11矩阵及其运算修订版
线性代数教案11
逆矩阵的性质
1. 如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵；
2. 如果A可逆，且AB＝I，则BA＝I；
如果A可逆，且BA＝I，则AB＝I；
3. 如果A，B都可逆，则AB也可逆，且 ( AB)1 B 1 A1
4. 如果A可逆，则A1可逆，且 ( A1 )1 A
5. 如果A可逆，则A的每一行每一列都不能全为零。
,
B
B11 B21
分块矩阵数乘：
B12 B22
,
A
B
A11 A21
B11 B21
A12 A22
B12 B22
A
A11 A21
A12 A22
分块矩阵的乘法：矩阵A的列数等于B的行数，A的列的分
法与B的行的分法相同
AB
A11B11 A21B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21B12
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矩阵的数乘
数 与矩阵A的乘积记作
返回
矩阵的转置
把矩阵A的各行变成同序数的列得到的新矩阵称为A 的转置（Transpose），记为 AT
例如
注意：将A的各列变成行同样能得到A的转置。 A为m×n的矩阵，则 AT 为n×m的矩阵。
对称矩阵的定义：AT A
返回
逆矩阵的唯一性
如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵。 证明：设B和C都是A的逆矩阵，那么
矩阵A是m×n矩阵，可以记为 Amn
几种特殊的矩阵
1. 行矩阵； 2. 列矩阵； 3. 零矩阵； 4. n阶方阵； 5. 三角矩阵； 6. 对角矩阵（Diagonal Matrix）； 7. 单位矩阵（Identity Matrix）.
矩阵相等
如果两个矩阵A，B有相同的行数和相同的列数，并 且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等， 记为A＝B
矩阵及其运算
k 1
k 1
A* A D (di j ) (| A | ji ) | A | ( ji ) | A | E 。
六、共轭矩阵
A ai j 为复矩阵，aij 为aij 的共轭复数，则称 A aij A为
显然，
的共轭矩阵。
① A B A B ，② A A ，③AB AB 。
§１ 矩阵
一、矩阵的定义
称 m 行、 n 列的数表
第二章 矩阵及其运算
a11 a12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa1n
a21 a22
a2n
am1 am2
a mn
为 m n 矩阵，或简称为矩阵；表示为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
或简记为 A (ai j )mn , 或 A (ai j ), 或 Amn ；其中 ai j 表示 A 中第 i 行，第 j 列的元素。
a11 a12 注：第一章中行列式 D a21 a21
a1n a2n 为按行列式的运算规则所得到的一个数，而
am1 am2
amn
m n 矩阵是m n 个数的整体，不对这些数作运算。
例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。
设 A (ai j )mn , B (bi j )mn , 都是m n 矩阵，当
x3 b31t1 b32t2
变量 x1, x2 , x3 到变量 y1, y2 的线性变换为
y1 y2
a11x1 a12 x2 a13 x3 a21x1 a22 x2 a23 x3
那么，变量t1, t2 到变量y1, y2 的线性变换应为
y1 y2
a11 a21
矩阵的运算优秀课件
(A
E )n
An
Cn1 An1
C
2 n
An2
Cnn1 A
E
3. 求矩阵A的n次幂的方法. 措施一 数学归纳法
先计算A2, A3等, 发现Ak的规律,再用数学归纳法证明之.
例1
设
A
1 0
11 , 求 An
解
A2
1 0
12 1
10
11 10
11
1 0
2 1
同理,
A3
A2
A
1 0
13
猜测
An
,
求An
1
1
n
1
n n
n
解
将A分解成A
E
1 n
B,
其中B
111
1
1
1
111,容易得出B2 nB
于是 A2
(E
1 n
B)2
E2
2 n
EB
1 n2
B2
E
2 n
B
1 n2
nB
E 1 B A(幂等矩阵),故An A.
n
措施三 利用乘法结合律 若A T , 其中 , 都是n 1矩阵(列矩阵).利用乘法结合律,
三、矩阵旳幂乘
1、定义 设A是一种n阶矩阵，对于正整数k, Ak AA A
k个
称为A旳k次幂。 2、幂乘旳运算规律：任意正整数 k , l ,有
Ak Al Akl , Ak l Akl
但一般来说 ( AB)k Ak Bk ,
例题 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵,以下式子哪些成立 ?
由矩阵相等旳定义,得
x1 x3
x2 x4
得
矩阵的运算优秀课件
且A2X=B，求X。
解：
X
=
1 2
(B
A)
=
1 2
2 0 0
2 1 5
5 1 2
2
4
5
1 1 = 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0 5 / 2 1 5 / 2
练习
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铃
三、矩阵的乘法
定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6
= 64 02 1210 914 = 2 2 2 5 。
00 312 68 916 0 9 2 7
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铃
3572
1320
例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A); (2) (λ + μ)A = λ A + μ A. (3) λ(A + B) = λ A + λ B.
结合律 分配律 分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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铃
四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
第11章 矩阵及其运算
其中aij位于矩阵的第i 行第j 列,称为矩阵 的第i 行第j 列元素,或(i,j)元。
通常我们用大写字母A,B,C 表示矩阵。 为了明确矩阵的行数m 和列数n,我们可用带 下标的大写字母表示矩阵,如Am×n 表示一个 m 行n 列的矩阵。
另外,还可将矩阵表示成A = (aij)或A= (aij)m×n 的形式,其中aij为矩阵的(i,j)元。
本书中矩阵中各元素均为实数。
11.1.2 几种特殊矩阵
1. 方阵
行数与列数相等的矩阵称为方阵,若 行数m 等于列数n,通常称为n 阶方阵或n 阶矩阵,其中行列数n 称为此方阵的阶数。 如
2. 上(下)三角形矩阵
如果n 阶方阵主对角线下方元素都等 于零,则称此矩阵为上三角形矩阵。
如果n 阶方阵主对角线上方元素都等 于零,则称此矩阵为下三角形矩阵。
定义5 设A = (aij)m×n,称A 的最高阶非零 子式的阶数r 为矩阵A 的秩,记为秩(A)=r 或r(A)=r。
若A =0,则其任何阶子式均为零,规定 r(0)=0。
例4 求下列矩阵的秩
解 (1)按定义,找A 的最高阶非零子式,从 低向高找。
定理4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
则称这样的阶梯形矩阵为简化的阶 梯形矩阵。
11.4.2 初等矩阵
定义3 n 阶单位矩阵E,经过一次初等变 换所得到的矩阵,称为初等矩阵。
3种初等变换对应3种初等矩阵。
定理1 设矩阵Am×n ,则(1)对A 进行一次 初等行变换,相当于用一个m 阶的同类型 的初等矩阵左乘A 。
(2)对A 进行一次初等列变换,相当于用一 个n 阶的同类型的初等矩阵右乘A 。
例如
则A 为n 阶上三角形矩阵,B 为m 阶 下三角形矩阵。
高等代数 (11)
0 0
a11 a21
a12 a11
a22
a12
a21
a22Biblioteka a121 a122a21a11 a22a12
a11a21 a12a22
a221 a222
a121 a122 0, a221 a222 0 a11 a12 a21 a22 0 A O
a11
A AT
T
AT
AT
T
AT A
A AT
A AT对称
思考: 设A 与 B 同阶反称, 则A+B ( A B, AB ) 对称, 反称?
例6. 若实矩阵(元均为实数) A 满足 AAT = O, 证明 A = O. 2阶矩阵赋予灵感:
设
A
a11
a21
a12 a22
0
0
同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？ 同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？ 解: 设 A, B 对称, 则
AT A
kAT kAT kA
AT A, BT B A BT AT BT A B
kA 对称 A B 对称
1
A
2
2 1
0
,
B
1
1 1
1
AB
2
21
0
1
1 3
反对称矩阵 AT A
反对称(反称) 矩阵:
AT A 即aii 0, aij a ji , i j
1 方阵
2 沿着对角线, 对称位置上的元相反 : aij a ji
例1. 下列矩阵是否为对称矩阵, 反称矩阵?
2 1 1
A
1 1
0 0
0 5
,
A 对称
0 3 1
矩阵运算
即
A× B = C.
注意：
( ai1
ai 2
b1 j b2 j L ais ) M b sj
= ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj
= ∑aikbkj = cij
k= 1 s
例1.求矩阵
1 0 3 −1 A = 2 1 0 2
所 以 0 17 T ( AB) ＝ 14 13 － 10 3
解法2：
( AB )
T
= B A
T
T
1 4 2 2 1 = 7 2 0 0 3 −1 3 1 −1 2
0 17 = 14 13. − 3 10
0 0 = 0 0
2. 运算律 1) 矩阵的乘法一般不满足交换律 2) （AB）C = A（BC） 3) λ (AB) = (λA) B = A(λ B), 4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA ( 其中λ为数 );
3. 设E为单位矩阵
T T T
= E − 4XX + 4X( X X) X
T T
T
= E − 4XX + 4XX
T
T
=E
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2、运算律
T
1 A ).
= A;
n
2). λA = λ A;
例8 设
1 1 2,β 1 α = = 2 3 1 3
第1章矩阵运算与矩阵分解111矩阵及其基本运算1
第1章矩阵运算与矩阵分解111矩阵及其基本运算1目录第1章矩阵运算与矩阵分解/11.1 矩阵及其基本运算11.1.1 矩阵及其基本运算回顾11.1.2 矩阵的初等变换31.2 矩阵分解及其在解线性方程组中的应用101.2.1 矩阵的三角分解（LU分解） 101.2.2 矩阵的正交三角分解（QR分解）181.2.3 矩阵的满秩分解201.2.4 矩阵的奇异值分解211.3 矩阵的特征值与特征向量231.3.1 特征值与特征向量241.3.2 特征值的估计271.3.3 求主特征值及其特征向量的幂法291.3.4 QR方法简介311.4 矩阵的广义逆及其应用331.4.1 广义逆矩阵A -331.4.2 广义逆A +361.5 应用案例391.5.1 电力系统小干扰稳定性分析391.5.2 火力发电机组热功效率的在线计算431.5.3 奇异值与特征值分解在谐波源定阶中的等价性47 本章小结49习题150第2章线性空间与线性变换/532.1 线性空间532.1.1 集合与映射532.1.2 线性空间542.1.3 线性空间的基、维数与坐标552.1.4 线性子空间602.2 赋范线性空间与矩阵范数642.2.1 赋范线性空间642.2.2 矩阵的范数652.3 内积空间692.3.1 内积的定义与性质 692.3.2 向量的正交性与施密特（Schmidt）正交化方法71 2.4 矩阵分析初步772.4.1 矩阵序列的极限772.4.2 矩阵级数782.4.3 矩阵幂级数792.4.4 矩阵的微分和积分 812.5 线性变换822.5.1 线性变换的定义与性质822.5.2 线性变换与矩阵852.5.3 线性变换的特征值与特征向量882.5.4 正交变换892.6 应用案例902.6.1 电路变换及其应用902.6.2 基于正交分解的MOA泄漏电流有功分量提取算法96 2.6.3 基于范数的唯一稳态消谐法及其应用1012.6.4 线性变换在求高阶线性常微分方程特解中的应用104 本章小结107习题2108第3章矩阵的若尔当标准形与矩阵函数/1123.1 λ矩阵及其史密斯（Smith）标准形1123.2 矩阵的若尔当标准形1153.3 最小多项式1193.4 矩阵函数1253.5 应用案例1283.5.1 矩阵函数在求解电路暂态响应中的应用1283.5.2 线性系统的能控性与能观性1293.5.3 一阶线性常系数微分方程组和高阶线性常微分方程的初值问题的求解132本章小结136习题3137第4章方程与方程组的数值解法/1404.1 线性方程组的迭代法1404.1.1 迭代法的构造1404.1.2 迭代法的收敛性与收敛速度1424.1.3 几个常用的迭代法1444.2 线性方程组的共轭梯度法1524.2.1 共轭方向法1524.2.2 共轭梯度法1534.3 非线性方程的数值解法1564.3.1 根的隔离与求方程实根的二分法和试位法157 4.3.2 不动点迭代法1624.3.3 牛顿迭代法1694.4 解非线性方程组的迭代法1734.4.1 不动点迭代法1744.4.2 牛顿迭代法1754.5 应用案例1784.5.1 电力系统潮流计算的数学模型及基本解法178 4.5.2 管路计算1864.5.3 气-液平衡计算1904.5.4 架空导线的应力计算193本章小结194习题4195第5章数值逼近方法和数值微积分/1985.1 多项式插值1985.1.1 插值问题与插值多项式1985.1.2 拉格朗日(Lagrange)插值2015.1.3 均差与牛顿插值公式 2055.1.4 埃尔米特(Hermite)插值2115.2 数值积分2145.2.1 数值求积公式及代数精度2155.2.2 插值型求积公式2165.2.3 等距节点的求积公式2175.2.4 复化求积公式2195.2.5 龙贝格(Romberg)求积法2225.2.6 高斯(Gauss)型求积公式2275.3 数值微分2315.3.1 泰勒展开法求数值微分2325.3.2 用插值多项式求数值微分2335.3.3 将数值微分转化为求数值积分2365.4 应用案例2375.4.1 混频器中变频损耗的数值计算2375.4.2 梯形平坡明渠的数值积分水力计算239 本章小结242 习题5243第6章常微分方程的数值解法/2476.1 常微分方程初值问题的欧拉方法2476.1.1 欧拉(Euler)法2486.1.2 梯形法2506.1.3 预测-校正法(改进欧拉法)2516.1.4 局部截断误差2536.2 龙格-库塔方法2546.3 线性多步法2596.4 边值问题的差分方法和打靶法简介2626.4.1 解线性方程边值问题的差分方法2626.4.2 打靶法2646.5 应用案例2656.5.1 无源元件的“瞬态伴随模型”的建立265 6.5.2 磁流体发电通道的数值计算2706.5.3 平面温度场计算问题272本章小结274习题6275参考答案/277参考文献/289。
第十一章 矩阵与线性方程组
4 5
, 求A '.
am1
am
2
L
amn
1 3
解 A' 7 1 0 2
4
5
容易看出,若A为m n矩阵,则A'为n m矩阵, A中第i行第j列处的 元素aij ,在A'中则为第j行第i列的元素.
转置矩阵具有以下性质.
(1)( A') ' A; (2)( A B) ' A' B '
(3) AE EA A;
(4)( A)B (AB) A(B),(为常数).
例5 求解矩阵方程.
2 1
1 2
X
1 1
2 4
,
X
为二阶方阵.
解
设X
x11
x21
x12 x22
,
由题设
2 1x22
1 1
2 4
.
所以
2x11 +x21 x11 2x21
2x12 x22 x12 2x22
L , Ak Ak1A, (k 2,3,L , n).
可以证明Ak Ap Ak p , ( Ak ) p Akp , (k, p为非负整数),当A, B不 可交换时,(AB)k Ak Bk
设线性方程组的一般形式为
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La21 x1
a22 x2 L
第十一章 矩阵与线性方程组
第一节 矩阵的概念及运算 第二节 逆矩阵 第三节 矩阵的秩与初等变换 第四节 线性方程的矩阵求解 第五节 数字实验五 用Mathematica进行矩阵运算和解
线性方程组
第十一章 矩阵与线性方程组
矩阵是解线性方程组的一个十分重要的数学工具，是线性 代数的一个主要研究对象.
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是一个由数个数按照矩形排列的数表。
矩阵的运算是对矩阵进行各种数学操作的过程，通过矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、矩阵的乘法和矩阵的转置。
矩阵的加法是指将两个矩阵对应元素相加得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是指将两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。
矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。
加法的交换律指两个矩阵相加的结果与顺序无关；加法的结合律指三个矩阵相加的结果与加法的顺序无关。
乘法的结合律指三个矩阵相乘的结果与乘法的顺序无关；乘法的分配律指一个数与两个矩阵相乘的结果等于这个数与每个矩阵相乘后再相加的结果。
矩阵运算的应用非常广泛，特别是在线性代数、概率论和统计学中。
在线性代数中，矩阵的运算可以用于求解线性方程组、计算矩阵的秩和行列式、求解特征值和特征向量等问题。
在概率论和统计学中，矩阵的运算可以用于计算协方差矩阵、相关矩阵和条件概率矩阵，从而帮助我们分析和理解数据的关系和分布。
除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算。
例如，矩阵的逆运算是指对于一个可逆矩阵，可以找到一个矩阵使得两个矩阵相乘等于单位矩阵。
矩阵的转置运算是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。
矩阵的迹运算是指矩阵主对角线上元素的和。
这些特殊的矩阵运算在实际应用中也有着重要的作用。
总的来说，矩阵的运算及其运算规则是线性代数中的重要内容，通过对矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。
矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。
除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算，如矩阵的逆运算、转置运算和迹运算。
这些矩阵运算在实际应用中具有重要作用，可以帮助我们解决各种数学和统计问题。
1.1矩阵及其运算
1 4
AT
2
5 ;
2 8
B 18 6,
BT 18. 6
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
例6 已知
1 7 1
A 2 1
0 3
1, 2
B 4
2
2 0
3
,
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 0 L ann
（6）下三角阵
b11
F
b21
0 b22
L 0
L
O
0
M M O M
bn1
bn2
L
bnn
4 阶梯形矩阵
阶梯形矩阵满足下面两个条件 : (1) A中若有零行,则该行下所有行均为零行; (2)非零行中左起第一个不为零的元素(叫做首非零元素) 的位置, 按行从上到下往右移动.
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
２、矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行的）
1 结合律 ABC ABC; 2 右分配律 AB C AB AC,
左分配律 B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
2 2
1 1
0
A3 A2 A 0 2 2 0 1
0 0 2 0 0
3 32 3
0 3 32
0 0 3
3 3 2 3 1 0
专题11 矩阵与变换(解析版)-2020年江苏高考数学试卷名师分析与预测
专题十一 矩阵与变换一、近几年江苏高考1、（2019年江苏卷）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【解析】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--. 令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.2、（2018年江苏卷） 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P 的坐标．【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 详解：（1）因为，，所以A 可逆，从而．（2）设P (x ，y )，则，所以，因此，点P 的坐标为(3，–1)．点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.3、（2017江苏卷）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002. (1) 求AB ；(2) 若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．规范解答：(1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210.(2) 设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.4、(2016年江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2，求矩阵AB . 规范解答 设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11412 . 因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤114012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1540－1. 5、(2015年江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 规范解答 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－2，λ2＝1， 所以矩阵A 的另一个特征值为1. 二、近几年高考试卷分析这几年矩阵与变换是作为江苏高考必选题型，纵观这几年江苏高考常考题型主要体现以下几点： 1、矩阵的运算和求矩阵的逆矩阵； 2、五矩阵的逆矩阵；3、求矩阵变化下的曲线方程。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则在数学和许多相关领域中，矩阵是一种非常重要的工具。
它不仅在理论研究中发挥着关键作用，还在实际应用中有着广泛的用途，比如图像处理、数据分析、物理学等。
要深入理解和运用矩阵，就必须掌握矩阵的运算及其运算规则。
首先，让我们来了解一下矩阵的加法。
矩阵加法是指两个具有相同行数和列数的矩阵，将它们对应位置的元素相加所得到的新矩阵。
比如说，有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 和矩阵 B ＝ 5 6; 7 8，那么 A ＋ B ＝ 1 ＋ 52 ＋ 6;3 ＋ 74 ＋ 8 ＝ 6 8; 10 12。
这里要注意的是，只有当两个矩阵的行数和列数都完全相同，才能进行加法运算。
接下来是矩阵的减法，它与加法类似，只是将对应位置的元素相减。
例如，矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，矩阵 B ＝ 05 1; 15 2，那么 A B ＝ 1 05 2 1; 3 15 4 2 ＝ 05 1; 15 2 。
然后是矩阵的数乘运算。
这是指用一个数乘以矩阵中的每一个元素。
假设矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，如果用 2 去乘以矩阵 A，那么得到的新矩阵就是 2A ＝ 2×1 2×2; 2×3 2×4 ＝ 2 4; 6 8 。
再来说说矩阵的乘法。
矩阵乘法相对来说要复杂一些。
不是任意两个矩阵都能相乘的，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，它们才能相乘。
假设矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵 B 是 n×p 的矩阵，那么它们相乘得到的矩阵 C 是 m×p 的矩阵。
具体的计算方法是，矩阵C 中第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列对应元素相乘的和。
例如，矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，矩阵 B ＝ 5 6; 7 8，那么AB ＝ 1×5 ＋ 2×7 1×6 ＋ 2×8; 3×5 ＋ 4×7 3×6 ＋ 4×8 ＝ 19 22; 43 50 。
1-1 矩阵及其运算
定义 C AB, 即
a11
a21
a12 b11
a22
b21
b12 b22
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
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a11b12 a12b22
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a22b22
结束
铃
❖ 两矩阵的乘积 设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记
am1
L
a1n b11 L
M M
amn
bm1
L
b1n
M
bmn
a11 b11 L
M
am1
bm1
L
a1n b1n
M
amn
bmn
• 负矩阵 矩阵 A(aij) 的负矩阵定义为 -A(-aij). • 矩阵的减法
b11 - a11 L
B - A B (- A) M
bm1
A
x 7
0 y
,
B
u y
v 2
,
C
3 x
-4 v
求 x, y, u, v 的值.
解
A
2B
-
C
x 7
2u 2y
-
3 x
2v 4 y 4 - v
由 A2B -C O, 得
x 2u - 3 0 2v 4 0 7 2 y - x 0 y4-v 0
解得 x -5, y -6, u 4, v -2.
cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
称矩阵 C (cij )mn为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB. • AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列 的乘积.
矩阵及其运算课后习题答案
第二章 矩阵及其运算课后习题答案1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换． 解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及- 解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛;(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ;(6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=(6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A ,⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问： (1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎭⎫⎝⎛=3121A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148 但=++222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎭⎫⎝⎛=27151610故2222)(B AB A B A ++≠+(3)=-+))((B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎭⎫⎝⎛9060而 =-22B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎭⎫⎝⎛7182 故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的: （１）若02=A ,则0=A ;（２）若A A =2,则0=A 或E A =; （３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =. 解 (1) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A ,02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A ,A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠. 7．设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=12011011012λλλA ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A k k由数学归纳法原理知:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk k k k k kk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明: 当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵. 证明 已知：A A T =则 AB B B A B A B B ABB T T T T TT T T===)()(从而 AB B T 也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =. 证明 由已知：A A T =B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB T T =⇒)(AB AB T=即AB 是对称矩阵. 必要性：AB ABT=)(⇒AB A B T T =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解(1)⎪⎭⎫⎝⎛=5221A ,1=A ..1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A .*-=A A A 11⎪⎭⎫⎝⎛--=1225(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3)2=A , 故1-A 存在 024312111==-=A A A1613322212-==-=A A A21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012 (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a A 0021. 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311111012112X ;(3) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;(4) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2) 1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122 (3) 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x 解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O A k=(k 为正整数),证明：121)(--++++=-k A A A E A E . 证明 一方面，)()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E 就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式:22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A . 所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒- 又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒ 11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设A 为3阶矩阵，21=A ，求*13)2(A A --。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。
矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。
本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。
（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。
假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。
例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。
矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。
2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。
4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。
（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。
假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。
例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。
矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。
2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。
3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。
（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。
假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。
矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。
它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。
矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。
矩阵的运算是线性代数的基本内容。
1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。
凯莱 —— 毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。
本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧——矩阵分块法。
本章要求掌握矩阵的运算，会求可逆阵的逆矩阵。
§1 矩 阵一. 矩阵的定义1、 引例10 求解线性方程组是一个重要问题，但仅仅写方程组就很麻烦，我们的想法是能否找到与线性方 程组一一对应的等价形式，从而化减线性方程组的求解运算。
设含个m 方程、n 个未知数的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1)(1)的系数共有m ×n 个数，可排成一个m 行n 列的矩形的数阵mnm m n n a a a a a a a a a212222111211⇒ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a aa a a212222111211且这个数阵与(1)式左端构成一一对应，称为线性方程组(1)的系数矩阵。
20 列昂杰夫投入—产出模型 从经济角度来看，每个部门都有双重身份：① 作为生产部门生产出各种产品以满足各种需要 —— 产出 ② 作为消费者又消费着其他部门生产的产品 —— 投入设某国民经济(或某地区的经济)有n 个经济部门。
矩阵运算及其应用
y1 y2
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 a23b31
t1 a11b12 a12b22 a13b32 t1 a21b12 a22b22 a23b32
t2 t2
（2-4）
方法二，矩阵运算法。
根据矩阵乘法的定义，可以把式（2-2）和 式（2-3）分别写为式（2-5）和式（2-6） 的矩阵等式：
解：根据已知条件，可以得到：A A + 2I = 5I
则有：
A
A
+ 5
2I
=
I
所以矩阵
A
可逆，且
A-1
=
A
+ 2I 5
。
2.3 矩阵的分块
在矩阵运算中，特别是针对高阶矩阵，常常 采用矩阵分块的方法将其简化为较低阶的矩 阵运算。 用若干条纵线和横线将矩阵分为若干个小矩 阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元 素的矩阵，称为分块矩阵。
A21T
A
T 22
Ar
s
A1rT
A
T 2r
As1T As2T
Asr
T
注意分块矩阵的转置，不仅要把每个子块内 的元素位置转置，而且要要把子块本身的位 置转置。
5．分块对角矩阵 如果将方阵 A分块后，有以下形式：
A1
A
A2
A
r
其中主对角线上的子块 Ai i 1,2,, r 均是方
阵，而其余子块全是零矩阵，则称 A为分块
则有：
C11 C12 AB C21 C22
Cr1 Cr2
C1s
C2s
Cr
s
其中 Ci j = A B i1 1j + Ai2B2j +
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例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 6 2i
2
2
2
是一个 3 3 复矩阵,
2 2 2
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
并把此乘积记作 C AB .
a11 a12
ai1
ai 2
am1 am2
a1,s1 ai,s1 am,s1
a1s
b11 b21
ais
bs1,1
ams
bs1
b1 j b2 j
bs1, j bsj
b1n
b2n
bs1,n
bsn
ai1b1 j ai2b2 j a b i,s1 s1, j aisbsj
例7 已知
1 7 1
A 2 1
0 3
1, 2
B 4
2
2 0
3
,
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
２、矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行的）
1 结合律 ABC ABC; 2 右分配律 AB C AB AC,
左分配律 B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
而言，元素a11,
a22
,
ann
ann
组成主对角线，而元素a1n , a2,n1, ，an1组成次对角线。
不全为0
1 0
（2）形如
0
0 O
2
0
O
0 0
的方阵,
称为对角
矩阵(或对角阵）.
n
记作 A diag1,2,,n .
(3) 纯量阵
a 0
0
B
0
0
a
O
0
O
0
a
全为a
记作 B diag a, a, , a.
(4)方阵
1 0 0
E
En
0 1
O
0 0
O0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.
全为1
（5）上三角阵
a11 a12
a1n
C
0
a22
a2n
O
0 0
ann
（6）下三角阵
b11 0
F
b21
b22
bn1
bn2
0
O
0
bnn
4 阶梯形矩阵
阶梯形矩阵满足下面两个条件 : (1) A中若有零行,则该行下所有行均为零行; (2)非零行中左起第一个不为零的元素(叫做首非零元素) 的位置, 按行从上到下往右移动.
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2、 矩阵加法的运算规律
1 交换律 A B B A;
2 结合律 A B C A B C.
a11
3
A
a21
a12
a22
1.1.矩阵及其运算
1.1.1 矩阵定义
二元线性方程组
3x 2y 6, x 4y 8.
1
中，利用x,y的四个系数以及方程右边的常数 6，8，
按它们在方程组中的原来次序，可以分别把它们排
成二行二列，二行一列，及二行三列的三张数表
3 2
1
4
(2)
6
8
(3)
3 2 6
1
4
8
(4)
类似地，关于n个未知数x1,x2,…xn的m个方程的线
性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(5)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
中，利用m×n个系数以及方程右边的常数 ，可以分 别把它们排成m行n列，m行一列，及m行n+1列的三 张数表
a11 a12
a21
称f(A)为A的方阵多项式。
例
6
设f
(x)
x2
4x
3,
A
2 3
41，则
f ( A) A2 4 A 3E2
2 1 2 1 2 1 1 0
3
4
3
4
4
3
4
3
0
1
7 18
6 19
8 12
4 16
3 0
0
3
2 6
2
6
五、矩阵的其它运算
１、转置矩阵
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
3 方阵的定义及几类特殊方阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 方阵.也可记作 An .
13 6 2
例如
2
2
2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
主对角线 a11 a12
对方阵A
a21
a22
an1 an2
a1n 次 对角线
a2n
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
A B (aij bij )mn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
c11
c1 j
c1n
=
ci1
cij
cin
cm1
cmj
cmn
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
1 2 3
例如
3 5
2 8
1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
1 2
3
3 2
1 3 2 2
3 1
10.
1
例2 C 2
1
4 2
a1n a2n
aij ,
am1 am1 amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
例4 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
1 0
例5
设A
0
1 求Ak .
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
0 0 0 0
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例3 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
中，设
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
b1
b
b2
bn
A称为方程组(10)的系数矩阵, b10）可写成向量方程
Ax b. （11）
(11)式的左边就是两个矩阵相乘，因此利用矩阵的 乘法运算，不但可以将一个复杂的方程组形式上进 行简化，我们可以用矩阵相乘求解方程组(10).
a22
am1 am2
a1n
a2n
(6)
amn
b1
b2
(7)
bm
a11 a12
a21
a22
a1n b1
a2n
b2
(8)
am1
am2
amn
bm
象这样的数表(2),(3),(4),(6),(7),(8)，我们称之 为矩阵。
定义1.1.1
由m×n个数aij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 排成的m行n列(横排叫行,纵排叫列)的数表:
１、定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
是一个m n 矩阵 C cij ，其中它的每一个
元素