二次函数与一次函数交点问题
二次函数与一次函数的综合题
二次函数与一次函数图像相交的点为方程组的解
相交点的个数取决于方程组的解的个数
垂直关系
二次函数与一次函数的图像垂直关系可以通过求导数的方法来判断。如果两个函数的导数相等，则它们的图像平行；如果一个函数的导数为0，另一个函数的导数不为0，则它们的图像垂直。
二次函数与一次函数的图像垂直关系可以通过代入法来判断。将一次函数的解析式代入二次函数的解析式中，得到一个关于x的二次方程，如果该二次方程的判别式Δ=0，则说明两个函数的图像垂直。
奇偶性的判断方法
代数法：通过代入特殊值或化简函数表达式来判断函数的奇偶性
性质法：利用奇偶函数的性质来判断函数的奇偶性
定义法：根据奇偶性的定义来判断函数的奇偶性
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的奇偶性
奇偶性的应用
利用奇偶性判断函数图像的对称性
利用奇偶性简化函数表达式
利用奇偶性求解函数值域
利用奇偶性分析函数的单调性
定义法：利用函数单调性的定义，通过比较自变量取值范围内任意两点处的函数值大小来证明函数的单调性。
导数法：利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来证明函数的单调性。
图像法：利用函数图像的走势来判断函数的单调性，通过观察图像在自变量取值范围内的变化趋势来证明函数的单调性。
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二次函数与一次函数的奇偶性
相切关系
在切点处，二次函数的导数等于一次函数的斜率，即切线的斜率。
二次函数与一次函数相切时，它们的图像在切点处相切，切线的斜率等于一次函数的斜率。
二次函数与一次函数相切的条件是二次函数的导数等于一次函数的斜率。
当二次函数与一次函数相切时，它们的交点只有一个，即切点。
相交关系
二次函数与一次函数交点求范围专题
二次函数与一次函数交点求范围专题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （0，﹣2），B （3，4）．（1求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围?2.二次函数y=x2+bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，-4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．3．已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+32在x=0和x=2时的函数值相等． (1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(−3，m)，求m 和k 的值；(3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C(点B 在点C 的左侧)，将二次函数的图象在点B ，C 间的部分(含点B 和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n 个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，求n 的取值范围．4.已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3与x 轴有两个交点．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求二次函数的解析式；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m 的值．1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围?解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：，解得：k=，b=0，∴直线BC解析式为y=x，当x=1时，y=，则t的范围为﹣4≤t≤．2.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．（1）因为M （1，-4）是二次函数y=（x+m ）2+k 的顶点坐标，所以y=（x-1）2-4=x 2-2x-3，（2）令x 2-2x-3=0，解之得：x 1=-1，x 2=3，故A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3，0）．如图，当直线y=x+n （n ＜1），经过A 点时，可得n=1，当直线y=x+n 经过B 点时，可得n=-3，∴n 的取值范围为-3＜n ＜1，翻折后的二次函数解析式为二次函数y=-x 2+2x+3当直线y=x+n 与二次函数y=-x 2+2x+3的图象只有一个交点时，x+n=-x 2+2x+3，整理得：x 2-x+n-3=0，△=b 2-4ac=1-4（n-3）=13-4n=0，解得：n= ， ∴n 的取值范围为：n ＞，由图可知，符合题意的n 的取值范围为：n ＞或-3＜n ＜1．13 413 4 13 44.已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）当k取最小的整数时，求二次函数的解析式；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=4（k+1）2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0．∴k＞-1．∴k的取值范围为k＞-1．（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4．（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），∴0=-1+m，即m=1．②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有两个相等实根．∴△=1-4（m-3）=0，即．综上所述，m的值为1或．。
一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x与抛物线y=-x2交于A、B两点.21 (2)记一次函数y=x的函数值为y i,二次函数y=^x2 若y i>y2,求x的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y (x-2) 2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B.(1) 求一次函数与二次函数的解析式；(2) 根据图象，写出满足kx+b>(x-2) 2+m的x的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D. (1)求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1, 0), B (3, 0), C (0, -3), 一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点.(1)求一次函数和二次函数的解析式.(2) 当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大?(3) 当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值.(4) 当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0.类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题1如图，一次函数y=x- 1与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，已知二次函数图2象的对称轴为x=1，并与y轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC,求三角形ABC的面积. 瑞练习1：如图，A (-1，0)、B (2，-3)两点在一次函数y i=-x+m与二次函数y2=a«+bx-3的图象上.(1 )求m的值和二次函数的解析式.(2) 二次函数交y轴于。
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数1．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y （千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？2．已知抛物线C：y1=a（x﹣h）2﹣1，直线L：y2=kx﹣kh﹣1（1）试说明：抛物线C的顶点D总在直线y2=kx﹣kh﹣1上；（2）当a=﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，求m的最小值；（3）当0＜a≤2，k＞0时，若在直线L下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为正整数的点，求k的取值范围．3．某商场以每千克40元的价格购进某种海鱼，计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种海鱼销售量y（kg）与每千克降价x （元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y关于x的函数表达式；（2）商场在销售这种海鱼中要想获利2090元，则这种海鱼每千克应降价多少元？共销售了多少千克这种海鱼？4．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3)，与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y=x+b.（1）求二次函数图象的顶点坐标.（2）求不等式ax2+2x+c⩽x+b的解.5．在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）.（1）若a=1，当x=−1时，y=4.求y的函数表达式.（2）写出一题a，b的值，使函数y=ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标.（3）已知，二次函数y=ax2+bx+2的图象和直线y=ax+4b都经过点（2，m），求证a2+b2≥12.6．已知，如图：直线AB过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y=ax2相交于B，C两点，点B的坐标为(1，1)．（1）求直线AB和抛物线的函数解析式；（2）如果抛物线上有一点D，使得S△AOD=S△BCO，求点D的坐标．7．（1）化简：4aa2−1+a−1 a+1；（2）已知二次函数y=ax2+43(a≠0)与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，求a的值．8．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（-3，0），（1）若已知顶点坐标D为（-1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式.（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC的面积．（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）(－3<m<－1)，与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q，用含m的代数式表示QK的长度，并求出当m 为何值时，△BCQ的面积最大？9．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x 轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．10．如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y= ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值．11．抛物线y=x2与直线y=x+2交于A,B两点，点A在第二象限，求（1）A、B两点的坐标；（2）△AOB的面积12．某化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克40元．经市场调查发现，日销量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝70时，y＝80；x＝60时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用350元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？13．如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b交于点A(2，0)和点B.（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>−x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围.14．如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C （0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标；（2）求一次函数和二次函数的解析式；（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．15．为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．采购数量（件）12…A产品单价（元/件）14801460…B产品单价（元/件）12901280…1y1与x的关系式；（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的119，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案；（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．16．如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）直线y2=kx+b过B、C两点，请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）解：设y=kx+b ，由图象可知，{20k +b =2030k +b =0， 解之，得： {k =−2b =60 ，∴y=﹣2x+60（2）解：p=（x ﹣10）y =（x ﹣10）（﹣2x+60） =﹣2x 2+80x ﹣600， ∵a=﹣2＜0， ∴p 有最大值，当x=﹣ 80−2×2=20时，p 最大值=200．即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）由待定系数法求一次函数解析式。
(完整版)一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=21x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=21x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。
二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。
一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。
通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。
但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。
例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。
要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。
将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。
令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。
将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。
2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。
可以通过解方程或者配方法求解交点。
例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。
专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)
专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（ ）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（ ）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（ ）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是 ．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是 ．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（ ）A ． 3.24x < B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ． 3.26x >9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（ ）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（ ）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（ ）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（ ）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<<B ．45x <<C ．1x <-或5x >D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（ ）A ．x a<B ．x b>C ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（ ）A ．13x -<<B ．31x -<<C ．1x <-或3x >D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是 ．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是 ．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是 ．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围 ．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是 ．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是 ．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。
二次函数与一次函数交点问题
二次函数与一次函数交点问题
一、二次函数与一次函数交点问题
1、交点概念
交点是两曲线或曲面在同一平面上的相交处，通常字母X表示这种交点。
2、交点的求解
（1）求一次函数和一次函数的交点
一次函数的定义域上有且只有一个交点，通过求解一元二次方程Ax + By + C = 0 可以求出它们的交点。
一次函数的方程有两个形式： y = ax + b
或 x = c
其中a, b, c都是实数。
（2）求二次函数和二次函数的交点
二次函数的定义域上有两个交点（有可能不存在），通过求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 可以求出它们的交点。
二次函数的方程有三个形式：
y = ax2 + bx + c
y = a(x - h)2 + k
y = a(x - h)2 + k （h ≠ 0，k ≠ 0）
其中，a, b, c都是实数；h, k是实数或纯虚数。
- 1 -。
九年级数学上册专题突破19《二次函数和反比例函数》解密二次函数与一次函数的交点问题(新版)北京课改版【
解密二次函数与一次函数的交点问题1. 知识载体（1）一次函数解析式:y =mx +n （m 、n 为常数且m ≠0） （2）二次函数解析式:y =ax 2+bx +c （a ,b ,c 为常数且a ≠0） 2. 解题思想数形结合（把交点问题转化为方程问题求解） 3. 解题方法求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组2y mx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩ ，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数： （1）△＞0⇔一次函数与二次函数有两个交点； （2）△=0⇔二次函数与一次函数有一个交点； （3）△＜0⇔二次函数与一次函数没有交点。
注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。
例 抛物线解析式为：221y x x =-- ，直线解析式为：y x n =+ ，分析两图象的交点个数。
例题1 （历下区二模）已知二次函数y =x 2﹣2mx +m 2﹣4的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D 。
当m =﹣1时，将函数y =x 2﹣2mx +m 2﹣4的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Q 。
当直线与图象Q 有两个公共点时，求实数b 的取值范围。
答案：令y =0得x 2﹣2mx +m 2﹣4=0，解得x 1=m ﹣2，x 2=m +2， ∴A （m ﹣2，0），B （m +2，0），D （0，m 2﹣4），当m =﹣1时，y =x 2+2x ﹣3，则A （﹣3，0），B （1，0），顶点为（﹣1，﹣4） 因为直线b x y +=21与图象Q 有两个公共点， 则当直线b x y +=21过A 点时23=b ，当直线b x y +=21过B （1，0）时，21=b ， 当直线b x y +=21与y =﹣x 2﹣2x +3只有一个公共点时，1673=b ， 根据图象，可得﹣21＜b ＜23或b ＞1673。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的关系一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数类型，在数学中起到了重要的作用。
它们之间存在着密切的联系和关系。
本文将就一次函数与二次函数的关系展开讨论。
一、定义和特点1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的图像呈现线性关系，随着x的变化，y的值也会按一定比例的变化。
2. 二次函数：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
二次函数的图像一般呈现非线性关系，具有曲线的特点。
二、图像关系一次函数和二次函数的图像具有不同的形态，但它们之间存在着一些关系。
1. 平移关系：一次函数和二次函数可以通过平移来相互转换。
通过对一次函数的图像进行水平、垂直方向的平移，可以得到二次函数的图像，反之亦然。
这种平移关系体现了一次函数和二次函数之间的相似性和联系。
2. 变换关系：一次函数和二次函数的图像在作一些变换时也存在关系。
例如，通过改变二次函数的二次项系数a的大小和正负可以改变抛物线的开口方向，使其与直线的趋势更接近，从而与一次函数的图像相似。
三、求解方法1. 交点求解：一次函数和二次函数的图像在某些情况下会相交，求解它们的交点有着重要的意义。
通过联立一次函数和二次函数的表达式，可以得到方程 ax + b = cx^2 + dx + f。
通过解这个方程，可以求得一次函数和二次函数的交点坐标，进而研究它们之间的关系。
2. 最值求解：一次函数和二次函数都有其定义域范围内的最值。
通过求解一次函数的最值和二次函数的最值，比较它们的大小关系，可以进一步研究二者之间的关系。
四、应用场景1. 经济学：一次函数和二次函数可以用来描述经济学中的一些现象。
例如，成本函数和收入函数可以分别为一次函数和二次函数，通过研究它们之间的关系，可以得到经济学中的重要结论，如均衡价格、利润最大化等。
一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习及答案
一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习1.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0（m ＞1）。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
2.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C 。
（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式。
3.已知关于x 的方程mx 2+（3m +1）x +3=0（m ≠0）。
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y =mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
4.已知一次函数1y kx b=+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）。
二次函数与一次函数结合问题
二次函数与一次函数相结合的专题一、知识点1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）①一般式法：设二次函数为)0(2≠++=a c bx ax y 利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们二次函数经过几个点的坐标，到底需要几个点的坐标就能求出解析式呢就看c b a ,,不知道几个，3个系数都不知道就需要3个点的坐标，2个系数不知道就需要2个点的坐标，1个系数都不知道就需要1个点的坐标。
把坐标带入函数，然后求解方程组得到系数，就可以得到解析式；例：已知二次函数),,(2均为常数c b a c bx ax y ++=的图象经过三点A （2,0），B （0，-6），C （1，-2），求这个二次函数的解析式；解：把A （2,0），B （0，-6），C （1，-2）代入c bx ax y ++=2，得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==++65126024c b a c b a c c b a 所以二次函数的解析式为：652-+-=x x y②顶点式法：设二次函数为)0()(2≠+-=a k h x a y￥利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们一个条件就是对称轴和顶点坐标，因为在所设的函数中，对称轴就是x=h ，所以顶点坐标是（h,k ）。
只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了h 和k 两个未知数（a,h,k ）的值，需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a ，即求出了解析式；例：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数经过点A （），求这个二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数为5)1(2+-=x a y ，又因为函数经过点A （0,7），把A （0,7）代入函数得 2,75)10(2=∴=+-a a所以二次函数的解析式为：742,5)1(222+-=+-=x x y x y 即③交点式法：设二次函数为)0)()((21≠--=a x x x x a y利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们某二次函数与x 轴的两个交点的坐标，所以只需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a ，即求出了解析式；例、已知某二次函数的图象与x 轴相交于两点A （3,0）和B （5,0），且该二次函数经过点C （6,6），求该二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数的解析式为)5)(3(--=x x a y。
一次函数与二次函数图像的交点问题
A
B
(3)已知点P(m,0)是x轴上的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线交(2) 中的二次函数图象于点M,交一次函数y=px+q的图象于点N.若只有当 1<m<5时,点M位于点N的下方,求一次函数y=px+q 的解析式．
C A
解：依题意并结合图象可知，一次函数的图
象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
解：∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3）， ∴m+4=3．∴m=-1． ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3． ∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B,C， ∴令y=0，即-x2+2x+3=0 ． 解得x1=-1，x2=3． 又∵点B在点C左侧， ∴点B的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(3,0)．
一次函数与二次函数 图像的交点问题
高级教师 萧老师
核心考点 考纲要求 考试题型 中考分值 考查频率
会根据二次
点在函数图 函数解析式
象上的意义； 求其图象与
一次函数、 坐标轴的交
二次函数、 点坐标；会 解答题
4-7分 ★ ★ ★ ★ ★
一元二次方 利用二次函
程
数的图象求
一元二次方
程的近似解.
二次函数与一次函数交点问题.doc
课题：一次函数与二次函数的交点及交点的判断目的：掌握一次函数与二次函数的交点坐标的算法会用判别式判断一次函数与二次函数有无交点初步认识函数图像中的集合问题重点：一次函数与二次函数的交点坐标的计算难点：理解函数交点坐标的意义课时：一课时过程：引入(1)看函数图像通过函数特点，性质求解析式⑵ 通过解析式画函数图像通过观察发现在同一坐标系当川图像相交于A,C两点像这种图像相交点经常会应用到例如：连接OC O,A,C三点构成三角形OAC,如果要求三角形OAC的面积应该如何求解呢根据；S = — xOAx y c只要求出C点的坐标就可以求出三角形OAC的面积新课一.求交点坐标分析交点坐标的特点：例如A (1,0)是两函数的交点，该点的意义在于：当即y\ = >2 =纵坐标=o上式说明：当X“时两函数值是相等的。
推导：y\ -=纵坐标如果让风=儿=纵坐标，推导出函数的横坐标，即：2兀2 — 4x + 2 = 2x — 2 =纵坐标观察2? — 4x + 2 = 2兀—2是一个一元二次方程x是满足x =儿的未知数，所以只要解出方程的根就是满足的横坐标2兀2 — 4x + 2 = 2兀一2移项得至ij：2X2-6X +4=0因式分解：(x —l)(x —2)=0解根为X] = iyX2 = 2把T] =1带入任意一个函数得至叽=0即坐标为（1,0）把V] = 1带入任意一个函数得至少]=0即坐标为（2,2）由此得到交点坐标的方法:1:令两函数值相等（解析式等）2：3：解出等式的未知数x4：把未知数x的值带入两函数任意一个（一般是一次函数）5：写出交点坐标（x, y）练习1y} - x2 + 2x -1y2 =1解：令X =歹2 即X2 4- 2x - 1 = X + 1解方程：兀]=1,无2=-2 把坷=l,x2 =—2带入上述函数的到x =2,y2 =-1(-2, -1)即交点坐标为（1,2）练习2j = x1 +3x4-4 Y求歹2=一兀一 1 解：令=?2得交点即x~ + 3x + 4 = —x— I解方程：无解分析：无解说明没有X能满足必=旳也就是没有交点如何能在不计算的情况判断函数有无交点。
2012年北京中考数学第23题：二次函数与一次函数图像平移有交点 临界值
2012年北京中考数学第23题:二次函数图像与一次函数图像平移有交点 临界值23. 已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在x =0和x =2时二次函数的值相等. （1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y =kx +6的图象与二次函数的图象经过点A (﹣3，m ),求m 和k 的值；（3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （n >0）个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y =kx +6向上平移n 个单位. 请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围（1）由题意可知二次函数的对称轴为x =1，则2(2)12(1)t t +-=+ ∴32t =- ∴二次函数为21322y x x =-++. （2）∵二次函数图象经过A 点，∴213(3)(3)622m =-⨯-+-+=-,又一次函数y =kx +6的图象经过A 点 ∴ ﹣3k +6=﹣6，∴ k =4.（3）由题意可知：点B 、C 间的部分图象的解析式为1(3)(1),132y x x x =--+-≤≤ 则向左平移后得到的图象G 的解析式为1(3)(1),132y x n x n n x n =--+++--≤≤- 此时直线平移后的解析式为46y x n =++如果平移后的直线46y x n =++与平移后的二次函数1(3)(1)2y x n x n =--+++相切， 则146(3)(1)2x n x n x n ++=--+++有两个相等的实数根， 即一元二次方程22119(3)0222x n x n --+---=有两个相等的实数根， ∴22119[(3)]4()()0222n n ∆=-+-⨯---=，从而n =0，与题目中n >0矛盾， ∴平移后的直线与平移后得到的图象G 不相切.∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象G 有公共点，则两个临界交点为(﹣n －1,0)，（3－n ,0） 则204(1)63n n n =--++⇒=04(3)66n n n =-++⇒=∴263n ≤≤. ⑶ 由题意可知，点B C ，间的部分图象的解析式为()()1312y x x =--+，13x -≤≤ 则向左平移后得到的图象G 的解析式为()()312y x n x n =--+++1 13n x n ---≤≤ 此时平移后的解析式为46y x n =++由图象可知，平移后的直线与图象C 有公共点， 则两个临界的交点为()10n --，与()30n -， 则()0416n n =--++ 23n = ()0436n n =-++ 6n = ∴263n ≤≤【评价】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。
二次函数和一次函数交点问题
课题：一次函数与二次函数的交点及交点的判断目的：掌握一次函数与二次函数的交点坐标的算法会用判别式判断一次函数与二次函数有无交点初步认识函数图像中的集合问题重点：一次函数与二次函数的交点坐标的计算难点：理解函数交点坐标的意义课时：一课时：过程引入看函数图像通过函数特点，性质求解读式(1)通过解读式画函数图像(2)两点通过观察发现在同一坐标系当中图像相交于A,C 像这种图像相交点经常会应用到三点构成三角形OAC,如果要求例如：连接OC O,A,C 三角形OAC的面积应该如何求解呢根据。
1y?OAS??c2点的坐标就可以求出三角形OAC的面积只要求出C新课一．求交点坐标分析交点坐标的特点：202??4x?y?2x1x=1时A（1,0）是两函数的交点，该点的意义在于：当例如y?2x?2?02y?y?纵坐标?0即21上式说明：当x=1时两函数值是相等的。
y?y?纵坐标y?y?纵坐标推导：，推导出函数的横坐标，如果让21212纵坐标??2?x2?2x2x?4即：22?2?2x?2x?4x观察是一个一元二次方程yy?y?y的未知数，所以只要解出方程的根就是满足x是满足的横坐标21212?4x?2?2x?2x220??462x?x移项得到：0)?)(?(x1x2?因式分解：2??1,xx解根为210??1带入任意一个函数得到y把x即坐标为（1,0）1101带入任意一个函数得到y?把x?即坐标为（2,2）11由此得到交点坐标的方法：?>0（两个交点）1：令两函数值相等（解读式等）??=0（一个交点）：2?<0（无交点）3：解出等式的未知数x4：把未知数x的值带入两函数任意一个（一般是一次函数）5：写出交点坐标（x，y）二．练习121??2y?xx1y?x?12解：2y?y1??x?x2x?1令即212?x?x?1,解方程：211???2,y?x?1,x?2y带入上述函数的到把2211-1）（-2，1,2即交点坐标为（）练习22?3xx?4y?1y??x?1得交点求2解：2yy?1?4??xx?3x?即令21解方程：无解y?y也就是没有交点分析：无解说明没有x能满足21如何能在不计算的情况判断函数有无交点。
二次函数和一次函数的综合应用
二次函数和一次函数的综合应用二次函数和一次函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题的解决中具有广泛的应用。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=mx+n。
在本文中，将探讨二次函数和一次函数的综合应用，并通过实际问题的例子，说明它们在现实生活中的应用价值。
1. 抛物线的模型应用二次函数可以用来建立抛物线的模型，抛物线在现实生活中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，当考虑抛体在空中自由落体运动时，可以使用二次函数来描述物体的运动轨迹。
另外，抛物线也可用于炮弹的射程计算、杆塔的线拉力计算等工程问题。
2. 二次方程的求解二次函数与二次方程密切相关，二次方程是二次函数的零点问题。
二次方程的求解是解决许多实际问题的基础。
例如，在物理学中，当考虑自由落体运动时，可以通过求解二次方程来计算物体的时间、速度等参数。
在经济学中，二次方程可以用来解决成本、收益、利润等问题。
在工程领域中，二次方程可以应用于建筑、设计、模拟等方面。
3. 直线与曲线的交点问题一次函数和二次函数之间的交点问题是实际生活中常见的问题。
例如，在经济学中，我们可以通过求解一次函数和二次函数的交点，来分析生产成本与产量之间的关系，或者评估销售利润和销售数量之间的关系。
在几何学中，我们可以通过求解二次函数与一次函数的交点，来解决线段和抛物线的交点问题。
4. 最优化问题二次函数和一次函数也常用于解决最优化问题。
例如，在经济学中，我们可以通过建立成本函数和收益函数来优化生产和经营决策。
通过研究二次函数的顶点来确定最大值或最小值。
在物理学中，最优化问题也广泛应用于动力学、力学等领域。
综上所述，二次函数和一次函数的综合应用非常重要，并在许多领域中发挥着重要的作用。
通过建立模型、求解方程、分析交点和解决最优化问题，我们可以利用二次函数和一次函数来解决现实生活中的实际问题。
这些方法不仅在学术研究中有重要意义，也对我们的日常生活产生了积极的影响。
【优质】初三九年数学：《专题十九)二次函数与一次函数的综合应用》ppt课件
当 y＝－3 时，由－12x2＋32x＋2＝－3，解得 x＝－2(舍去)或 x＝5，此时 D
点坐标为(5，－3)．综上可知存在满足条件的点 D，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5， －3) (3)∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝ 5，BC＝2 5，∴AC2 ＋BC2＝AB2，∴△ABC 为直角三角形，即 BC⊥AC，
如图，设直线 AC 与直线 BE 交于点 F，过 F 作 FM⊥x 轴于点 M，由题意
可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝2 5，∴OAMO＝ACCF，即O1M＝
2
5 ，解得 5
OM＝2，FOMC＝AACF，即F2M＝3
5 ，解得 5
FM＝6，∴F(2，6)，且
B(4，
0)，可得直线 BE 的表达式为 y＝－3x＋12，联立直线 BE 和抛物线表达式可得
4. (滨州中考)如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴，y轴交于点A(－4， 0)，B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C. (1)求直线y＝kx＋b的函数表达式； (2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的 距离为d，求d关于x的函数表达式，并求d取最小值时点P的坐标； (3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动， 求CE＋EF的最小值．
5. (深圳中考)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋2 经过点 A(－1，0)，B(4，0)， 交 y 轴于点 C；
(1)求抛物线的表达式(用一般式表示)；
(2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 S△ABC＝23S△ABD？若 存在请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由；
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二次函数与一次函数交点问题
1. 一次函数（直线）：
情况一：一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 为定值时，通过平移去讨论产生的交点问题． 如：b x y +=2是与x y 2=平行的一组直线。
情况二：当一次函数)0(≠+=k b kx y 中，b 为定值时，此时一次函数过定点(0,b)，可以通过旋转的方式， 从而讨论交点个数问题．
如：3+=kx y 是过定点），（30的直线； k kx y +=是过定点）
，（31-的直线。
2. 一次函数与二次函数交点问题
情况一：一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠产生交点，求交点坐标方法。
联立二次函数与一次函数的解析式⎩
⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2
=-++=n c x ax y ，
解此一元二次方程即可。
例：一次函数1+=x y 与二次函数322--=x x y 交于A 、B 两点，求交点坐标。
解：联立⎩
⎨⎧=+=3-2-12x x y x y 整理得：1322
+=--x x x
即：0432=--x x ∴.1421-==x x ；
∴.0521==y y ；
∴A （4,5）、B （-1,0）
情况二：当n 为何值时，一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠只有一个交点？有两个交点？无交点？
联立二次函数与一次函数的解析式⎩
⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2
=-++=n c x ax y ，
∵ 二次函数c x ax y ++=b 2与一次函数n kx y +=只有一个交点，两个交点，无交点， ∴ 令0=∆，0>∆，0<∆，即可求得n 的值或范围.
例：一次函数n x y +=与二次函数322--=x x y 只有一个交点，求n 的值。
解：联立⎩
⎨⎧=+=3-2-2x x y n x y 整理得：n x x x +=--322
即：0-332=--n x x
令0=∆，即0-3-4-9=）（n ∴421-
=n。