2微分方程模型(人口模型)

微分方程模型实例1——人口模型
5.3.1.2 洛杰斯蒂克(Logistic)模型
模型假设
1) 人口数量 x(t ) 的增长速率不仅与现有人口数量成正比， 而且还与人口尚未实现的部分(相 对于最大环境容量 K 而言)所占比例 也记为 r 。
x(t ) B D r (1 ) x(t ) ，这反 2) 在此基础上，对马尔萨斯(Malthus)模型进行改进。故可假设 K
x(t )
K K ( t t 0 ) r 1 1e x 0
(1) 由 lim x(t ) K ，得 x K 是稳定的平衡点。其人口学含义是，不管开始时人口处 t 于什么状态，当时间无限增加时，人口总数都会趋于其环境容纳量。 (2) 当 x(t ) K 时， dt 0 ，当 x(t ) K 时， dt 0 ，其人口学含义是说，当人口数量 超过环境容纳量时，人口数量将减少；当人口数量小于环境容纳量时，人口数量 将增加。
人口将按指数规律减少直至绝灭！
用马尔萨斯(Malthus)模型估计我国人口的变化情况。为了方便对比，取1982年 人口普查时得到的人口总数为初始值，即x0=10.1541亿，自然增长率r=1.4% ， t0=1982， 用公式 x(t ) 10.1541e0.014(t 1982) 估计后各年我国总人口的变化，其结果如后 表从表可以看到，在1983年到1990年的8年中，用马尔萨斯(Malthus)模型的相 对 误差均在2％以下，这表明此模型比较准确的预测了短期内人口变化的规律。 微分方程模型实例1——人口模型
K x (t ) 成正比， 比例系数为固有增长率(或称内增长率)， K
映了人口增长率随人口数量的增加而减少的现象。
模型建立
人口增长的洛杰斯蒂克 (Logistic)模型：
x dx rx(1 ) K dt x(t 0 ) x0
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 模型分析
人口以几何级数增加！
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 x(t ) x0 e 模型分析
r 0
当 r 0 时，人口将以指数规律增长。在实际应用中，一 rt 般 以 年 为 间 隔 考 察 人 口 的 变 化 情 况 ， 即 取 t t 0 0,1,2,n, 这样就得到以后各年人口的总数为
中国人口预测结果
年份 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050
马尔萨斯模型 预测值/亿
10.1541 10.2972 10.4424 10.5896 10.7389 10.8903 11.0439 11.1196 11.3575 13.0642 15.0274 17.2856 19.8832 22.8711 26.3081
dx dt
x K k
m
K/2
K/2
K
x
t
K x 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dx rK 人口增长率达到最大值 dt max 4
微分方程模型实例1——人口模型
Logistic模型预测美国人口
微分方程模型实例1——人口模型
Logistic模型预测的优缺点
其用途十分广泛，除了用于预测人口增长之外，也
优点
可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传 播、技术革新的推广、销售预测等。 中期预报比较准确。
洛杰斯蒂模型 预测值/亿
10.1541 10.2564 10.3594 10.4631 10.5673 10.6721 10.7775 10.8835 10.9901 12.0871 13.2357 14.4276 15.6529 16.9009 18.1595
实际统计值 预测值/亿
10.1541 10.2495 10.3475 10.4532 10.5721 10.7240 10.8978 11.0676 11.3368
5.3.1
种群数量模型：
人口增长模型
若用 x(t ) 表示 t 时刻某范围内一种群的数量或密度，当种群数量 较大时，将 x(t ) 看作 t 的连续函数，则 x(t ) 的变化与出生、死亡、迁 入、迁出等因素有关.若用 B, D, I , E 分别表示种群的出生率、死亡率、 迁入率、迁出率，则种群数量或密度变化的一般模型是：
令上述第二个方程的右边为 0，得 x1 0 ， x 2 b ，称它们是微分方程（(5.15) 的平衡解。易知 tlim x(t ) b ，故又称 b 是(5.15)式的稳定平衡解.可预测：不论人口开 始的数量 x0 为多少，经过相当长的时间后，人口总数将稳定在 b 。
a
a
a
a
**参数a和b可以通过已知数据利用Matlab中的非线性回归命令nlinfit求得。 微分方程模型实例1——人口模型
dx K dx (t ) x rx (1 ) 的右端为 x(t ) 的二次函数，易证当 x 时， (3) 由于 dt dt 达到最大 2 K
dx
dx
K dx rK x 时达到最大值。 值，即 dt 2 4 。此结论说明：人口增长率(增长速度)在 max
微分方程模型实例1——人口模型
(5.15)
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 模型分析
ax0 x(t ) bx0 (a bx0 )e a (t t0 )
d 2x (a 2bx)(a bx) x 2 dt
（i）对任意 t t 0 ，有 x(t ) 0 ，且 tlim x(t ) b 。 （ii）当 0 x
a 时， x' (t ) b
a
0 ， x(t ) 递增；当 x
a a x' (t ) 0 ；当 x (t ) 时， b b 时，
x' (t ) 0 ， x(t ) 递减。
（iii）当 0 x
a 2b
时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凹，当
a a x 时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凸。 2b b
缺点
理论上很好，实用性不强
预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 K为
定值。
原因
实际上这两个参数（特别是 K）很难确定，而且会 随着社会发展情况变化而变化。 前面图中曲线末端分叉就是由于这个原因。
微分方程模型实例1——人口模型
Logistic模型预测美国人口误差分析
微分方程模型实例1——人口模型
Malthus模型预测美国人口
微分方程模型实例1——人口模型
Malthus模型预测美国人口误差分析
微分方程模型实例1——人口模型
Malthus模型预测的优缺点
优点： 缺点： 原因：
该模型中的关键假设是自然增长率仅与人口出生率和死 亡率有关，且是常数。这一假设使模型简单实用，但这一 假设也导致了人口无限制的增长，显然用该模型来作长期 人口预测是不合理的，需要改进。

短期预报比较准确 不适合中长期预报
没有考虑环境对人口增长的制约作用。
微分方程模型实例1——人口模型
5.3.1.2 洛杰斯蒂克(Logistic)模型 提出背景
人们发现在人口比较稀少，资源较丰富的条件下，人口
增长较快，可以在短期内维持常数增长率；但当人口数量
发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通 拥挤等，这又导致人口增长率的减少，这种现象在某些动 物种群的实验中也观察到。 在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人 类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境因素所能 容纳的最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。
模型假设
假设人口的出生率与死亡率之差与总人口 成正比(即单位时间内人口增量与人口总数 成正比) ，记为B-D=rx(t). 比例常数r称为自然增长率，它可以通过 人口统计数据得到(即为常数) .
模型建立
dx rx dt x ( 0) x 0
Malthus (17661834), 英国的经 济学家和人口统 计学家，根据百 余年的统计资料， 在1798年提出了 闻名于世的人口 指数增长模型， 即Malthus人口 模型.
dx BDI E dt x(t 0 ) x0
以下介绍的两个人口模型都是根据这个原理建立的.
(5.11)
微分方程模型实例1——人口模型
5.3.1.1 马尔萨斯(Malthus)模型
考虑一个国家或地区的人口总数随时间变化的情况，记x(t) 为t时刻该国家或地区的人口总数，对一个国家而言，迁 入和迁出人数相对很小，故略去迁移对人口变化的影响， 即人口变化仅与出生率和死亡率有关。
微分方程模型实例1——人口模型
补充：从另一个角度导出Logistic模型
2 在 Malthus 模型上增加一个竞争项 bx (b 0) ，它
的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度 较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此 时 b 较小；反之 b 较大，故建立方程
dx x(a bx) dt x(t 0 ) x0 , (a, b 0),
x0 e r , x0 e 2r ,, x0 e nr ,这表明人口以公比为 e 的等比级数的速度
r
增长，这就是马尔萨斯提出的“人口以几何级数增长”的理论 基础。
x(t )
2 T ln r
人口将按指数规律无限增长！
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！