求“硬币旋转圈数问题”的另一种方法

“求硬币旋转圈数问题”的另一种方法

2004年《小学数学教师》第5期77

这题的答案是2

明了为什么会转2圈的道理，但都显得比较抽象、难懂。而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉。我认为还有更直观易懂的方法去解释它。

一、预备定理：“一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。”

二、证明：“如右图，圆和这条直线相切于A 点，这

个圆从A 点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切

于A 点，这时圆心所经过路径长度为线段OO 的长度，

圆周所滚过的路径长度为线段AA 的长度，这两个长度

是一样的。

事实上因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。

利用以上的结论，对于开头的问题，我是这样

去理解的：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚

动，当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所

经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆，如右图，设

这个大圆的半径为R ，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过

轨迹的长度=2πR 。利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径

（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙一共滚动过的距离也等2πR ，而硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr （本圆的周长）。这儿R=2r ，所以2πR 是2πr 的2倍，2πR ÷2πr =2，即硬币乙一共旋转了2圈。

用这个方法去考虑这类问题的优点在于：只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，答案即为自己所旋转的圈数。

例1：取八个大小相同的硬币，摆成右图形状。最上端那个硬币（圆A ）顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一圈。问硬币A 自己一共转了几圈？

分析与解答：设每个硬币直径为1，当圆A 转至A 位置（此时圆A 与

圆B 和圆C 都相切）时，圆A 始终以圆B 的圆心为圆心，1为半径旋

转且旋转了60，这个轨迹的长度为2×π×1× = 。可以

看出，圆A 顺着6个硬币旋转一周，所滚过的路径长度为12× = 4π，而硬币A 自己转一圈经过路径的长度为2×π×0.5=π, 因此硬币A 一共转了4π÷π=4（圈）。

例2：如右图所示，如果圆O 周长为20π厘米，有两个同样大小的小圆A 、B ，其半径为2厘米，小圆A 沿圆

O 的内壁滚动，小圆B 沿圆O 的外壁滚动，小圆B 转动几圈

后回到原来的位置？小圆B 转动几圈后回到原来的位置？小圆

A 转动几圈后回到原来的位置？

分析与解答：圆O 的半径为20π÷π÷2=10厘米，当小圆B 沿圆O 的外壁滚动再回到原来位置时，小圆B 的圆心所经过的轨迹为“以O 为圆心，以（10+2）厘米为半径的圆。”这个轨迹长度为2×12×π，而这个长度也等于小圆B 的圆周滚过的长度，而小圆B 自己转一圈的长度为2×2×π，（2×12×π）÷（2×2×π）=6圈。小圆A 沿圆O 内壁滚动再回到原来位置时，小圆A 的圆心的运动轨迹为“以O 为圆心，以（10－2）厘米为半径的圆。”所以小圆A 的圆心共经过了2×8×π厘米，（2×8×π）÷（2×2×π）=4圈。

推广到更一般的情况：当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R 甲+ R 乙）÷（2πR 乙）=（R 甲+ R 乙）÷R 乙，在圆甲的内

圆周作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R 甲- R 乙）÷（2πR 乙）

=（R 甲－R 乙）÷R 乙，（R 甲＞R 乙），用这种方法解题更直观简便且操作性强。

现在我们用新方法来解决一些近年来出现的数学竞赛题，最后所附其余题目可以自己思考。

1、一个小轮在一个大轮内不停地滚动，大轮的半径是小轮的直径。小轮滚动一周回到原来位置时，小轮自己旋转了几圈？（第9届全国华罗庚少儿数学邀请赛初赛题）

解答：R=2r ，（R- r ）÷r=1圈。

2、如右图，在一边长为8.28厘米的正方形内有一个半径为1

厘米的小圆，小圆紧贴正

方形的内壁滚动一周，小圆自己要转几圈？

解答：小圆紧贴正方形的内壁滚动一周后，圆心经过

的轨迹为一个边长6.28厘米(8.28－1－1)的正方形，

其长度为6.28×4=25.12厘米，这个长度也等于小圆

的圆周一共所滚过的长度。小圆自己转一圈的长度为3.14×2=6.28厘米, 25.12÷6.28=4圈