函数一致连续性研究

学号: 0901114208 函数一致连续性的研究

学院名称：数学与信息科学学院

专业名称：数学与应用数学

年级班别： 2009级(1)班

姓名：贾珊

指导教师：杨长森

2013年4月

函数一致连续性的研究

摘要函数在区间上的一致连续性是数学分析课程中的重要理论之一,一致连续性刻画了函数在区间上的整体性质.准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.本文从以下几个方面对函数的一致连续性进行研究:由函数的连续性引入一致连续性概念,总结了一致连续的3个否定说法;讨论并证明了函数连续与一致连续的关系;用四种方法证明了有界闭区间上一致连续性定理,即Canto定理;概括总结了3种证明函数一致连续的方法;用连续数模描述函数一致连续性并得出函数一致连续的观察法;最后讨论了一致连续的延拓问题.

关键词一致连续;否定说法; Canto定理;连续数模;延拓问题

前言

函数在区间上的一致连续性问题是数学分析中的典型问题之一,是函数在区间上逐点连续的加强,一致连续性刻画的是函数在区间上的一种整体形态;一致连续性的研究不仅可以加深我们对函数在区间上连续性的认识,而且可以培养我们从微观和宏观相结合的角度观察问题,发现问题,从而提高探究问题的能力[1];同时,函数的一致连续性是闭区间上连续函数黎曼可积的基础,而且与随后的参数积分,函数项积分等有着密切的关系.

因此准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.

一、一致连续性概念引入

为了清楚的引出函数的一致连续概念,我们首先指出,函数f 在区间I 的连续概念可直接用-εδ“”语言叙述如下:设函数f 在区间I 上有定义,对

()()0,0,(,),I x I f x f αααεδαδαε∀∈∀>∃>∈-< ，当时，有则称f

在区间I 上连续[]2

.

在这个定义中,对于给定的0,ε>αδ是与点α有关的,点α不同所对应的α

δ也可能不同.于是自然来考虑:对于I 中的所有点,是否存在一个公共适用的δ?事实上,对于不同的函数(包括函数的定义域不同)都可能有不同的情况的回答.

例1.1 (1)在区间(0,1)上研究函数() 2.f x x =; (2)在区间(0,1)上研究函数()1g x x

=

; (3)对任意一个固定的0a >,在(),a +∞上研究函数()1g x x

=. 解:(1)对于()001εα>∀∈及，, 由于

()()()222,

f x f x x x x ααααα-=-=+-<-

所以要使()()f x f αε-<,只需取1

2

δε=.则()0,1α∀∈,只要()(),0,1x αδ∈ ,

便有()()22f x f x ααδε-<-<=. (2)对于()001εα>∀∈及，，由于

()()111

,g x g x x x

αααα-=

-=- 无论取()0,1δ∈多么小,对于点12x αδδ==及,虽然满足1

2

x αδδ-=<,但却有

()()11111g x g x x x ααααδ

-=

-=-=>, 这就是说,对于()1

g x x

=

,在区间(0,1)上,公共的δ是不存在的. (3)对于()0,a εα>∀∈+∞及,由于

()()21111g x g x x x x a

ααααα-=

-=-<-， 所以要使()()g x g αε-<,只需取2a δε=.则对(),a α∀∈+∞,只要

()(),,x a αδ∈+∞ ，便有

()()2

22

11g x g x a a a ααεε-<

-<=. 针对如上情况,容易形成如下的概念:设函数f 在区间I 上有定义,如果

0,0,εδ∀>∃>使得对I α∀∈,只要(),,x a I δ∈ 便有()()f x f αε-<,则称函

数f 在区间I 上一致连续[2].

在上述说法中的α与x 实际上处在同等任意的地位,于是就可以得到如下函数一致连续性的定义.

二、一致连续性的定义

2.1 函数一致连续性的定义

定义1[2] 设函数f 在区间I 上有定义,如果0,0,εδ∀>∃>使当12,x x I ∈,

12x x δ-<时,便有()()12f x f x ε-<,则称函数f 在区间I 上一致连续.

定义2[3] 设函数f 在区间I 上有定义,如果极限()()1212120,lim

0x x x x I

f x f x -→∈-=，

则称()f x 在区间I 上一致连续.

例2.1证明正弦函数在R 上一致连续. 证明：120,,x x R ε∀>∈由于,有

1212121212sin sin 2cos

sin 2222

x x x x x x

x x x x +---=≤=-, 于是可取12,x x δεδ≤-<当时,便有1212sin sin x x x x δε-≤-<≤,所以sinx 在R 上一致连续.

2.2函数一致连续的否定说法

设函数()f x 在区间I 上有定义,如果存在00,ε>使得对任何0,δ>都存在

1212,,x x I x x δ∈-<,使得()()120f x f x ε-≥,则称函数()f x 在区间I 上不一致连续[4].

例2.2.1 试证函数()1

sin f x x

=在区间(]0,1上不一致连续. 证明:取012ε=,不论0δ>怎样小,我们取自然数01n δ>,于是对点1012x n π

=及20122

x n π

π=

+

,它们满足

120000000

11112222422222x x n n n n n n n π

π

δπππππππ-=

-=<=<<⎛

⎫++ ⎪⎝

⎭,

但是有()()120001sin 2sin 2122f x f x n n πππε⎛

⎫-=-+=>= ⎪⎝

⎭.所以f 在(]0,1上不

一致连续.