最新整理初三数学九年级数学竞赛双曲线专题教案.docx
(完整word版)双曲线教案(详案)
2.3。
1双曲线及其标准方程一、复习回顾： 老师：我们之前学习了椭圆,老师：我们根据椭圆的定义:与两定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆。
可以画出椭圆的图形。
并且椭圆有上面两种情况,一种交点在x 轴上，第二种交点在y 轴上.思考？ 平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹又是什么图形呢？引入实例画双曲线:(1)取一条拉链，拉开一部分（2)在拉开的两边上各选择一点，固定在板上的两点 F 1、F 2(3)把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开闭拢，画出一条曲线(利用几何画板展示画双曲线)画双曲线.exe老师： 我们看到最后画出的是这样的一个图形，这就是我们今天所学习的新的图形叫做“双曲线” 板书:二、双曲线的定义:1、平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数2a(小于｜F 1F 2 ｜）的点的轨迹叫双曲线2、定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点．x y x22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b a b +=>>3、两焦点之间的距离叫做焦距（2c）．三、双曲线的标准方程老师：我们之前学习了椭圆有两种标准方程,那么我们今天所学习的双曲线呢，它的标准方程又是什么呢？下面我们一起来探讨一下。
板书：（板书推导出标准方程)第一步建立直角坐标系以线段F1F2中点为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系,则F1(—c,0)，F2（c，0）。
第二步设点设M(x，y）第三步列式由定义可得|｜MF1｜-｜MF2|｜＝2a第四步代坐标=2a第五步化简—+=（）设c2-a2＝b2得=标准方程：=1图形：）特点：（1）、表示焦点在x轴上的双曲线(2）、其焦点坐标为（c，0）,（—c，0）（3）、双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为2a即：=1(双曲线的标准方程）四、分类老师：我们前面学习了椭圆，我们知道椭圆有两种不同的图形，那么我们今天学习的双曲线呢，也有两种类型。
双曲线专题教案
双曲线专题教案一、知识要点：1. 掌握双曲线的定义、标准方程。
2. 研究直线与双曲线的位置关系及应用。
3. 学习过程中注意类比椭圆的研究问题与方法：加深对圆锥曲线研究内容与研究方法的理解。
二、典型例题：例1.(1)双曲线2mx2-my2=2的一条准线为y=1，求m(2)焦点在y轴的双曲线方程为nx2+my2=1，求焦点坐标。
解：(1)所以(2)焦点坐标为例2. 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线为3x+5y=0，(1)求离心率；(2)若双曲线过点求双曲线方程。
(1)[法1]若焦点在x轴上，设双曲线为，由渐近线为3x+5y=0，若焦点在y轴上，设双曲线为，由渐近线为3x+5y=0[法2]共渐近线3x+5y=0的双曲线为(2)设总结：关于双曲线标准方程有以下结论：(1)与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可表示为：(2)若渐近线方程，则双曲线的方程可表示为：(3)与双曲线共焦点的双曲线方程为(4)给两个已知点的双曲线的标准方程为(5)与椭圆有共同焦点的双曲线方程为利用上述结论，求关于双曲线的标准方程，可以简化解题过程，提高解题速度。
例3.试确定直线y=k(x-1),(k∈R)与双曲线x2-y2=4的公共点的个数。
解：由(1)1-k2=0，即k=±1，方程[1]的解为，此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线右支交点的纵坐标为(2)1-k2≠0即k≠±1时，△=4k2+4(1-k2)(k2+4)=4(4-3k2)所以，当，直线与双曲线有两个公共点；(i)当k∈(-1,1)时，直线与双曲线的两支各交于一点，(ii)当时，直线与双曲线的右支交于两点；(3)4-3k2=0，即时，△=0，方程组有两个相同的实数解，直线与双曲线只有一公共点，称为直线与双曲线相切。
(4)4-3k2<0，即，满足△<0，方程组无实数解，此时，直线与双曲线没有公共点，称为直线与双曲线相离。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其几何性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。
2. 过程与方法：（1）通过观察图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用代数方法，求解双曲线的标准方程。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神，提高解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其几何性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求解过程；（2）理解双曲线几何性质与标准方程之间的关系。
三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：教材、笔记本、作图工具。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：椭圆的定义及其标准方程；（2）提问：椭圆与双曲线有什么关系？它们在几何性质上有什么区别？2. 自主学习（1）学生自主阅读教材，了解双曲线的定义及其几何性质；3. 合作探究（1）学生分组讨论，探究双曲线的标准方程及其求解方法；4. 课堂讲解（1）讲解双曲线的定义及其几何性质；（2）讲解双曲线的标准方程及其求解过程。
5. 巩固练习（1）学生完成课后练习题，巩固所学知识；（2）教师点评练习题，解答学生疑问。
五、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 调查生活中有关双曲线应用的实例，下节课分享。
六、教学拓展1. 对比椭圆、双曲线在几何性质上的异同，引导学生思考它们的联系和应用场景。
2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星系运动等。
七、课堂小结2. 强调双曲线在实际应用中的重要性。
八、教学反思1. 教师对本节课的教学内容、教学方法进行反思，思考如何提高教学效果。
九、课后跟进1. 教师通过批改作业，了解学生对双曲线知识的掌握情况，针对性地进行辅导。
2. 学生根据课堂学习和课后练习，查漏补缺，巩固双曲线知识。
十、教学评价1. 学生对本节课的学习情况进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现。
双曲线教学案例
双曲线教学案例
一、教学目标
1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其性质。
2. 通过对双曲线的探究，培养学生的数形结合思想。
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力和数学思维能力。
二、教学内容
1. 双曲线的定义与标准方程
2. 双曲线的几何性质
3. 双曲线的实际应用
三、教学重点与难点
重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
难点：双曲线方程的推导及其几何意义的理解。
四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：GeoGebra、几何画板等。
五、教学方法与手段
1. 教学方法：情境导入法、讲解法、小组讨论法。
2. 教学手段：利用多媒体资源，结合传统板书，进行动态演示和讲解。
六、教学过程
1. 导入新课（5分钟）
通过展示一些与双曲线相关的图片或动画，引导学生思考双曲线的形状和特点，从而导入新课。
2. 讲解新课（30分钟）
（1）定义讲解：通过实例解释双曲线的定义，引导学生理解双曲线的本质属性。
（2）标准方程推导：通过代数方法推导双曲线的标准方程，利用教学软件进行动态演示。
（3）几何性质分析：结合图形分析双曲线的几何性质，如对称性、顶点、渐近线等。
3. 巩固练习（15分钟）
设计相关练习题，让学生亲自动手计算和推导，加深对双曲线知识的理解。
4. 归纳小结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，强调双曲线的定义、标准方程及其几何性质，让学生明确本节课的重点和难点。
5. 布置作业（5分钟）
布置相关练习题，让学生课后自主完成，巩固所学知识。
双曲线的教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能：- 学生能够理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程。
- 学生能够熟练运用双曲线的性质进行几何作图和方程求解。
- 学生能够通过实例分析，了解双曲线在物理学、工程学等领域的应用。
2. 过程与方法：- 通过直观演示和几何构造，培养学生的空间想象力和几何直观能力。
- 通过小组合作和探究活动，培养学生的合作精神和探究能力。
- 通过数学建模，培养学生的数学应用能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生对数学的热爱和兴趣，增强数学学习的自信心。
- 培养学生严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神。
二、教学重难点1. 教学重点：- 双曲线的定义和标准方程。
- 双曲线的性质和几何作图。
2. 教学难点：- 双曲线标准方程的理解和应用。
- 双曲线性质的综合运用。
三、教学过程（一）导入新课1. 展示生活中的双曲线实例（如：滑冰场、电视天线等），引导学生思考双曲线的几何特征。
2. 通过提问，引导学生回顾平面直角坐标系和抛物线的相关知识。
（二）讲授新课1. 双曲线的定义：- 利用几何构造，展示双曲线的定义：平面内与两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数（大于两焦点距离）的点的轨迹。
- 通过动画演示，让学生直观理解双曲线的形成过程。
2. 双曲线的标准方程：- 引导学生推导双曲线的标准方程，分别讨论焦点在x轴和y轴上的情况。
- 强调双曲线标准方程中a、b、c之间的关系，以及渐近线的方程。
3. 双曲线的性质：- 通过实例分析，讲解双曲线的对称性、渐近线、顶点、实轴、虚轴等性质。
- 引导学生运用双曲线的性质进行几何作图和方程求解。
（三）巩固练习1. 基本练习：完成课本上的例题和习题，巩固双曲线的定义、方程和性质。
2. 应用练习：结合实际问题，如双曲线在光学、工程学等领域的应用，进行综合练习。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结双曲线的定义、方程和性质。
2. 强调双曲线在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
初中双曲线画图教案模板
初中双曲线画图教案模板一、教学目标1. 让学生了解双曲线的定义和性质，能够识别和描述双曲线。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对双曲线的探究，培养学生的合作意识，提高学生的探究能力。
二、教学内容1. 双曲线的定义和性质2. 双曲线的画法3. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 双曲线的定义和性质2. 双曲线的画法四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究双曲线的性质和画法。
2. 利用多媒体技术辅助教学，直观展示双曲线的图形和变化过程。
3. 组织小组合作学习，培养学生之间的交流与协作能力。
五、教学步骤1. 导入新课通过展示生活中常见的双曲线图形，如卫星轨迹、声音传播等，引发学生对双曲线的兴趣，进而导入新课。
2. 自主探究引导学生通过观察、分析、归纳双曲线的性质，如渐近线、离心率等。
学生通过自主探究，总结双曲线的性质，并能够描述双曲线的基本特点。
3. 教师讲解根据学生的自主探究结果，教师进行讲解，详细介绍双曲线的定义、性质和画法。
通过示例，讲解双曲线的画法步骤，让学生掌握双曲线的画图技巧。
4. 练习与反馈学生根据教师讲解的方法，独立完成双曲线的画图练习。
教师对学生的练习进行点评，及时给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
5. 应用拓展引导学生运用双曲线的知识解决实际问题，如卫星轨道计算、信号传播等。
通过解决问题，让学生体会数学在生活中的应用价值。
六、教学评价1. 学生能够准确描述双曲线的性质和画法。
2. 学生能够运用双曲线的知识解决实际问题。
3. 学生具备良好的合作意识和探究能力。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的辅导措施，促进学生的全面发展。
八、课后作业1. 复习双曲线的定义和性质，总结双曲线的基本特点。
2. 练习双曲线的画图，熟练掌握画图技巧。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
【范文】九年级数学竞赛双曲线专题教案
九年级数学竞赛双曲线专题教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2．双曲线图象上的点是关于原点o成中心对称，在>0时函数的图象关于直线轴对称；在<0时函数的图象关于直线轴对称．3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．【例题求解】【例1】已知反比例函数的图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值随的增大而．思路点拨确定的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．注：解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．一个常用命题：如图，设点A是反比例函数的图象上一点，过A作AB ⊥轴于B，过A作Ac⊥轴于c，则①S△AoB=；②S矩形oBAc=．【例2】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、c两点，过A作AB⊥轴于B，连结Bc，若S△ABc的面积为S，则A．S=1B．S=2c．S=D．S=思路点拨运用双曲线的对称性，导出S△AoB与S△oBc的关系．【例3】如图，已知一次函数和反比例函数的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．求实数的取值范围；若△AoB面积S＝24，求的值．思路点拨两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；S△AoB=S△coBS-S△coA，建立的方程．【例4】如图，直线分别交、轴于点A、c，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴于B，S△ABP=9．求点P的坐标；设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥轴于F，当△BRT与△Aoc相似时，求点R的坐标．思路点拨从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．【例5】如图，正方形oABc的面积为9，点o为坐标原点，点A在轴上，点c在轴上，点B在函数的图象上，点P是函数的图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形oEPF和正方形oABc不重合部分的面积为S．求B点坐标和的值；当时，求点P的坐标；写出S关于m的函数关系式．思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形oAGF可用含的代数式表示，解题的关键是双曲线关于对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程，解方程便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．学历训练．若一次函数的图象如图所示，则抛物线的对称轴位于y 轴的侧；反比例函数的图象在第象限，在每一个象限内，y随x的增大而．2．反比例函数的图象经过点A，其中m，n是一元二次方程的两个根，则A点坐标为．3．如图：函数（≠0）与的图象交于A、B两点，过点A 作Ac⊥轴，垂足为点c，则△Boc的面积为4．已知，点P是第一象限的点，下面四个命题：点P关于y轴对称的点P1的坐标是；点P到原点o的距离是n；直线y=-nx+2n不经过第三象限；对于函数y=，当x＜0时,y随x的增大而减小；其中真命题是.5．已知反比例函数y=的图像上两点A、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2,则m的取值范围是A．m＜oB．m＞0c.m＜D.m＞6．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为7．已知反比例函数当时，y随x的增大面增大，那么一次函数的图象经过A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限c．第一、三、四象限D．第二、三、四象限8．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点o对称，Ac⊥轴于c，BD⊥轴于D，如果四边形AcBD的面积为S，那么A．S＝1B．1<S<2c．S>2D．S＝29．如图，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=的图像在第一象限交于c点，cD垂直于x轴，垂足为D．若oA=oB=oD=l．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．0．已知A，B是直线与双曲线的两个不同交点．求的取值范围；是否存在这样的值，使得?若存在，求出这样的值；若不存在，请说明理由．1．已知反比例函数和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像经过，两点．求反比例函数的解析式；如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点坐标；利用的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使ΔAoP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.2．反比例函数的图象上有一点P，其中m、n是关于t 的一元二次方程的两根，且P到原点o的距离为，则该反比例函数的解析式为．3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AoB 的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20= ．4．老师给出一个函数y=f，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：．5．已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点P．求这个一次函数的解析式；如果等腰梯形ABcD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点c、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、Bc与轴平行，且A、B的横坐标分别为和，求的值．6．如图，直线经过A，B两点，点P是双曲线上任意一点，Pm⊥轴，PN⊥轴，垂足分别为m，N．Pm与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．求证：AF×BE＝1；若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．17．已知矩形ABcD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为，其中x>0，y>0．求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；用x、y表示矩形ABcD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵，且∴．．∴当=0，即时，取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABcD的外接圆面积S 最小?并求出S的最小值；如果直线y=mx+2与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABcD面积的?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。
二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。
2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。
三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。
2. 双曲线方程的求解。
四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。
2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。
3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。
4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。
5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。
7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。
2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。
3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。
2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。
3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。
3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。
4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。
7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。
六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。
七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。
2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。
3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。
2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
3. 第三课时：例题分析与实际应用。
4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。
九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。
2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。
双曲线教案(绝对经典)
第6节双曲线【最新考纲】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【高考会这样考】 1.考查双曲线的定义、标准方程和几何性质；2.考查直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想的应用．要点梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质[友情提示]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a ，也叫通径. 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) 解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3)D.(0，3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3. 答案 A3.已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)，将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. 答案 D4.若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析 由题意知1＋m1＝e 2＝3，则m ＝2. 答案 25.经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析 设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1. 答案 x 28－y 28＝1错误!题型分类 深度解析考点一 双曲线的定义及其应用【例1】 (1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)B (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【变式练习1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________.解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34. (2)由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案 (1)C (2)17考点二 双曲线的标准方程的求法【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(一题多解)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________. 解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. (2)法一 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)， 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 根据定义知2a ＝|（15－0）2＋（4－3）2－ （15－0）2＋（4＋3）2|＝4， 故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5， 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.法二 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.法三 设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去). 故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 答案 (1)B (2)y 24－x 25＝1规律方法 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值. 【变式练习2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1(2)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1D.y 224－x 212＝1解析 (1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，所以|2b |a 2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F (2，0)可得a 2＋b 2＝4，所以|b |＝3，即b 2＝3，所以a 2＝1，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)∵x 2＝24y ，∴焦点为(0，6)，∴可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0). ∵渐近线方程为y ＝±ab x ， 其中一条渐近线的倾斜角为30°，∴a b ＝33，c ＝6，∴a 2＝9，b 2＝27.其方程为y 29－x 227＝1. 答案 (1)D (2)B 考点三 双曲线的性质【例3】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________.(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________. 解析 (1)如图，点M ，N 所在的渐近线为ay －bx ＝0，圆A的圆心A (a ，0)到渐近线的距离d ＝|0－ab |a 2＋b 2，又M ，N 均为圆A 上的点，∴|AM |＝|AN |＝b ，又∠MAN ＝60°，∴△MAN 为等边三角形，在△MAN 内，A 到边MN 的距离为d ＝|AM |·cos 30°＝32b ，即|0－ab |a 2＋b 2＝32b ，解得a 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . 答案 (1)233 (2)y ＝±22x规律方法 1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2. 2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.【变式练习3】 (1)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A.(2，＋∞)B.(2，2)C.(1，2)D.(1，2)(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 (1)由题意e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2，因为a >1，所以1<1＋1a 2<2，则1<e < 2.(2)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33. 答案 (1)C (2)A课后练习A 组(时间：40分钟)一、选择题1.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 答案 B2.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1 解析 由e ＝2知a ＝b ，且c ＝2a . ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x . 又k PF ＝4－00＋c ＝4c＝1， ∴c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案 B3.若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A.2B. 3C. 2D.233解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b 2，又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2. 答案 A4.过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B两点，则|AB |＝( ) A.433B.23C.6D.4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D5.已知F 1，F 2分别为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5D.37＋2 5解析 由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值， 则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案 C 二、填空题6.双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析 由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y ＝±3a x ，结合题意可得：a ＝5. 答案 57.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为________.解析 根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b a x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案 x 2－y 23＝18.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.解析 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2，可得c ＝3a ，所以e ＝ca ＝ 3. 答案3三、解答题9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23， k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标. 解 (1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).B 组(时间：20分钟) 11.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.3＋54 C.1＋52 D.3＋52 解析 根据题意知直线l 的方程为y ＝b c x ＋b ，即bx －cy ＋bc ＝0，因为点F 2到直线l 的距离等于实半轴的长，所以|2bc |b 2＋c2＝a ，即4c 2(c 2－a 2)＝a 2(－a 2＋2c 2)， ∴4e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋54， ∴e ＝3＋52或e ＝－3＋52(舍去). 答案 D12.已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________.解析 由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0).设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案 －213.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1， 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
双曲线的几何性质数学教案设计
双曲线的几何性质数学教案设计一、教学目标1. 理解双曲线的定义和标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、离心率等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义和标准方程介绍双曲线的定义，即所有到两个固定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合。
推导双曲线的标准方程，即\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > 0, b > 0\)）。
2. 双曲线的焦点和准线解释双曲线的焦点概念，即双曲线上每个点到两个焦点的距离之差等于双曲线的离心率。
推导双曲线的焦点坐标，即\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
介绍准线的概念，即与双曲线对称的直线，其方程为\(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
3. 双曲线的离心率定义双曲线的离心率\(e\) 为\(e = \frac{c}{a}\)。
解释离心率与双曲线的形状的关系，即\(e > 1\) 表示双曲线开口向外，\(e < 1\) 表示双曲线开口向内。
4. 双曲线的渐近线介绍双曲线的渐近线概念，即当\(x\) 趋于无穷大或无穷小时，双曲线的曲线趋近于一条直线。
推导双曲线的渐近线方程，即\(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
5. 双曲线的对称性和周期性解释双曲线的对称性，即双曲线关于\(x\) 轴和\(y\) 轴对称。
介绍双曲线的周期性，即双曲线在\(x\) 轴和\(y\) 轴上具有无限周期。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索双曲线的几何性质，激发学生的学习兴趣和主动性。
2. 使用图形和实例进行直观的解释和演示，帮助学生理解和记忆双曲线的几何性质。
3. 组织小组讨论和合作，鼓励学生之间的交流和思考，培养学生的团队合作能力。
四、教学评估1. 课堂讲解和提问：通过观察学生在课堂上的参与和回答问题的表现，评估学生对双曲线几何性质的理解程度。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的基本几何性质，包括渐近线方程、离心率、焦距等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与标准方程2. 双曲线的渐近线方程3. 双曲线的离心率4. 双曲线的焦距5. 双曲线与其他几何图形的关系三、教学重点与难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
2. 难点：双曲线渐近线方程的推导，离心率、焦距的计算。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问和发表见解。
五、教学过程：1. 导入：回顾椭圆的几何性质，引导学生思考双曲线的定义及其与椭圆的区别。
2. 新课：讲解双曲线的定义与标准方程，引导学生理解双曲线的图形特点。
3. 探究：让学生自主探究双曲线的渐近线方程，教师给予指导。
4. 讲解：讲解双曲线的离心率和焦距的计算方法，结合实际例子进行演示。
5. 应用：布置练习题，让学生运用双曲线的几何性质解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，了解其对双曲线几何性质的掌握程度。
4. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高其分析和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 教案、PPT课件2. 数学教材3. 练习题及答案4. 几何画图软件（可选）八、教学进度安排：1. 第一课时：双曲线的定义与标准方程2. 第二课时：双曲线的渐近线方程3. 第三课时：双曲线的离心率4. 第四课时：双曲线的焦距5. 第五课时：双曲线与其他几何图形的关系九、教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其变化规律。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，培养学生的观察和分析能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生探索双曲线的标准方程。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学美的欣赏，培养其对数学的兴趣；（2）培养学生团结协作、积极探究的精神。
二、教学重难点1. 教学重点：双曲线的定义、性质及标准方程。
2. 教学难点：双曲线标准方程的推导和应用。
三、教学过程1. 导入：（1）回顾椭圆的定义和标准方程；（2）通过提问，引出双曲线的概念。
2. 自主学习：（1）让学生根据已有知识，尝试描述双曲线的特征；3. 合作交流：（1）分组讨论，让学生探究双曲线的标准方程；4. 知识拓展：（1）介绍双曲线在实际应用中的例子；（2）引导学生思考双曲线与其他几何图形的关系。
四、课堂练习1. 填空题：（1）双曲线是平面上一对_____为定值的点的轨迹；（2）双曲线的标准方程为_____。
2. 解答题：（1）已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)，求证它是双曲线；（2）求双曲线\(\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{3} = 1\) 的实轴长和虚轴长。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义、性质和标准方程；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 探索双曲线在其他领域的应用。
六、教学评价1. 评价目标：了解学生对双曲线及其标准方程的理解和掌握程度。
2. 评价方法：（1）课堂练习的完成情况；（2）课后作业的质量；（3）学生对双曲线实际应用案例的分析能力。
七、教学反思1. 反思内容：（1）学生对双曲线定义和性质的理解程度；（2）学生在探索双曲线标准方程过程中的困难与问题；（3）教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 改进措施：（1）针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度；（2）采用更多直观的教学工具，如图形软件，以增强学生的直观感受；（3）鼓励学生提问和参与课堂讨论，提高学生的主动学习意识。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 双曲线的定义与性质定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
性质：双曲线是中心对称图形，具有对称性、渐进线等性质。
2. 双曲线的标准方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)）焦点：\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)实轴：\(x = \pm a\)虚轴：\(y = \pm b\)渐近线：\(y = \pm\frac{b}{a}x\)三、教学重点与难点1. 重点：双曲线的定义、性质和标准方程。
2. 难点：双曲线标准方程的推导和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质和标准方程。
2. 利用数形结合法，直观展示双曲线的几何特征。
3. 运用实例分析法，让学生学会解决实际问题。
五、教学安排1. 第一课时：介绍双曲线的定义与性质。
2. 第二课时：推导双曲线的标准方程。
3. 第三课时：应用双曲线的标准方程解决实际问题。
4. 第四课时：巩固练习，拓展提高。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学策略1. 利用多媒体课件，展示双曲线的图形，增强学生对双曲线几何形状的认识。
2. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握双曲线的标准方程。
3. 组织小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
七、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和解决问题的能力。
八、教学反馈1. 课堂讲解：通过提问、回答问题等方式，了解学生对双曲线知识点的掌握情况。
双曲线教案 国赛一等奖教学设计
2．双曲线的简单几何性质（共2课时）一、教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．（五）例题讲解例1求双曲线22143x y-=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是ay xb=±．练习P41 练习1例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其求法；（3）能够运用双曲线及其标准方程解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳双曲线的性质，提高学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生理解双曲线的标准方程的求法；（3）培养学生的动手实践能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神；（2）培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作意识；（3）培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其求法。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求法；（2）运用双曲线及其标准方程解决实际问题。
三、教学方法1. 情境导入法：通过展示与双曲线相关的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入学习状态。
2. 讲授法：系统讲解双曲线的定义、性质及其标准方程，使学生掌握双曲线的基本知识。
3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题，提高学生的实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作精神和团队意识。
四、教学过程1. 导入新课：展示与双曲线相关的实际问题，引导学生关注双曲线在实际生活中的应用。
2. 讲解双曲线的定义及其性质：结合图形，讲解双曲线的定义，引导学生理解双曲线的性质。
3. 讲解双曲线的标准方程：引导学生观察双曲线的性质，引导学生归纳出双曲线的标准方程。
4. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题。
5. 小组讨论：组织学生分组讨论，探讨双曲线及其标准方程在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 复习双曲线的标准方程及其求法；3. 完成课后练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对双曲线定义及其性质的理解程度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最新整理初三数学教案九年级数学竞赛双曲线专题
教案
2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在》0时函数的图象关于直线轴对称；在《0时函数的图象关于直线轴对称．
3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．
例题求解
例1已知反比例函数的图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值随的增大而(填增大或减小)．
思路点拨确定的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．
注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．
(2)一个常用命题：
如图，设点A是反比例函数()的图象上一点，过A作AB⊥轴于B，过A作AC⊥轴于C，则
①S△AOB=；
②S矩形OBAC=．
例2如图，正比例函数()与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作AB ⊥轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则()
A．S=1B．S=2C．S=D．S=
思路点拨运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系．
例3如图，已知一次函数和反比例函数()的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
(1)求实数的取值范围；
(2)若△AOB面积S＝24，求的值．
( 荆门市中考题)
思路点拨(1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；
(2)S△AOB=S△COBS-S△COA，建立的方程．
例4如图，直线分别交、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴于B，S△ABP=9．
(1)求点P的坐标；
(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
思路点拨(1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．例5如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C 在轴上，点B在函数(，)的图象上，点P(，)是函数(，)的图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC 不重合部分的面积为S．
(1)求B点坐标和的值；
(2)当时，求点P的坐标；
(3)写出S关于m的函数关系式．
思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含的代数式表示，解题的关键是双曲线关于对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．
注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程
组得到，求符合某种条件
的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．
学历训练
1．若一次函数的图象如图所示，则抛物线的对称轴位于y轴的
侧；反比例函数的图象在第象限，在每一个象限内，y随x的增大而．
2．反比例函数的图象经过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程的两个根，则A点坐标为．
3．如图：函数（≠0）与的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥轴，垂足为点C，则△BOC的面积为
4．已知，点P(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题：
(1)点P关于y轴对称的点P1的坐标是(n，-2n)；(2)点P到原点O的距离是n；(3)直线y=-nx+2n不经过第三象限；(4)对于函数y=，当x＜0时,y随x 的增大而减小；其中真命题是.(填上所有真命题的序号)
5．已知反比例函数y=的图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2,则m的取值范围是()
A．m＜OB．m＞0C.m＜D.m＞
6．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为()
7．已知反比例函数当时，y随x的增大面增大，那么一次函数的图象经过()
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
8．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥轴于C，BD⊥轴于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么()
A．S＝1B．1《S《2C．S》2D．S＝2
9．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)的图像与x轴、y轴分别交于A、B 两点，且与反比例函数y=(m≠0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=l．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直线与双曲线()的两个不同交点．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在这样的值，使得?若存在，求出这样的值；若不存在，请说明理由．
11．已知反比例函数和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像经过(a，b)，(a+1，b+k)两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点坐标；
(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使ΔAOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
12．反比例函数的图象上有一点P(m，n)，其中m、n是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点O的距离为，则该反比例函数的解析式为．13．如图，正比例函数的图象与反比例函数()的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20=．
14．老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数图像不经过第三象限；
乙：函数图像经过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；
丁：当x＜2时，y＞0
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：．15．已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点P(m，2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D 在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与轴平行，且A、B的横坐标分别为和，求的值．
16．如图，直线经过A(1，0)，B(0，1)两点，点P是双曲线()上任意一点，PM⊥轴，PN⊥轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．
(1)求证：AF×BE＝1；
(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．
( 江汉油田中考题)
17．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，其中x》0，y》0．
(1)求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
(2)用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
方法：∵(k为常数且k》0，a≠0)，且
∴．．
∴当=0，即时，取得最小值2k．
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小?并求出S的最小值；
(3)如果直线y=mx+2(m《0)与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与(2)中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD 面积的?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案。