2微分方程模型(人口模型)
常见微分方程模型
设N(t)为t时刻的人口，则在[t,t+△t]时间内人口的增长 量为： N(t+△t)-N(t) ≈rN(t). △t 设t=t0时的人口为N0，则可以建立模型：
dN (t ) rN (t ) dt N (t 0 ) N 0
该初值问题的解为：
N (t ) N0er (t t 0)
称之为Logistic模型
上述模型的解为：
Nm N (t ) 1 ( N m / N 0 1)e r (t t 0)
模型分析： （1）仍然用1790年至1980年的美国人口进行分析， 发现人口误差非常小。当然随着时间的增加，误差会 大些，这是因为Nm随着科技的提高会不一样。 （2）人也属于生物，故上述两种模型也适用于类似环 境下单一物种生存的其他生物模型，如数目增长，池 塘鱼的增长等。 （3）欲建立更精确的模型，应根据成员的年龄分组及 把成员性别分开。
可算出白铅中铅的衰变率 y0 ，再于当时的矿物 比较，以鉴别真伪。 矿石中铀的最大含量可能 2~3%，若白铅中铅210 每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超 过 4%。
测定结果与分析
画名 Emmaus的信徒们 洗足 钋210衰变原子数 镭226衰变原子数
8.5 12.6
0.82 0.26
间的年代：
真正的年代＝
c
14
年 1.4 900
3、 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜
捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所
微分方程模型
微分模型课程安排一、微分模型简介二、微分静态模型1、血管分支模型2、最正确存贮模型三、微分动态模型1、水流出的时间2、CO2的吸收3、浓度变化问题4、服药问题5、人口模型四、香烟过滤嘴问题一、微分模型简介微分模型是数学模型中的最主要模型，也是应用最为广泛的数学模型。
通常微分模型可分为两类，静态模型与动态模型。
微分静态模型主要出现在解决一些简单的优化问题中。
此类问题通常可将所要解决的实际问题化简为一个一元或多元的目标函数的最值问题，只要对目标函数求导数或偏导数就可求得驻点，从而讨论问题的最优解决方案。
这种解决实际问题的方法在《高数》书中就有一定的讨论只不过当时不是学习的重点而已。
而微分动态模型，从名称上看我们就知到此方法是用来解决动态变化问题的。
当我们从实际问题中得到的目标量是一个随时间或空间在改变的量时，直接建立此目标量的动态变化方程是很困难的，通常可以先找到此问题的动态变化函数〔一般是一个微分方程或方程组〕，然后通过解方程的方法来求解出我们所需要的目标量所满足的方程。
同样在《高数》书中提到的微元法就是此方法的讨论，它是任何一项研究都必须要首先考虑和掌握的基本方法。
下边举几个例子看一下我们该怎样使用这两种方法.===================================================================== 二、微分静态模型微分静态模型的关键就是建立一个包含各个影响因素在内的目标函数。
具体分析步骤：〔1〕首先明确我们的优化目标；〔2〕明确影响这个目标的各个因素；〔3〕建立目标函数与各指标的代数关系；〔4〕对各指标变量求导数〔或偏导〕找极值点；〔5〕讨论目标的极值。
问题1血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环动物的机体要提供能量。
能量的一部分用于供应血管壁以营养。
另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。
在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经到达消耗能量最小原则下的优化标准了。
人口模型数学建模
计划生育政策调整对人口影响的研究摘要本文讨论了计划生育政策调整对人口的影响，通过建立人口数量和结构模型，进一步分析新政策对教育、劳动力供给与就业、养老等的影响。
针对问题一，分析计划生育政策未调整对人口的影响。
首先对出生率和死亡率进行曲线拟合，描述人口自然增长率根据时间变化的关系，再运用递推法，建立全国计划生育人口数量模型，并预测计划生育下的2015-2025年的人口数量。
然后根据灰色模型思想，分别建立全国计划生育人口性别比例与年龄结构模型，同时运用MATLAB编程预测未来十年的人口性别比例与年龄结构趋势。
针对问题二，研究计划生育政策调整对人口的影响。
将父母双方是否为独生子女视为性状，运用孟德尔遗传定律，分析子代的出生率，再运用递推法，建立开放单独二孩政策下的人口数量模型，同时预测新政策下的2015-2025年的人口数量，并对比问题一中的人口数量。
数据表明：新政策实施后出生人数和人口总量有一定程度的增加，但都在可控可承受范围内，不会对经济社会发展和公共服务产生大的震荡和冲击。
依据灰色模型思想，分别建立新政策的人口性别比例与年龄结构模型，同时运用MATLAB编程预测未来十年的人口性别比例与年龄结构趋势，进一步对比问题一中的趋势表明，单独二孩政策会缓慢降低人口性别比例，并提高年轻人的人口比重。
针对问题三，通过问题一、二中模型的数据，分析收集报告的假设与结论并发表自己的见解。
开放单独二孩政策后，一是可在一定程度上有效缓解老龄化程度和推迟老龄化进程；二是改善劳动力老化的结构，对经济发展和人民生活的改善做出积极贡献。
针对问题四，讨论上海市计划生育政策对人口的影响。
首先讨论上海市计划生育政策的人口模型，在问题一人口数量模型的基础上，引入迁移率常数，建立上海市的计划生育人口模型并预测未来十年人口趋势。
然后研究上海市开放单独二孩政策下的人口模型，按照问题二的模型分析方法，引入迁移率常数，建立上海市新的人口数量模型，进一步对比上海市计划生育人口模型，探究未来人口数量、结构及其对劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
人口增长的微分方程模型
人口增长的微分方程模型通常基于Malthusian或Logistic增长模型。
以下是这两种常见的人口增长模型：
1. **Malthusian模型**：
Malthusian模型是人口增长的最简单模型之一，它基于以下假设：
- 人口的增长率与当前人口数量成正比。
- 增长率是恒定的，不受其他因素的影响。
用数学符号表示，Malthusian模型可以写成如下的微分方程：
\(\frac{dP}{dt} = rP\)
其中，\(P\) 表示人口数量，\(t\) 表示时间，\(r\) 表示增长率。
这个方程的解是指数函数，人口数量会随时间指数增长。
2. **Logistic模型**：
Logistic模型更贴近实际情况，考虑了人口增长的有限性。
它基于以下假设：- 人口的增长率与当前人口数量成正比，但随着人口接近一个上限，增长率会减小。
- 人口增长率的减小是受到资源限制或竞争的影响。
Logistic模型的微分方程如下：
\(\frac{dP}{dt} = rP(1 - \frac{P}{K})\)
其中，\(P\) 表示人口数量，\(t\) 表示时间，\(r\) 表示初始增长率，\(K\) 表示人口的上限或最大承载能力。
这个方程的解是S形曲线，人口数量会在接近\(K\) 时趋于稳定。
需要注意的是，实际的人口增长受到多种复杂因素的影响，包括出生率、死亡率、移民等。
因此，上述模型是简化的描述，用于理论分析和初步估算。
实际人口增长的模拟需要更复杂的模型和更多的参数考虑。
此外，这些模型还可以扩展，以包括更多的因素，如年龄结构、性别比例和社会因素等。
中国人口增长预测-数学建模
中国人口增长的预测和人口的结构分析摘要本文是在已知国家政策和人口数据的前提下对未来人口的发展进行预测和评估，选择了两种模型分别对人口发展的短期和长期进行预测。
模型一中我们在人口阻滞增长模型logistic模型的基础上进行改进，弥补了logistic原始模型仅仅能表示环境对人口发展趋势影响的缺陷，加入了社会因素的影响作为改进，保证了logistic改进模型的有效性和短期预测的正确性。
多次运用拟合的方法（非线性单元拟合，线性多元拟合）对数据进行整合，得到的改进模型对短期预测具有极高的准确性，证明了我们的修正方式与模型改进具有一定的正确性。
模型二中我们分别考虑了城、乡、镇人口的发展情况，利用不同年龄段存活率和死亡率的不同，采用迭代的方式也就是Leslie矩阵的方式对人口发展进行预测，迭代的方式不同于拟合，具有逐步递进的准确性，在参数正确的前提下，能够保证每一年得到的人口都有正确性，同时我们分男女两方面来考虑模型，不仅仅用静态的男女比例来估算人口总数，具有更高的准确性。
然而Leslie模型涉及的参数较多，如果采用动态模型的方式，计算量过大，我们首先用均值的方式对模型进行简化，同样得到迭代矩阵后的人口数值，发展趋势与预测相同，能够很好的预测中国人口的长期发展，同时，由于Leslie矩阵涉及多个参数，所以我们用最终的结果来表征老龄化程度，城乡比，抚养比等多个评价社会发展的参数，得到了较好的估计值，使模型在估算人口的基础上得到了推广和应用。
通过logistic改进模型和Leslie模型我们分别对中国人口发展进行短期和中长期预测，均能得到很好的效果，说明了我们的模型在适用范围内的准确性和实用性。
关键词：人口发展预测；logistic模型改进；参数拟合；Leslie迭代模型；一、问题重述中国是世界上人口最多的发展中国家, 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情,短时间内难以改变。
2微分方程模型(人口模型)
K x (t ) 成正比， 比例系数为固有增长率(或称内增长率)， K
映了人口增长率随人口数量的增加而减少的现象。
模型建立
人口增长的洛杰斯蒂克 (Logistic)模型：
x dx rx(1 ) K dt x(t 0 ) x0
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 模型分析
微分方程模型实例1——人口模型
补充：从另一个角度导出Logistic模型
2 在 Malthus 模型上增加一个竞争项 bx (b 0) ，它
的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度 较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此 时 b 较小；反之 b 较大，故建立方程
dx x(a bx) dt x(t 0 ) x0 , (a, b 0),
a 时， x' (t ) b
a
0 ， x(t ) 递增；当 x
a a x' (t ) 0 ；当 x (t ) 时， b b 时，
x' (t ) 0 ， x(t ) 递减。
（iii）当 0 x
a 2b
时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凹，当
a a x 时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凸。 2b b
dx K dx (t ) x rx (1 ) 的右端为 x(t ) 的二次函数，易证当 x 时， (3) 由于 dt dt 达到最大 2 K
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
Leslie模型(数学建模)
2021/10/10
21
定理：若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相
邻的bi>0则
|i|< |1|且N j/ 1j CN其中C为某一常数，由值bi， Pi及N0决定
N(0,j+1)=bi(j)K i(j)N(i,j)
N(i,j+1)=Pi-1N(i-1,j) i=1,…,m
目前我国人口中中年青人的比例很大，加上计
划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人
口的严重老龄化，待这一代人越出m组后，又
会使人口迅速青年化而走向另一个极端。
2021/10/10
24
为减少这种年龄结构上的振荡，人们又引入了一 个控制变量h(i,j),使bi(j)=h(i,j)
设µ(r,t)为t时刻年龄为r的人的死亡率，t时刻年龄在[r,r+dr) 单位时间死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)dr
2021/10/10
7
分析：
下面考虑从t到t+dt这一过程的人口变化： 年龄处在[r,r+dr)到t+dt时刻活着的人的年龄变为 [r+dt,r+dr+dt)而这一时刻死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)drdt 则p(r,t)dr-p(r+dt,t+dt)dr= µ(r,t)p(r,t)drdt
•••
那么I (1)=MK
S(n-1)
I (t)=MtK
2021/10/10
14
考虑到在一段稳定的时间段内:总的女性人口数比上总 的男性人口数为一个近似为1的定值.为了更为确切地分 析女性个体数量的分布对总人口数的影响,我们单独把 女性人口数作为研究对象.
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
人口预测模型数学建模论文
人口预测模型数学建模论文摘要人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。
从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。
该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。
但另一方面，其负面影响也开始显现。
如小学招生人数、高校报名人数逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的“拐点”时刻即将到来。
这些问题都会对我国的经济和社会健康、可持续发展等产生一系列影响。
人口问题日益受到人们的重视。
对于问题一，我们通过多个渠道收集数据，利用SAS和Matlab等软件进行计算分析，我们得到了我国上世纪50年代至今人口和经济的主要变化如下: 对于问题二，这是典型的人口模型，我们建立了4个相应的数学模型，选用了基于以往人口数据的一次线性回归，灰色、时间序列预测，逻辑斯蒂模型和基于年龄结构并生育率、死亡率随时间Leslie人口模型。
进行全方位的深刻讨论，在本文假设的条件下，符合中国人口特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高等，对中国的人口未来长期发展状况进行了科学性的预测;通过权重关系，建立起了组合模型，特别地在权重问题上，采用了熵权法分配权重，思路巧妙，提高了预测的精确度;建立BP神经网络模型，无需进行模型假设，同时能利用模型自身对复杂的非线性曲线进行拟核，利用拟核函数对人口增长趋势作出了合的预测。
本文的模型具有很好的推广性，而且在其它领域发挥很好的效果。
在对中国的人口未来长期发展状况进行了科学性的预测后，我们分析得到计划生育新政策。
关键词:微分方程模型;Leslie人口模型;曲线拟合;灰色序列预测中国人口预测模型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。
首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。
考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下:单位:(万人)年份 2006 2007 2008 2009 2010 预测值 134840.9 137027.35 1377785.7 139360.4 140857.4 其中加权系数为:0.24282，0.34055，0.41663。
2.微分方程模型
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”
翻译为
dT 与T m成正比 dt
数学语言
建立微分方程
dT k (T m ), dt T (0) 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
1 16 代入条件，求得c=42 ， ln , 最后得 k 3 21 1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21 , t ≥0.
1 16 结果 ：T(10)=18+42 3 ln 21 10 =34.97℃， e
该物体温度降至30℃ 需要13.82分钟.
例2、车间空气的清洁
问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一 台机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳（CO2），为 清洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台 风量为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜 空气来降低车间里的空气的CO2含量。假定通入的新 鲜空气能与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量 排出车间。又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0% 的CO2.问经过t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2? 最多能把车间空气中CO2的百分比降到多少？
30000 60 24 365
这些铀约重
常微分方程在数学建模中的应用(免费版)
常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是|⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.;例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；@（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<tN ,t N d d 单减,即人口增长率t Nd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿. ）值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为—⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α. 下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 。
数学建模 人口增长详解
摘要:人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的由于人口基数大尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策人口的增长依然很快，巨大人口压力会给我国的社会 政治经济医疗就业等带来了一系列的问题。
因此研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。
我们经常在报刊上看见关于人口增长预报，说到本世纪，或下世纪中叶，全世界的人口将达到多少亿。
你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字商场有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口整张模型计算出来的结果。
人类社会进入20世纪以来，在科学和技术和生产力飞速发展的同时世界人口也以空前的规模增长。
人口每增加十亿的时间，有一百年缩短为十几年。
我们赖以生存的地球已经携带着他的60亿子民踏入下一个世纪。
长期以来，人类的繁殖一直在自然地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何惊醒人口控制等问题。
本文件里两个模型： （1）：中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）：中国人口的Logistic 图形，标出中国人口的实际统计数据进行比较。
而且利用MATLAB 图形 ，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。
关键词：指数增长模型 Logistic 模型 MATLAB 软件 人口增长预测1.问题的提出下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（3）利用MA TLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
人口模型
一、微分方程模型1.人口模型一、指数增长模型 （Malthus ）1.模型假设人口自然增长率 r 为常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。
()x t :t 时刻的人口数 r :人口增长率2.模型建立 0(0)dx rx dtx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩3.模型求解 0()r t x t x e =4.模型分析0r >⇒()x t →+∞ 人口将按指数规律无限增长！ 0r =⇒0()x t x ≡ 人口将始终保持不变！ 0r <⇒()0x t → 人口将按指数规律减少直至绝灭。
M a l t h u s 模型预测的优点是短期预报比较准确，但是不适合中长期预报，原因是预报时假设人口增长率 r 为常数。
没有考虑环境对人口增长的制约作用。
二、阻滞增长模型 (Logistic)1.模型假设假设人口增长率 r (x )是人口 x (t ) 的减函数 ：()1m x r x r x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中: x m 为自然资源条件所能容纳的最大人口数量r 为固有增长率2.模型建立01(0)m d x x rx dt x x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩ 3.模型求解：0()11mrt m x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭4.模型分析（定性分析）0m x x >⇒()m x t x ↓→ 人口将递减并趋向于x m ，0m x x =⇒()m x t x ≡ 人口将始终保持x m 不变 ，00m x x <<⇒()mx t x ↑→ 人口将递增并趋向于x m ， 无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！阻滞增长模型预测对中期预报比较准确，理论上很好，但是实用性也不强，原因在于预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 x m 为定值。
实际上这两个参数（特别是 x m ）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
微分方程讲座-人口增长模型
Malthus模型和Logistic模型的推广
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为 了研究种群数量的增长情况而建立的，但它 们也可用来研究其他实际问题，只要这些实 际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
r
p
r
p t
(r,
t)
p(r,
t
)
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t
)
f
(t),
t0
~生育率（控制人口手段）
男女性别比
在增大
生育率
生育数
只生一个
育龄区间
晚婚、晚育
人口增长模型的总结
基于一个假设,形成了基础模型Malthus模 型,再通过对现实世界分析,改进模型引进 了阻滞项,从而得到了Logistic模型.
p
P(r,t)
方 程
rm ~ 最高年龄
F (0, t) 0, F (rm , t) N (t)
p(r, t) F r
0 F(r0,t) r0
r rm
t,年dr龄]人[r数, r
t r
dt,年龄[r dr1 dr1 dr]人数
,
dt
dr1
死(t, t亡人dt数)内
p(r, t)dr p(r dr1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
马尔萨斯模型人口预测图
11
x 10 3.5
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
N/人
2
自然资源限制
人口模型
r2
f (t ) (t ) h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr.
r1
r2
r1
(4)
从上面可以看出, (t )的直接含义是 t时刻平均每个育龄女性 单位 时间内的生育数 , 也可以理解为平均每个 女性一生的总和生育数 或生育胎次.h(r , t )是年龄为 r为女性的生育加权因子 , 称生育模式.
F (0, t ) 0, F (rm , t ) N (t ).
定义人口密度函数为 p( r , t ) F lim F ( r r , t ) F ( r , t ) .
r
r 0
r
F (r dr, t ) F (r , t ) p(r , t )dr
(2)
( s ) ds p0 ( r t ) e , 0t r p(r , t ) ( s ) ds , tr f (t r )e
r r t r 0
(3)
r
p0 ( r t )e
r t
( s ) ds
r
解释
f (t r )e人口指数 Nhomakorabea通俗的一些人口数据更容易被接受,它们能 够反映人口的一些基本特征.我们来看看.
1.人口总数N(t):
2.平均年龄R(t):
R (t ) rp (r , t )dr / N (t )
0
rm
3.平均寿命S(t): 它表示时刻t出生的人不论活到什么时候, 死亡率都按时刻t的μ(r,t)计算,于是 t
f (t ) b(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr,再将b(r , t )定义 为 b(r , t ) (t )h(r , t ),
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dx dt
x K k
m
K/2
K/2
K
x
t
K x 2
dx rK 人口增长率达到最大值 dt max 4
微分方程模型实例1——人口模型
Logistic模型预测美国人口
微分方程模型实例1——人口模型
Logistic模型预测的优缺点
其用途十分广泛，除了用于预测人口增长之外，也
优点
可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传 播、技术革新的推广、销售预测等。 中期预报比较准确。
缺点
理论上很好，实用性不强
预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 K为
定值。
原因
实际上这两个参数（特别是 K）很难确定，而且会 随着社会发展情况变化而变化。 前面图中曲线末端分叉就是由于这个原因。
微分方程模型实例1——人口模型
Logistic模型预测美国人口误差分析
微分方程模型实例1——人口模型
中国人口预测结果
年份 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050
马尔萨斯模型 预测值/亿
10.1541 10.2972 10.4424 10.5896 10.7389 10.8903 11.0439 11.1196 11.3575 13.0642 15.0274 17.2856 19.8832 22.8711 26.3081
短期预报比较准确 不适合中长期预报
没有考虑环境对人口增长的制约作用。
微分方程模型实例1——人口模型
5.3.1.2 洛杰斯蒂克(Logistic)模型 提出背景
人们发现在人口比较稀少，资源较丰富的条件下，人口
增长较快，可以在短期内维持常数增长率；但当人口数量
发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通 拥挤等，这又导致人口增长率的减少，这种现象在某些动 物种群的实验中也观察到。 在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人 类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境因素所能 容纳的最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。
微分方程模型实例1——人口模型
5.3.1.2 洛杰斯蒂克(Logistic)模型
模型假设
1) 人口数量 x(t ) 的增长速率不仅与现有人口数量成正比， 而且还与人口尚未实现的部分(相 对于最大环境容量 K 而言)所占比例 也记为 r 。
x(t ) B D r (1 ) x(t ) ，这反 2) 在此基础上，对马尔萨斯(Malthus)模型进行改进。故可假设 K
人口将按指数规律减少直至绝灭！
用马尔萨斯(Malthus)模型估计我国人口的变化情况。为了方便对比，取1982年 人口普查时得到的人口总数为初始值，即x0=10.1541亿，自然增长率r=1.4% ， t0=1982， 用公式 x(t ) 10.1541e0.014(t 1982) 估计后各年我国总人口的变化，其结果如后 表从表可以看到，在1983年到1990年的8年中，用马尔萨斯(Malthus)模型的相 对 误差均在2％以下，这表明此模型比较准确的预测了短期内人口变化的规律。 微分方程模型实例1——人口模型
K x (t ) 成正比， 比例系数为固有增长率(或称内增长率)， K
映了人口增长率随人口数量的增加而减少的现象。
模型建立
人口增长的洛杰斯蒂克 (Logistic)模型：
x dx rx(1 ) K dt x(t 0 ) x0
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 模型分析
令上述第二个方程的右边为 0，得 x1 0 ， x 2 b ，称它们是微分方程（(5.15) 的平衡解。易知 tlim x(t ) b ，故又称 b 是(5.15)式的稳定平衡解.可预测：不论人口开 始的数量 x0 为多少，经过相当长的时间后，人口总数将稳定在 b 。
a
a
a
a
**参数a和b可以通过已知数据利用Matlab中的非线性回归命令nlinfit求得。 微分方程模型实例1——人口模型
Malthus模型预测美国人口
微分方程模型实例1——人口模型
Malthus模型预测美国人口误差分析
微分方程模型实例1——人口模型
Malthus模型预测的优缺点
优点： 缺点： 原பைடு நூலகம்：
该模型中的关键假设是自然增长率仅与人口出生率和死 亡率有关，且是常数。这一假设使模型简单实用，但这一 假设也导致了人口无限制的增长，显然用该模型来作长期 人口预测是不合理的，需要改进。
人口以几何级数增加！
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 x(t ) x0 e 模型分析
r 0
当 r 0 时，人口将以指数规律增长。在实际应用中，一 rt 般 以 年 为 间 隔 考 察 人 口 的 变 化 情 况 ， 即 取 t t 0 0,1,2,n, 这样就得到以后各年人口的总数为
洛杰斯蒂模型 预测值/亿
10.1541 10.2564 10.3594 10.4631 10.5673 10.6721 10.7775 10.8835 10.9901 12.0871 13.2357 14.4276 15.6529 16.9009 18.1595
实际统计值 预测值/亿
10.1541 10.2495 10.3475 10.4532 10.5721 10.7240 10.8978 11.0676 11.3368
微分方程模型实例1——人口模型
补充：从另一个角度导出Logistic模型
2 在 Malthus 模型上增加一个竞争项 bx (b 0) ，它
的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度 较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此 时 b 较小；反之 b 较大，故建立方程
dx x(a bx) dt x(t 0 ) x0 , (a, b 0),
模型假设
假设人口的出生率与死亡率之差与总人口 成正比(即单位时间内人口增量与人口总数 成正比) ，记为B-D=rx(t). 比例常数r称为自然增长率，它可以通过 人口统计数据得到(即为常数) .
模型建立
dx rx dt x ( 0) x 0
Malthus (17661834), 英国的经 济学家和人口统 计学家，根据百 余年的统计资料， 在1798年提出了 闻名于世的人口 指数增长模型， 即Malthus人口 模型.
x0 e r , x0 e 2r ,, x0 e nr ,这表明人口以公比为 e 的等比级数的速度
r
增长，这就是马尔萨斯提出的“人口以几何级数增长”的理论 基础。
x(t )
2 T ln r
人口将按指数规律无限增长！
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！
dx K dx (t ) x rx (1 ) 的右端为 x(t ) 的二次函数，易证当 x 时， (3) 由于 dt dt 达到最大 2 K
dx
dx
K dx rK x 时达到最大值。 值，即 dt 2 4 。此结论说明：人口增长率(增长速度)在 max
微分方程模型实例1——人口模型
x(t )
K K ( t t 0 ) r 1 1e x 0
(1) 由 lim x(t ) K ，得 x K 是稳定的平衡点。其人口学含义是，不管开始时人口处 t 于什么状态，当时间无限增加时，人口总数都会趋于其环境容纳量。 (2) 当 x(t ) K 时， dt 0 ，当 x(t ) K 时， dt 0 ，其人口学含义是说，当人口数量 超过环境容纳量时，人口数量将减少；当人口数量小于环境容纳量时，人口数量 将增加。
5.3.1
种群数量模型：
人口增长模型
若用 x(t ) 表示 t 时刻某范围内一种群的数量或密度，当种群数量 较大时，将 x(t ) 看作 t 的连续函数，则 x(t ) 的变化与出生、死亡、迁 入、迁出等因素有关.若用 B, D, I , E 分别表示种群的出生率、死亡率、 迁入率、迁出率，则种群数量或密度变化的一般模型是：
(5.15)
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 模型分析
ax0 x(t ) bx0 (a bx0 )e a (t t0 )
d 2x (a 2bx)(a bx) x 2 dt
（i）对任意 t t 0 ，有 x(t ) 0 ，且 tlim x(t ) b 。 （ii）当 0 x
dx BDI E dt x(t 0 ) x0
以下介绍的两个人口模型都是根据这个原理建立的.
(5.11)
微分方程模型实例1——人口模型
5.3.1.1 马尔萨斯(Malthus)模型
考虑一个国家或地区的人口总数随时间变化的情况，记x(t) 为t时刻该国家或地区的人口总数，对一个国家而言，迁 入和迁出人数相对很小，故略去迁移对人口变化的影响， 即人口变化仅与出生率和死亡率有关。
a 时， x' (t ) b
a
0 ， x(t ) 递增；当 x
a a x' (t ) 0 ；当 x (t ) 时， b b 时，
x' (t ) 0 ， x(t ) 递减。
（iii）当 0 x
a 2b
时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凹，当
a a x 时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凸。 2b b