1994考研数四真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)

2

222x x

dx x -+=+⎰_____________.

(2) 已知0()1f x '=-,则0

00lim

(2)()

x x

f x x f x x →=---_____________.

(3) 设方程2

cos xy

e y x +=确定y 为x 的函数,则

dy

dx

=_____________. (4) 设12100

0000

,0000

0n n

a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢

⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

其中0,1,2,,,i a i n ≠=则1A -=_____________.

(5) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随意取出一件,结果不是三等

品,则取到的是一等品的概率为_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1) 曲线2

1

21

arctan (1)(2)

x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程

1

()0()

x

x

a

b

f t dt dt f t +=⎰

⎰

在开区间(,)a b 内的根有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个 (3) 设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则A 和B 的秩 ( )

(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n ,一个等于n (D) 都等于n (4) 设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==4(1,2,2,0),α=-

5(2,1,5,10),α=则该向量组的极大线性无关组是 ( )

(A) 123,,ααα (B) 124,,ααα

(C) 125,,ααα (D) 1245,,,αααα

(5) 设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( ) (A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立 (C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立

三、(本题满分5分)

求极限2

1lim[ln(1)]x x x x

→∞

-+.

四、(本题满分5分)

已知2

2

(,)arctan arctan y x f x y x y x y

=-,求2f x y ∂∂∂.

五、(本题满分6分)

已知

sin x

x

是函数()f x 的一个原函数,求3()x f x dx '⎰.

六、(本题满分8分)

某养殖场养两种鱼,若甲种鱼放养x (万尾),乙种鱼放养y (万尾),收获时两种鱼的收获量分别为(3)x y x αβ--和(42)x y y βα-- (0)αβ>>,求使产鱼总量最大的放养数.

七、(本题满分8分)

已知曲线(0)y x a =>与曲线ln y x =00(,)x y 处有公共切线,求:

(1) 常数a 及切点00(,)x y ；

(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S .

八、(本题满分7分)

设函数()f x 有导数,且10(0)0,()()x

n n n

f F x t f x t dt -==-⎰.证明：

20

()1

lim

(0)2n

x F x f x n

→'=.

九、(本题满分8分)

设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系.证明122331

,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.

十、(本题满分8分)

设0011100A x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.

十一、(本题满分7分)

假设随机变量X 的概率密度为

2,01,

()0,

x x f x <<⎧=⎨

⎩其他. 现在对X 进行n 次独立重复观测,以n V 表示观测值不大于0.1的次数.试求随机变量n V 的概率分布.

十二、(本题满分8分)

假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:

1,10,20,1012,5,12.X T X X -<⎧⎪

=≤≤⎨⎪->⎩

问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】ln 3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0,当被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以有

原式2

222

2220022222x x x dx dx dx x x x -=+=+++⎰⎰⎰ 2

22

1

2dx x

=

+⎰

22

ln (2)ln 6ln 2ln 3.x =+=-=

(2)【答案】1

【解析】由此题极限的形式可构造导数的定义的形式,从而求得极限值.由于

000(2)()

lim

x f x x f x x x

→---

00000(2)()()()

lim

x f x x f x f x x f x x

→----+= 00000000(2)()()()

(2)lim lim 2()() 1.

2x x f x x f x f x x f x f x f x x x →→----''=-+=-+=--所以 原式0

001

lim

1(2)()1

x x f x x f x x →===---.

【相关知识点】导数的定义：0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆.

(3)【答案】sin 2xy xy

ye x

y xe y

+'=-+ 【解析】将方程2

cos xy

e y x +=看成关于x 的恒等式,即y 看作x 的函数. 两边对x 求导,得

sin ()2sin 2xy xy

xy

ye x

e y xy yy x y xe y

+'''++=-⇒=-+. 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：

[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=

⋅+⋅.