初中锐角三角函数.ppt

D
1 2
N
3
M
C
点评：此题是创新综合题，要求我们对图形及其 变换有较深刻的理解，并运用图形对称性和解直 角三角形知识或勾股定理建立等式求解。
Байду номын сангаас
13）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台
风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动， 距台风中心 20 10 海里的圆形区域（包括边界）都属于 台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正 南方向B处，且AB=100海里
4 . 计算： sin 2 4 5 -
1 2

3 - 20 060 + 6 tan30
解：原式= (
2 2
2
) -
1 2
1 +6
3 3
1 1 = - +2 3=2 3 2 2
点评 融特殊角的三角函数值，简单 的无理方程的计算以及数的零次幂的 意义于一体是中考命题率极高的题型 之一
解直角三角形的应用
当∠A+∠B=90°时,
sinA=cosB, cosA=sinB, tanA·tanB=1.
sinA cosA sin2A+cos2A=1
tanA=
（注：sin2A表示sinA的平方）
公式应用：
1、若sinα=cos15 °, 则锐角α＝ 度。 。
。
2、若tanA ·tan15°= 1，则锐角∠A =
3 . 如果 cosA - 0. 5+ 3 tanB- 3 = 0, 那么 A BC是（ C ）
C）等边三角形
D）钝角三角形
解：根据非负数的性质，由已知得 1 cosA = ,tanB = 3 则 A =B =6 0 2
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值
sinD=_____ 3/5 cosD=_____ 4/5 • tanD=_____ 3/4 tanE=_____ 4/3 sinE=_____ 4/5 cosE=_____ 3/5
D
F
4
3 5
E
变式一：
如图,在Rt△DEF中, ∠F=90°，
EF︰DE = 3︰5
sinD=_____ 3/5 cosD=_____ 4/5 • tanD=_____ 3/4 tanE=_____ 4/3 sinE=_____ 4/5 cosE=_____ 3/5
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形 5.解直角三角形的应用
9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直
的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的 距离（即CE的长）为8米，测得旗 杆顶 的仰角∠ECA为30°旗杆底 部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB 的高度是（ ）米
C
B
D
10.如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行，在点 A处测得某岛C在北偏东60°的方向上，航行3小时到达点B， 测得该岛在北偏东30°的方向上且该岛周围16海里内有暗礁 北 （1）试证明：点B在暗礁区外；
（2）若继续向东航行有无触暗礁的危险？
解：1）由题意得，∠CAB=30°， 如图过点C作CD ⊥AB交 2)ABC=120 AB的延长线于 D点，设 ，则 ， C=30 ∠ ° ∠ ° BD=x，在RtBCD中，∠CBD=60°， BC=AB=30×3=90 C >D 16∴点 B在暗礁区外. A CD tan6 0 = = C D= 3 x BD x Rt A C D中，C A D=3 0 CD 3x tan3 0 = = , A D=3 x AD AD 又A D- B D= A B , 即3 x- x= 9 0 x= 45 即C D= 4 5 3 > 16 ∴船继续向东航行没有触礁的危险。
解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5, sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知 （1）（3）都不对，故选 B）
用构造特殊的直角三角形来否定某些 关系式，是解决选择题的常用方法
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 A）锐角三角形 B）直角三角形
5 B ┌ 6 D
5 C
3.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
求:△ABC的周长.
B ┐ C
4 sin A . 5
A
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
1）在RtABC中，∠C=90°BC=a，AC=b 若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3，求a ﹕b的值 解法1 设AB=c由三角函数的定义得： sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b
C
B
D
东
11）如图AM，BN是一束平行的阳光从教室窗户AB射入的平 面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°，在教室地面 的影长MN= 2 3 米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米， B 则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（ ）米
A )2 3 B)3 C) 3. 2 3 3 D) 2
A
解：如图过B作BD MC交AM于D， 则得四边形DBNM是平行四边形 B BD= MN= 2 3 ， ADB=M=30 C 又AC MC于C， AB BD于B， M N AB 3 在Rt ADB中，tanADB= = DB 3 3 3 此题属于光学问题的基本应用，首先 AB= DB= MN=2 3 3 要对有关生活常识有所了解，从图形 AC= AB+ BC= 2+ 1= 3(米) 入手，数形结合，将已知信息转化为 解直角三角形的数学模型去解。
A的对边 sinA= 斜边
A的邻边 cosA= 斜边
你能求出 sinA 0< sinA<1 ，与cosA的 取值范围吗？ 0<cosA<1.
小测验
∠B=900 1、如图，在△ABC中，若AB=10，BC=6， 求sinA的值。 B
10
6
A
C
小测验
A
2.如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
1.１锐角三角函数
感悟定义
BC BC 比值 AB 叫做∠A的正弦(sine [ sain ])，记做sinA= AB AC AC 比值 叫做∠A的余弦(cosine [ kosain ]) ，记做cosA= AB AB BC BC 比值 叫做∠A的正切(tangent [ tæ ndЗənt ]) ，记做tanA= AC AC
12）如图，一张长方形的纸片ABCD，其长AD为a，宽AB 为b(a>b) ，在BC边上选取一点M，将ABM沿着AM翻折 后，B至N的位置，若N为长方形纸片ABCD的对称中心， 求a/b的值。
解：如图连结NC，由已知得， ABM ANM A 1 =2 ，MN AN， 又N是长方形ABCD的对称中心 A，N，C共线，且N是对角线AC的中点， 即AN= NC AM= MC，则2 =3 ， B 在Rt ABC中1 +2 +3 =9 0 a 3 =3 0 ， = cot3 0 = 3 b
∴ a ﹕ b = 2/3
解法2 由三角函数的定义得：
a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB
∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3
抓住三角函数的定义是解题的 关键
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
2 在ABC中∠A≠ ∠ B，∠C=90°则下 列结论正确的是（ ） (1) sinA>sinB (2) sin² A+sin² B=1 (3) sinA=sinB (4) 若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA 也扩大为原来的2倍 A)(1)(3) C)(2)(4) B)(2) D)(1)(2)(3)
北
（1）若该轮船自A按原速度原方向继续航行，在途中 会不会遇到台风？
A
B
东
13）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台
风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动， 距台风中心 20 10 海里的圆形区域（包括边界）都属于 台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正 南方向B处，且AB=100海里 （2）若该轮船自A立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距
60海里的D港驶去继续航行，为使船在台风到达之前到达D港，问 船速至少应提高多少？（提高的船速取整数）
北 D
30°
A B
东
练习：
1、 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、
∠B、∠C的对边分别是a，b，c，•
根据下列条件计算∠A的正弦、余
弦和正切值．
（1）a=2 2，b= 17
（ 2） b ： c = 2 ： 3
（3）cosB=2/3
在直角三角形中进行 三角函数的相关计算 时，要画出图形，根 据勾股定理计算出各 条边长，然后利用三 角函数的定义计算， 注意准确记住各个三 角函数表示的线段之 比。
D
F
3 5
E
变式二： 如图,在Rt△DEF中, ∠F=90°， 3 sinD= 5
cosD=_____ 4/5 • tanD=_____ 3/4 tanE=_____ 4/3
F
3
D
sinE=_____ 4/5
cosE=_____ 3/5
5
E
解后语： 已知直角三角形中的两边或两边之比，
就能求出锐角三角函数值．
3、在Rt△ABC中，∠C = 90°，若sinA = cosA ，则tanA =
4、如果α是锐角，且sin2α+cos2 35º =1，那么α＝ 5、已知sinα+cosα= ，则sinα·cosα= 2