高考数学2019真题汇编-平面解析几何(学生版)
2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)
2019年高考数学试题分项版——解析几何(解析版)一、选择题1.(2019·全国Ⅰ文,10)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为()A.2sin 40°B.2cos 40° C. D.答案 D解析由题意可得-=tan 130°,所以e=====.2.(2019·全国Ⅰ文,12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 B解析由题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ==.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ==,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以=1-22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1,故选B.3.(2019·全国Ⅱ文,9)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p等于()A.2 B.3 C.4 D.8答案 D解析由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.4.(2019·全国Ⅱ文,12)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为() A. B.C.2 D.答案 A解析如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为2+y2=①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x =,所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e =,故选A.5.(2019·全国Ⅲ文,10)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A. B. C. D.答案 B解析由F是双曲线-=1的一个焦点,知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.不妨设点P在第一象限,P(x0,y0),x0>0,y0>0,则解得所以P,所以S△OPF=|OF|·y0=×3×=.6.(2019·北京文,5已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a等于()A.B.4 C.2 D.答案 D解析由双曲线方程-y2=1,得b2=1,∴c2=a2+1.∴5=e2===1+.结合a>0,解得a=.7.(2019·天津文,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A. B.C.2 D.答案 D解析由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±x.将x=-1代入y=±x,得y=±,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|=4|OF|可得=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e===.8.(2019·浙江,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.B.1C.D.2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都满足a=b,所以c=a,所以双曲线的离心率e==.9.(2019·全国Ⅰ理,10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 B解析由题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ==.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ==,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以=1-22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1,故选B.10.(2019·全国Ⅱ理,8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p 等于()A.2 B.3 C.4 D.8答案 D解析由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.11.(2019·全国Ⅱ理,11)设F 为双曲线C :-=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( ) A. B. C .2 D. 答案 A 解析 如图,由题意知,以OF 为直径的圆的方程为2+y 2=①,将x 2+y 2=a 2记为②式,①-②得x = ,则以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的相交弦所在直线的方程为x =,所以|PQ |=2.由|PQ |=|OF |,得2=c ,整理得c 4-4a 2c 2+4a 4=0,即e 4-4e 2+4=0,解得e= ,故选A.12.(2019·全国Ⅲ理,10)双曲线C :-=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO |=|PF |,则△PFO 的面积为( ) A.B.C .2D .3答案 A解析 不妨设点P 在第一象限,根据题意可知c 2=6, 所以|OF |= .又tan ∠POF ==,所以等腰△POF 的高h = ×=,所以S △PFO =× ×=. 13.(2019·北京理,4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,则( )A .222a b =B .2234a b =C .2a b =D .34a b =【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案.【解析】:由题意,12c a =,得2214c a =,则22214a b a -=,22244a b a ∴-=,即2234a b =.故选:B .【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质,熟记隐含条件是关键,是基础题.14.(2019·北京理,8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是( )A .①B .②C .①②D .①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变,所以图形关于y 轴对称,根据对称性讨论y 轴右边的图形可得.【解析】:将x 换成x -方程不变,所以图形关于y 轴对称, 当0x =时,代入得21y =,1y ∴=±,即曲线经过(0,1),(0,1)-;当0x >时,方程变为2210y xy x -+-=,所以△224(1)0x x =--…,解得(0x ∈, 所以x 只能取整数1,当1x =时,20y y -=,解得0y =或1y =,即曲线经过(1,0),(1,1), 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-,(1,1)-, 故曲线一共经过6个整点,故①正确.当0x >时,由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=…,(当x y =时取等),222x y ∴+…,∴C 上y ,根据对称性可得:曲线C在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=,x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=,因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=,故③错误. 故选:C .【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用,属中档题.15.(2019·天津理,5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a >0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A. B.C.2 D.答案 D解析由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±x.将x =-1代入y=±x,得y=±,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|=4|OF|可得=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e===.二、填空题1.(2019·全国Ⅲ文,15)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.答案(3,)解析不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c==4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设M(x,y),则得所以M的坐标为(3,).2.(2019·北京文,11)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为________.答案(x-1)2+y2=4解析∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线l为直线x=-1,∴圆的圆心坐标为(1,0).又∵圆与l相切,∴圆心到l的距离为圆的半径,∴r=2.∴圆的方程为(x-1)2+y2=4.3.(2019·浙江,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.答案-2解析 方法一 设过点A (-2,-1)且与直线2x -y +3=0垂直的直线方程为l :x +2y +t =0,所以-2-2+t =0,所以t =4,所以l :x +2y +4=0,令x =0,得m =-2,则r = = .方法二 因为直线2x -y +3=0与以点(0,m )为圆心的圆相切,且切点为A (-2,-1),所以×2=-1,所以m =-2,r = = .4.(2019·浙江,15)已知椭圆+=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心 ,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是________. 答案解析 依题意,设点P (m ,n )(n >0),由题意知F (-2,0),|OF |=2,所以线段FP 的中点M在圆x 2+y 2=4上,所以2+2=4,又点P (m ,n )在椭圆 +=1上,所以+=1,所以4m 2-36m -63=0,所以m =-或m =(舍去),当m =-时,n =,所以k PF == .5.(2019·江苏,7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2-=1(b >0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_________________. 答案 y =± x解析 因为双曲线x 2-=1(b >0)经过点(3,4),所以9-=1,得b = ,所以该双曲线的渐近线方程是y =±bx =± x .6.(2019·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y =x +(x >0)上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 答案 4解析 设P,x >0,则点P 到直线x +y =0的距离d ==≥=4,当且仅当2x =,即x = 时取等号,故点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4.7.(2019·全国Ⅰ理,16)已知双曲线C :-=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若 = , · =0,则C 的离心率为________. 答案 2解析 因为F 1B →·F 2B →=0,所以F 1B ⊥F 2B ,如图.因为=,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA,所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BOF2=,tan∠BF1O=.因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),所以=,所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e==2.8.(2019·全国Ⅲ理,15)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.答案(3,)解析不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c==4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设M(x,y),则=,=,,,得所以M的坐标为(3,).三、解答题1.(2019·全国Ⅰ文,21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.解(1)因为⊙M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为⊙M与直线x+2=0相切,所以⊙M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2.又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故⊙M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得⊙M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.2.(2019·全国Ⅱ文,20)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率为e==-1.(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,则|y|·2c=16,·=-1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②又+=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=.又由①知y2=,故b=4.由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).3.(2019·全国Ⅲ文,21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.(1)证明设D,A(x1,y1),则=2y1.由于y′=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1,整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.所以直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由可得x2-2tx-1=0,于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.设M为线段AB的中点,则M.由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,||=2,所求圆的方程为x2+2=4;当t=±1时,||=,所求圆的方程为x2+2=2.4.(2019·北京文,19)已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.(1)解由题意,得b2=1,c=1,所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为y=x+1.令y=0,得点M的横坐标x M=-.又y1=kx1+t,从而|OM|=|x M|=.同理,|ON|=.由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,则x1+x2=-,x1x2=.所以|OM|·|ON|=·===2.又|OM|·|ON|=2,所以2=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).5.(2019·天津文,19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l 相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=2+c2,解得=.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为+=1.由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).点P的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.因为点P在x轴上方,所以P.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故=,解得t=2.因为圆C与x轴相切,所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切,得=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.6.(2019·浙江,21)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求的最小值及此时点G的坐标.解(1)由题意得=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),重心G(x G,y G).令y A=2t,t≠0,则x A=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,故2ty B=-4,即y B=-,所以B.又由于x G=(x A+x B+x C),y G=(y A+y B+y C)及重心G在x轴上,故2t-+y C=0.即C,G.所以,直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而====2-.令m=t2-2,则m>0,=2-=2-≥2-=1+.当且仅当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).7.(2019·江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,则c=1.又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2===.因此2a=DF1+DF2=4,所以a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一由(1)知,椭圆C:+=1,a=2.因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-.将x=-代入y=2x+2,得y=-.因此B.又F2(1,0),所以直线BF2:y=(x-1).由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此E.方法二由(1)知,椭圆C:+=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1(-1,0),由得y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-.因此E.8.(2019·江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.解方法一(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE===.所以PB===15.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD==10,从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1B sin∠P1BD=P1B cos∠EBA =15×=9;当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ===3.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3(百米).方法二(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,直线PB的方程为y=-x-.所以P(-13,9),PB==15.所以道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).在线段AD上取点M,因为OM=<=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3(百米).9.(2019·全国Ⅰ理,19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,令Δ>0,得t<,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2,由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3,代入C的方程得x1=3,x2=,即A(3,3),B,故|AB|=.10.(2019·全国Ⅱ理,21)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;(ⅱ)求△PQG面积的最大值.(1)解由题设得·=-,化简得+=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).由得x=±.记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①设G(x G,y G),则-u和x G是方程①的解,故x G=,由此得y G=.从而直线PG的斜率为=-,因为k PQ·k PG=-1.所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|=2u,|PG|=,所以△PQG的面积S=|PQ||PG|==.设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在[2,+∞)上单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为. 因此,△PQG面积的最大值为.11.(2019·全国Ⅲ理,21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D,A (x 1,y 1),则=2y 1.由y ′=x ,所以切线DA 的斜率为x 1,故=x 1.整理得2tx 1-2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0. 所以直线AB 过定点.(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y =tx +. 由可得x 2-2tx -1=0,Δ=4t 2+4>0, 于是x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-1,y 1+y 2 =t (x 1+x 2)+1=2t 2+1, |AB |= |x 1-x 2|= =2(t 2+1). 设d 1,d 2分别为点D ,E 到直线AB 的距离, 则d 1= ,d 2=,因此,四边形ADBE 的面积S =|AB |(d 1+d 2) =(t 2+3) .设M 为线段AB 的中点,则M. 由于⊥ ,而 =(t ,t 2-2),与坐标为(1,t )的向量平行,所以t +(t 2-2)t =0. 解得t =0或t =±1.当t =0时,S =3;当t =±1时,S =4 . 因此,四边形ADBE 的面积为3或4 .12.(2019·北京理,18)(14分)已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-. (Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线1y =-分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.【思路分析】(Ⅰ)代入点(2,1)-,解方程可得p ,求得抛物线的方程和准线方程;(Ⅱ)抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -,设直线方程为1y kx =-,联立抛物线方程,运用韦达定理,以及直线的斜率和方程,求得A ,B 的坐标,可得AB 为直径的圆方程,可令0x =,解方程,即可得到所求定点.【解析】:(Ⅰ)抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-.可得42p =,即2p =, 可得抛物线C 的方程为24x y =-,准线方程为1y =; (Ⅱ)证明:抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -,设直线方程为1y kx =-,联立抛物线方程,可得2440x kx +-=, 设1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y , 可得124x x k +=-,124x x =-, 直线OM 的方程为11y y x x =,即14xy x =-, 直线ON 的方程为22y y x x =,即24xy x =-, 可得14(A x ,1)-,24(B x ,1)-, 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-, 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -,半径为212||1441616||222AB k x x +=-==, 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+, 化为224(1)4x kx y -++=, 由0x =,可得1y =或3-.则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1),(0,3)-.【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质,以及圆方程的求法,考查直线和抛物线方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.13.(2019·天津理,18)设椭圆+=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4,离心率为. (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若|ON |=|OF |(O 为原点),且OP ⊥MN ,求直线PB 的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c =1.所以椭圆的方程为+=1.(2)由题意,设P(x P,y P)(x P≠0),M(x M,0),直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB 的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立得整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得x P=-,代入y=kx+2得y P=.所以直线OP的斜率为=.在y=kx+2中,令y=0,得x M=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从解得k=±.所以直线PB的斜率为或-.。
专题05 平面解析几何(原卷版)
专题05 平面解析几何1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y += C .22143x y +=D .22154x y += 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =A .2B .3C .4D .83.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C 的离心率为A BC .2D 4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A .4B .2C .D .5.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=(a >b >0)的离心率为12,则A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a =2bD .3a =4b6.【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C ; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 A .① B .② C .①②D .①②③7.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为A BC .2D 8.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B .1CD .29.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则m =___________,r =___________.10.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.11.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ,为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.12.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB=u u u r u u u r ,120F B F B ⋅=u u ur u u u u r ,则C 的离心率为____________.13.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .14.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .15.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;(2)若,求|AB |.16.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之323AP PB =u u u r u u u r积为−12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明:PQG△是直角三角形;(ii)求PQG△面积的最大值.17.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C:y=22x,D为直线y=12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点:(2)若以E(0,52)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.18.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C:x2=−2py经过点(2,−1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.19.【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4 (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =(O 为原点),且OP MN ⊥,求直线PB 的斜率.20.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.21.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F ,为抛物线22(0)y px p =>的焦点,过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.22.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科数学(二)】经过点(3,0)M 作圆22243x y x y +---0=的切线l ,则l 的方程为A .30x y +-=B .30x y +-=或3x =C .30x y --=D .30x y --=或3x =23.【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>P 到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为A .8B .6C .5D .424.【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)与双曲线222212x y a b -=(a >0,b >0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为A .y x =B .y =C .2y x =±D .y =25.【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ,交其准线于点C ,若4BC BF =,且6AF =,则p 为A .94B .92C .9D .1826.【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】双曲线M 的焦点是12,F F ,若双曲线M上存在点P ,使12PF F △是有一个内角为2π3的等腰三角形,则M 的离心率是______. 27.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左顶点为(20)M -,(1)求椭圆C 的方程;(2)过点(10)N ,的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,当MA MB ⋅u u u r u u u r取得最大值时,求MAB △的面积.28.【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟(最后一卷)考试数学试题】已知抛物线()2:20C y px p >=的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与抛物线C 的交点为Q ,且2QF PQ =.(1)求p 的值;(2)已知点(),2T t -为C 上一点,M ,N 是C 上异于点T 的两点,且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为83-,证明直线MN 恒过定点,并求出定点的坐标.【扫描二维码关注更多精彩★玩转高中数学研讨】。
2019真题汇编-平面解析几何(学生版)
2019真题汇编--平面解析几何1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y += C .22143x y +=D .22154x y += 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =A .2B .3C .4D .83.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C的离心率为A B .2D4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A .4 B .2C .D .5.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=(a >b >0)的离心率为12,则A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a =2bD .3a =4b6.【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C ; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是A .①B .②C .①②D .①②③7.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为A B C .2D 8.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是AB .1CD .29.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则m =___________,r =___________.10.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.11.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ,为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.12.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB=,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.13.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .14.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .15.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;(2)若3AP PB =,求|AB |.16.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连结QE 并延长交C 于点G .(i )证明:PQG △是直角三角形; (ii )求PQG △面积的最大值.17.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点:(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.18.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C :x 2=−2py 经过点(2,−1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.19.【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4 (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =(O 为原点),且OP MN ⊥,求直线PB 的斜率.20.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.21.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F ,为抛物线22(0)y px p =>的焦点,过点F的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.。
三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——平面解析几何(解答题)(原卷版)
平面解析几何(解答题) 专题汇编1.【2021年全国高考甲卷数学(文)】抛物线C 的顶点为坐标原点O .焦点在x 轴上,直线l :1x =交C 于P ,Q 两点,且OP OQ ⊥.已知点()2,0M ,且M 与l 相切.(1)求C ,M 的方程;(2)设123,,A A A 是C 上的三个点,直线12A A ,13A A 均与M 相切.判断直线23A A 与M的位置关系,并说明理由.2.【2021年全国高考乙卷数学(文)】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.(1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足9PQ QF =,求直线OQ 斜率的最大值.3.【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1F 、)2122F MF MF -=,,点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程; (2)设点T 在直线12x =上,过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ,Q 两点,且TA TB TP TQ ⋅=⋅,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.4.【2021年全国新高考II 卷数学】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,右焦点为F . (1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N 是椭圆C 上的两点,直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切.证明:M ,N ,F 三点共线的充要条件是||MN =5.【2021年北京市高考数学】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -,以四个顶点围成的四边形面积为 (1)求椭圆E 的标准方程;(2)过点P (0,-3)的直线l 斜率为k ,交椭圆E 于不同的两点B ,C ,直线AB ,AC 交y =-3于点M 、N ,直线AC 交y =-3于点N ,若|PM |+|PN |≤15,求k 的取值范围.6.【2021年天津高考数学】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,上顶点为B ,离心率为25,且5BF =. (1)求椭圆的方程;(2)直线l 与椭圆有唯一的公共点M ,与y 轴的正半轴交于点N ,过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若//MP BF ,求直线l 的方程.7.【2021年浙江省高考数学】如图,已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点,M 是抛物线的准线与x 轴的交点,且2MF =,(1)求抛物线的方程;(2)设过点F 的直线交抛物线与A 、B 两点,斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ,x 轴依次交于点P ,Q ,R ,N ,且2RNPN QN =⋅,求直线l 在x 轴上截距的范围.8.【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知A 、B 分别为椭圆E :2221x y a+=(a >1)的左、右顶点,G 为E 的上顶点,8AG GB ⋅=,P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程; (2)证明:直线CD 过定点.9.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆C 1:22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD |=43|AB |. (1)求C 1的离心率;(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12,求C 1与C 2的标准方程.10.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为15,A ,B 分别为C 的左、右顶点.(1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,求APQ △的面积.11.【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --,且2a b =.(Ⅰ)求椭圆C 的方程:(Ⅱ)过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q .求||||PB BQ 的值. 12.【2020年高考浙江】如图,已知椭圆221:12x C y +=,抛物线22:2(0)C y px p =>,点A是椭圆1C 与抛物线2C 的交点,过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ,交抛物线2C 于点M (B ,M 不同于A ). (Ⅰ)若116p =,求抛物线2C 的焦点坐标; (Ⅱ)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点,求p 的最大值.13.【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .(1)求12AF F △的周长;(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ,求OP QP ⋅的最小值;(3)设点M 在椭圆E 上,记OAB △与MAB △的面积分别为S 1,S 2,若213S S =,求点M 的坐标.14.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22,且过点A (2,1).(1)求C 的方程:(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得|DQ |为定值.15.【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点M (2,3),点A为其左顶点,且AM 的斜率为12, (1)求C 的方程;(2)点N 为椭圆上任意一点,求△AMN 的面积的最大值.16.【2020年高考天津】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -,右焦点为F ,且||||OA OF =,其中O 为原点. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.17.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,│AB │=4,⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切.(1)若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径;(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,│MA │−│MP │为定值?并说明理由.18.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点,P 为C 上一点,O 为坐标原点.(1)若2POF △为等边三角形,求C 的离心率;(2)如果存在点P ,使得12PF PF ⊥,且12F PF △的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.19.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B . (1)证明:直线AB 过定点; (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程.20.【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A .(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为原点,直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点. 21.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,上顶点为B .已知3||2||OA OB =(O 为原点). (1)求椭圆的离心率; (2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线x =4上,且OC AP ∥,求椭圆的方程.22.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.23.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F ,为抛物线22(0)y px p =>的焦点,过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.。
2019高考数学真题(文)分类汇编-平面解析几何含答案解析
平面解析几何专题1.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B .1C D .2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=,所以a b =,则c ==,所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 A .2sin40° B .2cos40° C .1sin50︒D .1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒,1cos50c e a ∴======︒, 故选D .【名师点睛】对于双曲线:()222210,0x y a b a b -=>>,有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>,有c e a ==3.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅.在12AF F △中,由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=,解得2n =.22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B .法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩, 又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=,解得n =.22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B .【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.4.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点,则p = A .2 B .3C .4D .8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点,所以23()2p p p -=,解得8p =,故选D .【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.解答时,利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,从而解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p =时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,从而得到选D .5.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为A BC .2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴, 又||PQ OF c ==,||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,∴||2c OA =,,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 又P 点在圆222x y a +=上,22244c c a ∴+=,即22222,22c c a e a =∴==.e ∴=A .【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.解答本题时,准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 的关系,可求双曲线的离心率.6.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C :22145x y -=的一个焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点,若=OP OF ,则OPF △的面积为 A .32B .52C .72D .92【答案】B【解析】设点()00,P x y ,则2200145x y -=①.又3OP OF ===,22009x y ∴+=②.由①②得20259y =,即053y =, 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△, 故选B .【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ,由=O P O F ,再结合双曲线方程可解出0y ,利用三角形面积公式可求出结果.7.【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=(a >0a =AB .4C .2D .12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==,c∴a=12a =,故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义,双曲线中a ,b ,c 的关系,方程的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为A BC .2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-, 双曲线的渐近线方程为by x a=±, 则有(1,),(1,)b b A B a a ---,∴2b AB a =,24ba=,2b a =,∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB 的长度.解答时,只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9.【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为__________. 【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中,2p =4,p =2,焦点F (1,0),准线l 的方程为x =−1,以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22,即为22(1)4x y -+=.【名师点睛】本题可采用数形结合法,只要画出图形,即可很容易求出结果.10.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ,为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=,11228MF F F c ∴===,∴24MF =.设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>,则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△,又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =, 22013620x ∴+=,解得03x =(03x =-舍去),M \的坐标为(.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.解答本题时,根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、,设出M 的坐标,结合三角形面积可求出M 的坐标.11.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=,解得b =b =因为0b >,所以b =因为1a =,所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程. 12.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时,切点Q 即为点P ,此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-,得)x x ==,y =Q , 则切点Q 到直线x +y =04=,故答案为4.【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题.13.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则m =___________,r =___________. 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+,把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-,此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率,进一步得到其方程,将(0,)m 代入后求得m ,计算得解.解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的结合,特别是要注意应用圆的几何性质.14.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.【解析】方法1:如图,设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =,由中位线定理可得12||4PF OM ==,设(,)P x y ,可得22(2)16x y -+=,与方程22195x y +=联立,可解得321,22x x =-=(舍), 又点P 在椭圆上且在x轴的上方,求得32P ⎛- ⎝⎭,所以212PFk ==.方法2:(焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c =, 由中位线定理可得12||4PF OM ==,即342p p a ex x -=⇒=-,从而可求得32P ⎛- ⎝⎭,所以212PFk ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用圆的方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决,则更为简洁. 15.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,│AB │ =4,⊙M 过点A ,B且与直线x +2=0相切.(1)若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径;(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,│MA │−│MP │为定值?并说明理由. 【答案】(1)M 的半径=2r 或=6r ;(2)存在,理由见解析.【解析】(1)因为M 过点,A B ,所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上,且,A B 关于坐标原点O 对称,所以M 在直线y x =上,故可设(, )M a a .因为M 与直线x +2=0相切,所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ,又MO AO ⊥,故可得2224(2)a a +=+,解得=0a 或=4a . 故M 的半径=2r 或=6r .(2)存在定点(1,0)P ,使得||||MA MP -为定值. 理由如下:设(, )M x y ,由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥,故可得2224(2)x y x ++=+,化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点,以直线1x =-为准线的抛物线,所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---,所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定义得到定值,验证定值符合所有情况,使得问题得解.16.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点,P 为C 上一点,O 为坐标原点.(1)若2POF △为等边三角形,求C 的离心率;(2)如果存在点P ,使得12PF PF ⊥,且12F PF △的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.【答案】(11;(2)4b =,a 的取值范围为)+∞.【解析】(1)连结1PF ,由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中,1290F PF ∠=︒,2PF c =,1PF,于是1221)a PF PF c =+=,故C的离心率是1ce a==. (2)由题意可知,满足条件的点(,)P x y 存在.当且仅当1||2162y c ⋅=,1y y x c x c ⋅=-+-,22221x y a b+=,即||16c y =,①222x y c +=,②22221x y a b+=,③ 由②③及222a b c =+得422b y c =,又由①知22216y c=,故4b =.由②③得()22222a x c b c=-,所以22c b ≥,从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =,a ≥P . 所以4b =,a的取值范围为)+∞.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率,以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题,熟记椭圆的简单性质即可求解,考查计算能力,属于中档试题.17.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点; (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程. 【答案】(1)见详解;(2)22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】(1)设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭,则2112x y =.由于y'x =,所以切线DA 的斜率为1x ,故11112y x x t+=-.整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=. 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥,而()2,2EM t t =-,AB 与向量(1, )t 平行,所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时,||EM =2,所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭;当1t =±时,||2EM =,所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程,属于常规题型,按部就班地求解就可以,思路较为清晰,但计算量不小.18.【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A .(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为原点,直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点.【答案】(1)2212x y +=;(2)见解析. 【解析】(1)由题意得,b 2=1,c =1. 所以a 2=b 2+c 2=2.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+. 令y =0,得点M 的横坐标111M x x y =--. 又11y kx t =+,从而11||||1M x OM x kx t ==+-.同理,22||||1x ON kx t =+-.由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=. 则122412kt x x k +=-+,21222212t x x k-=+. 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t ktk k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-. 又||||2OM ON ⋅=,所以12||21tt+=-. 解得t =0,所以直线l 经过定点(0,0).【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.19.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,上顶点为B .已|2||OA OB =(O 为原点). (1)求椭圆的离心率; (2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线x =4上,且OC AP ∥,求椭圆的方程.【答案】(1)12;(2)2211612x y +=.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ,2b =,又由222a b c =+,消去b得2222a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭,解得12c a =. 所以,椭圆的离心率为12. (2)由(1)知,2,a c b ==,故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意,(, 0)F c -,则直线l 的方程为3()4y x c =+, 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简,得到2276130x cx c +-=,解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程,解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方,所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由圆心C 在直线4x =上,可设(4, )C t .因为OC AP ∥,且由(1)知( 2 , 0)A c -,故3242ct c c=+,解得2t =.因为圆C 与x 轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C 与l2=,可得=2c .所以,椭圆的方程为2211612x y +=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.20.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.【答案】(1)22143x y +=;(2)3(1,)2E --. 【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1. 又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴, 所以DF 232==,因此2a =DF 1+DF 2=4,从而a =2.由b 2=a 2−c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16,解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(−1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=, 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得 125y =-, 因此1112(,)55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B , 所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1,0),由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.21.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F ,为抛物线22(0)y px p =>的焦点,过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】(1)p =2,准线方程为x =−1;(2)最小值为1+G (2,0). 【解析】(1)由题意得12p=,即p =2. 所以,抛物线的准线方程为x =−1.(2)设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ,重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠,则2A x t =.由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为2112t x y t-=+,代入24y x =,得()222140t y y t---=,故24B ty =-,即2B y t =-,所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上,故220c t y t-+=,得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以,直线AC 方程为()222y t t x t-=-,得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧,故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-,则m >0,122122213434S m S m m m m =-=-=++++…当m =时,12S S取得最小值1+G (2,0).【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.。
(2017-2019)高考理数真题分类汇编专题08 平面解析几何(解答题)(学生版)
专题08 平面解析几何(解答题)1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C :y 2=3的焦点为F ,斜率为的直线l 与C 的交点为A ,B ,与轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若,求|AB |.2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥轴,垂足为E ,连结QE 并延长交C于点G .(i )证明:PQG △是直角三角形; (ii )求PQG △面积的最大值.323AP PB u u u r u u u r3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C:y=22x,D为直线y=12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点:(2)若以E(0,52)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.4.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C:2=−2py经过点(2,−1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=−1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.5.【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4 (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =(O 为原点),且OP MN ⊥,求直线PB 的斜率.6.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系Oy 中,椭圆C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作轴的垂线l ,在轴的上方,l 与圆F 2222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.7.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F ,为抛物线22(0)y px p =>的焦点,过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在轴上,直线AC 交轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.8.【2017年高考全国III 卷理数】已知抛物线C :y 2=2,过点(2,0)的直线l 交C 于A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点()4,2P -,求直线l 与圆M 的方程.9.【2017年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . (1)求椭圆E 的标准方程;(2)若直线1l ,2l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.(注:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程:2a x c=±)10.【2017年高考浙江卷】如图,已知抛物线2x y =,点A 11()24,-,39()24,B ,抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<.过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围; (2)求||||PA PQ ⋅的最大值.11.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.12.【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C :2y =2p 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线P A 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM QO λ=u u u u r u u u r ,QN QO μ=u u u r u u u r ,求证:11λμ+为定值.13.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠.14.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >,. (1)证明:12k <-;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r.证明:FA u u u r ,FP u u u r ,FB u u u r 成等差数列,并求该数列的公差.15.【2018年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点12(F F ,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.16.【2018年高考浙江卷】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4上存在不同的两点A ,B 满足P A ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆2+24y =1(<0)上的动点,求△P AB 面积的取值范围.17.【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的离心率A 的坐标为(,0)b ,且FB AB ⋅= (1)求椭圆的方程;(2)设直线l :(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点),求的值.18.【2017年高考全国I 理数】已知椭圆C :22221()0x y a ba b +=>>,四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,2),P 4(1,2)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.19.【2017年高考全国II 理数】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2212x y +=上,过M 作轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP =u u u ru u u r.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .20.【2017年高考北京卷理数】已知抛物线C :y 2=2p 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.21.【2017年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △AP 的方程.22.【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2,焦距为2.(1)求椭圆的方程;(2)如图,动直线1:l y k x =-交椭圆E 于A ,B 两点,C 是椭圆上一点,直线OC 的斜率为,且124k k =,是线段延长线上一点,且|:||2:3MC AB =,的半径为,是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率.E E 2k M OC M e MC ,OS OT M e ,S T SOT ∠l。
(9)平面解析几何——高考数学三年真题专项汇编卷(2019-2021)
(9)平面解析几何——高考数学三年真题专项汇编卷(2019-2021)1.【2021年·全国乙卷(理)】设B 是椭圆22221(0):x y C a b a b+=>>的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤,则C 的离心率的取值范围是()A.22⎫⎪⎢⎪⎣⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.20,2⎛ ⎝⎦D.10,2⎛⎤⎥⎝⎦2.【2021年·全国乙卷(文)】设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点,点P 在C 上,则PB的最大值为()A.52D.23.【2021年·新高考Ⅰ卷】已知1F ,2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为()A.13B.12C.9D.64.【2020年·全国Ⅰ卷(文)】已知圆2260x y x +-=,过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.45.【2021年·全国甲卷(理)】已知1F ,2F 是双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且1260F PF ∠=°,123PF PF =,则C 的离心率为()A.2B.26.【2020年·全国Ⅰ卷(理)】已知22:2220M x y x y +---=e ,直线:220l x y ++=,P 为l 上的动点,过点P 作⊙M 的切线,PA PB ,切点为,A B ,当||||PM AB ⋅最小时,直线AB 的方程为()A.210x y --=B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=7.【2019年·全国Ⅱ卷(理)】若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =()A .2B .3C .4D .88.【2020年·新高考Ⅰ卷】(多选)已知曲线22:1C mx ny +=,()A.若0m n >>,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B.若0m n =>,则CC.若0mn <,则C 是双曲线,其渐近线方程为y =D.若0m =,0n >,则C 是两条直线9.【2021年·全国乙卷(理)】已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>的一条渐近线为0my +=,则C 的焦距为_____________.10.【2021年·全国乙卷(文)】双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为___________.11.【20202:4C y x =的焦点,且与C 交于,A B 两点,则||AB =_________.12.【2021年·全国甲卷(理)】已知1F ,2F 为椭圆22:1164x y C +=的两个焦点,P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点,且12PQ F F =,则四边形12PF QF 的面积为___________.13.【2020年·新高考Ⅰ卷】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,且过点(2,1)A (1)求C 的方程;(2)点,M N 在C 上,且,AM AN AD MN ⊥⊥,D 为垂足,证明:存在定点Q ,使得DQ 为定值.14.【2021年·全国乙卷(文)】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.(1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足9PQ QF =,求直线OQ 斜率的最大值.15.【2021年·全国乙卷(理)】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.(1)求p .(2)若点P 在M 上,PA 、PB 是C 的两条切线,A 、B 是切点,求PAB 面积的最大值.答案以及解析1.答案:C解析:本题考查椭圆的方程与几何性质、离心率,二次函数的图象与性质,不等式的求解.由题可得(0,)B b ,设()00,P x y ,0[,]y b b ∈-,则有2200221x y a b +=,可得2220021y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故()2222222000002||12y PB x y a y b b y b b ⎛⎫=+=-+-+=⎪⎝⎭-223222222000022222c c b y by a b y y a b b b c ⎛⎫--++=-⋅+++ ⎪⎝⎭,根据题目条件知0y b =-时,2||PB 取得最大值22(2)4b b =,则有32b b c-≤-,整理得22b c ≥,即222a c c -≥,解得a ≥,故椭圆离心率c e a =≤0e <≤.2.答案:A解析:本题考查椭圆的性质、两点间距离公式、复合函数的最值、极坐标系.由椭圆C 的方程:2215x y +=得其上顶点(0,1)B ,,sin )(1sin 1,1cos 1)P θθθθ-≤≤-≤≤.由||PB ==1sin 4θ=-时,max 5||2PB ==.3.答案:C解析:本题考查椭圆的性质,二次函数的最值.设点M 的坐标为(,)x y ,所以2125339339MF MF x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为33x -≤≤,所以2125999MF MF x ⋅=-≤,当0x =时,取得最大值9.4.答案:B解析:将圆的方程2260x y x +-=化为标准方程22(3)9x y -+=,设圆心为C ,则(30)C ,,半径3r =.设点(12),为点A ,过点(12)A ,的直线为l ,因为22(13)29-+<,所以点(12)A ,在圆C 的内部,则直线l 与圆C 必相交,设交点分别为B D ,.易知当直线l AC ⊥时,直线l 被该圆所截得的弦的长度最小,设此时圆心C 到直线l 的距离为d ,则d AC ==,所以min ||2BD ==,即弦的长度的最小值为2,故选B.5.答案:A解析:本题考查双曲线的定义及离心率、余弦定理.设122PF PF a -=,由123PF PF =,可知13PF a =,2PF a =,又122F F c =,1260F PF ∠=︒,故222(2)(3)23cos60c a a a a =+-⨯︒,解得2247c a =.6.答案:D解析:通解由22:2220M x y x y +---=e ①,得22:(1)(1)4M x y -+-=e ,所以圆心(11)M ,.如图,连接AM ,BM ,易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅,欲使||||PM AB ⋅最小,只需四边形PAMB 的面积最小,即只需PAM V 的面积最小.因为||2AM =,所以只需||PA 最小.又||PA ==,所以只需直线220x y ++=上的动点P 到M=,此时PM l ⊥,易求出直线PM 的方程为210x y -+=.由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩,,得10x y =-⎧⎨=⎩,,所以(10)P -,.易知P A M B ,,,四点共圆,所以以PM 为直径的圆的方程为222122x y ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即2210x y y +--=②,由①②得,直线AB 的方程为210x y ++=,故选D.优解因为22:(1)(1)4M x y -+-=e ,所以圆心(11)M ,.连接AM BM ,,易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅,欲使||||PM AB ⋅最小,只需四边形PAMB 的面积最小,即只需PAM V 的面积最小.因为||2AM =,所以只需||PA 最小.又||PA ==||PM 最小,此时PM l ⊥.因为PM AB ⊥,所以l AB P ,所以2AB k =-,排除A ,C.易求出直线PM 的方程为210x y -+=,由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩,,得10x y =-⎧⎨=⎩,,所以(10)P -,.因为点M 到直线1x =-的距离为2,所以直线1x =-过点P 且与M e 相切,所以(11)A -,.因为点(11)A -,在直线AB 上,故排除B.故选D.7.答案:D解析:因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p+=的一个焦点,所以23()2pp p -=,解得8p =,故选D .8.答案:ACD解析:对于选项A ,0m n >>Q ,110m n∴<<,方程221mx ny +=可变形为22111x y m n +=,∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆,正确;对于选项B ,0m n =>Q ,∴方程221mx ny +=可变形为221x y n +=的圆,错误;对于选项C ,0mn <Q ,∴该方程表示双曲线,令220mx ny y +=⇒=,正确;对于选项D ,0m =Q ,0n >,∴方程221mx ny +=变形为21ny y =⇒=,该方程表示两条直线,正确.综上选ACD.9.答案:4解析:本题考查双曲线的方程与几何性质、渐近线方程及其性质.由双曲线22:1x C y m-=可得其渐近线方程为0y=0my +=,解得3m =,故2c ==,所以C 的焦距为24c =.10.答案:解析:本题考查双曲线的性质、点到直线的距离.由双曲线的方程22145x y -=,得其右焦点为(3,0)F ,所以点(3,0)F 到直线280x y +-=的距离为d ==11.答案:163解析:由题意得直线方程为1)y x =-,联立方程,得21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,,得231030x x -+=,103A B x x ∴+=,故1016||11233A B AB x x =+++=+=.12.答案:8解析:本题考查椭圆的定义、焦点,矩形的判定和面积.由题可知四边形12PF QF 是矩形,且222121248PF PF F F +==,1228PF PF a +==,可得128PF PF ⋅=.13.答案:(1)由题设得222224111,2a b a b a -+==,解得226,3a b ==.所以C 的方程为22163x y +=.(2)设()()1122,,,M x y N x y .若直线MN 与x 轴不垂直,设直线MN 的方程为y kx m =+,代入22163x y +=得()222124260k xkmx m +++-=.于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++.①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=,故()()()()121222110x x y y --+--=,可得()()2212121(2)(1)40kx x km k x x m ++--++-+=.将①代入上式可得()222222641(2)(1)401212m km k km k m k k -+---+-+=++.整理得(231)(21)0k m k m +++-=.因为(2,1)A 不在直线MN 上,所以210k m +-≠,故2310,1k m k ++=≠.于是MN 的方程为21(1)33y k x k ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭.所以直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,若直线MN 与x 轴垂直,可得()11,N x y -,由0AM AN ⋅=得()()()()111122110x x y y --+---=.又2211163x y +=,可得2113840x x -+=.解得12x =(舍去),123x =.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点,即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭.若D 与P 不重合,则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边,故1||||23DQ AP ==.若D 与P 重合,则1|||2DQ AP =|.综上,存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭,使得DQ 为定值.14.答案:(1)由题意知2p =,所以24y x =.(2)由(1)知,抛物线2:4C y x =,(1,0)F .设点Q 的坐标为(,)m n ,则(1,)QF m n =--,9(99,9)PQ QF m n ==--,所以点P 的坐标为(109,10)m n -,将点P 代入C 得21004036n m =-,整理得22100362594010n n m ++==,所以2101019259325n n k m n n n===≤++,当且仅当35n =时取最大值,所以直线OQ 斜率的最大值为13.15.答案:(1)点0,2p P ⎛⎫⎪⎝⎭到圆M 上的点的距离的最小值为||14142p FM -=+-=,解得2p =.(2)由(1)知,抛物线的方程为24x y =,即214y x =,则12y x '=,设切点()11,A x y ,()22,B x y ,直线PA 的方程为1111()2y y x x x -=-,又点()11,A x y 在抛物线上,所以2114x y =,所以211:24PA x x l y x =-,同理可得,222:24PB x x l y x =-,联立211222,24,24x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩从而得到1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭.设:AB l y kx b =+,联立2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理可得2440x kx b --=,所以216160k b ∆=+>,即20k b +>,且124x x k +=,124x x b =-,所以(2,)P k b -.因为||AB =,点P 到直线AB 的距离d =,所以()3221||42PAB SAB d k b =⋅=+①,又点(2,)P k b -在圆22:(4)1M x y ++=上,代入得221(4)4b k --=,代入①得,322121544PABb b S⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,而[5,3]P y b =-∈--,所以当5b =时,()maxPAB S=.。
2019届高考数学总复习分类试卷 平面解析几何
2019届高考数学总复习分类试卷平面解析几何(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l的斜率为k(k≠0),它在x轴,y轴上的截距分别为k,2k,则直线l的方程为( )A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0C.2x+y-4=0D.2x+y+4=02.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,√5为半径的圆的方程为( )A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=03.已知双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=54,且其右焦点为F(5,0),则双曲线C的方程为( )A.x 24-y23=1 B.x29-y216=1 C.x216-y29=1 D.x23-y24=14.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )A.k=12,b=-4 B.k=-12,b=4 C.k=12,b=4 D.k=-12,b=-45.已知直线x+y-2=0经过椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆C的离心率为( )A.12B.√2-1 C.√22D.√2-126.若双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,则其渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=±4xC.y=±12x D.y=±14x7.过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一象限交于点A,则|AF|=( )A.5B.4C.3D.28.设F是双曲线x 24-y212=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的一动点,则|PF|+|PA|的最小值为( )A.5B.5+4√3C.7D.99.设椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 是椭圆上的一点,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( ) A.3B.3或32C.32D.6或310.已知抛物线C:y 2=8x,过点P(2,0)的直线与抛物线交于A,B 两点,O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-16B.-12C.4D.211.点F 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形,那么椭圆的离心率为( ) A.√22B.√32C.√3-12D.√3-112.已知双曲线C:x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H,若FH 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为( ) A.√62B.2C.√3D.√21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程为 .14.已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x 215+y 26=1有共同的焦点,且一条渐近线方程为√3x+y=0,则双曲线的顶点坐标为 .15.设F 1、F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是线段F 1P 的中点,|OM|=3(O 为坐标原点),则|PF 1|= .16.已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,M 为抛物线C 上一点,若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点),且外接圆的面积为9π,则p= .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4√3,半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程;(2)若直线l∥PQ,l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.18.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.19.(本小题满分12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),e=12,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,点A,B的中点横坐标为14,且AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB⃗⃗⃗⃗⃗ (其中λ>1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数λ的值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的顶点到直线l 1:y=x 的距离分别为√2,√22.(1)求C 的标准方程;(2)设平行于l 1的直线l 交C 于A,B 两点,若以AB 为直径的圆恰过坐标原点,求直线l 的方程.21.(本小题满分12分)已知抛物线C 的方程为y 2=2px(p>0),点R(1,2)在抛物线C 上. (1)求抛物线C 的方程;(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A,B,若直线AR,BR 分别交直线l:y=2x+2于M,N 两点,求|MN|最小时直线AB 的方程.22.(本小题满分12分)椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,且离心率为12,点P 为椭圆上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为√3. (1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左顶点为A 1,过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A,B 两点,连接A 1A,A 1B 并延长分别交直线x=4于R,Q 两点,问F 2R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.平面解析几何一、选择题1.D 依题意得直线l 过点(k,0)和(0,2k),所以其斜率k=2k -00−k=-2,由点斜式得直线l 的方程为y=-2(x+2),化为一般式是2x+y+4=0.2.C 由(a-1)x-y+a+1=0得(x+1)a-(x+y-1)=0,由x+1=0且x+y-1=0,解得x=-1,y=2,即该直线恒过点 (-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x 2+y 2+2x-4y=0. 3.C ∵e=c a =54,F(5,0), ∴c=5,a=4,则b 2=c 2-a 2=9, ∴双曲线C 的方程为x 216-y 29=1.4.A 因为直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以直线y=kx 与直线2x+y+b=0垂直,且直线2x+y+b=0过圆心,所以{k =12,2×2+0+b =0.即k=12,b=-4.5.C 由已知可得F(c,0),B(0,b),因为直线x+y-2=0经过点F 和点B,所以b=c=2.又a 2=b 2+c 2,故a=2√2,所以椭圆C 的离心率为e=c a =√22,选C. 6.C 因为e=ca =√1+b 2a 2=√52,所以b a =12,所以双曲线的渐近线方程为y=±12x.故选C.7.B 由题意知,F(1,0),因为直线l 过焦点F 且倾斜角为60°,所以直线l 的方程为y=√3(x-1),与抛物线方程联立,可得直线l 与抛物线交点的坐标为(13,-2√33),(3,2√3),又点A 在第一象限,故A(3,2√3),所以|AF|=√(3-1)2+(2√3-0)2=4.8.D 因为F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,所以F(-4,0),设其右焦点为H(4,0),则由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+√(4-1)2+(0−4)2=4+5=9.故选D.9.C 由题意可得该椭圆短轴端点与两焦点的连线的夹角是60°,所以点P 不可能是直角顶点,只能是焦点为直角顶点,则P (±c,b 2a ),故△PF 1F 2的面积为12×2c×b 2a =32.10.B 当直线AB 的斜率不存在时,直线方程为x=2,不妨设A(2,4),B(2,-4),则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4-16=-12;当直线AB 的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),代入抛物线方程得k 2(x-2)2=8x,即k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 2+8k 2,x 1x 2=4,故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2[x 1x 2-2(x 1+x 2)+4]=(1+k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)+4k 2=(1+k 2)×4-2k 2×4k 2+8k 2+4k 2=-12,综上,OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,故选B. 11.D 不妨设F 为椭圆的右焦点,A 在第一象限,则点A 的坐标为(12c,√32c),代入椭圆方程得c 24a 2+3c 24b 2=1,即b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2,再将b 2=a 2-c 2代入上式得c 4-8a 2c 2+4a 4=0,又e=ca ,得e 4-8e 2+4=0,解得e 2=4±2√3=(1±√3)2,注意到椭圆的离心率范围为(0,1),故e=√3-1.故选D. 12.D 由题意可知,双曲线C 的一条渐近线的方程为y=ba x,则FH 的方程为y-0=-ab (x-c),即y=-ab(x-c),联立{y =bax,y =−a b (x -c),可得点H 的坐标为(a 2c ,ab c ),故FH 的中点M 的坐标为(c 2+a 22c,ab 2c ),又点M 在双曲线C 上,所以(c 2+a 2)24a 2c 2-a 2b 24b 2c 2=1,整理得c 2a 2=2,故e=ca =√2.故选D.二、填空题13.答案 (x-2)2+(y-1)2=1解析 ∵圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,∴圆心的纵坐标是1,设圆心坐标为(a,1)(a>0),则1=|4a -3|5,∴a=2(舍负),故该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.14.答案 (±32,0)解析 因为椭圆x 215+y 26=1的焦点为(±3,0),所以双曲线x 2a 2-y 2b 2=1中,c=3,a 2+b 2=9,又双曲线的一条渐近线方程为√3x+y=0,所以ba =√3,所以a=32,所以双曲线的顶点坐标为(±32,0).15.答案 4解析 因为椭圆方程为x 225+y 216=1,所以a 2=25,故2a=10.又P 为椭圆上一点,M 是线段F 1P 的中点,|OM|=3,所以|PF 2|=6,故|PF 1|=4. 16.答案 4解析 因为△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切,所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,由外接圆的面积为9π,得外接圆半径为3,又圆心在线段OF 的垂直平分线上,|OF|=p2,所以p 2+p4=3,解得p=4.三、解答题17.解析 (1)设圆心C(a,b),半径为r.易知直线PQ 的方程为x+y-2=0, 则线段PQ 的垂直平分线的方程是y-12=x-32,即y=x-1, 易知圆心在线段PQ 的垂直平分线上, 所以b=a-1.①由圆C 在y 轴上截得的线段长为4√3, 知(a+1)2+(b-3)2=12+a 2.② 由①②得a=1,b=0或a=5,b=4. 当a=1,b=0时,r 2=13,满足题意, 当a=5,b=4时,r 2=37,不满足题意, 故圆C 的方程为(x-1)2+y 2=13. (2)设直线l 的方程为y=-x+m(m ≠2), A(x 1,m-x 1),B(x 2,m-x 2), 将y=-x+m 代入(x-1)2+y 2=13, 可得2x 2-2(m+1)x+m 2-12=0,∴x 1+x 2=1+m,x 1x 2=m 2-122,Δ=-4(m 2-2m-25)>0,由题意可知OA ⊥OB,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以x 1x 2+(m-x 1)(m-x 2)=0, 整理得m 2-m(x 1+x 2)+2x 1x 2=0, 即m 2-m ·(1+m)+m 2-12=0, ∴m=4或m=-3,满足Δ>0,∴直线l 的方程为y=-x+4或y=-x-3.18.解析 (1)由题意可得,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1,所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=4-2=2,故a=2,c=√2, 故椭圆C 的离心率为√22.(2)设点A,B 的坐标分别为(t,2),(x 0,y 0),其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,则t=-2y 0x 0. 又x 02+2y 02=4,所以|AB|2=(x 0-t)2+(y 0-2)2=(x 0+2y 0x 0)2+(y 0-2)2=x 02+y 02+4y 02x 02+4 =x 02+4−x 022+2(4−x 02)x 02+4=x 022+8x 02+4(0<x 02≤4).因为x 022+8x 02≥4(0<x 02≤4),当且仅当x 02=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB 长度的最小值为2√2.19.解析 (1)由条件可知c=1,a=2,故b 2=a 2-c 2=3, 则椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1.(2)由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗ ,可知A,B,F 三点共线,设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 若直线AB ⊥x 轴,则λ=1,不合题意.当直线l 的斜率k 存在时,设其方程为y=k(x-1). 由{y =k(x -1),x 24+y 23=1消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.①Δ=(-8k 2)2-4(4k 2+3)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0, x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3,因为点A 、B 的中点横坐标为14,所以x 1+x 2=8k 24k 2+3=12,所以k 2=14.将k 2=14代入方程①,得4x 2-2x-11=0, 解得x=1±3√54. 又因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 1,-y 1),FB ⃗⃗⃗⃗ =(x 2-1,y 2),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗ (其中λ>1),所以λ=1−x 1x 2-1=3+√52(λ=3−√52舍去). 综上,λ=3+√52.20.解析 (1)由直线l 1的方程知,直线l 1与两坐标轴的夹角均为45°, 故长轴端点到直线l 1的距离为√2a 2,短轴端点到直线l 1的距离为√2b2, 可求得a=2,b=1.所以C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)依题意设直线l:y=x+t(t ≠0). 由{y =x +t,x 24+y 2=1得5x 2+8tx+4t 2-4=0, 由Δ=64t 2-80(t 2-1)>0,解得-√5<t<√5. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则{x 1+x 2=−8t5,x 1x 2=4t 2-45,故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=x 1x 2+(x 1+x 2)t+t 2=t 2-45.因为以AB 为直径的圆恰过坐标原点,故OA ⊥OB, 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=4t 2-45+t 2-45=0, 解得t=±2√105,满足-√5<t<√5且t ≠0,故所求直线l 的方程为y=x+2√105或y=x-2√105. 21.解析 (1)∵点R(1,2)在抛物线C:y 2=2px(p>0)上, ∴4=2p,解得p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为x=m(y-1)+1,m ≠0,且易知m ≠1,由{x =m(y -1)+1,y 2=4x 消去x 并整理得y 2-4my+4(m-1)=0, ∴y 1+y 2=4m,y 1·y 2=4(m-1), 设直线AR 的方程为y=k 1(x-1)+2,由{y =k 1(x -1)+2,y =2x +2解得点M 的横坐标x M =k 1k 1-2,又k 1=y 1-2x 1-1=y 1-2y 124-1=4y1+2,∴x M =k 1k 1-2=-2y1,同理,点N 的横坐标x N =-2y 2,|y 2-y 1|=√(y 2+y 1)2-4y 1y 2=4√m 2-m +1,∴|MN|=√5·|x M -x N |=√5·|-2y 1+2y 2|=2√5·|y 2-y 1y 1y2|=8√5·√m 2-m+14|m -1|=2√5·√m 2-m+1|m -1|,令m-1=t,t ≠0,则m=t+1,∴|MN|=2√5·√(1t +12)2+34≥√15,当t=-2,即m=-1时,|MN|取得最小值√15,此时直线AB 的方程为x+y-2=0.22.解析 (1)已知椭圆的离心率为12,不妨设c=t,a=2t,则b=√3t,其中t>0,当△F 1PF 2面积取最大值√3时,点P 为短轴端点,因此12·2t ·√3t=√3,解得t=1(舍负),则椭圆的方程为x 24+y 23=1.第 11 页 共 11 页 (2)是.设直线AB 的方程为x=my+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x =my +1,x 24+y 23=1可得(3m 2+4)y 2+6my-9=0, 则y 1+y 2=-6m 4+3m 2,y 1y 2=-94+3m 2,直线AA 1的方程为y=y 1x 1+2(x+2),直线BA 1的方程为y=y 2x 2+2(x+2),则R (4,6y 1x 1+2),Q (4,6y 2x 2+2),所以F 2R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6y 1x 1+2),F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6y 2x 2+2),则F 2R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9+6y 1x 1+2·6y 2x 2+2=36y 1y 2m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9+9=0,即F 2R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值0.。
(晨鸟)2019年高考真题+高考模拟题专项版解析汇编理数——专题05平面解析几何(解析版)
专题05 平面解析几何1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F (),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B ,1||||AB BF ,则C 的方程为A .2212xyB .22132xyC .22143xyD .22154xy【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设2F B n ,则212,3AF n BF AB n ,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF aAF n .在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233nnnF ABn n .在12AF F △中,由余弦定理得2214422243nnn n,解得32n.2222423,3,312,a n ab ac 所求椭圆方程为22132xy,故选B .法二:由已知可设2F B n ,则212,3AF n BF AB n ,由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF aAF n .在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F nnn BF F n,又2121,AF F BF F 互补,2121cos cos 0AF F BF F ,两式消去2121cos cos AF F BF F ,,得223611nn ,解得32n.2222423,3,312,a n ab ac 所求椭圆方程为22132x y,故选B .【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px(p>0)的焦点是椭圆2231xyp p的一个焦点,则p= A .2 B .3 C .4 D .8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p的焦点(,0)2p 是椭圆2231xyp p的一个焦点,所以23()2p p p ,解得8p,故选D .【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.解答时,利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,从而解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,从而得到选D .3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a bab的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222xya 交于P ,Q 两点.若PQOF ,则C的离心率为A .2B .3C .2D .5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQx 轴,又||PQ OF c ,||,2c PA PA 为以OF 为直径的圆的半径,∴||2c OA ,,22c c P ,又P 点在圆222xy a 上,22244cca ,即22222,22cca ea.2e,故选A .【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.解答本题时,准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 的关系,可求双曲线的离心率.4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C :2242xy=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A .324B .322C .22D .32【答案】A【解析】由222,2,6,a b c ab6,2PPO PF x ,又P 在C 的一条渐近线上,不妨设为在b yx a上,则263222PPb y x a,1133262224PFOPS OF y △,故选A .【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积.5.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22221x y ab(a >b >0)的离心率为12,则A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a=2bD .3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c ecab a,化简得2234ab ,故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识?基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.6.【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :221||xyx y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是A .①B .②C .①②D .①②③【答案】C 【解析】由221xyx y得,221yx y x,2222||3341,10,2443x x x yx 厔,所以x 可取的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C xyx y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1),共6个整点,结论①正确.由221xyx y 得,222212xy xy ,,解得222xy,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D ,四边形ABCD 的面积13111122ABCDS 四边形,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识?基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围,利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24yx 的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b ab的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF (O 为原点),则双曲线的离心率为A .2B .3C .2D .5【答案】D 【解析】抛物线24yx 的准线l 的方程为1x ,双曲线的渐近线方程为b y x a ,则有(1,),(1,)bb A B a a ,∴2b ABa,24b a ,2ba ,∴225c abeaa.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB的长度.解答时,只需把4AB OF 用,,a b c 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y=0的双曲线的离心率是A .22B .1C .2D .2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y,所以ab ,则222caba ,所以双曲线的离心率2c ea.故选C.【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b ,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230xy 与圆C 相切于点(2,1)A ,则m =___________,r =___________.【答案】2,5【解析】由题意可知11:1(2)22ACk AC y x ,把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m ,此时||415r AC .【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率,进一步得到其方程,将(0,)m 代入后求得m ,计算得解.解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的结合,特别是要注意应用圆的几何性质.10.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195xy的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.【答案】15【解析】方法1:如图,设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =,由中位线定理可得12||4PF OM ,设(,)P x y ,可得22(2)16x y,与方程22195xy联立,可解得321,22xx(舍),又点P 在椭圆上且在x 轴的上方,求得315,22P ,所以1521512PFk .方法2:(焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c =,由中位线定理可得12||4PF OM ,即342ppa ex x ,从而可求得315,22P,所以1521512PFk .【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用圆的方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决,则更为简洁.11.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ,为椭圆C :22+13620xy的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.【答案】3,15【解析】由已知可得2222236,20,16,4abcabc ,11228MF F F c ,∴24MF .设点M 的坐标为00,0,0x y x y ,则121200142MF FS F F y y △,又12221482415,44152MF F S y △,解得015y ,221513620x ,解得03x (03x 舍去),M 的坐标为3,15.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.解答本题时,根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、,设出M 的坐标,结合三角形面积可求出M的坐标.12.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C :22221(0,0)x y ab ab的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F AAB ,120F B F B,则C 的离心率为____________.【答案】2【解析】如图,由1,F AAB 得1.F A AB 又12,OF OF 得OA 是三角形12F F B 的中位线,即22,2.BF OA BF OA ∥由120F B F B ,得121,,F B F B OA F A ∴1OBOF ,1AOBAOF ,又OA 与OB 都是渐近线,得21,BOF AOF 又21πBOF AOB AOF ,∴2160,BOF AOF BOA 又渐近线OB 的斜率为tan 603b a,∴该双曲线的离心率为221()1(3)2c beaa.【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取几何法,利用数形结合思想解题.解答本题时,通过向量关系得到1F A AB 和1OA F A ,从而可以得到1AOB AOF ,再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF 进而得到2160,BOF AOF BOA从而由t a n 603b a可求离心率.13.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y xbb经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是▲.【答案】2yx【解析】由已知得222431b,解得2b或2b ,因为0b,所以2b.因为1a ,所以双曲线的渐近线方程为2yx .【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程.14.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)yxx x上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是▲.【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线4y xx相切位置时,切点Q 即为点P ,此时到直线x+y=0的距离最小. 由2411yx,得2(2)xx 舍,32y ,即切点(2,32)Q ,则切点Q 到直线x+y=0的距离为22232411,故答案为4.【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题.15.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;(2)若3AP PB ,求|AB |.【答案】(1)3728yx;(2)4133.【解析】设直线11223:,,,,2l yx t A x y B x y .(1)由题设得3,04F,故123||||2AF BF x x ,由题设可得1252x x .由2323y x tyx,可得22912(1)40xt x t,则1212(1)9t x x .从而12(1)592t ,得78t .所以l 的方程为3728yx.(2)由3APPB 可得123y y .由2323y xtyx ,可得2220yy t .所以122y y .从而2232y y ,故211,3y y .代入C 的方程得1213,3x x .故413||3AB .【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求解方法,解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系.16.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x ,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连结QE 并延长交C 于点G.(i )证明:PQG △是直角三角形;(ii )求PQG △面积的最大值.【答案】(1)见解析;(2)169.【解析】(1)由题设得1222y y xx,化简得221(||2)42xyx ,所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i )设直线PQ 的斜率为k ,则其方程为(0)y kx k .由22142ykxxy 得2212xk.记2212uk,则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u .于是直线QG 的斜率为2k ,方程为()2k yx u .由22(),2142k yx u x y得22222(2)280k x uk x k u .①设(,)G G G x y ,则u 和G x 是方程①的解,故22(32)2Gu k x k,由此得322Guky k.从而直线PG 的斜率为322212(32)2ukuk k u k ku k.所以PQPG ,即PQG △是直角三角形.(ii )由(i )得2||21PQ u k,2221||2uk k PG k,所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k SPQPG k k k k‖.设t=k+1k,则由k>0得t ≥2,当且仅当k=1时取等号.因为2812t St在[2,+∞)单调递减,所以当t =2,即k=1时,S 取得最大值,最大值为169.因此,△PQG 面积的最大值为169.【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了求函数最大值问题.17.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C :y=22x,D 为直线y=12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B.(1)证明:直线AB 过定点:(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解;(2)3或42.【解析】(1)设111,,,2D t A x y ,则2112xy .由于y'x ,所以切线DA 的斜率为1x ,故11112y x x t.整理得112 2 +1=0.tx y 设22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y .故直线AB 的方程为2210tx y . 所以直线AB 过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12ytx.由2122ytx xy,可得2210xtx .于是2121212122,1,121x x t x x y y t x x t,2222121212||11421AB t x x tx x x x t.设12,d d 分别为点D ,E 到直线AB 的距离,则212221,1d td t .因此,四边形ADBE 的面积22121||312SAB d d tt.设M 为线段AB 的中点,则21,2Mt t.由于EM AB ,而2,2EMt t ,AB 与向量(1, )t 平行,所以220t tt .解得t=0或1t .当t =0时,S =3;当1t时,42S. 因此,四边形ADBE 的面积为3或42.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题,第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班地求解就可以,思路较为清晰,但计算量不小.18.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C :x 2=-2py 经过点(2,-1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y=-1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.【答案】(1)抛物线C 的方程为24xy ,准线方程为1y ;(2)见解析. 【解析】(1)由抛物线2:2C xpy 经过点(2,1),得2p .所以抛物线C 的方程为24x y ,其准线方程为1y .(2)抛物线C 的焦点为(0,1)F .设直线l 的方程为1(0)y kx k.由21,4y kx xy得2440xkx .设1122,,,M x y N x y ,则124x x .直线OM 的方程为11y yx x .令1y,得点A 的横坐标11Ax x y .同理得点B 的横坐标22Bx x y .设点(0, )D n ,则1212,1,,1x x DAn DBn y y ,21212(1)x x DA DBn y y 2122212(1)44x x n xx21216(1)n x x 24(1)n .令0DA DB ,即24(1)0n ,则1n 或3n .综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3).【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a bab的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF (O 为原点),且OPMN ,求直线PB 的斜率.【答案】(1)22154xy;(2)2305或2305.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ,依题意,524,5c ba,又222abc ,可得5a ,2,b1c .所以,椭圆的方程为22154xy.(2)由题意,设0,,0P PpM P x y x M x ,.设直线PB 的斜率为0k k ,又0,2B ,则直线PB 的方程为2ykx,与椭圆方程联立222,1,54ykxx y整理得2245200kxkx ,可得22045Pk x k,代入2y kx得2281045Pk y k,进而直线OP 的斜率24510P py k x k.在2y kx 中,令0y,得2Mx k.由题意得0,1N ,所以直线MN 的斜率为2k .由OP MN ,得2451102k k k,化简得2245k,从而2305k.所以,直线PB 的斜率为2305或2305.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.20.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b ab的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x ya 交于点A ,与椭圆C 交于点 D.连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.【答案】(1)22143xy;(2)3(1,)2E .【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c.因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c=1.又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 2=222211253()222DF F F,因此2a=DF 1+DF 2=4,从而a=2. 由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143xy.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143xy,a=2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为 1.将x=1代入圆F 2的方程(x-1) 2+y 2=16,解得y=±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4).又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y=2x+2.由22()22116y x x y,得256110xx ,解得1x或115x.将115x 代入22yx ,得125y,因此1112(,)55B .又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4yx .由221433(1)4x yx y,得276130xx ,解得1x 或137x.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x.将1x 代入3(1)4yx ,得32y.因此3(1,)2E .解法二:由(1)知,椭圆C :22143xy.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB ,从而∠BF 1E =∠B.因为F 2A=F 2B ,所以∠A=∠B ,所以∠A=∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A.因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221431xxy ,得32y.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y.因此3(1,)2E .【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.21.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F ,为抛物线22(0)ypx p 的焦点,过点F的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S .(1)求p 的值及抛物线的准线方程;(2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】(1)p=2,准线方程为x=-1;(2)最小值为312,此时G (2,0).【解析】(1)由题意得12p ,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设,,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ,重心,G GG x y .令2,0A y t t ,则2Ax t .由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为2112txy t,代入24yx ,得222140tyyt,故24Bty ,即2By t ,所以212,Btt .又由于11,33G A B c GAB cx x x x y y y y 及重心G 在x 轴上,故220cty t,得242211222,2,,03tt C t t Gt t t.所以,直线AC 方程为222y tt x t,得21,0Q t .由于Q 在焦点F 的右侧,故22t.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c tt t FG y t S t t t tt S t t QG y t t tt. 令22m t,则m>0,122113222134323424S m S mm mmm m….当3m时,12S S 取得最小值312,此时G (2,0).【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.22.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科数学(二)】经过点(3,0)M 作圆22243xyx y 0的切线l ,则l 的方程为A .30x yB .30x y 或3xC .3xy D .30xy或3x【答案】C 【解析】22222430(1)(2)8x yx y x y ,所以圆心坐标为(1,2),半径为22,当过点3,0M 的切线存在斜率k ,切线方程为(3)30yk x kx y k ,圆心到它的距离为22,所以有21232211k kkk,即切线方程为30x y ,当过点3,0M 的切线不存在斜率时,即3x ,显然圆心到它的距离为222,所以3x 不是圆的切线.因此切线方程为30xy ,故本题选 C.【名师点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线,所以只有一条.解答本题时,设直线l 存在斜率k ,点斜式设出方程,利用圆心到直线l 的距离等于半径求出斜率k ,再讨论直线l 不存在斜率时,是否能和圆相切,如果能,写出直线方程,综合求出切线方程.23.【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知椭圆22221x y ab (0)ab的离心率为53,椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为A .8B .6C .5D .4【答案】A【解析】椭圆222210x y a b ab的离心率:53c ea,椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12,即212a ,可得:6a,25c,2236204b ac,则椭圆短轴长为28b .本题正确选项为A.【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用,属于基础题.解答本题时,利用椭圆的定义以及离心率,求出,a c ,然后求解椭圆短轴长即可.24.【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】已知椭圆22221x y ab(a >b >0)与双曲线222212x y ab(a >0,b >0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为A .33yxB .3y xC .22yx D .2y x【答案】A【解析】依题意椭圆22221(0)x y a b ab 与双曲线22221(0,0)2x y a b ab 即22221(0,0)22xya ba b 的焦点相同,可得:22221122abab ,即223a b =,∴33b a,可得3232ba ,∴双曲线的渐近线方程为:2233bx yx a ,故选A .【名师点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题.解答本题时,由题意可得22221122abab ,即223a b =,代入双曲线的渐近线方程可得答案.25.【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】如图,过抛物线22(0)ypx p 的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ,交其准线于点C ,若4BCBF ,且6AF ,则p 为A .94B .92C .9D .18【答案】B 【解析】设准线与x 轴交于点P ,作BH 垂直于准线,垂足为H .由4BC BF ,得:45BH BC PFCF,由抛物线定义可知:BF BH ,设直线l 的倾斜角为,由抛物线焦半径公式可得:41cos5p BF BF PF p p ,解得:1cos 4,46131cos3144p p p AFp,解得:92p,本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查抛物线的定义和几何性质的应用,关键是能够利用焦半径公式中的倾斜角构造出方程,从而使问题得以解决.26.【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】双曲线M的焦点是12,F F ,若双曲线M 上存在点P ,使12PF F △是有一个内角为2π3的等腰三角形,则M 的离心率是______.【答案】312【解析】根据双曲线的对称性可知,等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ,不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ,且点P 在第一象限,故2||2PF c ,等腰12PF F △有一内角为2π3,即212π3PF F ,由余弦定理可得,122PF c c c c c 2π||(2)(2)222cos 233,由双曲线的定义可得,1PF PF c ca 2||||2322,即(31)ca ,解得:312e.【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识,解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.解答本题时,根据双曲线的对称性可知,等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ,不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ,故可得到2PF 的值,再根据等腰三角形的内角为2π3,求出1PF 的值,利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.27.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知椭圆22221(0)xy C a bab:的左顶点为(20)M ,,离心率为22.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点(10)N ,的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,当MA MB 取得最大值时,求MAB △的面积.【答案】(1)22142xy;(2)362.【解析】(1)由题意可得:2a,22ca,得2c,则2222b ac.所以椭圆22:142xyC .(2)当直线l 与x 轴重合时,不妨取(2,0),(2,0)A B ,此时0MA MB;当直线l 与x 轴不重合时,设直线l 的方程为:1x ty ,1122(,),(,)A x y B x y ,联立221142x ty x y得22(2)230tyty ,显然,12222t y y t,21232y y t.所以1212(2)(2)MA MBx x y y 1212(3)(3)ty ty y y 21212(1)3()9t y y t y y 22232(1)3922t tttt22233692t tt 229392t t2152t.当0t 时,MA MB 取最大值152.此时直线l 方程为1x ,不妨取66(1,),(1,)22A B ,所以6AB.又3MN,所以MAB △的面积1366322S.【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质,运用了设而不求的思想,将向量和圆锥曲线结合起来,是典型考题.(1)由左顶点M 坐标可得a=2,再由c ea可得c ,进而求得椭圆方程.(2)设l 的直线方程为1x ty ,和椭圆方程联立221142xty x y ,可得22(2)230tyty ,由于,可用t 表示出两个交点的纵坐标12y y 和12y y ,进而得到MA MB 关于t 的一元二次方程,得到MA MB 取最大值时t 的值,求出直线方程,而后计算出MAB △的面积.28.【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟(最后一卷)考试数学试题】已知抛物线2:20C y px p=的焦点为F ,直线4y与y 轴的交点为P ,与抛物线C 的交点为Q ,且2QF PQ =.(1)求p 的值;(2)已知点,2T t 为C 上一点,M ,N 是C 上异于点T 的两点,且满足直线TM和直线TN的斜率之和为83,证明直线MN 恒过定点,并求出定点的坐标.【答案】(1)4;(2)证明过程见解析,直线MN 恒过定点1,1.【解析】(1)设0,4Q x ,由抛物线定义知2QFp x ,又2QF PQ =,0PQx ,所以0022p x x ,解得02p x ,将点,42p Q代入抛物线方程,解得4p .(2)由(1)知,C 的方程为28yx ,所以点T 坐标为1,22,设直线MN 的方程为x my n ,点11,M x y ,22,N x y ,由28x my nyx得2880y my n ,264320m n .所以128y y m ,128y y n ,所以121222121222221111228282MT NTk k y y y y y y x x 1212121288228+3224y y y y y y y y 6432881643m n m ,解得1n m ,所以直线MN 的方程为1(1)x m y ,恒过定点1,1.【名师点睛】本题考查抛物线的定义,直线与抛物线相交,直线过定点问题,属于中档题.(1)设Q 点坐标,根据抛物线的定义得到Q 点横坐标,然后代入抛物线方程,得到p的值;(2)11,M x y ,22,N x y ,直线和曲线联立,得到1212,y y y y ,然后表示出MTNT k k ,化简整理,得到m 和n 的关系,从而得到直线MN 恒过的定点.。
2019年高考理科数学真题分类汇编立体几何、平面解析几何
2019年高考理科数学真题分类汇编立体几何、平面解析几何第一节立体几何全国Ⅰ卷已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上,P A=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是P A,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解法一:为边长为2的等边三角形,为正三棱锥,,又,分别为,的中点,,,又,平面,∴平面,,为正方体的一部分,,即,故选D.解法二:设,分别为的中点,,且,为边长为2的等边三角形,,又,,中,由余弦定理可得,作于,,为的中点,,,,,又,两两垂直,,,,故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,补体法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补体成正方体解决.全国Ⅱ卷设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.全国Ⅲ卷如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线【答案】B【解析】如图所示,作于,连接,BD,易得直线BM,EN是三角形EBD的中线,是相交直线.过作于,连接,平面平面,平面,平面,平面,与均为直角三角形.设正方形边长为2,易知,,,故选B.【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力,解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时,先利用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题.浙江卷祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是A.158 B.162C.182 D.324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图,还原得到几何体——棱柱,根据题目给定的数据,计算几何体的体积,常规题目.难度不大,注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二,一是不能正确还原几何体;二是计算体积有误.为避免出错,应注重多观察、细心算.浙江卷设三棱锥V–ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P–AC–B的平面角为γ,则A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<β【答案】B【解析】如图,为中点,连接VG,在底面的投影为,则在底面的投影在线段上,过作垂直于于E,连接PE,BD,易得,过作交于,连接BF,过作,交于,则,结合△PFB,△BDH,△PDB均为直角三角形,可得,即;在Rt△PED中,,即,综上所述,答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小.而充分利用图形特征,则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有,不能正确作图得出各种角,未能想到利用“特殊位置法”,寻求简便解法.全国Ⅲ卷学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得,,∵四棱锥O−EFGH的高为3cm,∴.又长方体的体积为,所以该模型体积为,其质量为.【名师点睛】本题考查几何体的体积问题,理解题中信息联系几何体的体积和质量关系,从而利用公式求解.根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积,再求出模型的质量即可.北京卷某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________.【答案】40【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体,则几何体的体积.【名师点睛】本题首先根据三视图,还原得到几何体,再根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.北京卷已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥;③l⊥.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________.【答案】如果l⊥α,m∥α,则l⊥m.【解析】将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l⊥α,m∥α,则l⊥m,正确;(2)如果l⊥α,l⊥m,则m∥α,不正确,有可能m在平面α内;(3)如果l⊥m,m∥α,则l⊥α,不正确,有可能l与α斜交、l∥α.故答案为:如果l⊥α,m∥α,则l⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断,分别作为条件、结论加以分析即可.天津卷已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_____________.【答案】【解析】由题意,四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为,借助勾股定理,可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,故圆柱的高为,圆柱的底面半径为,故圆柱的体积为.【名师点睛】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.江苏卷如图,长方体的体积是120,E为的中点,则三棱锥E−BCD的体积是▲ .【答案】10【解析】因为长方体的体积为120,所以,因为为的中点,所以,由长方体的性质知底面,所以是三棱锥的底面上的高,所以三棱锥的体积.【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.全国Ⅰ卷如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A−MA1−N的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)连结B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1DC,可得B1C A1D,故ME ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN平面EDC 1,所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz,则,A1(2,0,4),,,,,,.设为平面A1MA的法向量,则,所以可取.设为平面A1MN的法向量,则所以可取.于是,所以二面角的正弦值为.【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,属于常规题型.全国Ⅱ卷如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)由已知得,平面,平面,故.又,所以平面.(2)由(1)知.由题设知≌,所以,故,.以为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),(0,1,2),E(1,0,1),,,.设平面EBC的法向量为n=(x,y,x),则即所以可取n=.设平面的法向量为m=(x,y,z),则即所以可取m=(1,1,0).于是.所以,二面角的正弦值为.【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定,考查了利用空间向量求二角角的余弦值,以及同角的三角函数关系,考查了数学运算能力.全国Ⅲ卷图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)由已知得AD BE,CG BE,所以AD CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB BE,AB BC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)作EH BC,垂足为H.因为EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=.以H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz,则A(–1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,),=(2,–1,0).设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则即所以可取n=(3,6,–).又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),所以.因此二面角B–CG–A的大小为30°.【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题,首先是多面体折叠问题,考查考生在折叠过程中哪些量是不变的,再者折叠后的多面体不是直棱柱,最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题,突出考查考生的空间想象能力.北京卷如图,在四棱锥P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且.(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F–AE–P的余弦值;(3)设点G在PB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图建立空间直角坐标系A−xyz,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).所以.所以.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则.于是.又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0),所以.由题知,二面角F−AE−P为锐角,所以其余弦值为.(3)直线AG在平面AEF内.因为点G在PB上,且,所以.由(2)知,平面AEF的法向量.所以.所以直线AG在平面AEF内.【名师点睛】(1)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;(2)建立空间直角坐标系,结合两个半平面的法向量即可求得二面角F−AE−P的余弦值;(3)首先求得点G的坐标,然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量即可判断直线是否在平面内.天津卷如图,平面,,.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若二面角的余弦值为,求线段的长.【答案】(1)见解析;(2);(3).【解析】依题意,可以建立以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得,.设,则.(1)依题意,是平面的法向量,又,可得,又因为直线平面,所以平面.(2)依题意,.设为平面的法向量,则即不妨令,可得.因此有.所以,直线与平面所成角的正弦值为.(3)设为平面的法向量,则即不妨令,可得.由题意,有,解得.经检验,符合题意.所以,线段的长为.【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.江苏卷如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC 1,A1B1平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC−A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC,所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.浙江卷如图,已知三棱柱,平面平面,,分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】方法一:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2,EG=.由于O为A1G的中点,故,所以.因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.方法二:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC.如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E–xyz.不妨设AC=4,则A1(0,0,2),B(,1,0),,,C(0,2,0).因此,,.由得.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得.设平面A1BC的法向量为n,由,得,取n,故,因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为.【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.第二节平面解析几何全国Ⅰ卷已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为A.B.C.D.【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有.在中,由余弦定理推论得.在中,由余弦定理得,解得.所求椭圆方程为,故选B.法二:由已知可设,则,由椭圆的定义有.在和中,由余弦定理得,又互补,,两式消去,得,解得.所求椭圆方程为,故选B.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.全国Ⅱ卷若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=A.2 B.3C.4 D.8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D.【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.解答时,利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程,从而解出,或者利用检验排除的方法,如时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A,同样可排除B,C,从而得到选D.全国Ⅱ卷设F为双曲线C:的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于P,Q两点.若,则C的离心率为A.B.C.2 D.【答案】A【解析】设与轴交于点,由对称性可知轴,又,为以为直径的圆的半径,∴,,又点在圆上,,即.,故选A.【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.解答本题时,准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c与a的关系,可求双曲线的离心率.全国Ⅲ卷双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若,则△PFO的面积为A.B.C.D.【答案】A【解析】由,又P在C的一条渐近线上,不妨设为在上,则,,故选A.【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积.北京卷已知椭圆(a>b>0)的离心率为,则A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率,化简得,故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.北京卷数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C【解析】由得,,,所以可取的整数有0,−1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,−1),(1,0),(1,1),(−1,0),(−1,1),共6个整点,结论①正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程、曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识、基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围,利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.天津卷已知抛物线的焦点为,准线为,若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点,且(为原点),则双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为,双曲线的渐近线方程为,则有,∴,,,∴.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB的长度.解答时,只需把用表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.浙江卷渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A. B.1C.D.2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为,所以,则,所以双曲线的离心率.故选C.【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.浙江卷已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆C相切于点,则=___________,=___________.【答案】,【解析】由题意可知,把代入直线AC的方程得,此时.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率,进一步得到其方程,将代入后求得,计算得解.解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的结合,特别是要注意应用圆的几何性质.浙江卷已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是___________.【答案】【解析】方法1:如图,设F1为椭圆右焦点.由题意可知,由中位线定理可得,设,可得,与方程联立,可解得(舍),又点在椭圆上且在轴的上方,求得,所以.方法2:(焦半径公式应用)由题意可知,由中位线定理可得,即,从而可求得,所以.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用圆的方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决,则更为简洁.全国Ⅲ卷设为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形,则M的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得,,∴.设点的坐标为,则,又,解得,,解得(舍去),的坐标为.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.解答本题时,根据椭圆的定义分别求出,设出的坐标,结合三角形面积可求出的坐标.全国Ⅰ卷已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若,,则C的离心率为____________.【答案】2【解析】如图,由得又得OA是三角形的中位线,即由,得∴,,又OA与OB都是渐近线,得又,∴又渐近线OB的斜率为,∴该双曲线的离心率为.【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取几何法,利用数形结合思想解题.解答本题时,通过向量关系得到和,从而可以得到,再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.江苏卷在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是▲ .【答案】【解析】由已知得,解得或,因为,所以.因为,所以双曲线的渐近线方程为.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程.江苏卷在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是▲ .【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时,切点Q即为点P,此时到直线x+y=0的距离最小.由,得,,即切点,则切点Q到直线x+y=0的距离为,故答案为.【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题.全国Ⅰ卷已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若,求|AB|.【答案】(1);(2).【解析】设直线.(1)由题设得,故,由题设可得.由,可得,则.从而,得.所以的方程为.(2)由可得.由,可得.所以.从而,故.代入的方程得.故.【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求解方法,解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系.全国Ⅱ卷已知点A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明:是直角三角形;(ii)求面积的最大值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)由题设得,化简得,所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为.由得.记,则.于是直线的斜率为,方程为.由得.①设,则和是方程①的解,故,由此得.从而直线的斜率为.所以,即是直角三角形.(ii)由(i)得,,所以△PQG的面积.设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.因此,△PQG面积的最大值为.【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了求函数最大值问题.全国Ⅲ卷已知曲线C:y=,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点:(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.。
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2019真题汇编--平面解析几何
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与
C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为
A .2
212
x y +=
B .22
132x y += C .22
143
x y +=
D .22
154
x y += 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p
p
+
=的一个焦
点,则p =
A .2
B .3
C .4
D .8
3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点,O 为
坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222
x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C
的离心率为
A B .2
D
4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C :22
42
x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐
近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为
A .
4 B .2
C .
D .5.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22
22 1x y a b
+=(a >b >0)的离心率为12,则
A .a 2
=2b 2
B .3a 2
=4b 2
C .a =2b
D .3a =4b
6.【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :
221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C ; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是
A .①
B .②
C .①②
D .①②③
7.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线2
4y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为
A 2
B 3
C .2
D 58.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A .
2
2
B .1
C 2
D .2
9.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230
x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则m =___________,r =___________.
10.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.
11.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ,为椭圆C :22
+13620
x y =的两个焦点,M 为C 上一
点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.
12.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点
分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB
=u u u r u u u r
,120F B F B ⋅=u u u r u u u u r
,则C 的离心率为____________.
13.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>经过点
(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .
14.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4
(0)y x x x
=+
>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .
15.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C :y 2
=3x 的焦点为F ,斜率为
3
2
的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;
(2)若3AP PB =u u u r u u u r
,求|AB |.
16.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM
与BM 的斜率之积为−1
2
.记M 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连结
QE 并延长交C 于点G .
(i )证明:PQG △是直角三角形; (ii )求PQG △面积的最大值.
17.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C :y =2
2
x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作
C 的两条切线,切点分别为A ,B .
(1)证明:直线AB 过定点:
(2)若以E (0,
5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.
18.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C :x 2
=−2py 经过点(2,−1).
(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;
(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.
19.【2019年高考天津卷理数】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已
知椭圆的短轴长为4 (1)求椭圆的方程;
(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点
N在y轴的负半轴上.若||||
ON OF
=(O为原点),且OP MN
⊥,求直线PB的斜率.
20.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C
:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的焦点为F1(–1、0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:222
(1)4
x y a
-+=交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.
已知DF1=
5
2
.
(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.
21.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)
F,为抛物线22(0)
y px p
=>的焦点,过点F 的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得ABC
△的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记,
AFG CQG
△△的面积分别为
12
,S S.(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求1
2
S
S
的最小值及此时点G的坐标.。