求“硬币旋转圈数问题”的另一种方法
翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍复习课程
作者: 杨金珏翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍硬币问题是公务员考试出现的数学运算题型，属于逻辑类考题，这类问题变化复杂，对考生的推理能力要求高。
博大弘仕杨金珏老师将在这里介绍翻硬币问题的快速解题技巧。
首先要明白什么是“翻硬币问题”，通常题面形式是这样的：M个硬币全部正面朝上，现在要求每次必须同时翻转其中的N个硬币，至少翻转多少次才能使全部硬币反面朝上？那么可能出现四种情况：硬币总数（M）每次翻硬币数量（N）奇奇奇偶偶奇偶偶上面四种情况中，只有当硬币总数是奇数个并且每次翻偶数个硬币时，不能完成要求，其他三种都可以完成翻转。
为什么不能完成这种情况呢？根据奇偶的基本性质可以推导出来，每个硬币必须翻转奇数次才能实现反面朝上，现在总数是奇数，那么所有硬币翻转总数就是奇数个奇数，其结果必定是个奇数。
但是每次翻转偶数个硬币，那么硬币被翻动的总数为偶数乘以翻动次数，结果必定是偶数。
所以这种情况下是不可能完成任务的。
翻硬币问题形式多样，这里总结出了一个基本的解题步骤。
第一步：判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。
如果是倍数关系，翻动次数＝M÷N第二步：如果没有倍数关系，考虑硬币总数的奇偶情况。
当总数为偶数（1）每次翻的个数是总数减一【例1】现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须要翻转5个），问你最少要经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】本题属于归纳推理问题。
一个硬币要翻面，需要翻奇数次，一共有6个硬币，每一次翻转5个，那么必须翻转偶数次才能保证每一枚硬币翻转奇数次，故排除A、C。
因为每次翻五个，则有一个没被改变，或者说每次是在原来的基础上变一个，一共有6个硬币，每次变一个，那么需要6次才能全部变完。
具体过程如下：故需要6次，故正确答案为B。
这类问题的解答公式为：翻动次数＝M翻动方法：只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻，按照此方法进行操作就可以成功。
探索硬币滚动中的数学
显然圆心运动路程（图中虚
线长）为 2π3r=6πr，则硬币
滚动的圈数=
6r
2r =
3
圈。
小组讨论：将一个半径为r的硬币绕 由7个半径均为r的圆形连贯而成的图 形边缘上滚动，硬币滚动 6 圈。
圆心运动路程（图中虚线长）为 12πr ，
因此，硬币滚动
12r 2r
=6
圈。
将一个半径为r的硬币绕由由6个半径均 为r的圆形相拼而成的图形边缘上滚动， 硬币滚动 6 圈。
发现：硬币的圆心的运动路程（图中虚线 长）是 2π2r＝4πr 。
[得出结论]
硬币圆心运动路程 硬币圆周长 倍数 硬币滚动圈数
2πr
2πr
1
1
7 r
2πr
11
11
3
6
6
4πr
2πr
2
2
4πr
2πr
2
2
圆心运动的路程
规律：硬币滚动的圈数= 硬币的周长 。
[拓展练习 ]
1、将一个半径为r的硬币绕一个半径为2r的圆 形滚动，硬币滚动 3 圈（自转 3 周）
2πr+
。 60 2r＝ 7 2r
360
6
即 11 圈。
6
小组讨论：将一个半径为r的硬币沿一个 周长为2πr的多边形外围上滚动，硬币滚 动 2圈。
O
发现：硬币圆周上的圆心的运动路程（图
中虚线长）是 4πr
。
将一个半径为r的硬币绕一个半径为r 的圆形边缘上滚动，硬币滚动 2 圈。
O r r
探索《硬币滚动中的数学》 P75
[自转] 自转指天体绕着天体的轴心转动。
• 硬币自转指硬币绕着圆心旋转，自转一圈 指旋转3600。
硬币翻转问题
• （3）m 为偶数，n 为奇数时，无解。 ） 为偶数， 为奇数时，无解。 为偶数，每翻一次， 因为 m 为偶数，每翻一次，总是将 m/2-k 个反面翻成 正面， 个正面翻成反面（ 正面，将 m/2+k 个正面翻成反面（其中 k＝ ＝ 0,±1,±2,…）。 ± ± ） 这样每做一次， 个正面， 如果 k≥0 ，这样每做一次，就减少 2k 个正面，增加 2k 反面。 个反面。 这样每做一次， 个正面， 如果 k≤0 ，这样每做一次，就增加 -2k 个正面，减少 2k 个反面。 个反面。 不管怎样翻 每次正面数只能增减偶数个， 不管怎样翻，每次正面数只能增减偶数个，由于原来正 为奇数，所以，不管怎样翻，它总是奇数， 面个数 n 为奇数，所以，不管怎样翻，它总是奇数，不 会等于 0 。
• （1） m 为奇数时，有解。 ） 为奇数时，有解。 • 一种可行的解法为： 一种可行的解法为： 个硬币从正面翻成反面。 先将 m 个硬币从正面翻成反面。 然后每次将 (m-1)/2 个反面翻成正面，将 (m+1)/2 个反面翻成正面， 个正面翻成反面，这样每做一次， 个正面， 个正面翻成反面，这样每做一次，就减少 1 个正面， 个反面。 增加 1 个反面。 个时， 直到剩下的正面个数恰好是 m 个时，一下子将这 m 个正面翻成反面，就达到了目的 目的。 个正面翻成反面，就达到了目的。
硬币翻转问题
• n个硬币 开始都正面朝上 现在每轮把其中 个硬币,开始都正面朝上 个硬币 开始都正面朝上,现在每轮把其中 个翻转,希望最后全部反面向上 的m(2m<n)个翻转 希望最后全部反面向上 个翻转 希望最后全部反面向上. • 试建立数学模型 研究 试建立数学模型,研究 研究m,n在什么条件下 此 在什么条件下,此 在什么条件下 问题有解或无解? 问题有解解。 ） ， 都是偶数时，有解。 一种可行的解法为： 一种可行的解法为： 个硬币从正面翻成反面。 先将 m 个硬币从正面翻成反面。 个反面翻成正面， 然后每次将 m/2-1 个反面翻成正面，将 m/2+1 个正 面翻成反面，这样每做一次， 个正面， 面翻成反面，这样每做一次，就减少 2 个正面，增 个反面。 加 2 个反面。 个时（ 为偶数， 直到剩下的正面个数恰好是 m 个时（因为 n 为偶数， 这总可以做到）， ），一下子将这 个正面翻成反面， 这总可以做到），一下子将这 m 个正面翻成反面， 就达到了目的。 就达到了目的。
翻转硬币 编程题目
翻转硬币编程题目翻转硬币是一个经典的编程问题，通常用于考察算法和数据结构。
以下是一个简单的Python解决方案，该解决方案使用递归来翻转硬币。
假设我们有n个硬币，我们希望翻转这些硬币，并使得每面都出现相同次数。
这是一个递归的问题，我们可以定义一个函数来翻转硬币。
如果我们只有一个硬币，那么翻转它就很容易。
如果我们有多个硬币，我们可以选择翻转整个堆或翻转堆中的一半。
如果我们翻转整个堆，那么我们将增加堆中正面朝上的硬币的数量。
如果我们翻转堆中的一半，那么我们将增加堆中正面朝上的硬币的数量，并减少堆中正面朝下的硬币的数量。
以下是Python代码：```pythondef flip(coins, n):基本情况：如果只有一个硬币，那么翻转它if n == 1:return coins[0]递归情况1：翻转整个堆flip_all = flip(coins, n // 2) + (1 if flip_all == 0 else 0)递归情况2：翻转堆的一半flip_half = flip(coins[n // 2:], n // 2) + (1 if flip_half == 0 else 0) 返回翻转的结果return max(flip_all, flip_half)```在这个函数中，我们首先检查基本情况。
如果只有一个硬币，那么我们只需翻转它。
然后我们有两个递归情况。
在第一种情况下，我们翻转整个堆。
在第二种情况下，我们翻转堆的一半。
最后，我们返回两种情况中的最大值。
这个函数的时间复杂度是O(2^n)，因为它可能会尝试所有可能的翻转方式。
硬币翻转问题
硬币翻转问题全面分析（黑体字一定要看）现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？A.5次B. 6次C.7次D.8次当M为偶数时，N有以下几种情况：（1） N＝M－1例如：现有6个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这6个硬币全部反面朝上？A 5次B 6次C 7次D 8次这种情况是固定的答案就是M次（2）N>M/2 但不满足N＝M－1，例如：现有8个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这8个硬币全部反面朝上？注： 5>8/2, 且5不等于7 满足条件的。
这种情况我总结了一个公式为结果＝（M－N）÷2＋2，（前面除以2部分要采用四舍五入）解析：（8－5）÷2＋2＝4次（3）N<M/2我们根据逆向思维原则，可以反过来利用（2）的公式求解，例如：现有8个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转3个硬币（必须翻转3个），问你最少经过几次翻转才可以使这8个硬币全部反面朝上？3<8/2, 满足条件。
我们注意到：8＝3＋5，因此每次翻转3个，和每次翻转5个是相同的效果，次数一样。
故而转化为（2）的方式求解。
还是4次。
当M为奇数的时候，N也有如下几种情况：（1）N>M/2例如：现有11个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转7个硬币（必须翻转7个），问你最少经过几次翻转才可以使这11个硬币全部反面朝上？这种情况的结果固定为3.（2）N<M/2例如：现有11个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这11个硬币全部反面朝上？我们可以发现 11＝5＋6，我们先转换1次剩下的6个再每次转换5个，就变成了偶数情况，但是注意，其结果并不是1＋6＝7，当剩下的结果比翻转次数大1，那么其结果只需再＋2即可那么答案就是1＋2＝3次。
翻硬币问题(精)
翻硬币问题桌面上有n枚硬币, 初态是全部正面向上,现让你每轮把其中的m (2m≤n)枚翻转,希望最终全部反面向上. 请建立数学模型研究n, m 在什么条件下此问题有解或无解.解答：1．概念与性质定义：纯翻转-------m个都是正面的一轮翻转；(混合)翻转------取a (>0)个正面，m-a个反面的一轮翻转.显然，纯翻转是混合翻转的特例（a=m）.设=+，（1）n sm t≤<, s为正整数.其中，t为n除以m的余数，0t m记变量k表示当前的正面数.显然，从开始，经过s轮纯翻转后k=t; 当k=0时，就成功了.性质1. 选a个正面和m-a个反面的一轮翻转后，正面数的变化量为.k m a∆=-，（2）2∆=-.特别是，做纯翻转时，k m性质2. 当k(<2m)为偶数时，只需再翻两轮必会成功.证明：若k=m , 则做一轮纯翻转必成功.≠，则先选k/2个正面和m-k/2个反面做一轮翻转，若k m１（注：因2m<n<2n-k, 故2m<2n-k, 2m-k<2n-2k, m-k/2<n-k, n-k是反面数，即这样选取是可行的. ）则翻转后的正面数k k k k m k m=+∆=+-='()k=，就成功了.再做一轮纯翻转，"0≠时，只翻一轮必定未能成功，故翻两轮必是最佳方法因为k m（轮数最少）2．情形一，m是奇数（不论n是奇数还是偶数）.先做s-1轮纯翻转，得k=m+t. 只有如下3种可能：（ⅰ）t=0. k=m, 再做一轮纯翻转就成功.（ⅱ）t (<m)是奇数. k已是偶数，且m<k<2m.由性质2，只需再翻两轮必会成功.（ⅲ）t (<m)是偶数. 再做一轮纯翻转后化为k=t. 由性质2，只需再翻两轮必会成功.3．情形二，n，m都是偶数. 由(1)式知t是偶数或0, 经s轮纯翻转后，k=t，由性质2，至多再翻两轮就会成功.4．情形三，n是奇数，m是偶数. 由(1)式知t是奇数, 由(2)式知, k∆是偶数或0，故无论翻转多少轮，k始终是奇数, 不会出现k=0, 即不会成功.２5．综合6. 例子例1．n=8，m=3, s=2, t=2. 翻4轮必成功0------正面，1------反面例2 . n=7，m=3, s=2, t=1. 翻3轮必成功３４推广把以上的条件2m ≤n , 改为 m ≤n 。
翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍
作者: 杨金珏翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍硬币问题是公务员考试出现的数学运算题型，属于逻辑类考题，这类问题变化复杂，对考生的推理能力要求高。
博大弘仕杨金珏老师将在这里介绍翻硬币问题的快速解题技巧。
首先要明白什么是“翻硬币问题”，通常题面形式是这样的：M个硬币全部正面朝上，现在要求每次必须同时翻转其中的N个硬币，至少翻转多少次才能使全部硬币反面朝上？那么可能出现四种情况：硬币总数（M）每次翻硬币数量（N）奇奇奇偶偶奇偶偶上面四种情况中，只有当硬币总数是奇数个并且每次翻偶数个硬币时，不能完成要求，其他三种都可以完成翻转。
为什么不能完成这种情况呢？根据奇偶的基本性质可以推导出来，每个硬币必须翻转奇数次才能实现反面朝上，现在总数是奇数，那么所有硬币翻转总数就是奇数个奇数，其结果必定是个奇数。
但是每次翻转偶数个硬币，那么硬币被翻动的总数为偶数乘以翻动次数，结果必定是偶数。
所以这种情况下是不可能完成任务的。
翻硬币问题形式多样，这里总结出了一个基本的解题步骤。
第一步：判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。
如果是倍数关系，翻动次数＝M÷N第二步：如果没有倍数关系，考虑硬币总数的奇偶情况。
当总数为偶数（1）每次翻的个数是总数减一【例1】现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须要翻转5A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】本题属于归纳推理问题。
一个硬币要翻面，需要翻奇数次，一共有6个硬币，每一次翻转5个，那么必须翻转偶数次才能保证每一枚硬币翻转奇数次，故排除A、C。
因为每次翻五个，则有一个没被改变，或者说每次是在原来的基础上变一个，一共有6个硬币，每次变一个，那么需要6次才能全部变完。
具体过程如下：故需要6次，故正确答案为B。
这类问题的解答公式为：翻动次数＝M翻动方法：只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻，按照此方法进行操作就可以成功。
（2）除了上述以外情况，要计算翻动次数，我们采用余数分析法。
趣谈硬币翻动问题
趣谈硬币翻动问题摘要：本文拟通过分类讨论、逐次压缩等方法给出硬币翻动问题的最优解，并给出翻动方法。
关键词：硬币翻动问题有一次，几个朋友聚在一起做这样一个游戏：现有13枚全部正面向上的硬币，每次连续翻动3枚不同硬币，使之反面向上，要求要最少的翻动次数将所有的硬币反面向上，怎样翻动？朋友们都将13枚硬币全部翻为反面向上，但是对于自己翻动的次数是不是最少，却不敢肯定，看到笔者来之后，异口同声地说：数学教师来了，一定有给一个正确答案。
在略思片刻之后，笔者给出了正确的翻动方法，并说出了理由。
朋友们听完之后，拿着答案高兴地离开了，令笔者悲哀的是，没有一个人问14枚、15枚…n枚时，结果又是多少？现在我们将问题变为：现有n（n≥3）枚全部正面向上的硬币，每次连续翻动3枚不同硬币，使之反面向上，至少要作几次翻动恰能使所有的硬币反面向上？我们不妨将n进行分类。
情形一：当n=3k（k∈N*）时最少次数为k，且k 次恰能翻完。
证明：若翻动次数为m，则共翻动3m枚次硬币。
又3m≥3k，m最小为k。
此时只需每枚硬币不重复翻动即可。
若翻动次数为m且m<k，则共翻动硬币3m 枚，此时3m<3k，没翻动完。
故最少次数为k，且k 次恰能翻完。
情形二：当n=3k+1 （k∈N*）时，①若n=4时，至少要4次，且恰好4次可翻完所有硬币。
不妨用“1”表正面向上，“0” 表反面向上，其情形如下表：第一次：显然应该如此。
第二次：必动一个正面向上者。
不然就回到开始情形。
第三次：必动两个反面向上者。
不然就回到第一次的情形。
故当n=4时，至少要4次，且恰好4次可翻完所有硬币。
②若n=3k+1 （k≥2 k∈N*）,由1可知k次不可能翻完，翻动次数至少为k+1次。
现在给一种方法，使这3k+1枚硬币恰好k+1次翻完。
翻动方法如下：第一次：翻动3枚，余下3（k-1）+1枚正面向上。
第二次：翻动3枚反面向上的硬币中的一枚，同时翻动3（k-1）+1枚正面向上的硬币中的任意2枚，此时恰有3（k-1）枚正面向上。
翻转硬币 编程题目
翻转硬币编程题目【原创版】目录1.翻转硬币的编程题目概述2.翻转硬币题目的解决方案3.翻转硬币题目的编程实践4.翻转硬币题目的扩展思考正文一、翻转硬币的编程题目概述翻转硬币问题是一道经典的编程题目，主要涉及到递归和二进制思维。
题目描述如下：给定一个包含 n 个硬币的序列，每次可以选择翻转其中一个硬币或者翻转相邻两个硬币。
要求通过一定次数的操作，使得所有硬币正面朝上或者反面朝上。
二、翻转硬币题目的解决方案为了解决这个问题，我们可以采用递归的方法。
递归的核心思想是将大问题分解为小问题，然后通过解决小问题来得到解决大问题的方法。
在这个问题中，我们可以将 n 个硬币的序列分成两部分，一部分是只有一个硬币，另一部分是 n-1 个硬币的序列。
对于只有一个硬币的情况，我们可以直接翻转，而对于 n-1 个硬币的序列，我们可以采用递归的方法来解决。
三、翻转硬币题目的编程实践下面是一个使用 Python 编写的翻转硬币的解决方案：```pythondef flip_coins(coins):if len(coins) == 1:return coins[0] == "H"else:flip1 = flip_coins(coins[1:])flip2 = flip_coins(coins[:2]) +flip_coins(coins[2:])return flip1 and not flip2coins = ["H", "H", "T", "H", "T"]print(flip_coins(coins))```四、翻转硬币题目的扩展思考翻转硬币问题还可以进行一些扩展，比如在每次操作中，我们可以选择翻转一个硬币、两个硬币或者不翻转。
此外，我们还可以考虑在翻转硬币的过程中，硬币可能会掉落，因此需要在每次操作前判断硬币是否会掉落。
课题图形的滚动
课题:图形的滚动执教：射阳二中 胡仁界教学目标:经历对图形滚动类问题的探究过程，寻求解决滚动类数学问题的途径，培养学生用动态思维去分析问题和解决问题的能力，感受数学知识的趣味，体验到数学的魅力。
教学过程：一. 导入二. 探究活动一:圆的滚动1. 课前小实验:两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动。
滚动时两枚硬币总保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币作无滑动滚动一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转了几周?2. 探讨:车轮的滚动在平地上,自行车车轮(设半径为R)滚动一周,前进了多少路程?由此你发现了什么规律？[即学即用]小明从家到学校的路程为1km,他骑的自行车的半径为30cm,那么,小明从家里骑车到学校,车轮大约转了多少圈?(π取3.14,精确到1圈.)3.你能说出硬币转动周数的计算方法吗?4.拓展:(1)有两个大小不等的圆,定圆⊙O 的半径为6cm,动圆⊙P 的半径为2cm,若⊙P 紧贴⊙O 外侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?(2)若(1)中的⊙P 紧贴⊙O 内侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?方法小结:如何计算滚动的圆自转的圈数?5.中考链接:[例1]将半径为2cm 的圆形纸板,沿着边长分别为16cm 和12cm 的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?.O .P ..变化:如果圆开纸板贴着矩形内侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?[例2]一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中，AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你画出圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。
三.探究活动二：多边形的滚动[例3]如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，AC，则顶点A 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？[例4] 如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段OA 围绕着点O 旋转了多少度?四.课堂小结五.作业.A604040BA C DO A A B B C CA A .O O.《滚动的图形》探究练习班级_____学号______姓名________1. 如图一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）圈.2.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束走过的路径长度是____________。
翻硬币
那么可能出现四种情况：
硬币总数（M） 每次翻硬币数量（N）
奇 奇
奇 偶
③b＝奇数，翻动次数＝a+3
【例4】有18个房间开着灯，如果每次同时拨动5个房间的开关，经过几次拨动，灯全部关上？
A.3次 B.4次 C公式：M÷N＝18÷5＝3……3。余数b＝奇数，翻动次数＝3+3＝6。
翻硬币问题形式多样，这里总结出了一个基本的解题步骤。
第一步：判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。如果是倍数关系，翻动次数＝M÷N
第二步：如果没有倍数关系，考虑硬币总数的奇偶情况。
当总数为偶数
（1）每次翻的个数是总数减一
【例1】现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须要翻转5个），问你最少要经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？
故需要6次，故正确答案为B。
这类问题的解答公式为：翻动次数＝M
翻动方法：只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻，按照此方法进行操作就可以成功。
（2）除了上述以外情况，要计算翻动次数，我们采用余数分析法。
首先用总数（M）÷每次翻的个数（N），表达式为：
这个公式在怎么推导出来的呢？
此题计算为10÷3=3……1，余数为1，我们需要改写余数为10÷3=2……4，相当于翻了2次3个硬币，还剩下4个硬币没有翻过来。
OOOOOO OOOO
XXXXXX OOOO
那么我们将这4个硬币分成两组，每组两个。接下来翻其中的2个硬币和前面已经翻成反面的1个硬币。
下面我们总结一下翻硬币问题的解题方法。
【VIP专享】硬币的滚动问题
圆心经过的路径长
圆周长
拓展延伸
问题：如图，将总长为 4 r的线段AB在中点C处折成90°，
这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈；
O r
A 2 r
C
90°
2 r
B
拓展延伸
问题：如图，将总长为 4 r的线段AB在中点C处折成90°，
这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈；
rO
O1 90°
A
2 r
B
O2
2 r
2 r
D
2 r C
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三
角形的周长为a，则这枚硬币沿⊿ABC的外侧滚动一周
需转
圈.
a 1
2 r
A1
r
4
O
5 2B
6 C3
探究三 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将任意三角形改为任意四边形，且该四
边形的周长为a，则这枚硬币沿四边形的外侧滚动一
将两枚同样大小的硬币放在桌上，固
定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动
一周，这时滚动的硬币滚动了(
)
A．1圈
B．1.5圈
C．2圈
D．2.5圈
r
r
第9题图
实践操作
？ ？
解决问题
圆滚动时，圆滚动过的长度等于圆心经过 的路径长度. 结论：
O
当硬币在曲线上滚动时，
r
硬币转动的圈数
r
O1
= 圆心经过的路径长
小硬币 大学问 硬币的滚动问题
车轮为什么是圆的？
硬币为什么是圆的？
复习: （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
归纳算法：硬币翻转
实验题目
分治算法设计技术的应用
实验目的、要求
1、有 N 个硬币（N 为偶数）正面朝上排成一排，每次将 N-1 个硬币翻过来 放在原位置，不断地重复上述过程，直到最后全部硬币翻成反面朝上为止。设计 程序让计算机把翻币的最简过程以及翻币次数输出（用*表示正面，O 表示反面） 2、有 N 个硬币（N 为奇数）正面朝上排成一排，每次将 N-2 个硬币翻过来 放在原位置，不断地重复上述过程，直到最后全部硬币翻成反面朝上为止。设计 程序让计算机把翻币的最简过程以及翻币次数输出（用*表示正面，O 表示反面）
实验步骤与内容 按如下顺序写： 1、 主要设计思想； 对于任意的硬币 x， 设翻转 n(x)(奇数)次， 则除 x 外其他 N-1 个硬币要一起翻转 n-n(x) 次（奇数） ，n-n(x)=1，3，5，…,n-1.考虑 n-n(x)=3，5，…,n-1 的情况，将 N-1 个硬币翻 转 3 次或者更多次得到的结果与翻转一次的结果完全相同，且比翻转一次更麻烦，不是 最简单过程，因此，只有 n-n(x)=1 才满足要求，即 n(x)=n-1,又由于 x 的任意性，可知， 每个硬币的翻转次数都是 n-1 次， 因此总的翻转次数为 N*(n-1),根据 n(N-1)=N*(n-1)可得： N*n-n=N*n-N 得 n=N.即共翻转 N 次，其中每个硬币翻转次数为 N-1。考虑到所有硬币翻 转次数相同，因此可以将其看成一个环，从某个位置开始，先翻转 N-1 个，再前进一步， 翻转 N-1 个,直到完成翻转 N 次。 2、 主要数据结构及其解释 int Turncoin1 (int num,int s[]);//奇数 n-2 int Turncoin2 (int num,int s[]);//偶数 n-1 3、 模块关系图；
硬币滚动中数学
教课方案课题 :《硬币转动中的数学》学校：长春汽车经济技术开发区第四 讲课人：曹香云中学一、教课目的：1. 知识目标：①硬币在不一样轨道上转动时圆心挪动的路径长算法.②硬币在不一样轨道上转动的圈数 . 2. 能力目标：①经历实践、研究活动的过程，提高学生的数学思想水平.②提高学生解决问题的能力 . 3. 感情目标：①发展学生主动研究，追求科学的精神 .②指引学生成立合作共进的人际环境 . 二、要点与难点：要点：硬币在不一样轨道上转动时圆心挪动的路径长算法. 难点：硬币转动时挪动的路径确立.三、教课方法： 引出问题——系列研究活动——总结提高 四、教课过程设计：教师活动学生活动设 计企图【感知 1】创建情境， 将一枚硬币沿直线转动一圈，它所滚过的距离是 激 发 求知 多长？察看转动现 欲。
象总结提高 : 一个圆转动行进，圆心所经过的路径长度等于这个圆转动过的路径长度 . 【感知 2】将一枚半径为 r 的硬币沿着一条长度为 2 的线段 深 入 上转动，它能转动圈.观 察 滚 动 现 象，思虑转动 理 解 转动圈 数 与 轨 道 圈 数 的决长度的关系 . 定要素 .【一般状况】将一枚半径为 r 的硬币沿着一条长度为 l 的线段由 特 殊到转动，它能转动 圈.思 考 直 线 轨一般，着重知 识 的形道 上 滚 动 的成过程，发模型一 : 圆沿直线转动圈数 为模型 .展 学 生推【规律】 一个圆转动的圈数等于圆心运动的路径 理的能力 .长度除以这个圆的周长 .【小组研究活动】将一枚硬币固定，另一枚同样硬币沿着固定硬币外缘转动一周，这时转动的硬币转动了几活动：圈？着手实践，在练习纸上滚动并绘图，小组合作研究 . 总结提高 : 一个圆转动行进，其转动的圈数受轨道形状影响，由圆心运动的路径决定 .【一般状况】发展学生研究问题的能力.一个半径为的圆不动，另一个半径为的圆沿着固定圆的外缘转动，当转动的圆回到初始位置时，它自转了圈. 深入思虑，严密解答模型二 : 圆绕圆转动圈数为应用前面的【规律】结论，形成模一个圆转动的圈数等于圆心运动的路径型长度除以这个圆的周长 .【应用】如图，将半径为的圆放在数轴上原点处，与数轴相切，将该圆沿数轴向右转动一周后停止，这时它和数轴接触的点就是表示圆周学致使用率的点 . 由特殊到一般，发展学生概括总结的能力.培养学生模型思想发展应用意识【实践】经察看某变速箱中太阳齿轮和行星齿轮的齿数分别为 24 和 12，当行星齿轮绕着太阳齿轮转一周时，锻炼学生它将自转几圈？套用讲过的从实际问模型解决问题中抽象题出数学识题的能力 .【讲堂小结】培养学生沟通收获 .实时总结，知识内化。
硬币旋转了几圈？
硬币旋转了⼏圈？硬币旋转了⼏圈？——樊云飞【数学是什么】数学是什么，数学不仅是计算，数学也不⽌是⼀个题怎么做，数学是学会思考、学会归纳、学会推理、学会验证。
【⼀个数学问题】两枚相同硬币A和B，B固定不动，A绕B旋转⼀圈，A⾃转了⼏圈？【⾃转是什么】⾃转指天体绕着⾃⼰的轴⼼转动，硬币⾃转指硬币绕着圆⼼旋转，⾃转1圈指硬币转360度。
【回归到基本模型】对于硬币⾮直线旋转，我们可能有点陌⽣，我们去寻找基本模型，我们所熟悉的模型。
硬币在平⾯上或直线上滚动，我们平时见的车轮都是这样的。
我们发现，车轮⾃转⼀圈，车⾛的路程就是车轮的周长，2πr。
所以我们只需要看硬币滚动了⼏个2πr，就可得出硬币转了⼏圈。
【猜想】硬币的旋转跟硬币周过的路程有关系，但是在上题的旋转过程中，硬币⾛的路程是⼀个圆，但是圆的半径是多少，我们需要去思考。
在平⾯上前进的时候，如下图，不管硬币上那个位置，那⼀点，它前进的路程都是相等的，都是2πr，想象不出来的同学可以拿⼀个硬币转动⼀下，然后进⾏测量，最后会得出结论，每⼀点前进的距离都是2πr。
但是绕圆旋转就不同了，每⼀点所旋转的路程是不⼀样的。
如图所⽰，硬币上A、B、C三点⾛的路程不⼀样，这3点所⾛的路程都是曲线，还是不规则曲线。
我们能够看出来的是，最后应该按照2πRa还是2πRb还是2πRc呢？如果硬币半径是r的话，Ra=r，Rb=2r，Rc=3r。
其实只要好好想的话，就会发现，硬币上任意⼀点旋转的时候的轨迹都是不规则的，都是不能算出来的，但是只有圆⼼的轨迹是容易计算的，应该算圆⼼⾛过的路程，即2πRb。
不过这不严谨，我们可以举⼀些反例，得出其他点是不合适的。
【规律探索，从简单的推测复杂的】我们拿⼀个硬币绕⼀个点旋转可以得出硬币⾃转了⼀周i）如果按照点A计算，A点路程⾛的是0如果按照点A计算，那么按照点A的距离是0，明显硬币是⾃转了1圈的，所以不可能按照点A计算。
ii）圆⼼B⾛的路程是2πr，是⼀圈，合理。
硬币的滚动问题 拓展课
边数n趋向于无穷大时
课堂小结
本节课你学到 了哪些知识？有什 么收获？
课后思考
一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形轨道上滚动一 个半径为10cm的圆盘，如图所示：AB与CD是水平的， BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm， BC=40cm，圆盘从A点滚动到D点，圆心所经过的路线 的长度为多少？ C 40cm D
r
r
第9题图
实践操作
？
？
解决问题
圆滚动时，圆滚动过的长度等于圆心经过 的路径长度. 结论：
O
r r
当硬币在曲线上滚动时，
硬币转动的圈数
O1
圆心经过的路径长 = 圆周长
2 2r 2 硬币转动的圈数= 2 r
学以致用
将一枚半径为r的硬币沿着另一枚半 径为2r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动 3 圈 的硬币滚动了
a
圈.
2 r
1
1 5
2
6 4 8意一个周长为a多边 形呢，硬币需转几圈？
A1 r An A5 A4
a
2 r
1
结论：当硬币在多边形的外侧
A2 上滚动时，硬币转动的圈数 A3 =
多边形的周长 1 圆周长
多边形的周长为2 r
O
r
O
r
O
r
O
r
O
r
O
……
r r
O r
2r
O1
探究三 硬币在两条线段和其围成的夹 角上滚动 问题：如图，将总长为 4 r的线段AB在中点C处折成90°，
这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转
rO A
O1 90°
圈；
2 r
C
硬币绕圈圈摘要作者钱振恺徐嘉良刘晋源指导老师云叔芬发现硬币
硬幣繞圈圈摘要作者:錢振愷徐嘉良劉晉源指導老師:雲叔芬1.發現硬幣在圓外圍滾動所轉的圈數，與以所滾過的圓周等長的直線段上滾動時所轉的圈數不同。
2.藉由在直線段、折線段、圓弧線段上滾動硬幣並觀察造成所轉圈數差異的因素為折線段的夾角（設為θ度）。
3.折線段較等長直線段會多轉︒-⨯︒-︒360290360θ圈，其分子θθ-︒=-⨯︒-︒180290360等於內角為θ度的外角。
4.將圓視為邊數為無限大的正多邊形所得的外角和為︒360故硬幣在等長的圓周上滾動會較直線段多轉1360360=︒︒圈。
5.應用到在以n個硬幣所排成的正n邊形圖形外圍滾動，經由計算整理可得需轉圈數為()2231≥+nn。
6.每增加一個硬幣圈數會增加31圈的因素有二個，一是正n邊形的內角度數，一是n邊形會有n段弧，皆會隨著n變化而變化。
7.將內圍硬幣與外圍滾動硬幣換成不同硬幣找尋簡易公式。
壹、研究動機有一次因在家看著新聞等廣告時，手中拿四個硬幣在桌面上轉，看著桌面上旋轉的硬幣，突然想到不久前曾經做過類似的數學題目，記得題目是﹕一個硬幣繞行其他三個硬幣所排成的三角形旋轉，當繞完一圈後，本身會轉多少圈?當時是用算式算出圈數的，然而卻不太了解原因，我們便想以一個實驗來證明這道數學題目，因為非常想要知道實驗結果會不會跟數學題目的答案一樣，促使我們投入研究這個主題。
貳、研究目的一、利用硬幣在等長直線段、折線段、曲線段上滾動的實驗結果找出造成不同轉動圈數的主要原因。
二、觀察紀錄角度變化，找出所需轉動圈數的計算公式。
三、利用硬幣在相同的硬幣所圍成的多邊形外圍滾動，發現邊數增加1時轉動圈數增加31公式如下：需轉圈數為()2231≥+nn四、將內外硬幣換成不同的硬幣，找出可供計算的簡易公式。
肆、研究過程與方法一、一開始取2個相同硬幣(設半徑為r)一個固定不動(A硬幣)，另一個(B硬幣)繞著此固定硬幣滾動，因為B硬幣須滾動的距離等於A硬幣的圓周長2πr而B硬幣的圓周長也是2πr故估計B硬幣會轉動幣圓周長幣圓周長BA=rrππ22=1 但操作時卻發現不是那麼一回事，如圖（一）至（五）所示：似乎是轉了2圈才滾完A幣,為什麼會這樣呢? 照理說硬幣由直線上的A點滾到B點須滾硬幣圓周長距離AB(圈)理論並沒有錯啊? 難到這是直線與曲線的差別嗎?二、(一) 我們試著拿一段線,繞A幣一周然後拉直成pq，以B幣由P點滾到q點後，發現是轉一圈沒錯!(二) 再試著將pq隨意彎曲,如圖拿B幣從P點開始滾動,發現B幣轉了一圈後尚未到達q點莫非影響所需轉動圈數的條件除了長度之外與曲度(線條彎曲程度)亦有關係?(三) 發現似乎長度相同時，曲度愈大所需轉動的圈數亦愈多但到底有何關聯性?我們試著將線折成有一直角的形狀如右圖，然後由p點向q點開始滾動。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“求硬币旋转圈数问题”的另一种方法
2004年《小学数学教师》第5期77
这题的答案是2
明了为什么会转2圈的道理，但都显得比较抽象、难懂。
而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉。
我认为还有更直观易懂的方法去解释它。
一、预备定理：“一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。
”
二、证明：“如右图，圆和这条直线相切于A 点，这
个圆从A 点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切
于A 点，这时圆心所经过路径长度为线段OO 的长度，
圆周所滚过的路径长度为线段AA 的长度，这两个长度
是一样的。
事实上因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。
因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。
利用以上的结论，对于开头的问题，我是这样
去理解的：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚
动，当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所
经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆，如右图，设
这个大圆的半径为R ，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过
轨迹的长度=2πR 。
利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径
（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。
所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙一共滚动过的距离也等2πR ，而硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr （本圆的周长）。
这儿R=2r ，所以2πR 是2πr 的2倍，2πR ÷2πr =2，即硬币乙一共旋转了2圈。
用这个方法去考虑这类问题的优点在于：只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，答案即为自己所旋转的圈数。
例1：取八个大小相同的硬币，摆成右图形状。
最上端那个硬币（圆A ）顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一圈。
问硬币A 自己一共转了几圈？
分析与解答：设每个硬币直径为1，当圆A 转至A 位置（此时圆A 与
圆B 和圆C 都相切）时，圆A 始终以圆B 的圆心为圆心，1为半径旋
转且旋转了60，这个轨迹的长度为2×π×1× = 。
可以
看出，圆A 顺着6个硬币旋转一周，所滚过的路径长度为12× = 4π，而硬币A 自己转一圈经过路径的长度为2×π×0.5=π, 因此硬币A 一共转了4π÷π=4（圈）。
例2：如右图所示，如果圆O 周长为20π厘米，有两个同样大小的小圆A 、B ，其半径为2厘米，小圆A 沿圆
O 的内壁滚动，小圆B 沿圆O 的外壁滚动，小圆B 转动几圈
后回到原来的位置？小圆B 转动几圈后回到原来的位置？小圆
A 转动几圈后回到原来的位置？
分析与解答：圆O 的半径为20π÷π÷2=10厘米，当小圆B 沿圆O 的外壁滚动再回到原来位置时，小圆B 的圆心所经过的轨迹为“以O 为圆心，以（10+2）厘米为半径的圆。
”这个轨迹长度为2×12×π，而这个长度也等于小圆B 的圆周滚过的长度，而小圆B 自己转一圈的长度为2×2×π，（2×12×π）÷（2×2×π）=6圈。
小圆A 沿圆O 内壁滚动再回到原来位置时，小圆A 的圆心的运动轨迹为“以O 为圆心，以（10－2）厘米为半径的圆。
”所以小圆A 的圆心共经过了2×8×π厘米，（2×8×π）÷（2×2×π）=4圈。
推广到更一般的情况：当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R 甲+ R 乙）÷（2πR 乙）=（R 甲+ R 乙）÷R 乙，在圆甲的内
圆周作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R 甲- R 乙）÷（2πR 乙）
=（R 甲－R 乙）÷R 乙，（R 甲＞R 乙），用这种方法解题更直观简便且操作性强。
现在我们用新方法来解决一些近年来出现的数学竞赛题，最后所附其余题目可以自己思考。
1、一个小轮在一个大轮内不停地滚动，大轮的半径是小轮的直径。
小轮滚动一周回到原来位置时，小轮自己旋转了几圈？（第9届全国华罗庚少儿数学邀请赛初赛题）
解答：R=2r ，（R- r ）÷r=1圈。
2、如右图，在一边长为8.28厘米的正方形内有一个半径为1
厘米的小圆，小圆紧贴正
方形的内壁滚动一周，小圆自己要转几圈？
解答：小圆紧贴正方形的内壁滚动一周后，圆心经过
的轨迹为一个边长6.28厘米(8.28－1－1)的正方形，
其长度为6.28×4=25.12厘米，这个长度也等于小圆
的圆周一共所滚过的长度。
小圆自己转一圈的长度为3.14×2=6.28厘米, 25.12÷6.28=4圈。