专题训练蚂蚁爬行的最短路径(附附答案解析)

蚂蚁爬行的最短路径

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．

回答下列问题：

（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；

（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；

（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒

2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB = 51222=+．

3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm

．

解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短

第6题

路线是（ ）

A ．A ⇒P ⇒

B B ．A ⇒Q ⇒B

C ．A ⇒R ⇒B

D ．A ⇒S ⇒B

解：根据两点之间线段最短可知选A ．

故选A ．

5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）

解：如图，AB = ()101212

2=++．故选C ．

6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）

解：展开正方体的点M 所在的面，

∵BC 的中点为M ，

所以MC = 2

1BC =1， 在直角三角形中AM = = ．

7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

解：将盒子展开，如图所示：

AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+2

1×20=20cm ． 故选C ．

8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .

解：将正方体展开，连接M 、D 1，

根据两点之间线段最短，

MD =MC +CD =1+2=3，

MD 1=

1323222

12=+=+DD MD ．

9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；

（2）展开底面右面由勾股定理得AB = =5cm ；

所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．

10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

解：将长方体展开，连接A 、B ，

根据两点之间线段最短，AB = =25．

11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .

第7题

解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形，

∴AC 1=()534214222

2212=+=++=+BC AB

12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

解：由题意得，

路径一：AB = = ；

路径二：AB = =5；

路径三：AB = = ；

∵ ＞5，

∴5米为最短路径．

13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：

（1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

解：（1）AB 的长就为最短路线．

然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 （cm ）；

若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 （cm ），

或 （cm ）

所以蚂蚁经过的最短路程是 cm ．

（2） 5cm +4cm +5cm +4cm +3cm +4cm +5cm =30cm ，

最长路程是30cm ．

14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？

解：图1中，cm．

图2中，cm．

图3中，cm．

∴采用图3的爬法路程最短，为cm

15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。

解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，

则所走的最短线段是=6 cm；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，

所以走的最短线段是= cm；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，

所以走的最短线段是=2 cm；

三种情况比较而言，第二种情况最短．

16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B