初中锐角三角函数.ppt
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锐角三角函数课件

$sin 30^circ = frac{1}{2}$
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中,锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中,锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中,锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ), k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度,例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长, 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中,一个锐角为 30°,邻边长为3,求对边长。
题目2
在直角三角形中,已知一个锐角 为45°,斜边长为5,求邻边长。
题目3
已知直角三角形中,一个锐角为 60°,对边长为6,求斜边长。
答案与解析
01
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中,锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中,锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中,锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ), k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度,例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长, 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中,一个锐角为 30°,邻边长为3,求对边长。
题目2
在直角三角形中,已知一个锐角 为45°,斜边长为5,求邻边长。
题目3
已知直角三角形中,一个锐角为 60°,对边长为6,求斜边长。
答案与解析
01
《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)

BC AC
= 12 =
AC
34,所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC
17 15
,则tan
15 A=_8__.
由正切定义可知tan A=BACC , 因为 AB 17 , 可设BC=15a,AB=17a,从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC=8a,再用正切的定义求解得 tan A= BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义: 如图,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定,这个比叫做 ∠A的正切,记作tan A, 即tan A= A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大,梯子(坡)越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)

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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件:题干改变“测量点的高度”;“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2.(2020 贺州)如图,小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”,她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°,显示屏底端 C 的仰角为 45°,已知小丽的眼睛与地面距离 AA1=1.6 m, 3.求电子显示屏高 BC 的值.(结果保留一位小数. 4.参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732).
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解:如解图,延长 BC 交 MN 于点 F, 由题意得 AD=BE=3.5 米,AB=DE=FN=1.6 米,
在 Rt△MFE 中,∠MEF=45°,∴MF=EF,
在 Rt△MFB 中,∠MBF=33°,
∴MF=BF·tan33°=(MF+3.5)·tan33°,
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. .如图,为测量电视塔观景台 A 处的高度,某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°,塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米,请计算观景台的高 AB 的值.(结果 精确到 1 米,参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系:a2+b2=c2
关系
2. 两锐角关系:∠A+∠B=90° 3. 边角关系:sinA=cosB= a ;cosA=sinB= b;
tanA=
a
c
;tanB=
b
c
图②用
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1.仰角、俯角:如图③,当从低处观测高处的目标时,视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____,当从高处观测低处的目标时,视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2.坡度(坡比)、坡角:如图④,坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
锐角三角形函数- 完整版课件

三 锐角三角函数
典例精析
例5 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求 sinA,cosA,tanA的值.
解:由勾股定理得
B
10 6
A
C
课堂练习
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍
,
C
B
tanA的值( )
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
┌
2.已知∠A,∠B为锐角,
A
C
(1)若∠A=∠B,则cosA___=__cosB;
(2)若tanA=tanB,则∠A__=___∠B.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;
提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. A
6 ┌3
B
C
(1)
B
┌3
A
C
(2)
B
C
8
A
B
A
C
余弦函数 和
正切函数
课堂小结
余弦
在直角三角形中,锐角α的邻边与 斜边的比叫做角α的余弦
正切
在直角三角形中,锐角α的对边与 邻边的比叫做角α的正切
性质
α确定的情况下,cosα,tanα为定值, 与三角形的大小无关
sin
A
A的对边 斜边
=
a c
cos
A
A的邻边 斜边
=
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
=
a b
The end
THANKS
谢谢观赏
α
典例精析 例3 求 tan30°,tan60°的值. 解:如图,构造一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=30°,
中考数学锐角三角函数(共56张PPT)

二、填空题
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离; (2)求海洋球D处到出口B处的距离.(结果保留整数)
解:(1) ∵AE=80,∠BAE=30°,∠ABE =90°, ∴BE=AEsin30°=80× =40(m). 答:旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.
(2) ∵∠CED=∠AEB,∠DCE=∠ABE =90°,
∴∠D=∠BAE=30°.
∵CD=34 m,
∴DE=
=
=
(m).
∴DB=BE+DE=
≈40+
≈79(m).
答:海洋球D处到出口B处的距离为79 m.
二、填空题
11. 小明在某次作业中得到如下结果: sin27°+ sin283°≈0.122+0.992=0.9945; sin222°+ sin268°≈0.372+0932=1.0018; sin229°+ sin261°≈0.482+0.872=0.9873; sin237°+ sin253°≈0.602+0.802=1.0000;
二、填空题
9. (2017北京)计算:4cos30°+
原式=4× +1-
+2
=
+1- +2=3.
-
+
.
10.(2017湘潭)某游乐场部分平面图如图Z2816所示,点C,E,A在同一直线上,点D,E,B在 同一直线上,测得A处与E处的距离为80 m, C处与D处的距离为34 m,∠C=90°,∠ABE =90°,∠BAE=30°. (2≈1.4,3≈1.7)
图Z28-7
A.
m
B.
m
《锐角三角函数》课件

锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性,周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动,通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1,表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线,呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
单击此处添加文本具体内容,简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容,简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算,通常转化为同角三角函数的除法运算,再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算,注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质,如取值范围、增减性等,以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下,一些特殊角的三角函数值,如0°、30°、45°、60°、90°等,以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性,周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动,通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1,表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线,呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
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目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
单击此处添加文本具体内容,简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容,简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算,通常转化为同角三角函数的除法运算,再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算,注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质,如取值范围、增减性等,以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下,一些特殊角的三角函数值,如0°、30°、45°、60°、90°等,以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
锐角三角函数课件

余弦函数
1
定义和公式
余弦函数描述直角三角形中的比例关系,其定义和公式为cos(x) = 邻边/斜边。
2
图像和性质
余弦函数的图像呈现波浪形状,具有周期性、振幅和相位差等性质。
3
应用举例
余弦函数在几何、物理、工程等领域有广泛的应用,如研究周期性现象和计算机 图形学。
正切函数
定义和公式 图像和性质 应用举例
和差化积公式
三角函数的和差化积公式可 以将两个三角函数的和、差 表达为一个三角函数的乘积。
倍角公式
三角函数的倍角公式用于计 算两倍角的三角函数值。
总结
特点和应用
锐角三角函数具有周期性、对称性和广泛的 应用,为解决实际问题提供了重要的数学工 具。
实际生活中的应用举例
锐角三角函数在摄影、测量、物理仿真等实 际生活中有广泛的应用。
ห้องสมุดไป่ตู้
扩展和推广
锐角三角函数的研究和应用正在不断扩展和 推广,涉及到更多领域和复杂情况。
未来发展和研究方向
锐角三角函数的未来发展将涉及到更多领域 的交叉研究和深入探索。
正切函数用来描述直角三角形中的比例关系, 其定义和公式为tan(x) = 对边/邻边。
正切函数的图像呈现周期性、无界和渐近线等 特点,其图像在某些范围内会无限逼近无穷。
正切函数在物理、工程、电子等领域中常用于 信号处理和电路分析等方面。
三角函数的关系式
基本关系式
正弦、余弦和正切函数之间 有一系列关系式,如sin²θ + cos²θ = 1等。
特点
锐角三角函数的值域在特 定区间内,具有周期性和 对称性等特点。
正弦函数
定义和公式
正弦函数用来描述直角三角形 中的比例关系,其定义和公式 为sin(x) = 对边/斜边。
锐角的三角函数PPT

余弦函数的符号为cos,表示为cos(θ), 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线,表示在直角三角形中,邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数:tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域:(0, π/2)
余弦函数的值域:[-1, 1]
余弦函数的图像:一个周期为2π的周 期函数,图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性:偶函数,f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性:在[0, π/2]上是 增函数,在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数:f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域:正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性:正弦函数是奇函数, 即f(x) = -f(-x)
周期性:正弦函数的周期是 2π,即f(x + 2π) = f(x)
最值:正弦函数的最大值是1, 最小值是-1
图像:正弦函数的图像是一 条正弦曲线,关于原点对称
余弦函数的性质
定义:余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域:(0, ∞)
04
正切函数的图像:在平 面直角坐标系中,正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线, 在y轴右侧的部分为单调 递增,在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义:正弦函数是直角三角 形中的一个角(锐角)的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种,表示 在一个直角三 角形中,对边 (opposite) 的长度与邻边 (adjacent) 的长度之比。
《锐角三角函数的计算》PPT课件教学课件

(3)csoinsαα=tan α
第二十四章 解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.(难点)
导入新课
知识回顾 问题1 一元二次方程的解法有哪些,步骤呢?
A.tan 26°<cos 27°<sin 28° B.tan 26°<sin 28°<cos 27° C.sin 28°<tan 26°<cos 27° D.cos 27°<sin 28°<tan 26°
4.(3 分)在△ABC 中,∠B=74°37′,∠A=60°23′,
则∠C=_4__5_°____,sin A+cos B+tan C≈__1_3_4_6___.
12.(8分)已知三角函数值,求锐角(精确到1″). (1)已知sin α=0.5018,求锐角α;
(1)30°7′9″
(2)已知tan θ=5,求锐角θ.
(2)78°41′24″
【易错盘点】
【例】计算:sin 248°+sin 242°-tan 44°·tan 45°·tan 46°=________.
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论: 推论1:如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么 x1+x2=-p,x1·x2=q.
推论2:以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项 系数为1)是x2-(x1+x2)·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用
第二十四章 解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.(难点)
导入新课
知识回顾 问题1 一元二次方程的解法有哪些,步骤呢?
A.tan 26°<cos 27°<sin 28° B.tan 26°<sin 28°<cos 27° C.sin 28°<tan 26°<cos 27° D.cos 27°<sin 28°<tan 26°
4.(3 分)在△ABC 中,∠B=74°37′,∠A=60°23′,
则∠C=_4__5_°____,sin A+cos B+tan C≈__1_3_4_6___.
12.(8分)已知三角函数值,求锐角(精确到1″). (1)已知sin α=0.5018,求锐角α;
(1)30°7′9″
(2)已知tan θ=5,求锐角θ.
(2)78°41′24″
【易错盘点】
【例】计算:sin 248°+sin 242°-tan 44°·tan 45°·tan 46°=________.
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论: 推论1:如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么 x1+x2=-p,x1·x2=q.
推论2:以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项 系数为1)是x2-(x1+x2)·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用
九年级三角函数复习课件PPT(共19张PPT)

则a= 2 ,∠B= 60°,∠A= 30°.
5.如果 cos A 1 3 tan B 3 0
2
那么△ABC是( D )
A.直角三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.等边三角形
6.直角三角形纸片的两直角边BC为6, AC为8,现将△ABC,按如图折叠,使点A 与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值
在Rt△PAD中,∵∠PAD=90°-60°=30°,
AD 3PD, 12 x 3x,
x 12 6( 3 1) 18. 3 1
∴渔船不改变航线继续向东航行,有触礁危险.
8.如图,甲船在港口P的北偏西60°方向,距港口80海里的A 处,沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P 出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,现两船同时出发, 2小时后乙船在甲船的正东方向.求乙船的航行速度.
谢 谢!
让我们共同进步
(2)两锐角的关系:∠A十∠B=90°
(3)边角的关系:sin A a cos A b tan A a
c
c
b
归纳:只要知道其中的2个元素(至少有一个是边),
就可以求出其余3个未知元素.
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时, 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 直
仰角
线
俯角
水平线
视线
2.坡度、坡角
坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母α表示.
坡度(坡比):坡面的铅
直高度h和水平距离l的
比叫做坡度,用字母i表
示,则 i h tan
l
《锐角三角函数》PPT精美版

已知∠A为锐角,且 <cosA< ,则∠A的取值范围是( )
利用计算器求sin30°时,依次按键
,则计算器上显示的结果是( )
∵在Rt△ACH中,sinA= ,∴CH=AC·sinA=9sin48°≈6.
60°<∠A<90°
D.
利用计算器求值:(保留4位小数)
第二十八章 锐角三角函数
求sin30°的按键顺序是 (2)sin23°5′+cos66°55′; (1)sin67°38′24″; 如图,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.
9sin 48 8 9 cos 48
≈3.382,∴∠B≈73°32′.
上一页 下一页
,则计算器上显示的结果是( )
下列说法正确的是( )
7014)6,则锐角∠B≈______________.
5(2)∠BB的.度数.
(∵2在)∵R在t△RtA△CAHC中H,中s,incAo=sA=,∴C,H∴=AAHC=·sAiCnA·c=os9As=in498c°os≈468.°.
5求sin30°B的. 按键顺序是
3第0二9 0十,八则章α的锐度角数三约角为函(数 )
在用R计t△ 算B器C求Hs中in,24ta°n3B7=′18″=的值,以下按≈键3.顺序正确的是( )
(第2)二sin十2八3°章5′锐+c角os三66角°函55数′;
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.
上一页 下一页
利用计算器求值:(保留4位小数)
如图,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.
5
B.
下列说法正确的是( )
在Rt△BCH中,tanB= =
≈3.
浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共25张PPT)

观察以上计算结果,你发现了什么?
sinA=cosB ,cosA=sinB (∠A+∠B=90)
tanA·tanB=1
(∠A+∠B=90)
B
c
a
┌
A
b
C
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
sin B b cos B a
c
c
tan B b a
如图,在△ABC中,若AB=5,BC=3,则下列结论正确
锐角A,A′的余弦值的关系为( ) A
A.cosA=cosA′ B.cosA=3cosA′ C.3cosA=cosA′ D.不能确定 2.如图,已知P是射线OB上的任意一点,PM⊥OA于M,
且PM:OM=3:4,则cosα的值等于( C)
3 A.4
4 B.3
C.4 5
3
D.
5
3.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,
是关于锐角α的三角函数。
AB AB AC
B
A
C
锐角α的正弦,余弦和正切统称∠α的三角函数.
比值 BC 叫做∠α的正弦(sine),记做sinα.
AB
BC
比值 AC
即sinα= AB
叫做∠α的余弦(cosine) ,记做cosα.
AB
即cosα= AC
AB 比值 叫做∠α的正切(tangent) ,记做tanα.
b,c,则下列各项中正确的是( ) B
A.a=c·sinB B.a=c·cosB C.a=c·tanB D.以上均不正确
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA= 2 ,则tanB等于( )
C
沪科版数学九年级上 23.1锐角的三角函数 课件(19张PPT)

梯子AB和EF哪个更 陡?你是怎样判断
的?
?
小颖的问题,如图:
A
E
4m
3.5m
B 1.5m C F 1.3m D
同类问题多种变化
梯子AB和EF哪个 更陡?你是怎样
判断的?
小亮的问题,如图:
E A
4m
6m
B 2m C F 3m D
同类问题多种变化
小明和小亮这样想,如图:
如图,小明想通过测量B1C1及AC1, 算出它们的比,来说明梯子AB1的 倾斜程度;
课堂作业 1:书本练习1、2、3题 2:完成同步练习
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
B1
B2 B3
A
C3 C2
C1
用心想一想
结论:仍能得到
当直角三角形中的锐角确定 之后,它的对边与邻边之比 也随之确定。
A
B1
B2 B3
C3 C2
C1
知识升华
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么锐 角A的对边与邻边的比便随之确定,这个比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
23.1锐角的三角函数
从生活实践开始
源于生活的数学同类问题多种变化 Nhomakorabea梯子AB和EF哪个 更陡?你是怎样
判断的?
?
小丽的问题,如图:
E
A
5m
6m
B 2m C F 2m D
同类问题多种变化
梯子AB和EF哪个 更陡?你是怎样
判断的?
小明的问题,如图:
A
E
5m
5m
B 2m C F 2.5m D
同类问题多种变化
B
斜边 ∠A的对边
28章锐角三角函数全章ppt课件

问题(1)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt △ABC中,已知∠A=75°,斜
边AB=6,求∠A的对边BC的长.
B
由 sin A BC 得 AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题(2),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地面所成的 角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6, 求锐角a的度数
由于
B
cos a AC 2.4 0.4
AB 6
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
例题示范
例3: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90° B
1.求证:sinA=cosB,sinB=cosA
2.求证:tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
3.求证:sin2 A cos2 A 1
A
C
sin2 A sin A sin A
如图,Rt△ABC中,直角边AC、BC小于斜边AB,
sin A BC <1
AB
sin B AC AB
<1
A
C
所以0<sinA <1, 0<sinB <1, 如果∠A < ∠B,则BC<AC , 那么0< sinA <sinB <1
探究
精讲
如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,当锐角A确定时,∠A 的对边与斜边的比就随之确 定,此时,其他边之间的比 是否也确定了呢?为什么?
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D
1 2
N
3
M
C
点评:此题是创新综合题,要求我们对图形及其 变换有较深刻的理解,并运用图形对称性和解直 角三角形知识或勾股定理建立等式求解。
Байду номын сангаас
13)一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行,途中接到台
风警报,台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动, 距台风中心 20 10 海里的圆形区域(包括边界)都属于 台风区,当轮船到A处时,测得台风中心移到位于点A正 南方向B处,且AB=100海里
4 . 计算: sin 2 4 5 -
1 2
3 - 20 060 + 6 tan30
解:原式= (
2 2
2
) -
1 2
1 +6
3 3
1 1 = - +2 3=2 3 2 2
点评 融特殊角的三角函数值,简单 的无理方程的计算以及数的零次幂的 意义于一体是中考命题率极高的题型 之一
解直角三角形的应用
当∠A+∠B=90°时,
sinA=cosB, cosA=sinB, tanA·tanB=1.
sinA cosA sin2A+cos2A=1
tanA=
(注:sin2A表示sinA的平方)
公式应用:
1、若sinα=cos15 °, 则锐角α= 度。 。
。
2、若tanA ·tan15°= 1,则锐角∠A =
3 . 如果 cosA - 0. 5+ 3 tanB- 3 = 0, 那么 A BC是( C )
C)等边三角形
D)钝角三角形
解:根据非负数的性质,由已知得 1 cosA = ,tanB = 3 则 A =B =6 0 2
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值
sinD=_____ 3/5 cosD=_____ 4/5 • tanD=_____ 3/4 tanE=_____ 4/3 sinE=_____ 4/5 cosE=_____ 3/5
D
F
4
3 5
E
变式一:
如图,在Rt△DEF中, ∠F=90°,
EF︰DE = 3︰5
sinD=_____ 3/5 cosD=_____ 4/5 • tanD=_____ 3/4 tanE=_____ 4/3 sinE=_____ 4/5 cosE=_____ 3/5
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形 5.解直角三角形的应用
9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直
的旗杆AB,已知观测点C到旗杆的 距离(即CE的长)为8米,测得旗 杆顶 的仰角∠ECA为30°旗杆底 部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB 的高度是( )米
C
B
D
10.如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行,在点 A处测得某岛C在北偏东60°的方向上,航行3小时到达点B, 测得该岛在北偏东30°的方向上且该岛周围16海里内有暗礁 北 (1)试证明:点B在暗礁区外;
(2)若继续向东航行有无触暗礁的危险?
解:1)由题意得,∠CAB=30°, 如图过点C作CD ⊥AB交 2)ABC=120 AB的延长线于 D点,设 ,则 , C=30 ∠ ° ∠ ° BD=x,在RtBCD中,∠CBD=60°, BC=AB=30×3=90 C >D 16∴点 B在暗礁区外. A CD tan6 0 = = C D= 3 x BD x Rt A C D中,C A D=3 0 CD 3x tan3 0 = = , A D=3 x AD AD 又A D- B D= A B , 即3 x- x= 9 0 x= 45 即C D= 4 5 3 > 16 ∴船继续向东航行没有触礁的危险。
解析:令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5, sinB=4/5且∠ A ≠∠ B,易知 (1)(3)都不对,故选 B)
用构造特殊的直角三角形来否定某些 关系式,是解决选择题的常用方法
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 A)锐角三角形 B)直角三角形
5 B ┌ 6 D
5 C
3.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
求:△ABC的周长.
B ┐ C
4 sin A . 5
A
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
1)在RtABC中,∠C=90°BC=a,AC=b 若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3,求a ﹕b的值 解法1 设AB=c由三角函数的定义得: sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b
C
B
D
东
11)如图AM,BN是一束平行的阳光从教室窗户AB射入的平 面示意图,光线与地面所成的角∠AMC=30°,在教室地面 的影长MN= 2 3 米,若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米, B 则窗户的上檐到教室地面的距离AC为( )米
A )2 3 B)3 C) 3. 2 3 3 D) 2
A
解:如图过B作BD MC交AM于D, 则得四边形DBNM是平行四边形 B BD= MN= 2 3 , ADB=M=30 C 又AC MC于C, AB BD于B, M N AB 3 在Rt ADB中,tanADB= = DB 3 3 3 此题属于光学问题的基本应用,首先 AB= DB= MN=2 3 3 要对有关生活常识有所了解,从图形 AC= AB+ BC= 2+ 1= 3(米) 入手,数形结合,将已知信息转化为 解直角三角形的数学模型去解。
A的对边 sinA= 斜边
A的邻边 cosA= 斜边
你能求出 sinA 0< sinA<1 ,与cosA的 取值范围吗? 0<cosA<1.
小测验
∠B=900 1、如图,在△ABC中,若AB=10,BC=6, 求sinA的值。 B
10
6
A
C
小测验
A
2.如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
1.1锐角三角函数
感悟定义
BC BC 比值 AB 叫做∠A的正弦(sine [ sain ]),记做sinA= AB AC AC 比值 叫做∠A的余弦(cosine [ kosain ]) ,记做cosA= AB AB BC BC 比值 叫做∠A的正切(tangent [ tæ ndЗənt ]) ,记做tanA= AC AC
12)如图,一张长方形的纸片ABCD,其长AD为a,宽AB 为b(a>b) ,在BC边上选取一点M,将ABM沿着AM翻折 后,B至N的位置,若N为长方形纸片ABCD的对称中心, 求a/b的值。
解:如图连结NC,由已知得, ABM ANM A 1 =2 ,MN AN, 又N是长方形ABCD的对称中心 A,N,C共线,且N是对角线AC的中点, 即AN= NC AM= MC,则2 =3 , B 在Rt ABC中1 +2 +3 =9 0 a 3 =3 0 , = cot3 0 = 3 b
∴ a ﹕ b = 2/3
解法2 由三角函数的定义得:
a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB
∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3
抓住三角函数的定义是解题的 关键
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
2 在ABC中∠A≠ ∠ B,∠C=90°则下 列结论正确的是( ) (1) sinA>sinB (2) sin² A+sin² B=1 (3) sinA=sinB (4) 若各边长都扩大为原来的2倍,则tanA 也扩大为原来的2倍 A)(1)(3) C)(2)(4) B)(2) D)(1)(2)(3)
北
(1)若该轮船自A按原速度原方向继续航行,在途中 会不会遇到台风?
A
B
东
13)一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行,途中接到台
风警报,台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动, 距台风中心 20 10 海里的圆形区域(包括边界)都属于 台风区,当轮船到A处时,测得台风中心移到位于点A正 南方向B处,且AB=100海里 (2)若该轮船自A立即提高船速,向位于东偏北30°方向,相距
60海里的D港驶去继续航行,为使船在台风到达之前到达D港,问 船速至少应提高多少?(提高的船速取整数)
北 D
30°
A B
东
练习:
1、 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、
∠B、∠C的对边分别是a,b,c,•
根据下列条件计算∠A的正弦、余
弦和正切值.
(1)a=2 2,b= 17
( 2) b : c = 2 : 3
(3)cosB=2/3
在直角三角形中进行 三角函数的相关计算 时,要画出图形,根 据勾股定理计算出各 条边长,然后利用三 角函数的定义计算, 注意准确记住各个三 角函数表示的线段之 比。
D
F
3 5
E
变式二: 如图,在Rt△DEF中, ∠F=90°, 3 sinD= 5
cosD=_____ 4/5 • tanD=_____ 3/4 tanE=_____ 4/3
F
3
D
sinE=_____ 4/5
cosE=_____ 3/5
5
E
解后语: 已知直角三角形中的两边或两边之比,
就能求出锐角三角函数值.
3、在Rt△ABC中,∠C = 90°,若sinA = cosA ,则tanA =
4、如果α是锐角,且sin2α+cos2 35º =1,那么α= 5、已知sinα+cosα= ,则sinα·cosα= 2