2-7特勒根定理
特勒根定理和互易定理
特勒根定理和互易定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特勒根定理和互易定理1、特勒根定理1特勒根定理1内容为：对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令、分别为b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，它实质上是电路功率守恒的数学表达式。
2、特勒根定理2特勒根定理2内容为：如果两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由不同的支路构成。
假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并分别用、和、表示两电路中b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理同样对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，但它不再是电路功率守恒的数学表达式。
有时称它为“拟功率定理”。
它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流之间所遵循的数学关系。
<?xml:namespace prefix = o />3、互易定理的使用条件1）电路只含有一个独立电源；2）电路中没有受控源；3）电路中的所有无源元件全部为线性电阻。
4、互易定理1互易定理1内容为：对于一个线性无源网络NS，外加激励电压与网络响应电流互换位置时，响应电流相同，如图1所示，即=，则有。
图1互易定理15、互易定理2互易定理2内容为：对于一个线性无源网络N，外加激励电流与网络响应电压互换位置时，响应电压相同，如图2所示，即=，则有。
图2互易定理26、互易定理3互易定理3内容为：对于一个线性无源网络N，若激励在数值上相等，即=，则有，如图3所示。
图3互易定理3。
2-7特勒根定理
• 特勒根定理(Tellegens theorem)是在基尔霍夫定 律的基础上发展起来的一条重要的网络定理。 与基尔霍夫定律一样，特勒根定理与电路元件 的性质无关，因而能普遍适用于任何集中参数 电路。
• 特勒根定理有两条：
（1）特勒根功率定理 （2）特勒根似功率定理
电路的图 (graph) ： 线形图(linear graph)
注意：每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
2. 特勒根似功率定理
设有两个由不同性质的二端元件组成的电路N和
ˆ , 二者的有向图完全相同 。 N
6
ˆ ui ˆ u i ˆ u i ˆ u i ˆ u i ˆ u i ˆ u i k k 11 22 33 44 55 66
k 1
v1 (i1 i4 i6 ) v2 (i2 i4 i5 ) v3 (i3 i5 i6 ） v4 (i1 i2 i3 ) 0
将这一结论推广到任一具有nt = n+1个节点、b条支路的电路，则 有
i
k 1
b
k k
0
这就是特勒根功率定理(Tellegens power theorem)的数学表达式。 该定理表明，在任意电路中，在任何瞬时t，各支路吸收功率的 代数和恒等于零。 用特勒根功率定理可检验电路计算结果是否正确。
将以上结论推广到任意两个具有nt = n+1个节点、b条支路的电路N
ˆ ，当它们所含二端元件的性质各异，但有向图完全相同 时， 和N
则有
ˆ 0 u i kk
k 1
b
ˆ i u
k 1
b
k k
0
这就是特勒根似功率定理(Tellegens quasi-power theorem)的数 学表达式。该定理表明，在有向图相同的任意两个电路中，在 任何瞬时t，任一电路的支路电压与另一电路相应的支路电流的 乘积的代数和恒等于零。
特勒根定理的验证
公务员工伤工龄认定公务员工伤工龄认定是指公务员因工作原因导致工伤，根据相关法律法规和规定，享受工伤待遇的时限。
在中国，公务员工伤待遇是由国家提供的一项保障措施，旨在保护公务员在工作中所遭受的伤害。
公务员工伤工龄认定的过程需要经过一系列的程序和条件，以下是一般流程：第一步，公务员需要及时报告工伤：公务员在遭受工伤后，应该及时向单位报告，报告内容包括伤残程度、伤情发生时间和地点等相关信息。
第二步，公务员需进行职业病鉴定：工伤认定需要通过职业病鉴定来确定是否属于工作岗位所致。
职业病鉴定是由具备相应资质的鉴定机构来进行。
第三步，公务员需通过工伤鉴定：工伤鉴定是对工伤事件的原因、性质、伤残程度等方面进行鉴定。
鉴定结果会对公务员是否享受工伤待遇产生重要影响。
第四步，公务员需通过工伤认定：工伤认定是指根据公务员工作中所遭受的伤害程度和相关证据，判定是否属于工伤，并确定工伤赔偿标准。
第五步，公务员需通过工伤赔偿：工伤认定后，公务员可以享受由国家提供的工伤赔偿金和相应的待遇。
工伤赔偿金多为一次性支付，根据伤残等级和工龄等因素来确定。
在公务员工伤工龄认定中，工龄是一个重要的因素。
工龄是指公务员在工作岗位上的实际从业时间，工龄越长，享受工伤待遇的时间也将越长。
工伤待遇在不同省份和地区存在差异，但一般来说，公务员工伤工龄认定时间在1年以上，具体时间以相关法律法规和规定为准。
总之，公务员工伤工龄认定是一个涉及多个程序和条件的复杂过程，公务员需要按照相关规定及时报告工伤，并通过职业病鉴定、工伤鉴定、工伤认定等步骤来确保自身的权益得到保障。
同时，公务员也应加强安全意识，注意工作环境的安全，以减少工作中的伤害风险。
特勒根与互易定理.ppt
0
以④节点作为电位参考点，则 ①、②、③节点的电位分别为 v1、v2、v3
i1 i4 i6 0 i2 i4 i5 0 i3 i5 i6 0
u1 v1, u2 v2 , u3 v3 ,
u4
v1
v2 , u5
v2
v3 , u6
v3
v1
对于任一具有nt = n+1个节点、b条支路的电路，其 支路电流、支路电压分别为( i1，i2 ，···，ib )、 ( u1，u2 ，···， ub )，且各支路电压与电流参考方 向相关联，则在任意时刻t，均有
b
ukik 0
k 1
该定理表明，在任意电路中，在任何瞬时t，各支路 吸收功率的代数和恒等于零。也就是说，电路中各独 立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总 和，满足功率守恒。
注意：
（1）该定理要求u(或 uˆ )和i(或 iˆ)应分别满足KVL和KCL。
特勒根定理适用于任何（线性或非线性、有源或 无源、时变或非时变）集中参数网络。 特勒根定理只与考虑电路的联接形式，与元件特性 无关。
（2）每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
（3）特勒根定理既可用于两个具有相同有向图的不同 网络，k Rkikiˆk
k 1
k 1
b
b
Rkiˆkik uˆkik
k 1
k 1
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
互易定理的第一种形式
因为 则 故
u11 us , u22 0 uˆ22 us , uˆ11 0
I2
特勒根定理的证明
特勒根定理（Tolerance Theorem）是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。
下面是特勒根定理的证明：假设有一个电路，其中包含元件A、B、C，它们的电阻值分别为R1、R2、R3，并且它们的容差分别为δR1、δR2、δR3。
根据容差的定义，我们知道δR1+δR2+δR3=0。
现在，我们考虑将元件A、B、C的电阻值分别调整为R1+ΔR1、R2+ΔR2、R3+ΔR3，其中ΔR1、ΔR2、ΔR3都是非零实数，并且它们的大小小于元件的额定容差。
根据容差的定义，我们有δR1+δR2+δR3=0，因此我们可以将上式改写为：δR1+δR2+δR3 = -(δR1+δR2+δR3)将ΔR1、ΔR2、ΔR3代入上式，我们得到：ΔR1+ΔR2+ΔR3 = -(ΔR1+ΔR2+ΔR3)这意味着元件的容差对电路中各个元件之间的相互关系产生了影响。
如果我们将元件的电阻值调整为比额定容差小的值，那么电路中各个元件之间的相互关系将发生变化。
为了描述这种变化，特勒根定理提供了一个简单的公式。
具体来说，特勒根定理指出：对于电路中的任何元件，如果它的电阻值的变化量ΔR小于元件的额定容差，那么电路中的总电压变化量ΔV将满足：ΔV/V < (R1+R2+R3) / 3其中，V是电路中的总电压。
这个公式告诉我们，当电路中的某个元件的电阻值发生变化时，电路中的总电压变化量将非常小，通常小于额定容差的三分之一。
这意味着我们可以在电路设计中考虑元件的容差，而不必担心它们对电路性能的影响。
总之，特勒根定理是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。
特勒根定理的证明基于电路中各个元件之间的相互关系，并且提供了一个简单的公式，用于描述元件的容差对电路中总电压变化量的影响。
特勒根定理
特勒根第二定理(似功率守恒)：
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有
b
ukik ' 0 和
k 1
uk ' ik '
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
2 i1 - 2V + i5
22
4
i2
i3
i4
验证： 有相同的有向图如右
i6’
2A
2 i1’
- 4V + i5’
ukik ' Rkik ik ' (Rkik ')ik uk 'ik
b
b
得：
ukik ' uk 'ik
k 3
k 3
故：
u1i1'u2i2 ' u1'i1 u2 'i2
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++Biblioteka ++
3v -
u1 -
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
3i1'4i2 i2' 3i1 8i2'i2
-1.8A， 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR
特勒根定理
作业9：p104
4-14(b) 4-17 4-20 4-21
特勒根定理
特勒根第一定理(功率守恒)： 任意一个具有b条支路、n个节点的集总参数网络，设它的各支路电压和电流
分别为 和 (k＝1、2、3、…b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则有
uk ik
b
ukik 0
k 1
特勒根第二定理(似功率守恒)：
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有
因此有，
6
u 'i ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
这就验证了特勒根第一定理。
6
u i ' = 6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
6
u ' i = 4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0 kk k 1
b
ukik ' 0
同理
b
uk 'ik 0
k 1
k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝
-1.8A， 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
b
b
解：
特勒根定理
线性 电阻 网络 N
(b) ˆ ˆ = 0, u2 = uS
ˆ ˆ uk = Rk ik
ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 + ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 +
b
∑ u iˆ
k =3 b
k k
=0 =0
∵ uk = Rk ik
ˆ ∑u i
k =3
k k
ˆ ˆ ˆ ˆ ∴ uk ik = Rk ik ik = ( Rk ik )ik = uk ik
i = ( i1 ,i2 ,...........,ib )
u = ( u1 ,u2 ,...........,ub )
ˆ ˆ ˆ ˆ i = ( i1 , i2 ,..........., ib )
ˆ ˆ ˆ ˆ u = ( u1 ,u2 ,...........,ub ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向 则有： 并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有： 关联参考方向
b k=1
b
∑
ˆ uk ik = 0
ˆ ∑u i
k=1
k k
=0
KCL、KVL和特勒根定理合称为拓扑约束，适 、 合称为拓扑约束 和特勒根定理合称为拓扑约束， 用于任何集总电路 用于任何集总电路 例4-8 已知如图 , 求电流 ix 。 i1 + ix 10V 1A R N 解： 设电流 i1和 i2 ，方向如图所示。 方向如图所示。 由特勒根定理2 由特勒根定理2，得： 5V + i2
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1： 特勒根定理 ： 对于一个n个结点， 条支路的网络 令向量i=(i 条支路的网络， 对于一个 个结点，b条支路的网络，令向量 1，i2…..，ib) 个结点 分别表示支路电流和支路电压， 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定 分别表示支路电流和支路电压 支路电压和支路电流为关联参考方向 关联参考方向， 支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
特勒根定理
特勒根定理特勒根定理是一个不可变定理，它证明了数论中著名的四平方定理。
这个定理由德国数学家威廉特勒根于1825年提出，其原文如下：“任意正整数，用它的四个平方数之和就可以表示成一个形式：a^4+b^4+c^4+d^4。
”特勒根定理的发现让数论的发展取得了重大突破。
因为它所指示的想法使数论定理的推不可断。
因此，对于数论理论家来说，它也是有史以来最重要的定理之一。
特勒根定理给了数论学家们一种攻克数论最难的问题的方法：四平方定理，也就是通过任意正整数的四个平方数之和表示成一个四项式的形式。
证明这一定理，可以使学者们更容易地攻克其它数论问题。
1835年，另一位德国数学家加布里埃尔-哈勒，凭借特勒根定理的基础上，提出了摩根定理，这一定理表明，任意正整数可以表示成一个三项式的形式：a^3+b^3+c^3。
由此可见，特勒根定理曾经是数论领域取得重大成就的根基。
后来，印度数学家兰克尔用数学证明了特勒根定理，这也是数论理论的一个重大里程碑。
仿佛特勒根的定理推开了数论的大门，指出了数论的方向，从而使数论的理论性有了更大的发展。
随着计算机技术的发展，特勒根定理在计算机算法中也发挥了重要作用。
比如，蒙特卡罗算法中，用特勒根定理可以加快算法的求解速度；此外，特勒根定理也被用来解决密码藏和数论组合方面的问题。
特勒根定理也被用来证明数论猜想。
另外，它还被用来解决超级计算机系统和物理学系统中的问题。
以上就是特勒根定理的历史、具体内容及其应用，它的重要性不言而喻，它对数论理论的发展及应用于计算机科学、密码藏、超级计算机系统等方面的影响都不可低估。
特勒根定理的创立，不但让传统的数论发展有了机遇，也引领了数论未来发展的方向。
特勒根定理内容
特勒根定理是关于线性时不变电路中所有独立源的功率和储能之间关系的定理，具体内容如下：
对于一个线性时不变电路，在任意一个时刻，由所有独立源引起的电路中所有储能元件（如电容和电感）的储能总和等于所有独立源（包括电压源和电流源）所产生的功率总和。
特勒根定理可以表示为：
P=Pd+Pm
其中，P表示所有独立源在电路中产生的总功率，Pd表示电路中所有独立电压源产生的功率之和，Pm表示电路中所有独立电流源产生的功率之和。
特勒根定理可以帮助我们更深入地理解电路中功率和储能之间的关系，可以用于电路分析和优化设计。
在实际应用中，特勒根定理可以与基尔霍夫定律、欧姆定律等一起使用，以解决一些复杂的电路问题。
特勒根定理
特勒根定理
特勒根定理
特勒根定理（Tellegen’s theorem）是在克希霍夫定律的基础上发展起来的网络定理。
它与网络元件的特性无关，对非线性参数以及时变参数的网络都适用。
4.4.1 特勒根功率定理
一、内容
在一个具有n个节点、b条支路的网络N中，假设各个支路的电压与支路电流分别为(u1,u2....)和(i1,i2....) ，它们取关联参考方向，则对任意时间t，有
二、定理的证明
本教材中给出了一个实际的例子进行说明，有助于大家理解。
证明的依据是克希霍夫定律，以及电路的节点电压与各个支路电压的关系。
具体的严格证明过程同学们可以参见相关参考文献。
三、意义
在任意网络N中，在任意瞬时t，各个支路吸收的功率的代数和恒等于零。
也就是说，该定理实质上是功率守恒的具体体现。
4.4.2 特勒根拟功率定理
一、内容
两个具有n个节点、b条支路的网络N，它们由不同的元件组成，但它们的拓扑结构完全相同。
假设两个网络中对应的各个支路的电压与电流取关联参考方向，分别为
则对任意时间t，有
这个和式中的每一项，都仅仅是一个数学量，没有实际物理意义，定义它为“拟功率”。
特勒根定理适用范围
特勒根定理适用范围
特勒根定理，又叫Toeplitz定理，是线性代数中的一个重要定理。
它被广泛运用于数学、物理学、工程学和其他领域中。
特勒根定理可
以解决很多实际问题，因此它的适用范围非常广泛。
特勒根定理主要研究n阶复矩阵，其中每一行都是上一行的旋转。
特别地，对于任何复数序列（a1，a2，...，an），如果矩阵Toepliz
A是其滑动对称矩阵，则A具有均值。
Toeplitz算符是指A将序列映
射到左移的序列并将其与序列的原始版本的乘积的序列求和。
因此，Toeplitz极限定理通常涉及到在n趋于无穷的情况下，尺寸增长到无
穷的Toeplitz矩阵的极限行为发生的现象。
特勒根定理可以应用于信号处理中的很多问题。
在图像处理方面，通过将图像离散化为矩阵，然后将矩阵转换为Toeplitz矩阵，就可以
使用特勒根定理的方法来实现去噪、增强等操作。
在语音识别中，许
多人公式可以直接使用特勒根定理进行计算，以获得较高的精度和速度。
在时间序列分析中，特勒根定理被用来识别周期性变化和趋势性
变化，从而可以预测未来的趋势。
此外，特勒根定理还被广泛用于研究共形场论、天体物理学等领
域中的问题。
它作为一个重要的工具被应用于不同领域中，以研究实
际问题的解决方案。
总结来说，特勒根定理是线性代数中的重要定理，它的适用范围
非常广泛。
它可以应用于信号处理、时间序列分析、共形场论、天体
物理学等众多领域中，并且其被广泛运用以提高计算精度和效率。
因此，深入理解特勒根定理的含义和应用，对于解决实际问题具有重大的指导意义。
特勒根定理
在稳态情况下，线性电容及电感为互易元件
~ ~ ~ ~ V1I1 V1I1 ZI1I1 ZI1I1 0
不是所有元件都是互易元件， 如晶体管，回转器，独立电源等等
2015-1-15 第6章 特勒根定理 9
互易定理：由互易元件组成的P端口网络一定是互易的
I1
Ip
V1
~ I1
Vp
~ Ip
由特勒根定理得：
b
~ V I k k 0
k 1
b
所有支路（变化前） 所有支路（变化后）
k 1 b
~ (Vk Vk ) I k 0
~ V I k k 0
k 1
~ Vk ( I k I k ) 0
b
k 1
nb
b ~ ~ V I V I k k k k 0 k 1
由基尔霍夫电流定律 Ka I b 0
故必有
T Vb I b
0
K b：回路－支路关联矩阵
功率守恒
T 由网络的关联性可知 Ib Kb Im
T VbT Ib VbT ( Kb Im ) ( KbVb ) Im
T
由基尔霍夫电压定律 故必有
2015-1-15
KbVb 0
VbT I b 0
T T ( I b Zb T T ~ I b Zb ) I b
Vb ZbI b Zb I b
~T Vb I b ~T T T~ T~ I b Z b I b ( I b Vb Vb I b ) T T~ I b Zb I b
T~ ( I b Vb
则称
2015-1-15
N
~ 互为伴随网络 N
第9讲 特勒根定理和互易定理
电压源
开路
KCL
14
对偶电路
is2
( R1 R2 )i1 R2 i2 us1
R2i1 + ( R3 R2 )i2 us2
(G1 G2 )u1 G2u2 is1
G2u1 + (G2 G3 )u2 -i s2
比较这两组方程， 可看出， 它们的形式相同， 对应变量 为对偶元素， 所以通常把这两组方程称为对偶方程组。电路
u1i1 u2i2 u3i3 u4i4 u5i5 u6i6 u7i7 (u1 u2 u3 )i2 (u4 u5 u7 )i4 u6i6 u6 (i2 i4 i6 ) 0
+ u3 _
i2 i4 i6 0
KVL和KCL可知：
u
k 1
b
k k
i 0
u
k 1
b
k k
i 0
具有功率的量纲， 但不表示任何支路的功 率，称为拟功率。 率，称为拟功率 特勒根定理一是当特勒根定理二中电路N与
3 ^ 为同一电路的特例。 N
证明： 选节点d为参 考节点， 对 独立节点a 、b、 c列出电路的 KCL方程为
i i i 0 1 3 4
中把像这样一个电路的节点方程与另一个电路的网孔方程对
偶的两电路称为对偶电路。
15
第9讲 特勒根定理、互易定理、电路的对偶性
结
束
作业：P123 2-28、2-30 自行学习：P104~117----2.10和2.11 复习：第1 、2章
16
k 1
支路吸收的功率
特勒根定理一：
是功率守恒的具体体现
1
特勒根定理
特勒根定理特勒根定理是一个强大的数学定理，它可以帮助科学家将复杂的数学问题进行简化处理。
它也被称为“三角关系”，因为它关系到三维空间中三角形的关系。
该定理常用于几何和计算机图形学。
特勒根定理是18次世纪德国数学家威廉特勒根提出的定理。
它可以简单地表述为：“如果一个三角形的三条边满足特定的条件，那么它将保持相同的外观，不管它在三维空间中怎样移动。
”这就是所谓的“三角关系”，他们受到特勒根定理的指导。
为了理解特勒根定理，我们必须先了解它的三个基本概念：边长、夹角和面积。
边长是三角形的三条边的长度，它们用三个数字来表示。
夹角是三角形的三条边形成的角，它们用三个数字来表示。
面积是三角形的内部空间，也用三个数字表示。
任何这三个数字都可以用来描述一个三角形，包括它的形状和位置。
特勒根定理的精髓在于它关于三角形的边长、夹角和面积之间的关系。
该定理指出，如果满足以下特定的三组条件，三角形就会保持完全一致的形状：- 任意两条边之和大于第三条边；- 任意两条边夹角之和大于第三条边夹角；-积=边长*夹角*1/2这三组条件是特勒根定理中最重要的一点，只要它们满足，三角形就会保持完全一致的形状。
特勒根定理也可以用其它的方式来表达，但是它的具体内容没有改变。
特勒根定理是几何学和计算机图形学中最重要的定理之一，特勒根定理的革新性发挥了重要作用。
它使得三角形在几何学和计算机图形学中分析变得更加简单，而且它也可以应用于数学模型的建立，从而能够更加准确地描述物理现象。
特勒根定理可以应用于摩擦力、抛物线运动、抛体运动、重力等物理运动，它可以准确地反映物理系统中物体之间的关系。
它还可以帮助我们精确计算出物体在三维空间中的位置，提供准确的坐标和距离参考。
特勒根定理在计算机视觉和机器视觉领域用途非常广泛，它可以帮助用计算机分析实时三维空间中物体之间的关系，检测其位置、形状，从而实现人工智能机器视觉系统。
特勒根定理有着广泛的应用前景，它不仅可以帮助科学家精准反映三维物理场中的物理状态，而且也可以帮助计算机系统更加准确地检测三维场景中的物体位置、形状等。
电路定理-特勒根定理互易定理和对偶定理 ppt课件
对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。
电阻 R 电压源 us 网孔电流 il KVL 串联 网孔 电导 G 电流源 is 节点电压 un KCL 并联 节点
ppt课件
18
例2 i1 R1
+
us1
il1
–
R3 R2 il2
+
is1
rm i1
–
un1 G2 un2
+
u1 G1
G3
–
gm u1
电路定理
第三讲（总第十四讲）
特勒根定理
互易定理
对偶原理
ppt课件
1
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
一、具有相同拓扑结构的电路
2
1 3
N
+–
2
2
13
14
5 3
6
2
+
-
4
1
3
41
ppt课件
2
2
13
4
5 3
6
4 N
4
2
2
2
例:
2
2
13
13
14
5 3
4
14
5 3
4
N6
6
N
*对应支路取相同的参考方向
(1) 惯例网孔电流取顺时针方向，节点电压极性对地为正。 每个网孔对应一个节点，外网孔对应参考节点。
(2) 电源方向（在按惯例选取网孔电流和节点电压方向的 前提下）
原回路中所包含的电压源如果沿顺时针方向电压升高， 则在对偶电路中电流源的电流方向应指向该网孔对应 的独立节点。
I1
+ us
821电路特勒根定理
821电路特勒根定理引言：在电路分析中，特勒根定理是一种有力的工具，可以用来计算电路中各个分支电流或分支电压的数值。
本文将介绍821电路特勒根定理的原理和应用，并通过实例详细阐述该定理的计算方法和步骤。
一、特勒根定理的原理特勒根定理是基于电路中的电压法和电流法的基本原理推导而来的。
它指出，在一个包含n个支路的电路中，如果每个支路的电压和电流都已知，那么可以通过解一个n×n的线性方程组来求解电路中每个支路的电流或电压。
二、特勒根定理的应用特勒根定理可以广泛应用于各种电路分析问题中，特别适用于复杂电路的计算。
通过特勒根定理，我们可以快速准确地计算出电路中各个支路的电流或电压，从而实现电路分析和设计的目的。
三、特勒根定理的计算方法和步骤1. 确定电路中的支路数和每个支路的电压或电流。
根据具体问题，可以通过测量、计算或已知条件来确定电路中各个支路的电压或电流。
2. 建立支路电压或电流的线性方程组。
根据特勒根定理的原理，将电路中的支路电压或电流表示为未知数，并根据电路中的电压法和电流法建立线性方程组。
3. 解线性方程组。
通过求解线性方程组，可以得到电路中各个支路的电流或电压的数值。
4. 检验解的正确性。
将解得的电流或电压代入原电路中，检验计算结果是否符合电路中的其他条件和约束。
四、实例分析为了更好地理解和应用特勒根定理，我们通过一个实例来进行分析。
假设有一个由3个支路组成的电路，已知支路1和支路2的电压分别为U1和U2，支路1和支路2的电流分别为I1和I2。
我们需要计算支路3的电流I3。
根据特勒根定理的原理，我们可以建立如下的线性方程组：I1 = G11 * U1 + G12 * U2I2 = G21 * U1 + G22 * U2I3 = G31 * U1 + G32 * U2其中，G11、G12、G21、G22、G31、G32是电路中的系数，可以通过电压法和电流法计算得到。
解这个线性方程组，我们可以得到支路3的电流I3的数值。
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
b
uk i k 0
k 1
或
b
uˆk i k 0
k 1
6
证明：设两个电路的图如下图所示，取结点4为参考结点。
对电路1，可列写KVL方程,有:
u1＝－un1 ； u2＝un1－un3 ；
电路1 u3＝un3 ； u4＝un1－un2 ；
中有唯一电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj(图a)；若支 路k中有唯一电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。
a
uj + – b
线性 电阻 网络 N0
(a)
c ikj
d
a ijk
b
c
线性 电阻 网络
+ uk
N0
–
d
(b)
12
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则两个支路中电压电流有如下关系：
i4
+
Λ
i5
+
Λ
i6
+
un3
-
Λ
i2+
Λ
i3
-
Λ
i6
把电路2的KCL方程代入上式，可知：
6
uk
iˆk
0
k 1
此上述证明可推广至任何具有n个 结点和b条支路的电路，即有：
b
uk
iˆk
0
k 1
同理可证明定理的第二部分，即有：
b
uˆk ik 0 8
k 1
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4.功率守恒定理：
ukj ujk i j ik
或
ukjik ujk i j
当 ik = jj 时，ukj = ujk 。
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有
∑u i
k =1
k k
=0
(2) 证明: 证明:
§27 特勒根定理
b
∑u i
k =1
k k
=0
令v4=0 支路电压用节 点电压表示 u1= - v1 u2= - v2
k =1
∑ uk ik = u1i1 + u2i2 + u3i3 + u4i4 + u5i5 + u6i6
=-v1i1 +(-v )i2 +(-v )i3 +(v-v2 )i4 +(v2-v )i5 +(v3-v )i6 2 3 1 3 1
6
=v1(i1 +i4 i6) +v2(i2 i4 +i5) +v3(i3 i5 +i6 =0 )
§27 特勒根定理
将这一结论推广到任一具有n个节点, 条支路的 将这一结论推广到任一具有 个节点,b条支路的 个节点 b 电路, 电路,则有 这就是特勒根功率定理(Tellegen′s power theorem) ′ 这就是特勒根功率定理 的数学表达式.该定理表明, 的数学表达式.该定理表明,在任意集中参数电 路中, 在任何瞬时t, 路中 , 在任何瞬时 t , 各支路吸收功率之和恒等 于零.也就是说, 于零.也就是说,电路中各独立源供给功率的总 等于其余各支路吸收功率的总和. 和,等于其余各支路吸收功率的总和 条支路在t时刻吸收的功率 (3)物理意义 uk (t)ik (t) = 第k条支路在 时刻吸收的功率 )物理意义: 条支路在 表整个电路在t时刻各支路吸收功率之和守恒( 表整个电路在 时刻各支路吸收功率之和守恒(为 时刻各支路吸收功率之和守恒 又叫瞬时功率守恒定理. 瞬时功率守恒定理 零), 所以 又叫瞬时功率守恒定理.
= v1(i1 + i4 i6 ) + v2 (i2 i4 + i5 ) +ν3(i3 i5 + i6 ) = 0
§27 特勒根定理
将以上结论推广到任意两个具有n个节点, 条支路 将以上结论推广到任意两个具有 个节点,b条支路 个节点 的电路N和 当它们所含二端元件的性质各异, 的电路 和 N ,当它们所含二端元件的性质各异, 但有向图完全相同时, 但有向图完全相同时,则有
k =3
u ab iab + u cd icd + ∑ u k ik = 0
k =3
b+2
a
4A
N
c +
3A
a N
c
u ab
+ 8v
b
b+ 2
d
-b
-
d
u ab iab + ucd icd + ∑ u k ik = 0
k =3
uk ik = ik Rk ik = ik uk
即∑ uk ik = ∑ uk ik
+
-
§27 特勒根定理
4,从电路模型中抽象出拓朴图后,不会影响建立 ,从电路模型中抽象出拓朴图后, KVL,KCL方程. 方程. , 方程 四,特勒根定理:(一个二端元件为一支路) ,特勒根定理: 一个二端元件为一支路) 1,特勒根功率定理 , (1) 内容:教材P59(第12~15行) 内容:教材 ( 行 设电路有b条支路 条支路, 设电路有 条支路,ub,ib 为一致参考方向
§27 特勒根定理
(4) 证明
设网络N和N具有相同的有向图
令v4=0, , 支路电压用节点电压表示
6
∑
k =1
u k ik = u1i1 +u 2 i2 + u 3 i3 + u 4 i4 + u 5 i5 + u 6 i6
= -v1i1 +(-v )i2 +(-v )i3 +(v -v2 )i4 +(v2-v3 )i5 +(v3-v )i6 2 3 1 1
k =3 k =3 b+ 2 b+ 2
u ab iab + u cd icd + ∑ u k ik = 0
k =3
b+2
∴uabiab + ucd icd = uabiab + ucd icd
uab × 0 + 0 × icd = uab (4) + 8 × 3
8× 3 uab = = 6v 4
1
§27 特勒根定理
2 特勒根似功率定理 (2) 内容:教材 内容:教材P60(第9~17行) ( 行
二网络具有相同的有向图, 设 N和N 二网络具有相同的有向图,支路电 压电流为一致的参考方向, 条支路, 压电流为一致的参考方向,有b条支路, 中 条支路 N 电压电流加" . 电压电流加"^". b b ∑ uk ik = 0 ∑ u k ik = 0 有
k =1 k =1
(3)物理意义: )物理意义:
所以无物理意义, 似功率( 积 , 所以无物理意义 , 叫 似功率 ( 因为具有 功率的计算形式和量纲). 功率的计算形式和量纲) b 表似功率守恒,所以叫似功率守恒 似功率守恒定理 ukik = 0 表似功率守恒,所以叫似功率守恒定理 ∑
k=1
(uk ik ) (uk ik ) 不是同一元件上的电压电流的乘
§27 特勒根定理
特勒根定理 特勒根定理(Tellegen′s theorem)是在基尔霍夫定 ′ 是在基尔霍夫定 律的基础上发展起来的一条重要的网络定理. 律的基础上发展起来的一条重要的网络定理.与 基尔霍夫定律一样, 基尔霍夫定律一样,特勒根定理与电路元件的性 质无关,适用于任何集中参数电路. 质无关,适用于任何集中参数电路. 特勒根定理有两条: 特勒根定理有两条: (1)特勒根功率定理 ) (2)特勒根似功率定理 ) 一,运用范围: 任意集中参数电路. 运用范围: 二,用途: (1)用于系统的稳定性分析 用途: ) (2)用来证明其它网络定理 )
例
(a) 4A
a
N
c
3A
b (b) +
a N
d
c
N是由 个线性电阻 是由b个线性电阻 是由 组成的电路, 组成的电路,(a),(b) 图所示电路具有相 同的有向拓扑图 求:(b)中 u ab 中
b+2u ab+-b
由特勒根似功 解: 由特勒根似功 率定理有
-
8v
d
u ab iab + u cd icd + ∑ u k ik = 0
§27 特勒根定理
三,电路的图(graph——拓朴图 拓朴图) 拓朴图 与电路图(circuit diagram)不同 与电路图 不同 1,电路模型:既包含了元件性质. ,电路模型: 又包含了其几何结构. 又包含了其几何结构. 2,电路的图:去掉其元件性质,由电路的联接关系 ,电路的图:去掉其元件性质, 得到的点和线的集合. 得到的点和线的集合 又叫线形图(linear graph) 又叫线形图 只要联接形式同就叫同一个图 G中,每一线段仍叫支路 中 每一线段两端仍叫节点 3,有向图 (oriented graph, digraph) ,
k =1
∑ uk ik
=0
2 特勒根似功率定理 (1) 具有相同有向拓扑图的电路 具有相同有向拓扑图的电路 相同有向拓扑图
R4 2 R5 R3 4 R4 2 R6 1 R2 3 R3 + us1 – 4 1 2 3 6 3 4 R5 us6 1
+
N
-
is2 3 R1
N
2 5 4
两个电路中, 两个电路中,支路数和节点数 都相同, 都相同,对应支路与节点的联 接关系也相同. 接关系也相同. 联合参考方向相同 对应支路的联合参考方向 对应支路的联合参考方向相同
特勒根定理用来求解电路甚少, 特勒根定理用来求解电路甚少,其另一用途是用来证明 其它定理.(如互易定理) .(如互易定理 其它定理.(如互易定理)
�
k =1
∑ u k i$k
b
=0
b k =1
$ ∑ uk ik
=0
这就是特勒根似功率定理(Tellegen′s quasi-power ′ 这就是特勒根似功率定理 theorem)的数学表达式.该定理表明,在有向图相 的数学表达式. 的数学表达式 该定理表明, 的任意两个集中参数电路中,在任何瞬时t, 同的任意两个集中参数电路中,在任何瞬时 ,任 一电路的支路电压与另一电路相应的支路电流的乘 积之和恒等于零. 积之和恒等于零. $ 该定理要求u(或 u 或 应分别满足 应分别满足KVL和KCL, 该定理要求 或 )和i(或 )应分别满足 和 和 , $ i 且电压电流方向一致,这是值得注意的. 且电压电流方向一致,这是值得注意的.
§27 特勒根定理
五,讨论 1.特勒根定理与元件性质无关 . 2.特勒根定理只要求 k,ik在数学上受到一定的约束 .特勒根定理只要求u 的约束) ( KVL, KCL的约束 ) , 而并不要求它们代表某一 , 的约束 物理量, 物理量,所以特勒根定理不仅适用于同一网络的同一 时刻,也适用于不同时刻,不同的网络( 时刻,也适用于不同时刻,不同的网络(但要求具有 相同有向图) 不仅适用于电网络, 相同有向图),不仅适用于电网络,也适用于非电网 络. 3.要求uk,ik方向同,若方向反,应为 kik . .要求 方向同,若方向反,应为-u