X i ) 0 1 X i

其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients）