经典薛定谔方程

2 2 i t 2 m x 2



奥地利人 Erwin Schrodinger 1887-1961 创立量子力学
2y 1 2y 2 2 x u t 2
6
一维自由粒子的薛定谔方程： 同样推广到三维
2 2 i t 2 m x 2
p 一个动能为E和动量为 p ，即波矢为k 的自由粒子，在坐标表象的波函数：
Et p r k ( r , t ) 0 e xp( i )
显然，波函数对时间求导，可得出
k ( r , t ) i E k ( r , t ) t
ˆ ˆ ˆ [ x, px ] xpx px x i
[ y, p y ] i ˆ [ z , pz ] i
i px x
ˆ [ x, p y ] [ x, pz ] 0
ˆ ˆ [ y, pz ] [ y, px ] 0
ˆ ˆ [ z , p y ] [ z , px ] 0
提纲
§4 薛定谔方程 自由粒子的 薛定谔方程 §3 力学量用算符表达和本征方程
力学量算符
本征值和本征函数 力学量算符的平均值 例题：动量算符的本征值方程
作业：2-3 (2)、(3)、(4)
1
1925年薛定谔在介绍德布罗意波的报告后,
德拜指出：“对于波，应该有一个波动方程。” 几周后薛定谔找到（提出）了波函数满足的 微分方程 — 薛定谔方程，从而建立了描述 微观粒子运动规律的学科 —量子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程，同牛顿 定律一样，它是不能够由其它基本原理推导出来 的，它最初只是一个假定，后来通过实验检验了 它的正确性，薛定谔因此获得了1933年的诺贝尔 物理奖。
2
§4 薛定谔方程
§3、§4将简单介绍量子体系的运动状态如何用 波函数来描述；力学量如何用力学量算符来描述。
建立薛定谔方程的主要依据和思路： * 要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足 德布罗意关系式 质量为m，动量为P的粒子：
* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E， *若
是方程的解，则 也是它的解； 若波函数 与 是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。
利用上述对应关系可得出
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力学量用算符表达 经验告诉我们，与经典力学量对应的量子力学 中的算符形式
ˆ r r
ˆ p p i
第一类:以坐标为函数的力学量，其量 子力学所对应的算符形式不变。 如势能 U (r ) 和作用力 f (r ) 。 另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学 所对应的算符可用与动量的对应关系得出，例如 动能算符的表达式： 2 2 2 2 2 ˆ 2 ( ), T 2m 2m x 2 y 2 z 2
k ( r , t ) i pz k ( r , t ); z
p2 k (r , t ) y 2 k (r , t ) y 2
2
2 pz 2 k ( r , t ) 2 k (r , t ) z 2
2 2 2 p2 ( 2 ) k 2 k 2 2 x y z
*
因此，波函数应遵从线性方程。 自由粒子的外势场应为零。
3
自由粒子的波函数 一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布 罗意波具有频率和波长： E h h p 或者用角频率和波矢量表示： p k 单色平面波的实数形式
单色平面波的复数形式为：
称它为在坐标表象中动量为 p
p2 则得： 2 k (r , t ) 2 k (r , t )
考虑自由粒子的能量
p2 E 2m
2 2 k (r , t ) E k (r , t ) 2m
又因为
k (r , t ) 2 2 得出：i k (r , t ) t 2m
8
The upside-down capital delta symbol also called "nabla" used to denote the gradient and other vector derivatives (From Wolfram MathWorld)
9
定义算符：
2 2 2 2 2 2 2 x y z
14
角动量算符的模方定义为：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L2 L L L2 L2 L2 , x y z
x r sin cos , y r sin sin ,
z r cos ,
z cos , r
y tan , x
z
球坐标


y
代入
ˆ ˆ ˆ ˆ L r p ir ,
自由粒子的 薛定谔方程
许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。 所以，可不写角码k。 10
前面从Baidu Nhomakorabea典自由粒子 的波函数得出了它应 满足的方程，从中可 得到些启示
该方程是一个线性方程，所以叠加原理成立。 它是时间的一阶微分方程，因此其解（几率幅）将作因果变化， 即t = 0 的值唯一地决定随后任何时刻的值。
ˆ2 , L ] 0 [L ˆ z
ˆ ˆ ˆ [ Lx , Ly ] iLz ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
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力学量算符的平均值 力学量算符的本征值方程 体系的任一状态可用守恒量的完全集合展开
力学量 在该态中的平均值：
利用正交 归一性
测量 到An 的几率
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结论 力学量 在某态
中的测量平均值：
例一：位置 的平均值
是粒子在 处出现的几率。
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例二：势能U(r) 的平均值
例三：动量算符
的平均值
下面以动量本征方程、本征函数为例说明
22
例四：动量算符的本征值方程是
式中 是动量算符的本征值，在直角坐标系下 为 p x、p y、p z均为实数。动量本征值方程的解 在坐标表象中：
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角动量算符的表达式
ˆ ˆ ˆ ˆ L r p ir ,
ˆ yp zp i( y z ) ˆz ˆy Lx z y
ˆ zp xp i( z x ) ˆx ˆz Ly x z
ˆ xp yp i( x y ) ˆy ˆx Lz y x
2 p2 2 2 x 2 2 p2 2 2m x 2m
5
2 2 p2 i (E ) 2 t 2m x 2m
为自由粒子的质量，因为势能为零，所以 所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程： 经动 典力 波学 动方 的程
x
角动量的投影算符
ˆ L2 2 2 z ˆ 得出L (s i n ) si n si n2
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本征值和本征函数
ˆ 当力学量算符 A作用在波函数 上，其结果是 同一个函数乘以一个常量时：
ˆ 称上式为算符 A 的本征值方程。
是力学量A 取确定值 时的本征态
i E t
i i E t p x x
动量 算符
动能 算符
i px x
i p
2
i p
ˆ ˆ ˆ 定 义 i j k x y z
ˆ T 2 2m
2 2 ( r , t ) E ( r , t ) 2m ( r , t ) 2 2 i (r , t ) t 2m
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波函数对空间求导可得出：
k ( r , t ) i p x k ( r , t ); x
2 k (r , t ) px 2 k (r , t ) 2 x
2
k ( r , t ) i p y k ( r , t ); y
在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，不一定有确定值 （因为不确定关系）。若其中某个力学量有确定的测量值，则该 波函数所描述的状态是该力学量的本征态。 量子体系的运动状态由波函数来描述, 力学量用力学量算符来描述。 下面简单介绍量子力学算符和经典力学中的力学量的对应关系
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§3 力学量用算符表达和本征方程 力学量算符 从上面推导可知有如下对应关系
它就是 的单色平面波，在量子力 学中，平面波代表粒子有确定的动量、在 空间各处出现的几率相同的状态。
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因此，任一态
可用动量本征函数系展开
展开系数
给出在该态中测量到动量为
的几率
是任意态
在动量表象中的表述
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书P338（ 2.7 ）式 上两式称为傅里叶变换
在动量表象中动量算符的平均值
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的本征态。
4
自由粒子的 薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为P 的自由粒子 的波函数
时间偏导
位置偏导
( x, t ) i E ( x, t ) t ( x, t ) i E ( x, t ) t
i p x
二阶偏导
2 2 p2 i (E ) 2 t 2m x 2m
是力学量A的一个本征值。
由本征值方程解出的全部本征值 就是相应力学量的可能取值。
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ˆ 如能量算符 H的本征值方程
ˆ 如角动量平方算符 L2的本征值方程
ˆ 如角动量沿z 方向的分量算符 Lz 的本征值方程
ˆ 2的本征值方程 如自旋角动量算符 S
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如果属于本征值 的本征态不是一个，而是 个，即力学量A的本征方程为：
则称本征值
是
重简并的。称 为简并度
简并态的选择不是唯一的
矩阵代数中的厄米矩阵 矩阵代数中的本征矢 物理量算符 微观粒子的定态 与定态对应的 物理量的确定值
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矩阵代数中的本征值
通常一个力学量 的本征值是简并的,这时必定存 在独立于 ,而又与它对易的其它力学量 。 力学量算符的对易关系
ˆ [ x, px ] i