描述质点运动的物理量
(完整版)描述质点运动的四个物理量
方向 置的有向线段；
位移为从起点指向终点的有向线段。
位矢与某一时刻对应； 时间
位移与某一段时间对应。
§1.描写平面曲线运动的四个物理量/二、位移
2.位移与路程的区别：
路程： s
s
B
为物体经过路径总 的长度，为标量；
A
r
位移：r
从起点指向终点的 有向线段，为矢量。
§1.描写平面曲线运动的四个物理量/二、位移
2. 平均加速度： a v t
用平均加速度描写物体的运动是不精
确的，要想精确地描写物体的加速度，令
t 0 取极限。
3.加速度
a lim v d v t0 t dt
加速度为速度对时间的一次导数。
由 v dr dt
可得
a dv d 2r dt dt 2
§1.描写平面曲线运动的四个物理量/四、加速度
第一节 质点运动描述
力学是研究物体机械运动的规律 及其应用的科学
研究力学要明确两个基本概念
1.物体运动是绝对的,但运动的描写是相 对的。 参照系:描写物体运动选择的标准物。 坐标系:可精确描写物体运动。
描写平面曲线运动的四个物理量
2.建立理想化的模型
解决物理问题时一般要将复杂的实 际问题进行简化,建立理想化的物理模型。 例如:
注意 •加速度是描写速度变化的物理量； •质点的速度大，加速度不一定大； •质点的加速度大，速度不一定大。
§1.描写平面曲线运动的四个物理量/四、加速度
例：抛体运动。初速度为V0，与X轴成0。求 运动方程和轨迹方程。
解：已知：
v0 x v0 cos 0 ,v0 y v0 sin o
• 任一时刻两速度分量：
r A
1.1 描述质点运动的物理量
v2
v=
v +v +v
2 x
2 y
作者
杨
鑫
1.1 描述质点运动的物理量
第1章 质点运动学
18
3.速率 3.速率 (1)平均速率 (1)平均速率 ∆t (2) lim 瞬 ∆ t →0 ∆t 时 速 率 dt (3)路程计算 (3)路程计算
v=
v=
ds | d r | =dt =
r1 ∆r B ∆s o r2 y x
作者 杨 鑫 演示： 演示： 演示：平动 演示：地球公转 演示: 演示:相对运动
1.1 描述质点运动的物理量
第1章 质点运动学
6
一、位置矢量 直角坐标系 坐 标 系
作者 杨 鑫
自然坐标系
Q
z
( x, y, z) 0 < S 法向轴 o P en y x
切向轴
P
o
S< 0
+
et
1.1 描述质点运动的物理量
切线方向，并指向前进方向
演示： 演示：瞬时速度方向
1.1 描述质点运动的物理量
第1章 质点运动学
17
= xi + y j + z k r dx dy dz z A v1 = i + j+ k r1 B
dt dt dt
∆r
o = vx i + v y j +vz k x
dr v= dt
r2 y
2 z
第1章 质点运动学
26
dvx d x ax = = 2 1.平均加速度 1.平均加速度 dt dt 2 dvy d y ∆v a = = 2 a = ∆t y dt dt 2 2.瞬时加速度 2.瞬时加速度 dvz d z az = = 2 a = dv dt dt dt 2 2 2 2 2 = d r dt a = ax + ay + az
12描述质点运动的物理量课件
ds
v
ds dt
et
速度方向 切线向前
速度大小 v ds
速度
v
的值
dt
速率
12
讨论 一运动质点在某瞬
时位于位矢 r(x, y) 的
y
y
端点处，其速度大小为
dr （A） dt
（B）ddrt o
r (t)
x
x
（C） d r dt
注意
（D） (dx)2 (dy )2
dt
dt
dr dr
dt dt
其中i 、j和k 分别是x、y和z方向的单位矢量。
位矢大小
r
r
x2 y2 z2
可用方向余弦来表示位置矢量方向。
cos x , cos y , cos z
r
r
r
cos2 cos2 cos2 1
25
质点运动的轨道参量方程式 x x(t )
写成分量形式
y y(t)
速度表达式
13
例1 设质点的运动方程为
r(t) x(t)i y(t) j,
x(t) 1.0t 2.0，
其中
y(t) 0.25t 2 2.0，
式中x，y的单位为m(米)，t 的单位为s(秒)，
（1）求 t 3 s 时的速度．
（2）作出质点的运动轨迹图．
14
已知：x(t) 1.0t 2.0，y(t) 0.25t 2 2.0，
(1)经过多少时间后可以认为小球已 停止运动；
(2)此球体在停止运动前经历的路程 有多长？
o
v0
y
31
解 a dv 1.0v dt
v dv
t
dt
v v0
0
第一讲-质点运动学
√
练习题
4、质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为
2 4 rad /s = ． 加速
3 2t 2
(SI) ，则ｔ时刻质点的法向加速度大小为an= 16 R t2 ；角
5、某人骑自行车以速率V向正西方向行驶，遇到由北向南刮的 风（设风速大小也为V），则他感到的风是从 A）东北方向吹来 B）东南方向吹来 [C] C）西北方向吹来 D）西南方向吹来
t 2s时 an 2 230.4(m/s )
at 2 4.8(m/s2 )
t 0.661( s)
t 0.661s 2 4t 3
t 0.661s
3.15( rad )
练习题
2 10. 质点在 Oxy 平面内运动，其运动方程为 r 2ti (19 2t ) j
t 2s时 an 2 230.4(m/s )
2
t 0.661( s)
at 2 4.8(m/s2 )
t 0.661s 2 4t 3
t 0.661s
3.15( rad )
练习题
9 一质点在半径为 0.10 m 的圆周上运动，其角位置 为 2 4t 3 。（1）求在 t 2s 时质点的法向加速度和切向 加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一 半时，θ值为多少？（3）t 为多少时，法向加速度和切向加速 度的值相等？ 解： （3） 当a a 时 （2） 总加速度
et
x
an r 2 at r v r 0 t 匀变速率圆周运动： 1 2 0 0t t 2
v r
知识点回顾
4、注意区分： | r | 与r 1 ) r 与r a 与at 2) a与at
大学物理各章主要知识点总结
2 转动定律
M I 转动定律内容
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
其中：M 是定合义外式力矩M ， 相 当r 于 平F 动问题中的合外力
I 是转动惯量，相当于平动问题中的质量
是角加速度，相当于平动问题中的加速度
3 转动定律的两种积分
力矩的空间累积效应
. 力的空间累积效应
r2
F
dr
r1
功、动能、动能定理、势能、机械能、
功能原理、机械能守恒定律
1 动力学问题的解题步骤： (1)确定研究对象 (2)确定参考系（默认大地，可不写） (3)建立坐标系 (4)分析物体的运动或者受力情况 (5)列方程
2 主要方程：
动量守恒定律；机械能守恒定律；动量定理； 动能定理；牛顿第二定律
4 温度与平均平动动能的关系： w 3 k T 2
5 分子自由度
单原子分子 i=3 双原子分子 i=5 多原子分子 i=6
6 速率分布律的定义式和物理意义
⑴ 定义式： dN f (v)dv N
⑵ 物理意义：表示速率在v附近,“dv速率区间” 内的分子数占总分子数的百分比为d N 。
N
7 速率分布函数的定义式和物理意义
n 是分子数密度 注意摩尔质量的单位，以及气体摩尔质量的数值
2 理想气体的内能公式
★ 一定量理想气体的内能为
Ei RT M i RT
2
Mmol 2
说明：内能只与温度有关
★ 若温度改变，内能改变量为
EiRT M iRT
2
Mmol 2
说明：内能变化只与温度变化有关
3 理想气体压强公式
p 2 nw 3
DdSQ0
2020年高中物理竞赛(力学篇)01运动的描述：描述质点运动的四个物理量(共12张PPT)
力学篇 （基础版）
P
一. 描述质点运动的四个物理量
1.位置矢量（单位：米）
位置矢量（位矢）： r 运动方程： r r(t)
O
vΓ
r(t)
Δs
P 2
2.位移：
r r2 r1 r(t2) r(t1)
P 1
v
rv 1
Δrvr
Г
2
直角 坐标系中
r
r
xi
( x2
v1 Δv
v2
或位矢对时间的二阶导数
r、av
描述质点运动状态的物理量 描述质点运动状态变化的物理量
直角坐标系中
加速度
a
dv
dv x
i
dv y
j
dv z
k
dt dt dt
dt
axi ay j azk
加速度大小
a a
a
2 x
a
2 y
az
2
任意曲线运动都可以视为沿x,y,z轴的三个各自独 立的直线运动的叠加（矢量加法）。
速度大小
v v
vx2
v
2 y
vz2
平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
t t t t
vxi vy j vzk
v
v(t )
速率（单位：米/秒）
平均速率
v s t
瞬时速率 v lim s ds t0 t dt
P
r r Q
O r r
注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 v v (s r)
单向直线运动情况
——运动的独立性原理或运动叠加原理
1-2描述质点运动的物理量
5
二. 位移和路程
为了描述质点位置的变化而引入的物理量
y
A B
y
A
r
B
rA
o
rB
x
o
rA
rB
x
6
1.位移
定义 质点位置矢量发生变化, 经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量也简称位移 位移. 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移 y 数学表达式 A r B r = rB rA 或 r = r (t + t ) r (t ) 正交分解式
3
3、运动方程(轨道参量方程) 运动方程(轨道参量方程)
r = r (t )
在直角坐标系中
运动方程
z( t )
z P( t )
r( t ) y( t ) x( t ) x 0 y
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
分 量 式
(参数形式 参数形式) 参数形式
x = x (t ) y = y (t ) z = z (t
时间内, 在 t 时间内 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为 时间内, t 时间内, (对于一个过程的粗略描述) 对于一个过程的粗略描述 粗略描述)
y
B
r = r (t + t ) r (t )
质点的平均速度定义为: 质点的平均速度定义为:
r (t + t)
r
s
A
r v= t
平均速度 同方向. v 与 r 同方向
v v (t + t ) v (t ) = a= t t
质点运动学中的相关物理量的计算方法
质点运动学中的相关物理量的计算方法质点运动学是物理学中研究质点运动的一个分支，它涉及到了许多与运动相关的物理量的计算方法。
在本文中，我们将探讨一些常见的物理量，并介绍它们的计算方法。
1. 位移与速度位移是描述质点在运动过程中位置变化的物理量。
它可以通过计算质点的起始位置和终止位置之间的距离来获得。
如果质点在直线上运动，那么位移的计算方法就是终止位置减去起始位置。
如果质点在曲线上运动，我们可以将曲线分成很多小段，然后计算每一小段的位移，最后将它们相加。
速度是描述质点在单位时间内位移的物理量。
它可以通过计算位移与时间的比值来获得。
如果质点在直线上运动，那么速度的计算方法就是位移除以时间。
如果质点在曲线上运动，我们可以计算每一小段的速度，然后取它们的平均值作为整个运动过程的速度。
2. 加速度与力加速度是描述质点在单位时间内速度变化的物理量。
它可以通过计算速度的变化量除以时间来获得。
如果质点的速度在运动过程中保持不变，那么加速度为零。
如果质点的速度在运动过程中有变化，那么加速度可以是正值或负值，分别表示速度增加或减小。
力是导致质点产生加速度的原因。
根据牛顿第二定律，力等于质点的质量乘以加速度。
因此，如果我们已知质点的质量和加速度，就可以计算出作用在质点上的力。
3. 动量与动能动量是描述质点运动状态的物理量。
它可以通过计算质点的质量乘以速度来获得。
动量的计算方法是质点的质量乘以质点的速度。
动能是描述质点运动能力的物理量。
它可以通过计算质点的质量乘以速度的平方除以2来获得。
动能的计算方法是质点的质量乘以质点的速度的平方除以2。
4. 力与功力是导致质点产生加速度的原因，而功是描述力对质点做功的物理量。
功可以通过计算力乘以质点的位移来获得。
如果力的方向与质点的位移方向相同，那么力对质点做正功；如果力的方向与质点的位移方向相反，那么力对质点做负功。
总结：质点运动学中的相关物理量的计算方法包括位移与速度、加速度与力、动量与动能以及力与功。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结基本概念：质点：具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力：质点动力学研究的核心内容，包括恒力、变力和约束力。
运动方程：描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量：描述质点运动状态的重要物理量，等于质点的质量乘以速度。
动能：描述质点运动状态的另一个重要物理量，等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能：描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理：与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论：牛顿运动定律：描述了质点在作用力作用下运动的规律，即F=ma，其中F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
动量定理：通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系，即合外力的冲量等于物体动量的变化量，表达式为Ft=mV-mv。
动能定理：引入动能的概念，建立了力学与能量之间的关系，即合外力做的功等于物体的动能的改变量，表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法：矢量方法：利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法：将运动方程化为微分方程，然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法：利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用：军事方面：应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域，研究其受力情况和运动规律，从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面：应用在金融市场和交通运输领域，分析市场变化和流动性，以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面：研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律，以提高城市的运作效率和质量。
总的来说，质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究，以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识，可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律，以及如何利用这些规律解决实际问题。
大学物理基础知识质点运动的描述与分析
大学物理基础知识质点运动的描述与分析质点运动是大学物理基础知识中的重要内容，它描述了物体在空间中的运动状态以及造成其运动的各种原因。
本文将从质点运动的基本概念、描述运动的方式以及运动分析等几个方面展开论述。
一、质点运动的基本概念在物理学中，质点被定义为一个非常小、不具有大小和形状的物体，仅具有质量。
质点具有位置、速度和加速度等运动状态。
质点运动可以按照时间发生的方式来描述，常见的有匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等。
二、描述运动的方式为了准确地描述和分析物体的运动，需要引入一些物理量来描述质点的运动状态。
常见的运动描述物理量有位移、速度和加速度。
1. 位移位移是指物体从起点到终点的位置变化。
位移的大小和方向决定了两个时刻物体的位置差异。
位移可以用矢量来表示，即具有大小和方向。
当物体做直线运动时，位移的方向与物体运动方向保持一致。
位移的计算公式为Δx = x₂ - x₁。
2. 速度速度是指单位时间内位移的变化率。
速度表征了物体运动的快慢以及方向，是矢量量。
平均速度可以用位移与时间的比值来表示，即v =Δx / Δt。
而瞬时速度则是时间无限趋近于零时的速度，可以通过取限极的方式求得。
3. 加速度加速度是指单位时间内速度的变化率。
加速度描述了物体运动状态的改变情况，也是矢量量。
平均加速度可以用速度变化与时间的比值来表示，即a = Δv / Δt。
而瞬时加速度则是时间无限趋近于零时的加速度。
三、运动分析在质点运动的分析中，常常关注的问题有速度与位移之间的关系、加速度与速度之间的关系以及相互作用力对运动的影响等。
1. 速度与位移之间的关系在质点做匀速直线运动时，位移和速度之间的关系是简单的线性关系。
根据定义，平均速度等于位移与时间的比值。
而无论加速度大小，匀速直线运动时的瞬时速度保持不变。
因此，可以得出结论，在匀速直线运动中，速度与位移呈线性关系。
2. 加速度与速度之间的关系加速度描述了速度变化的快慢以及方向的改变。
质点运动学
第一章质点运动学一、基本要求1、掌握描述质点运动的基本物理量，位置矢量、位移、速度、加速度的概念，明确它们具有的矢量性、相对性、瞬时性；2、明确运动方程和轨道方程的物理意义，并能用求导方法由已知的运动方程求速度加速度；反之用积分方法由已知质点运动的速度或加速度求质点的运动方程；3、熟练掌握直线运动，抛体运动和圆周运动的规律，及直线运动的位置一时间曲线，速度一时间曲线。
二、基本概念和规律1、参照系与坐标系参照系：在描述机械运动时被选作参考的物体称为参照系。
由于运动的相对性，所以参照系的选择也具有注意性，而参照系的选择主要问题的性质和研究的方便，但必须指出，同一物体的运动，由于参照系的选择不同，而对它运动的描述亦不同。
因此，当其描述物体的运动时，必须指出是对哪个参照系来说的。
坐标系：参照系选定后，只能对物体的运动作定性描述。
为了定量地描述物体的运动。
就需要在参照系上选用一个固定的坐标系。
因此，坐标系不仅在性质上起到了参照系的作用，而且使运动的描述精确化。
常用的坐标系有直角坐标系，自然坐标系（本性坐标系）和平面极坐标系等。
从运动学的观点看，所有参照系都是等价的，无优劣之分。
2、质点质点就是把物体视为只有质量而无形状大小的几何点。
质点的概念突出了物质“具有质量”和在空间“占有位置”这两个根本性质。
质点是理想模型，是对客观实际进行全面的科学的分析之后，用简单、抽象的模型--质点来代替复杂的具体的物体，以抓住其中的主要因素（质量）。
忽略次要因素（形状和大小），掌握其物体的基本运动规律，从而为研究一般物体的运动打下基础。
理想模型方法是一种重要科研究方法，它能使物理现象的研究达到定量化、精确化。
3、位置矢量位置矢量：由参考系上某一参考点间质点所在的位置所作的有向线段称为质点在该时刻的位置矢量，简称矢径，记为r(t)。
它是描写质点某时刻在空间的位置的物理量，也是描写质点运动状态的一个物理量，它具有矢量性、瞬时性、相对性。
大学物理 质点的运动规律总结
又各是多大？ 又各是多大？ 解：作受力分析, 建立坐标系 作受力分析
O θ l
r T
y θ 0
r mg
r N
x
H
设小球所在处圆锥体的水平截面半径为R 设小球所在处圆锥体的水平截面半径为 ，则
R = l sinθ
由牛顿第二定律，有 N cos θ − T sin θ = m a x = − m ω 2 R
时刻的位矢、速度和加速度； 时刻的位矢、速度和加速度； 已知质点的加速度以及初始速度和初始位 可求质点速度及其运动方程． 置, 可求质点速度及其运动方程． 求导 求导 v v v
2
r (t )
积分
v (t )
积分
a (t )
3、相对运动
r 速度合成定理： 速度合成定理：v
绝对＝
r v
相对
＋
r v
牵连
2、圆周运动 圆周运动时的加速度 v v
a = aτ
dθ ω= dt
角速度
dv r v r v τ + n + an = dt R r 2 r = R β τ + Rω n
2
dω β= 角加速度 dt 线量与角量之间的关系
v = Rω
aτ = Rβ
an = ω R
2
说明 质点运动学两类基本问题 1 由质点的运动方程可以求得质点在任一
ωc =
r T
y θ 0
r mg
r N
mg T = cos θ
x
4、牛顿运动定律 牛顿第一定律
v v v dP d(mv) F= = dt dt
r rr r F = 0, v = c
v v d(v) v v << c F = m = ma dt
力学基础知识
力学基础知识力学作为物理学的一个重要分支，研究的是物体在受力作用下的运动规律和相互作用原理。
在学习力学基础知识时，我们需要了解一些基本概念、定律和公式。
本文将从质点运动、牛顿三定律、动量守恒和万有引力四个方面介绍力学的基础知识。
一、质点运动质点是物理中的一个理想模型，假设物体的大小和形状可以忽略不计，只考虑物体的质量和所受力。
质点的运动可以分为直线运动和曲线运动。
1. 直线运动质点在直线上的运动可以用位移、速度和加速度等物理量来描述。
- 位移：一个物体从原始位置到最终位置的变化量，用Δx表示。
- 平均速度：位移与运动时间的比值，用v表示，计算公式为v = Δx/Δt。
- 瞬时速度：物体在某一瞬间的速度。
- 平均加速度：速度变化量与时间的比值，用a表示，计算公式为a = Δv/Δt。
- 瞬时加速度：物体在某一瞬间的加速度。
2. 曲线运动曲线运动包括圆周运动和非匀速直线运动。
- 圆周运动：质点绕固定点做圆周运动，有向心加速度的概念。
向心加速度的大小和方向决定了质点在圆周运动中的加速度。
- 非匀速直线运动：质点在直线上做变速运动，速度随时间的变化率不为零。
二、牛顿三定律牛顿三定律是力学的基本定律，描述了物体的受力和运动之间的关系。
1. 第一定律（惯性定律）：一个物体如果不受外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
2. 第二定律（运动定律）：物体所受的合力等于其质量乘以加速度。
F = ma，其中F为合力，m为物体质量，a为加速度。
3. 第三定律（作用-反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力具有相等的大小和相反的方向。
三、动量守恒动量是物体运动状态的量度，定义为物体质量与速度的乘积。
在一个系统内，如果没有外力作用，系统的总动量将保持不变。
1. 动量：一个物体的动量p定义为p = mv，其中m为物体质量，v为物体速度。
2. 动量定理：物体所受合外力的时间积分等于物体的动量变化。
∑Fdt = Δp，其中∑F为所受合外力，t为时间。
高一年级物理上学期重点知识点
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质点运动学——精选推荐
第1章质点运动学基本要求1.掌握描述质点运动的基本物理量 位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念及其主要性质(矢量性㊁瞬时性和相对性)㊂2.理解运动方程和轨道方程的意义,能应用直线运动方程和运动叠加原理求解简单的质点运动学问题㊂(1)已知质点运动方程,求质点的位移㊁速度和加速度等物理量;(2)已知速度或加速度及初始条件,求质点的运动方程;(3)熟练掌握匀变速直线运动㊁抛体运动的规律㊂3.掌握圆周运动中角速度㊁角加速度㊁切向加速度和法向加速度等概念㊂基本概念和基本规律1.质点在所研究的问题中,物体的大小和形状可忽略不计时,我们把它看作只具有质量而无大小㊁形状的理想物体,称为质点㊂质点是物理学中物体的理想模型㊂2.位置矢量(或矢径)r在直角坐标系中点P的位置矢量(如图1.2.1所示)表示为r=x i+y j+z k位置矢量的大小为r=|r|=x2+y2+z2位置矢量的方向用方向余弦表示为c o sα=x r,c o sβ=y r,c o sγ=z r在二维运动中(如图1.2.2所示)r=x i+y jr=|r|=x2+y2θ=a r c t a n y x式中θ是r与x轴正向间夹角㊂Ң2大学物理学习指导图 1.2.1图 1.2.23.位移位移是描述质点在t ~t +Δt 时间内位置矢量变化的物理量(如图1.2.3所示)㊂质点在Δt 内由P 1到P 2的位移等于同一时间内位置矢量的增量Δr:图 1.2.3Δr =r 2-r 1=(x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k 位移的大小|Δr |=(x 2-x 1)2+(y2-y 1)2+(z 2-z 1)2位移的方向:c o s α=Δx |Δr |, c o s β=Δy |Δr |, c o s γ=Δz |Δr | 注意:①位移Δr 与位置矢量r 的物理意义不同,r 与时刻t 对应,Δr 与Δt 对应;②|Δr |ʂΔr =r 2-r 1,Δr =x 22+y 22+z 22-x 21+y21+z 21;③位移与参照系的选择有关,具有相对性;④直线运动中的位移Δx =x 2-x 1,Δx 的正负表示位移的方向沿x 轴的正向或负向㊂4.速度速度是描述质点的位置随时间变化快慢和方向的物理量㊂(1)平均速度췍-=Δr Δt =Δx Δt i +Δy Δt j +Δz Δtk =v -x i +v -y j +v -z k 췍-称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均速度㊂(2)瞬时速度췍=d r d t =d x d t i +d y d t j +dz d tk =v x i +v yj +v z k 췍称为质点在时刻t 的瞬时速度,简称速度㊂注意:①v =|췍|=v 2x +v 2y +v 2z =d x d æèçöø÷t 2+d y d æèçöø÷t 2+d z d æèçöø÷t 2ʂd r d t;②直线运动中v =d x d t,v 的正负表示速度的方向沿x轴正向㊁负向㊂(3)平均速率v -=Δs Δt式中Δs 是质点在t ~t +Δt 时间内走过的路程,v -称质点在t ~t +Δt 时间内的平均速率㊂第1章 质点运动学Ң3(4)瞬时速率v =d s d tv 称为质点在t 时刻的瞬时速率,简称速率㊂同一瞬间的瞬时速率和瞬时速度的大小是相同的㊂5.加速度加速度是描述质点运动速度变化的物理量㊂(1)平均加速度a -=Δ췍Δt =Δv x Δt i +Δv y Δt j +Δv zΔtk a -称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均加速度㊂(2)瞬时加速度a =d 췍d t =d v x d t i +d v y d t j +d v z d t k =d 2x d t 2i +d 2y d t 2j +d 2z d t2k =a x i +a yj +a z k a 称为质点在t 时刻的瞬时加速度,简称加速度㊂(3)质点作平面曲线运动时的加速度,亦可用自然坐标系中的法向加速度和切向加速度表示:法向加速度a n =v 2ρ,方向指向该处的曲率中心;切向加速度a τ=d v d t,正㊁负表示切向加速度的方向与该处速度方向 同 ㊁ 反 ㊂总加速度a =a n +a τ式中,v 为质点所在处的速率;ρ为质点所在处曲率半径㊂注意:①a 的方向是速度变化的方向,即Δ췍的极限方向,一般不代表质点的运动方向㊂②区分췍和a 概念:췍=0,a 不一定为零;췍大,a 不一定大㊂③曲线运动中a n ʂ0;直线运动中a n =0,a τ=d v d t;直线运动a 的正㊁负表示加速度的方向沿选定轴的正向㊁负向㊂6.圆周运动的角量描述设质点作圆周运动,t 时刻质点在A 点,t +Δt 时刻质点运动到B 点,如图1.2.4所示㊂则质点的运动亦可用下述角量描述㊂图 1.2.4θ为半径O A 与x 轴间夹角,θA 是质点在A 点的角位置,则Δθ=θB -θAΔθ称为质点在t ~t +Δt 内对O 点的角位移㊂ω=l i mΔt ң0ΔθΔt =d θd tω称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角速度(简称角速度)㊂α=l i mΔt ң0ΔωΔt =d ωd tα称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角加速度(简称角加速度)㊂Ң4大学物理学习指导角量与线量间的关系:v =R ωa n =v 2R , a τ=d v d t=R α7.运动方程r (t)质点的位置矢量r (t)(或角位置θ)随时间的变化规律称为质点的运动方程,可表示为r (t )=x (t )i +y (t )j +z (t )k 或θ=θ(t)质点的运动方程在直角坐标系中亦可用分量式表示为x =x (t )y =y (t )z =z (tìîíïïï) 运动方程反映了质点的空间位置随时间的变化过程㊂从运动方程的分量式中消去t,得到x ㊁y ㊁z 间的关系式,称为质点的轨道方程㊂8.运动叠加原理一个运动可看成几个各自独立进行的运动叠加而成,这称为运动叠加原理或运动独立性原理㊂例如,抛体运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的叠加㊂9.几种简单的运动规律(1)直线运动的规律(假设运动发生在x 轴上)匀速直线运动方程:x =x 0+v t 匀变速直线运动方程:x =x 0+v 0t +12a t 2变速直线运动方程:x =x 0+ʏt 0v d t v =v 0+ʏt 0a dt式中x 0㊁v 0分别是t=0时质点的初始位置㊁初始速度㊂(2)圆周运动的角量描述规律匀速圆周运动:θ=θ0+ωt a n =R ω2, a τ=0 匀变速圆周运动:θ=θ0+ω0t +12αt 2a n =R ω2, a τ=d vd t=Rα第1章 质点运动学Ң5 式中θ0㊁ω0分别是t=0时质点的角位置㊁初角速度㊂(3)抛体运动规律图 1.2.5抛体运动(如图1.2.5所示)方程为x =v 0c o s θ0t y =h +v0s i n θ0t -12g t 2讨论:θ0=0时为平抛运动;θ0=π2时为竖直上抛运动;θ0=-π2且v 0=0,则为自由落体运动㊂10.运动的相对性由于位置矢量㊁速度和加速度的大小和方向都与参照系的选择有关,具有相对性,因此同一质点的运动对不同参照系的描述是不同的㊂设坐标系O x ᶄy ᶄz ᶄ相对于坐标系O x yz 的平动速度为u ,则位移Δr =Δr ᶄ+u Δt 速度췍=췍ᶄ+u或表示为췍A 对C =췍A 对B +췍B 对C上式称速度变换原理或速度合成定理㊂加速度a A 对C =a A 对B +a B 对C上式称加速度交换原理或加速度合成定理㊂解题指导本章的重点是深刻理解位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念,注意其矢量性与相对性㊂本章习题一般分两大类:第一类是已知质点的运动方程,利用微分法求各物理量(速度㊁加速度等);第二类是已知速度或加速度及初始条件,利用积分法求运动方程㊂第二类问题和学会用速度合成定理处理运动的矢量性和相对性问题是本章的难点㊂在直线运动中,位移㊁速度和加速度的方向均在一直线上,建立坐标后,这些矢量可作为标量来处理㊂位移Δx ㊁速度v 和加速度a 的正负,表示其方向与选定坐标轴的正向一致或相反㊂应特别注意的是,中学阶段定量研究的是匀变速直线运动,加速度是常量㊂但大学物理中讨论的是具有普遍意义的运动,加速度不一定是常量,必须用高等数学中的微积分解题㊂由中学的 常量 到大学的 变量 ,这是学习的一个飞跃㊂质点运动学问题的一般解题程序为:(1)审清题意,确定研究对象,分析研究对象的运动情况㊂(2)选择适当的参照系,建立坐标系㊂(3)根据所求物理量的定义,列式并求解㊂或根据运动的特点和题设条件,列方程求解㊂Ң6大学物理学习指导(4)必要时进行分析讨论㊂ʌ例题1.1ɔ有一物体作直线运动,其运动方程为x=6t2-2t3,式中x的单位为m,t 的单位为s㊂求:(1)速度和加速度的表达式;(2)t=0,1,2,3,4s时物体的位置x㊁速度v和加速度a;(3)第2s内的平均速度;(4)最初4s内物体的位移㊁路程㊁平均速度和平均速率;(5)讨论物体的运动情况㊂ʌ解ɔ(1)物体的运动方程x=6t2-2t3速度v=d x d t=12t-6t2(m/s)加速度a=d v d t=12-12t(m/s2)(2)将t的各值代入上述三式,可得各时刻的x㊁v和a,见表1.3.1:表1.3.1t/s01234x/m0480-32v/(m/s)060-18-48a/(m/s2)120-12-24-36(3)第2s内平均速度v-1 2=x2-x1t2-t1=8-42-1=4(m/s)但这不能用下式来计算:v-1 2=v1+v22为什么不行?请读者自己思考㊂(4)位移Δx=x4-x0=-32-0=-32(m)式中负号表示位移的方向沿x轴负向㊂路程Δs是否等于位移Δx通常ΔsʂΔx,只有在直线运动中速度不改变方向的那段时间内,路程才与位移的大小相等㊂今由d x d t=12t-6t2=0得t=2s时开始速度改变方向,所以路程为Δs=Δs1+Δs2=|x2-x0|+|x4-x2|=|8-0|+|-32-8|=48(m)平均速度为v-0 4=x4-x0t4-t0=-324=-8(m/s)式中负号表示平均速度的方向沿x轴负向㊂第1章质点运动学Ң7平均速率为v-0 4=ΔsΔt=484=12(m/s)(5)由v=12t-6t2,可见t<2s,v>0;t=2s,v=0;t>2s,v<0㊂而由a=12-12t得t<1s,a>0;t=1s,a=0;t>1s,a<0㊂因此:t在0~1s内,v>0,a>0,物体作加速运动;t在1~2s内,v>0,a<0,物体作减速运动;t>2s,v<0,a<0,物体沿x轴负向作加速运动㊂应注意:a>0,并不表示物体作加速运动;a<0也不一定是减速运动㊂如何判断物体作加速还是减速运动呢?这应从a和v的方向是否一致来判断㊂a与v同号(即同方向),则为加速运动;a与v异号(即反向),则为减速运动㊂ʌ例题1.2ɔ已知质点的运动方程为x=3t,y=t2+t式中x㊁y以m计,t以s计㊂试求:(1)t=1s和2s时质点的位置矢量,并计算这1s内质点的位移和平均速度;(2)2s末质点的速度和加速度;(3)质点的轨道方程㊂ʌ解ɔ(1)质点的位置矢量为r=3t i+(t2+t)jt=1s时,r1=3i+(1+1)j=3i+2j(m)t=2s时,r2=6i+6j(m)根据位移的定义,这1s内的位移为Δr=r2-r1=(6-3)i+(6-2)j=3i+4j(m)或用位移的大小和方向表示为|Δr|=(Δx)2+(Δy)2=(6-3)2+(6-2)2=5(m)θ=a r c t a nΔyΔx=a r c t a n6-26-3=53ʎ式中θ是位移与x轴正向间夹角㊂根据平均速度的定义,这1s内的平均速度为췍-=ΔrΔt=3i+4j2-1=3i+4j(m/s)(2)根据速度的定义,可得速度的两个分量v x和v y:v x=d x d t=3(m/s)v y=d y d t=(2t+1)|t=2=2ˑ2+1=5(m/s)所以质点在2s末的速度为췍2=3i+5j(m/s)或用췍2的大小和췍2与x轴正向间夹角来表示为v2=v2x+v2y=32+52=5.83(m/s)Ң8大学物理学习指导θ=a r c t a n v y v x =a r c t a n 53=59ʎ式中θ是速度췍2与x 轴正向间夹角㊂根据加速度的定义,它的两个分量a x ㊁a y 分别为a x =d v xd t=0a y =d v y d t =2(m /s 2)所以a =a x i +a yj =2j (m /s 2)即加速度的大小为a =2m /s2,方向沿y 轴正向㊂由于加速度不随时间变化,所以本题中质点作匀加速运动㊂(3)从质点的运动方程中消去t ,即得轨道方程y =x æèçöø÷32+x 3即x 2+3x -9y =0ʌ例题1.3ɔ 一质点沿x 轴运动㊂已知加速度a =4t (S I ),t =0时,初速度v 0=0,初始位置x 0=10m ㊂试求质点的运动方程㊂ʌ解ɔ 根据加速度的定义a =d v d t,得a d t =4t d t =d v 对上式两边积分,得速度v 随时间t 的变化规律ʏt 04t d t =ʏv 0d v积分后代入上下限得v =2t2又根据速度的定义v =d xd t得d x =v d t =2t 2d t对上式两边积分后得质点的运动方程ʏxx 0d x =ʏt 02t 2d tx =x 0+23t 3将x 0=10m 代入上式得x =10+23t 2(m)本题属已知加速度及初始条件(即t =0时的x 0㊁v 0)求运动方程的问题,主要根据加速度和速度的定义,通过积分解决㊂需注意初始条件的运用和定积分的计算方法㊂ʌ例题1.4ɔ 一物体沿x 轴运动,开始时物体位于坐标原点,初速度v 0=3m /s ㊂若加第1章 质点运动学Ң9速度a =4x (S I),求:(1)物体经过x =2m 时的速度;(2)物体的运动方程㊂ʌ解ɔ (1)本题中加速度随x 而变化,所以物体作变速直线运动㊂根据加速度和速度的定义v =d x d t ,a =d v d t,得v d t =d xa d t =d v =ad xv所以v d v =a d x =4x d x两边积分:ʏvv 0v d v =ʏxx 04x dxv 2-v 20=4(x 2-x 20)将x 0=0,v 0=3m /s 及x =2m 代入上式得v =v 20+4x 2=32+4ˑ22=5(m /s ) (2)再根据速度的定义得d x =v d t =v 20+4x 2d t 所以ʏx 0d xv 20+4x 2=ʏt 0d t由积分公式ʏd x a 2+x2=l n (x +a 2+x 2),将上式积分,则有12l n (2x +v 20+4x 2)|x0=t2x +v 20+4x2v 0=e2t化简后得运动方程x =v 04(e 2t -e -2t )=34(e 2t -e -2t )(m )图 1.3.1需注意:通常解题时应先用文字式运算,求得结果的文字表达式后,再代入数据进行计算,得出最后的结果㊂ʌ例题1.5ɔ 如图1.3.1所示,在离水面高度h 的岸边上,有人用绳子拉船靠岸㊂船位于离岸的水平距离s 处㊂当人以v 0的匀速率收绳时,试求船的速度和加速度㊂ʌ解ɔ 本题要求췍和a ,但船的运动方程未知,因此须先根据已知条件,建立坐标后写出船的运动方程,然后根据定义求췍和a ㊂以人的收绳点为坐标原点,建立坐标系如图1.3.1所Ң10大学物理学习指导示,则船的位置矢量即运动方程为r =x i -h j式中h 是常量,x 随时间而变㊂根据速度和加速度的定义得췍=d r d t =d xd ti a =d 2r d t 2=d 2xd t2i 根据题意,人的收绳速率为v 0=-d r d t =-d d t x 2+h 2=-x x 2+h 2d x dt 这里因r =|r |随时间减小,所以d r d t<0,而v 0>0㊂由上式得v x =d x d t =-v 0x 2+h 2x所以船的速度为췍=-v 0s 2+h 2si 而a x =d v x d t =d d t -v 0x 2+h 2æèçöø÷x =d d x -v 0x 2+h 2æèçöø÷xd x dt =-h 2v 20x 3所以船的加速度为a =-h 2v 20x3i当船在x =s 处的速度和加速度为췍=-v 0s 2+h 2si a =-h 2v 20s3i讨论:(1)췍和a 的方向均沿x 轴负向,所以船向岸边作加速运动㊂(2)由a 的表达式,h 和v 0不变,s 随时间减小,|a |随时间增大,所以船作变加速运动㊂(3)船的速率v >v 0(人的收绳速率),这是严格按速度的定义求得的㊂显然v 不等于v 0在水平方向的分量㊂图 1.3.2ʌ例题1.6ɔ 一石子从倾角为α=30ʎ的斜面上的O 点抛出㊂已知初速度v 0=9.8m /s ,췍0与水平面的夹角θ=30ʎ,如图1.3.2所示㊂若忽略空气阻力,试求:(1)石子落到斜面上的B 点离O 点的距离l ;(2)石子所到达的最大高度;(3)t =1.5s 时石子的速度㊁切向加速度和法向加速度㊂ʌ解ɔ (1)石子的运动可看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的加速度为g 的匀变速直线运动的叠加㊂今以O 点为原点,建立坐标如图,则石子的加速度分量为。
01-1描述质点运动的四个物理量1
写成标量式
第一讲 描述质点运动的四个物理量
1 x x0 v0 x t a x t 2 2 1 2 y y0 v0 y t a y t 2
先分解再积分
写成分量式 积分可得 积分可得
a ax i a y j
dvx ax dt
ay dv y dt
v x v0 x axt v y v0 y a y t
t得轨迹
y
求最大射程
g 2 dd 0 2 v0 cos 2 0 d g
d0
2 2 v0
sin cos
实际路径
真空中路径
o
x
π 4 2 最大射程 d 0 m v0 g
第一讲 描述质点运动的四个物理量
d
d0
由于空气阻力，实际射 程小于最大射程.
例4 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速 1 度为 v0 (10m s ) j , 它的加速度为 a (1.0s1 )v j 试求其运动规律。
位矢为从坐标原点指向质点所在位置的有 方向 向线段； 位移为从起点指向终点的有向线段。
第一讲 描述质点运动的四个物理量
1-3、速度v
在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
1 平均速度
y
B
t 时间内, 质点的平均速度 r x y v i j t t t
或
r r (t t ) r (t )
y
1 2 a yt 2
1 2 x x0 v0 x t a x t 2 1 2 y y0 v0 y t a y t 2
1 2 矢量式：r r0 v0t at 2
第一讲 描述质点运动的四个物理量
v0 y t
v0t
1 2 at 2
大学物理学(上册)第1章 质点运动学
须在参考系上固连某种坐标系,这样,物体在某时刻的位置
即可用一组坐标表示.可见坐标系不仅在性质上具有参考系
的作用,而且还具有数学抽象作用.最常用的坐标系有:直角
坐标、球坐标、极坐标、柱坐标、自然坐标等.对物体运动
的描述决定于参考系而不是坐标系.
y
A
K
y
O
x
z
z
x 直角坐标系
K
r θ
A
O
x
极坐标系
O
y
o法向 sz
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
讨论 （1）位移与位置矢量
位移表示某段时间内质点位置的变 化,是个过程量;位置矢量表示某个时
y
s' s p1 r
p2
刻质点的位置,是个状态量. （2）位移与路程
r(t1) r (t2 )
P1P2 两点间的路程 s是不唯一的,可 O
2）轨道方程表示为 x2 y2 r 2
1.2.2 位移与路程
y
A r B
rA
rB
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
1.位移 经过时间间隔 t 后,质点位置矢量发生变化,由始
点A指向终点B 的有向线段AB称为点A到B 的位移矢量 r.位
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
而 a a 0 所以
v(t)
O
dv
v(t dt)
a dv dt
例 设质点的运动方程为
r t xti y t j
质点运动知识点
质点运动知识点质点运动是物理学中的基本概念之一，描述了质点在空间中的位置、速度和加速度等运动状态。
本文将介绍质点运动的基本概念、运动的描述方法以及常见的运动类型。
一、质点运动的基本概念质点是物理学中对物体简化处理的概念，将物体的大小、形状等因素忽略，将物体看做一个点，仅考虑其质量和位置。
质点运动描述了质点在空间中的位置随时间的变化情况。
二、运动的描述方法为了方便描述质点的运动，引入了坐标系的概念。
通常情况下，选择一个固定的参考点作为原点，选择适当的方向作为坐标轴，可以用数学的方式描述质点的位置。
质点的位置通常用三个坐标数值表示，分别是x、y、z轴上的位置。
速度是描述质点运动状态的物理量，表示质点单位时间内位移的大小和方向。
常用的速度描述方法有瞬时速度和平均速度两种。
瞬时速度表示质点在某一时刻的速度，可以通过求导数的方式得到。
平均速度表示质点在某一时间段内的速度，可以通过位移的比值求得。
加速度是描述质点运动状态变化的物理量，表示质点单位时间内速度改变的大小和方向。
常用的加速度描述方法有瞬时加速度和平均加速度两种。
瞬时加速度表示质点在某一时刻的加速度，可以通过求导数的方式得到。
平均加速度表示质点在某一时间段内的加速度，可以通过速度变化的比值求得。
三、常见的运动类型1. 直线运动：质点在一条直线上运动，可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
匀速直线运动指质点在单位时间内位移相等，速度不变的运动。
变速直线运动指质点在单位时间内位移不等，速度发生变化的运动。
2. 曲线运动：质点在曲线轨迹上运动，可以分为弯曲运动和螺旋运动两种情况。
弯曲运动指质点运动轨迹呈弯曲形状，速度方向和大小均不变化。
螺旋运动指质点同时具有沿直线移动和绕轴旋转的运动形式，速度方向和大小均发生变化。
3. 往复运动：质点在有限区间内往复移动的运动形式，可以分为简谐运动和非简谐运动两种情况。
简谐运动指质点在往复运动中，加速度与位移之间满足简谐关系的运动。
描述质点运动的物理量
动。在t时刻，质点位于A点，其位矢为r1 （t）；在t＋Δt时刻，质点位于B点，其位
矢为r2（t＋Δt）。则质点在时间间隔Δt内 的位移Δr与Δt的比值称为质点在Δt时间内
的平均速度 v，即
v r2 r1 Δr Δt Δt
平均速度是矢量，其方向与Δr相同。 平均速度也可表示为：
v Δr Δx i Δy j Δt Δt Δt
在三维直角坐标系中，速度v可表示为：
dr dx dy dz
v
dt
dt
i dt
j dt k vxi vy j vzk
在国际单位制中，速度和速率的单位都是米每秒（m/s）。
1.4 加速度
加速度是描述质点运动速度的大小和方向随时间变化快慢 的物理量。
1．平均加速度
如下图所示，质点在平面上做曲线运 动。在t时刻，质点位于A点，其速度为v1； 在t＋Δt时刻，质点位于B点，其速度为v2。 则质点在Δt时间内的速度增量为Δv＝v2－ v1。Δv与对应时间Δt的比值称为质点在Δt 时间内的平均加速度 ，a即
位移不同于位矢。在质点运动过程中，位矢表示某个时 刻质点的位置，是描述运动状态的物理量（状态量）；而位 移则表示某段时间内质点位置的变化，是描述运动过程的物 理量（过程量）。
位移也不同于路程。路程是指在某段时间内，质点在运 动轨道上所经过的路径的长度，它是一个标量，其大小不仅 与质点的初位置和末位置有关，还与质点在初、末位置之间 的运动路径有关。而位移是一个矢量，它只与质点的初、末 位置有关，而与质点在初、末位置之间的运动路径无关。
加速度a也可表示为：
a dvx dt
i dvy dt
d2x d2y j i
dt 2 dt 2
j axi ay j
描述质点运动的物理量最新实用版
量，简称位移。它是描述质点位置变化的物理量。
rr2r1
•说明 •位移是矢量：有大小和方
向；
t₁
r
t₂
r₁
r₂
•位移具有瞬时性；
O
•位移具有相对性；
•单位：米（m）
•路程
•位移与路程的区别
位移是矢量：是指
位移是矢量：有大小和方向；
位置矢量的变化 1)加速度是矢量，即有大小又有方向，二者只要有一个变化，加速度就变化
二、质点运动的两类问题
1、 由质点的运动方程可以求得质点在任一时 刻的位矢、速度和加速度；
r(t) 求导 v ( t ) 求导
a(t)
2、已知质点的加速度以及初始速度和初始位 置, 可求质点速度及其运动方程 .
a(t) 积分 v ( t ) 积分 r(t)
感谢观看
§2-2 质点运动的描述
一、描述质点运动的物理量
1、位置矢量 从原点O到质点所在的位置P点的有向线段 r ，叫
做位置矢量或位矢。
说明 •位置矢量是矢量：有大小和 方向； •位置矢量具有瞬时性； •位置矢量具有相对性； •单位：米（m）
P
r O i
2、位移
•定义
把由始点到终点的有向线段定义为质点的位移矢
•当 t 0 时， | r | ≈ s 速度的单位：m·s-1
从原点O到质点所在的位置P点的有向线段 r ，叫做位置矢量或位矢。 匀变速运动： 加速度为恒量 4) 加速度的单位： m·s-2 定义：平均速度的极限值称为瞬时速度，简称速度
t₁ s
r
t₂
r₁
r₂
O
3、速度
（ 1 ）、平均速度
v
r
位移是矢量：是指位置矢量的变化 速度是矢量，即有大小又有方向
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v
l0 h l(t)
求 船的运动方程 解 取坐标系如图
O
x(t)
x
依题意有 l(t) l0 v t
坐标表示为
x(t) l( t)2 h2 (l0 v t)2 h2
说明:
质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程。为正确 写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明确起始 条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。
v (t)
dv
d2r
t0
t
dt dt 2
讨论：
O
v(t)
v
v(t t)
(1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。
(2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
在三维直角坐标系中
a
dv
dt
dv x dt
i
dv y dt
j
dv z dt
k
d
2
x
i
dt 2
d2 y dt 2
j
d
2
dv dt
2 j
当 t =2s 时
v2 2 i 4 j,
a2 2 j
例 设质点的运动方程为 r(t) x(t)i y(t) j,
其中 x(t) (1m s1)t 2m,
y(t)
(
1 4
m
s2
)t
2
2m.
求（1） t 3 s时的速度.（2） 作出质点的运动轨迹图.
解 （1）由题意可得速度分量分别为
小为 dr
（A） d t
d r （B） d t
（C） d r
dt
（D） (dx)2 (dy)2
dt
dt
(4) 加速度（反映速度变化快慢的物理量）
v(t)
v(t t)
1. 平均加速度 t v
a
v
v(t
t)
v(t
)
t
t
P1 r (t)
P2
r (t t)
2. 瞬时加速度
a
limv (t
t)
vx
dx dt
1m s1,
vy
dy dt
(1 m s2)t 2
t 3 s 时速度为 v (1m s1)i (1.5m s1) j
v x 速度 与 轴之间的夹角
arctan1.5 56.3
1
（2） 运动方程
x(t) (1m s1)t 2m
y(t
)
(
1 4
m
s2
)t
2
2m
t 由运动方程消去参数 可得轨迹方程为
时间
t
内质点的位移为
r
r2
r1
r xi yj zk
(x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k
y P2(x2, y2, z2)
位移的模为
r x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
(3) 速度 ( 描述物体运动状态的物理量 )
1. 平均速度 t r
(3) 分清 r 与Δr 的区别
O O
P1 s
r
r (t)
r(t
P2
t)
y
r
r
在三维直角坐标系中
时刻t ，质点位于P1 ，位矢为
r1
时刻t + t ，质点位于Q ，位矢为r2
z
r1
P1(x1, y1,
r
z1)
建如图所示 坐标，则 r1 x1i y1 j z1k
O
x
r2
r2 x2i y2 j z2k
y (1 m-1)x2 x 3m 4
轨迹图
y/m
t 4s 6
t 4s
t 2s4 t 0 t 2s
2
x/m
-6 -4 -2 0 2 4 6
2. 第二类问题
已知加速度和初始条件，求
v
,r
例
已知
a
16 j
,t
=0
时
v (0)
6i ,
r (0)
8k
求 v 和运动方程。
解
dv
(2)位移 P1P2 Δr r (t Δt ) r (t )
位移矢量反映了物体运动中位置
z
( 距离与方位 ) 的变化。
反映物体在空间位置的变化, 与路 径无关，只决定于质点的始末位置.
讨论：
O x
(1) 位移是矢量（有大小，有方向）
位移不同于路程 Δr Δs P1P2
(2) 位移与坐标系原点的位置无关
z
k
dt 2
a axi ay j azk
其中
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2y dt 2
,
az
dv z dt
d2z dt 2
大小为
a
ax2
a
2 y
az2
❖ 运动学的二类问题 1. 第一类问题 已知运动学方程，求
r,
s,v ,
a
例
已知一质点运动方程
a
16 j
dv 16dt j
dt
代入初始条件 v (t)-v (0) 16t j
v (t)
t
dv 16dt j
v (0)
0
v(t)
6i
16t
j
dr
v(t)
dt
dr (6i 16t j)dt
r (t)
t
dr (6i 16t j )dt
r (0)
0
代入初始条件
r(0)
8k
r(t
)
6t
i
8t
2
j
8k
例 有一个球体在某液体中竖直下落,其初速度为 v0 (10m s1) j ,
它的加速度为 a (1.0s1)v j
求（1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
（2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
解 由加速度定义 a dv (1.0s1)v
dt
o
r
2t
i (2 t2) j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移
(2) t =2s 时v，a
解 (1)
r1 2i j
r2 4i 2 j
r r2 r1 (4 2)i (2 1) j 2i 3 j
(2)
v
dr dt
2 j 2t
j,
a
d 2r dt 2
v
Δr
r (t
t)
r (t)
Δt
t
2.
瞬时速度
v lim
r (t
t
)
r (t
)
dr
t0
t
dt
r(t) r
o
r(t t)
vA
B'
B
v lim r lim s ds
r
讨论：
t0 t t0 t dt
A
(1) 速度有矢量性、瞬时性和相对性。
(2) 注意速度与速率的区别
v
dr
,
v dv (1.0s1)
t
dt ,
v v0
0
v v0e(1.0s1)t
v
dy dt
v0 e ( 1.0s 1 )t
ydy
0
v0
e dt t (-1.0s-1)t
0
v0
y 10[1 e(1.0s1)t ]m
y
v v0e(1.0s1)t
v/m s-1 v0
y 10[1 e(1.0s1)t ]m
v
dr
ds
v
dr
dt dt dt
dt
在三维直角坐标系中
瞬时速度
v
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
v vxi vy j vzk
其中
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
ห้องสมุดไป่ตู้dz dt
速度的大小为
v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
例 一运动质点在某瞬时位于矢径 r( x的, y端)点处，其速度大