投影坐标系详细介绍共37页
大地测量学第六章高斯投影及其计算
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
投影坐标系的详细介绍
投影坐标系的详细介绍投影坐标系是地理空间信息系统中常用的一种坐标系统，它将地球表面的地理坐标映射到一个二维平面上，便于进行地图制作、测量和分析等操作。
投影坐标系的选择对地图质量和数据分析结果具有重要影响，因此对投影坐标系进行详细的介绍具有重要意义。
首先，投影坐标系的基本原理是将三维的地理坐标转换为二维的平面坐标。
由于地球是一个近似地球椭球体，而地图是在平面上展示地球表面，因此必须进行一定的数学转换。
投影坐标系通过一种数学模型将地球上的点按照一定规则映射到平面上，使得地球表面上的线段、面积和角度等地理特征在平面上能够得到合理、准确的表示。
投影坐标系有很多种类，常见的包括等面积投影、等距投影、等角投影等。
等面积投影保持地球表面上的面积比例关系，适用于需要准确测量面积的地图制作；等距投影保持地球表面上的距离比例关系，适用于需要准确测量距离的地图制作；等角投影保持地球表面上的角度关系，适用于需要准确测量角度的地图制作。
此外，还有一些特殊的投影坐标系，如墨卡托投影、兰勃托投影、极射投影等，它们在特定应用领域具有优势。
投影坐标系不仅仅是一个数学转换模型，还需要考虑到使用的地图范围、地图形状、地图形变以及地图使用目的等因素。
在选择投影坐标系时，需要权衡不同因素之间的取舍，以达到最优的地图效果。
例如，选择投影坐标系时需要考虑地图的纬度范围，选择全球性的坐标系还是局部性的坐标系；还需要考虑地图形状，选择圆形、椭圆形还是其他形状；同时还需要考虑地图形变，平行线是否保持平行、面积是否保持一致等问题；最后还要考虑地图使用目的，是制作导航地图、气象图、行政区划图还是其他类型的地图。
投影坐标系选择的准则主要包括地图形变、图形一致、适用范围、计算复杂度等因素。
地图形变是指由于地球表面三维形状与二维平面的转换而引起的失真现象。
不同的投影坐标系对应不同的形变性质，因此需要根据地图使用需要选择合适的坐标系。
图形一致是指地图中的地理特征在平面上的表示与实际地表特征的一致性。
gis中地理坐标系和投影坐标系的理解
GIS中坐标系统的理解理解坐标系统关键要明确两个概念：Geographic coordinate system和Projected coordinate system。
1. 首先理解Geographic coordinate systemGeographic coordinate system为地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。
很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。
我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？地球是一个不规则的椭球，要将数据信息以科学的方法存放到椭球上，这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。
具有长半轴，短半轴，偏心率。
以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。
Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.300000000000010000然而有了这个椭球体以后还不够，还需要一个大地基准面将这个椭球定位.在坐标系统描述中，可以看到有这么一行：Datum: D_Beijing_1954 （表示大地基准面是D_Beijing_1954.）有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用.下面是地理坐标系统的完整参数：Alias:Abbreviation:Remarks:Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)Prime Meridian: Greenwich (0.000000000000000000)Datum: D_Beijing_1954Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.3000000000000100002. 接下来是Projection coordinate systemProjection coordinate system即投影坐标系统，首先看看投影坐标系统中的一些参数.Projection: Gauss_KrugerParameters:False_Easting: 500000.000000False_Northing: 0.000000Central_Meridian: 117.000000Scale_Factor: 1.000000Latitude_Of_Origin: 0.000000Linear Unit: Meter (1.000000)Geographic Coordinate System:Name: GCS_Beijing_1954Alias:Abbreviation:Remarks:Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)Prime Meridian: Greenwich (0.000000000000000000)Datum: D_Beijing_1954Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.300000000000010000从参数中可以看出，每一个投影坐标系统都必定会有Geographic Coordinate System。
机械制图课件投影理论基础知识(1)
PH
水平迹线
H
Y
平面(píngmiàn)与投影面的交线称为平面(pí
33
第三十三页，共76页。
水平面用迹线如何(rúhé)表示？
Z V
PV
Pz
P
PW W
PV
Pz PW
X
O
H
Y
34
第三十四页，共76页。
铅垂面用迹线如何(rúhé)表示？
Z
V
PV
Pw
W
PV
Px
Py
X Px
PW
O
PH
PH
Py
Py
H
Y
35
水平面：∥H面
正平面(píngmiàn)：∥V面
侧平面
(píngmiàn)：
40
第四十页，共76页。
一般(yībān)位置对平H、面V、W均倾斜
b'
(qībn"gxié)的平面
a' c'
b
a" c"
c a
投影(tóuyǐn在g)H特、性V、W面上的投影皆为空
间平面图形的类似图形
41
第四十一页，共76页。
实长
b'
a'
平行某一一个个(yī ɡè)投影面的直
b"
是正什平么(zhènɡ p
a"
(？平为sh行什én么Vm面？e)线
a
b
投影特性
在所平行的投影面上的投影反映实长及 与其它二投影面的倾角
另外二投影分别平行相应的投影轴23
第二十三页，共76页。
投影面垂直线 垂直(chuízhí)某一个投影面的直
Z 侧面投影 V a'
机械制图教案——点的投影.
教案授课日期2015年12月3日授课人王彦涛授课班级一（3）班授课地点1号多媒体教室课题：点的投影教学目标能力目标知识目标1. 掌握点的投影关系2. 了解点的几种空间位置3. 能熟练运用“三等关系”绘制点的投影1. 点的投影特性2. 空间点及点的三面投影表示教学重点：根据点的坐标及空间位置画出点的投影图教学难点：建立点的坐标、点到投影面的距离的联系教学组织设计1. 复习、导新：复习正投影的特征、三视图的位置关系。
2. 点的二面投影及规律3.点的三面投影，求作点的三面投影图4. 通过点的二面投影、求作点的第三面投影5. 两点的相对位置及重影点6. 小结与作业布置教学手段多媒体教学法活动探究法作业布置习题集P23\P24课后记要本节课根据一年级学生的心理特征及认知规律，以及本课程的专业特点采用直观教学和活动探究的教学方法，以学法为重心，让学生亲自动手画图，主动地参与到知识形成的整个思维过程。
力求使学生在积极愉快的课堂气氛中提高自己的认知水平，从而达到预期的教学效果。
机械制图教案教学内容教师活动学生活动〖复习〗上节课所学内容：1.三面投影体系2.三视图的形成及投影规律〖导入新课〗点、线、面是构成物体的基本几何元素。
在点、线、面这几个基本几何元素中，点是最基本、最简单的几何元素。
研究点的投影，掌握其投影规律，能为正确理解和表达物体的形状打下坚实的基础。
〖任务分析〗让学生看书回答？1.点的投影特性是什么？2.点在三个面中分别用什么样的字母表示，有什么区别，怎么去记住？3.明确什么叫视图和为什么要用三视图。
〖知识学习〗一、点的投影特性与投影标记：1.特性：点的投影永远是点。
2.点的投影标记，看书上37页。
如下图将空间A点置于三投影面体系中，自A点分别向三个投影面作垂线，交得三个垂足a、a′、a″即为A 点的H面投影、V面投影和W面投影。
新课导入时间约3分钟情境式教学，启发引导学生思考：通过复习上次课所学的内容，引出本节课的内容学习目的及重点、难点新课内容时间约25分钟多媒体演示启发学生思考：书上哪些知识容易找到？哪些是不容易找准备工具静心上课结合生活实际，积极思考踊跃回答同学间互相交流讨论，共同分析有关点的问题。
各种国内地图坐标系总结
各种国内地图坐标系总结⼀、国内的常⽤坐标系1、WGS-84坐标系：地⼼坐标系，GPS原始坐标体系在中国，任何⼀个地图产品都不允许使⽤GPS坐标，据说是为了保密。
2、GCJ-02 坐标系：国测局坐标，⽕星坐标系1）国测局02年发布的坐标体系，它是⼀种对经纬度数据的加密算法，即加⼊随机的偏差。
2）互联⽹地图在国内必须⾄少使⽤GCJ-02进⾏⾸次加密，不允许直接使⽤WGS-84坐标下的地理数据，同时任何坐标系均不可转换为WGS-84坐标。
3）是国内最⼴泛使⽤的坐标体系，⾼德、腾讯、Google中国地图都使⽤它。
3、CGCS2000坐标系：国家⼤地坐标系该坐标系是通过中国GPS 连续运⾏基准站、空间⼤地控制⽹以及天⽂⼤地⽹与空间地⽹联合平差建⽴的地⼼⼤地坐标系统。
4、BD-09坐标系百度中国地图所采⽤的坐标系，由GCJ-02进⾏进⼀步的偏移算法得到。
5、搜狗坐标系搜狗地图所采⽤的坐标系，由GCJ-02进⾏进⼀步的偏移算法得到。
6、图吧坐标系图吧地图所采⽤的坐标系，由GCJ-02进⾏进⼀步的偏移算法得到。
⼆、国内地图软件所采⽤的坐标系简介1、百度地图1）境内（包括港澳台）：BD09a、在GCJ-02坐标系基础上再次加密b、⽀持WGS-84、GCJ-02转换成BD09，反向不⽀持，并且批量转换⼀次有条数限制2）境外：WGS-842、⾼德地图:1）境内：GCJ-02a、WGS-84——>GCJ-02（⾼德有接⼝提供，反过来没有）2）境外：暂不⽀持3）AMap 就是⾼德地图，是⾼德地图在纳斯达克上市⽤的名字，主要⾯向互联⽹企业或个⼈提供免费API服务4）MapABC 是⾼德集团底下的图盟公司，主要⾯向⼤众型企业或政府机关，并提供付费的有偿服务5）Amap和MapABC，数据和服务都是共享的，所以Mapabc⽤Amap的API是正常的3、google地图1）境内：GCJ-02a、数据来源于⾼德，两者互通2）境外：WGS-844、天地图全球统⼀：CGCS20005、腾讯地图：soso地图境内：GCJ026、微软bing地图：BingMap全球统⼀：WGS-847、搜狗地图境内：搜狗坐标系a、在GCJ-02坐标系基础上再次加密b、⽀持WGS-84、GCJ-02、BD09转换成搜狗坐标，反向不⽀持8、图吧地图: MapBar境内：图吧坐标系a、在GCJ-02坐标系基础上再次加密9、阿⾥云地图境内：GCJ-0210、灵图地图：51ditu境内：GCJ-02三、各个坐标系之间的转换1、以下代码，提供的转换算法如下：1）WGS-84 ——> GCJ022）GCJ02 ——> WGS-843）GCJ02 ——> BD094）BD09 ——> GCJ025）BD09 ——> WGS-841. package com.xy;2.3. /**4. * 各地图API坐标系统⽐较与转换;5. * WGS84坐标系：即地球坐标系，国际上通⽤的坐标系。
投影坐标系的详细介绍
4.角度变形
在大多数情况下，投影前后两个对应的角度并不都是方向角， 亦即由组成该角度的两条边都不在主方向上，这时应该研究 角度变形及最大的角度变形。所谓角度变形就是投影前的角 度u与投影后对应角度u’之差
Δu=u’-u
5.面积变形
面积比
r 为微分圆的半径，a,b为主方向的长度比，变形椭圆的长半 径为ar，短半径为br。
方位投影、圆柱投影和圆锥投影又可根据球面与投影面的相 对部位不同，分为正轴投影、横轴投影和斜轴投影。
4.伪方位投影
伪方位投影中等变形线复杂，据不同设计要求有不同的形状。
多应用于编制小比例尺地形图
伪方位投影是一种较为复杂的投影，其等变形线的形状随着投影 条件的不同而不同，他并没有一定的投影面，主要采用数学解析 的方法作为构成的基础。
桑逊投影
它是一种经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影。是法国人桑逊于1650 年所创。纬线为间隔相等的平行线，经线为对称与中央经线的正弦曲 线。在每一条纬线上经线间隔相等。这种投影的所有纬线长度比均等 于1。纬线长度无变形，中央经线长度比等于1，其他经线长度比均大 于1，而且离中央经线越远，其数值越大。赤道和中央经线是两条没 有变形的线，离开这两条线越远变形越大。所以这种投影适合于作赤 道附近南北延伸的地区地图。
2.长度比
长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面 上相应的微分线段dS二者之比。 不同点上的长度比不相同， 而且同一点上不同方向的长度比也不相同
m lim P '1 P '2
P P p1 p2 0
12
m ds dS
3.方向变形
如图所示：设从主方向量起OP的方向角为 a ,投 影后 o’p’ 的方位角为 a’ 则 (a’-a) 称为方 向变形。
点的投影PPT课件
b'
B b"
a'
O
b A
a"
a
第28页/共90页
(2) 一般位置直线的指向
G
第29页/共90页
(3) 物体上一般直线的投影分析
第30页/共90页
2. 投影面的平行线
(1) 投影面平行线的投影特性 (2) 物体上平行线的投影分析
第31页/共90页
(1) 投影面平行线的投影特性
a' b' A B
2022重影点的投影上见下丌可见前见后丌可见左见右丌可见232542直线的投影一直线的投影二直线的投影特性三例题各种位置的直线2526一直线的投影27二直线的投影特性投影面的垂直线27物体上一般直线的投影分析28物体上一般直线的投影分析31物体上平行线的投影分析32物体上平行线的投影分析34物体上垂直线的投影分析35361投影面垂直线的投影特性372物体上垂直线的投影分析3738383943直线上的点一属于直线的点的投影二例题3940一属于直线的点的投影41二例题例题5已知线段ab的投影图试将ab分成21两段例题6已知点c在线段ab上求点c的正面投影解法1解法2例题7作正平线cd不直线ab相交于点d4142例题5已知线段ab的投影图试将ab分成21两段求分点c的投影cc43例题6解法1已知点c在线段ab上求点c的正面投影
c
d' a
d
第52页/共90页
二、两平行直线
1. 平行直线的投影 2. 例题
第53页/共90页
1. 平行两直线的投影
第54页/共90页
[例题9] 给出平面四边形ABCD的两条边AB、CD的 H投影，试完成ABCD的投影。
d'
d
第2章 点、直线、平面的投影
点A向三个坐标面作垂线，其垂足为：a(x,y)、a’(x,z)、 a”(y,z) 就是点A的三面投影；
点A到H、V、W面的距离为分别为Aa、Aa’、Aa”。
O
机 械 工 程
Y
制作：李俊武
31
高 等 教 育 用坐标描述空间点—— A（x,y,z） 机 Z 械 类 专 业 X 机 械 工 程 O
点在侧平面上
机 械 工 程
制作：李俊武
26
高 等 教 育 机 械 类 专 业
点在投影轴上
点在Z 投影轴上
机 械 工 程
制作：李俊武
27
高 等 教 育 机 械 类 专 业
点在Y 投影轴上
Z V
Z
X
X e' O E e H Y e" W
e' O
e" Y W
e YH
机 械 工 程
点在原点上：投影均在原点上
4
制作：李俊武
高 等 教 育 机 械 类 专 业
2.1.2
平行投影法
投射线相互平行的投影方法。 斜投影，投射线与投影面相倾斜的平行投影法。 正投影，投射线垂直于投影面的平行投影法。
机 械 工 程
制作：李俊武
5
高 等 教 育 机 械 类 专 业
平行投影法
投影面 形体 投射线 投射线 形体
投影面
高 等 教 育 机 械 类 专 业
七、重影点及其可见性 当空间两点有两个坐标对应相等，该两点 将处于某一投影面的同一条投射线上，因此 在该投影面上具有重合的投影——重影点
约定:不可见的点,在相应投影面的投影加圆括号
机 械 工 程
坐标系与投影
柱坐标系
定义
柱坐标系是一个三维空间 中的坐标系统，其中每个 点由一个距离、一个角度 和一个高度确定。
特点
柱坐标系通过圆柱坐标和 球面坐标的组合来描述点 的位置，适用于描述旋转 对称或球对称的问题。
应用
柱坐标系常用于物理学、 工程学和地球科学等领域， 例如描述磁场、电场、气 象学等。
02
投影的基本概念
坐标系与投影
• 坐标系的基本概念 • 投影的基本概念 • 坐标系与投影的应用 • 坐标变换与投影变换 • 坐标系与投影的数学表达
01
坐标系的基本概念
直角坐标系
定义
直角坐标系是一个二维平面上的 坐标系统，其中每个点由一对数
值（x，y）确定。
特点
直角坐标系是笛卡尔坐标系的基础， 具有简单、直观的特点，广泛应用 于数学、物理和工程领域。
特点
斜投影的投影线与投影面倾斜， 得到的投影长度、宽度和高度与 原物体Байду номын сангаас完全一致，存在一定的
变形。
应用
斜投影常用于绘制地形图、航海 图等，能够真实反映地面的高低
起伏和物体的方向。
透视投影
定义
透视投影是一种模拟人眼视觉效果的投影方法，通过透视变换将 三维物体转换为二维图像。
特点
透视投影能够产生近大远小、近清晰远模糊的视觉效果，使画面更 加立体和生动。
应用
透视投影广泛应用于建筑设计、室内设计、动画制作等领域，用于 制作具有空间感的图像和效果图。
03
坐标系与投影的应用
几何图形的研究
确定物体位置和形状
01
通过建立坐标系，可以确定几何图形在空间中的位置和形状，
进而研究其性质和关系。
计算角度和距离
投影与直观图概要
由直观图恢复到平面图形的步骤： （1）先作一个正三角形
（2）然后以BC所在直线为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系， 画对应的x‘、y’轴，使夹角为45°画直观图时与x轴平行的线段长 度保持不变，与y轴平行的线段程度变为 原来的一半
结论：
2
S S 4 直观图
原图形
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AP B
第26页/共39页
3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
Z
D
C y
A
D
BQ C
MO N x
AP B
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4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
xOz 90 .
Z
y
O
x
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画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;
在Y轴上取线段PQ,使PQ=1.5 cm;分别过点M和N作y
轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交 点分别为A,B, C,D四边形ABCD就是长方形的底 面ABCD
Z
y
D QC
MO N x
第19页/共39页
例题解析
例2 画水平放置的正六边形的直观图.
y
y/
FHE
A
O
H/
F/
E/
Dx
A/
O/
D/
x/
B/ G/ C/
BG C
F/
E/
A/
D/
B/
C/
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
第二讲天球坐标演示文稿
子午圈：通过上点和下点的赤经圈。 （同时也一定通过Z、Z′和S、N） 以天北极、天南极为界，分为子圈和午圈。
子午圈是一个十分重要的天球大圆。
它既垂直于地平圈，又垂直于天赤道， 是联系地平坐标系和赤道坐标系的纽 带。
六时圈：通过东点和西点的赤经圈。 以天北极、天南极为界，分为东六时圈和西 六时圈。
方位也不同于时角（见图）。
第二十五页，共37页。
它们之间的具体差异，与当地的 纬度有关；纬度越高，二者越接 近。在南北天极，天赤道与地平 圈重合，天北极位于天顶。这时， 高度就是赤纬，方位等于时角。
第二十六页，共37页。
u 体现地平坐标系与第一赤道坐标 系的联系，有如下关系式： 仰极高度=天顶赤纬=当地纬度
圈）
天赤道、二分圈和二至圈是相互垂直且等分 的三个天球大圆，它们把天球分成8个相等 的球面三角形。
第十八页，共37页。
u基本要点：
（1）基圈：天赤道；
（2）原点：春分点； 始圈：春分圈；
（3）纬度：称赤纬（δ），是天体相
对于天赤道的南北方向和角距离。
（0°—±90°，自天赤道起，沿天体
所在的赤经圈向南（北）度量，天赤道以 北为正，以南为负）
（ φ ），便是等于余纬（90°－ φ ）
第二十九页，共37页。
u第二赤道坐标系与黄道坐标系
第三十页，共37页。
u 这两种坐标系都属于左旋坐标系，它们的经度（第二赤道坐标系 ——赤经、黄道坐标系——黄经）都是向东度量；
u 有共同的原点——春分点；
u 但是，第二赤道坐标系以天赤道
为基圈，以春分圈为始圈；黄道
u用途：表示日月行星在星空间的位置和运动。
第二十页，共37页。
投影坐标系统介绍
（Projected Coordinate System ）
一、投影坐标系统
第二讲内容的简单回顾
1、地理坐标系的定义 2、地球椭球体的定义 3、地球椭球体的类型 4、地图投影中地球椭球体的选择
地理坐标系 统（GCS）使用三 维球面来定义地球 表面上的空间位置。 GCS一般被错误的 认为是空间事物参 照的数据集，其实 GCS包括一个测定 的角度、本初子午 线以及参照数据集。
可见等距投影投影图上并不是不存在长度变形，它 只是在特定方向上没有长度变形。等距投影的面积变形 小于等角投影，角度变形小于等积投影。
4、真实方向投影（True Direction Projection）
真实方向投影即为方位投影（Azimuthal）， 国内教材按变形分类并不讲这种投影类型，我们后 面也要提到。
可见面积和角度是相互排斥的两个特征， 同时保持着两个属性不变的投影是不可能的。 换句话说，等积投影总是歪曲地图特征中的角 度关系；而等角投影总是歪曲面积关系。
等角和等积两者都是全球性的特征，等角 投影保持地图上每个地方不变形；而等积投影 则保持每个地方的面积不变。这是与其他投影 类型的最大区别。
其它类型的地图投影既不是等积投影，也 不是等角投影，主要包括两种，一是等距投 影，二是真实方向投影。
经纬网的特征
• 经线为放射直线； 纬线为同心圆。
• 等距：纬距相等。 • 等积：纬距从图
幅中央向南北逐 渐缩小。 • 等角：纬距从图 幅中央向南北逐 渐扩大。
常见圆锥投影及其用途
• 等积割圆锥投影－－中国政区图。 标准纬线分别为25°、45°（ 47°）
• 等角割圆锥投影－－小比例尺地形图。
两条边纬与 中央纬线长 度变形绝对 值相等。
向量的投影PPT课件
， 轴l叫做投影轴
第6页/共40页
向量的投影具有下列性质：
性质1 (投影定理)
向量AB 在轴 l 上的投影等于向量的模乘
以轴与向量的夹角的余弦：Pr jl AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr jl AB Pr jl' AB
l'
l
| AB | cos
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性质1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
如 x1=0 , y1 , z 1 时,平行应理解为：
当 x1 ,y1 ,z1有两 个为0，
x2 y2 z2 λ x1 y1 z1
x1 x2 0 y2 z2 λ y1 z1
如 x1=y1=0,
z时1 ，
平行应理解为：
x1 x2 0 y1 y2 0
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例 7 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 ) 为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两
是 l 轴上坐标依次为 u1 , u2 的两个点，e 是与 l
轴同方向的单位向量，证明 AB (u2 u1 )e .
证 OA u1,
e
A
o
1 u1
B
u2
l
故 OA u1e, 同理，OB u2e, 于是
AB OB OA u2e u1e (u2 u1)e.
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定义7 设有两个非零向量α，β，任取空间一点O，作 OA=α,OB=β，规定不超过π的∠AOB(设φ=∠AOB，O≤φ≤π) 称为向量α与β的夹角 .
一、 向量的投影及其性质
定义6 设有一轴 l，AB 是轴 l 上的有向线段.