课题： 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

课题： 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

【学习目标】

1．运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练掌握其基本步骤．

2．通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想方法．

3．培养学生主动探究的精神，提高学生积极参与的意识．

【学习重点】

用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

【学习难点】

通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想。

情景导入 生成问题

回顾：

1．根据完全平方公式填空：

(1)x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2； (2)x 2－8x ＋16＝(x －4)2；

(3)x 2＋10x ＋(5)2＝(x ＋5)2; (4)x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322

. 2．解一元二次方程：x 2－4x ＋3＝0.

解：x 2－4x ＝－3，∴x 2－4x ＋4＝－3＋4，∴(x －2)2＝1，∴x －2＝±1，∴x 1＝3，x 2＝1.

自学互研 生成能力

知识模块一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

阅读教材P 34～P 35，完成下面的填空：

解方程2x 2－4x －1＝0.

解：将方程两边同时除以2，得x 2－2x －12

＝0． 把方程的左边配方，得x 2－2x ＋1－1－12

＝0， 即(x －1)2－32

＝0. (以下步骤请继续完成)

x －1＝±62，∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62

. 师生合作探究、共同归纳出用配方法解“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)”的步骤．

归纳：当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解．

【例1】 用配方法解方程：

(1)2y 2－4y －126＝0； (2)3x(x ＋3)＝94

. 解：原方程可化为 解：原方程可化为

y 2－2y －63＝0. x 2＋3x －34

＝0.

∴y 2－2y ＋12－12－63＝0, ∴x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝34＋⎝⎛⎭⎫322

， 即(y －1)2＝64. 即⎝⎛⎭⎫x ＋322

＝3. ∴y －1＝±8. ∴x ＋32

＝±3. 解得y 1＝9，y 2＝－7. ∴x 1＝

－3＋232，x 2＝－3－232

. 教师点拨：

用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：

①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式；

②把二次项系数化为1；

③配方，得到方程(x ＋m )2－n ＝0的形式；

④再利用平方根的意义求解．

知识模块二 利用配方法求代数式的最值

【例2】 用配方法求代数式－2x 2＋4x ＋3的最大值．

解：原式＝－2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝－2(x －1)2＋5.

∵－2(x －1)2≤0，∴代数式－2x 2＋4x ＋3最大值为5.

教师点拨：

将代数式配方时应注意：①由于是代数式，配方时只能提二次项系数，而不能除以二次项系数；②只需提二次项和一次项的系数，保留常数项；③注意变形须是恒等变形．

求代数式最值的一般步骤：①先考虑一元二次方程二次项系数需满足的条件；②将二次项系数配方；③说明不论k 为何值，二次项系数均不为0.

【变例】 试证：不论k 取何实数，关于x 的方程(k 2－6k ＋12)x 2＝3－(k 2－9)x 必是一元二次方程．

证明：k 2－6k ＋12＝(k －3)2＋3，∵(k －3)2≥0，∴k 2－6k ＋12≥3.∴不论k 取何实数，关于x 的方程(k 2－6k ＋

12)x 2＝3－(k 2－9)x 必是一元二次方程．

交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

知识模块二 利用配方法求代数式的最值

检测反馈 达成目标

1．将方程2x 2－3x ＋1＝0化为(x ＋a)2＝b 的形式，正确的是( C )

A .⎝⎛⎭⎫x －322＝16

B ．2⎝⎛⎭⎫x －342＝116

C .⎝⎛⎭⎫x －342＝116

D ．以上都不对

2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( D )

A ．4t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －782

＝11364 B ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232

＝109 C ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100

D ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25

3．把方程3x 2－6x ＋2＝0两边同除以3得：x 2－2x ＋23

＝0，然后应把方程左边加上__1__，再减去__1__. 4．将方程2x 2－3x ＋1＝0化成(x ＋a)2－b ＝0的形式，则a ＝__－34__，b ＝__116

__． 5．用配方法解下列方程：

(1)2y 2－7y －4＝0；

解：y 1＝－12

，y 2＝4.

(2)6x 2－x －12＝0；

解：x 1＝32，x 2＝－43

.

(3)3x 2－23x ＝0；

解：x 1＝0，x 2＝233

.

(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.

解：x 1＝4，x 2＝2。

课后反思 查漏补缺

1．收获：________________________________________________________________________

2．存在困惑：________________________________________________________________________