全等三角形六种常见的实际应用

专训1六种常见的实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：

(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；

(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．

利用三角形全等测量能到两端的距离

1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗

(第1题)

利用三角形全等求两端的距离

2．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，|

如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．

(第2题)

利用三角形全等测量物体的内径

3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.

(第3题)

利用三角形全等解决工程中的问题

4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理

`

(第4题)

利用三角形全等解决面积问题

5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC，∠BAC＝90°)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草的种植面积各是多少．

(第5题)

利用角平分线的判定和性质设计方案

6．如图，湖边的三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处【导学号：】

(第6题)

答案

1．解：因为∠ACB＝90°，

所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.

在△ABC和△ADC中，

、

⎩⎪⎨⎪

⎧BC ＝DC ，∠ACB＝∠ACD，AC ＝AC ，

所以△ABC≌△ADC (SAS )． 所以AB ＝AD. 2．解：∵AB∥DC， ∴∠ABO＝∠CDO. 又∵DO⊥CD， ∴∠CDO＝90°，

∴∠ABO＝90°，即BO⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴BO＝DO.又∵∠AOB＝∠COD， ∴△BOA≌△DOC.

{

∴CD＝AB ＝20米．

(第3题)

3．解：可设计如图所示的工具，其中O 为AC ，BD 的中点． 在△AOB 和△COD 中， ⎩⎪⎨⎪

⎧AO ＝CO ，∠AOB＝∠COD，BO ＝DO ，

所以△AOB≌△COD (SAS )．

所以AB ＝CD ，即CD 的长就是A ，B 间的距离． 因为AB ＝a －2x ， 所以x ＝a －AB 2＝a －CD 2.

4．解：在△AOB 和△COD 中，

!

⎩⎪⎨⎪

⎧OA ＝OC ，∠OAB＝∠OCD＝90°，AB ＝CD ，

所以△AOB≌△COD (SAS )． 所以∠AOB＝∠COD.

又因为∠AOB＋∠BOC＝180°， 所以∠BOC＋∠COD＝180°，

即∠BOD＝180°.所以D ，O ，B 三点在同一条直线上． 所以钻头沿着DO 的方向打孔，一定从点B 处打出． 5．解：由已知，AB ＝20 m ，AC ＝10 m .

在Rt △ABC 的边AB 上取点E ，使AE ＝AC ＝1

2AB.连接DE.

∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD.

~

又∵AD 是△ACD 和△AED 的公共边， ∴△ACD≌△AED (SAS )． ∴S △ACD ＝S △AED .

又易得S △AED ＝S △BED ＝1

2

S △ABD .

∴S △ACD ＝13S △ABC ＝16×20×10＝1003 m 2

.

S △ABD ＝2003

m 2

.

答：一串红的种植面积是2003 m 2，鸡冠花的种植面积是1003 m 2

.

6．解：如图所示．

①作出△ABC 的两个内角的平分线，其交点为O 1； ②分别作出△ABC 外角平分线，其交点分别为O 2，O 3. 故满足条件的修建点有三处，即点O 1，O 2，O 3.

(第6题)

点拨：解题的关键是分情况讨论：分所选位置在三条公路所围三角形的内部和外部两种情况．本章角平分线的性质和判定定理尚未学到，但结合全等三角形的判定及性质，很容易理解角平分线的性质及判定定理．前后呼应相得益彰．