浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年九年级上期末数学试题含答案
浙江省慈溪市2020届九年级上学期期末考试数学试题
0.45慈溪市 2019 学年度第一学期九年级数学期末考试试题卷温馨提示：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应.3.考试期间不能使用计算器.一、选择题（每题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是（▲） A ．轴对称 B ．平移 C ．绕某点旋转 D ．先平移再轴对称（第 1 题） （第 2 题）2．如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为（ ▲ ） A ．28° B ．32° C ．42° D ．52° 3．下列事件中是随机事件的是（ ▲ ） A ．校运会上立定跳远成绩为 10 米 B ．在只装有 5 个红球的袋中，摸出一个红球C ．慈溪市明年五一节是晴天D ．在标准大气压下，气温3 C 时，冰熔化为水4．如图，⊙O 中，点 D ，A 分别在劣弧 BC 和优弧 BC 上，∠BDC =130 ，则∠BOC =（ ▲ ）A ．120B ．110C ．105D ．100A（第 4 题） （第 6 题）5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB =5，AC =3，则下列等式正确的是（ ▲ ）A ． s in A =3 5B ． c os A =3 5C ． t an A =3 5D ． c os A =4 56．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断： ①当抛掷次数是100 时，计算机记录“正面向上的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率一定是 0.45． 其中合理的是（ ▲ ）DBCO2 A ．① B ．② C ．①② D ．①③7．下列命题是真命题的是（ ▲ ）A ．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等D ．三角形外心是三条角平分线的交点8.在平面直角坐标系中，把抛物线 y = 2x 2 绕原点旋转180 ，再向右平移 1 个单位，向下平移2 个单位，所得的抛物线的函数表达式为（▲ ）A ．y = 2(x -1)2- 2 B ．y = 2(x +1)2- 2 C ．y = -2(x -1)2- 2 D ．y = -2(x +1)2- 29.如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为 B C ，AB ，AC 上的点，且 E F ∥BC ，FD ∥AB ，则下列各式正确的是（ ▲ ）10. 如图，把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示．已知 EF =CD =4 cm ，则球的半径长是（ ▲ ） A ．2 cmB ．2.5 cmC ．3 cmD ．4 cm11．已知，当-1 ≤ x ≤ 2 时，二次函数 y = m (x -1)2- 5m +1（ m ≠ 0 ，m 为常数）有最小值 6，则m 的值为（ ▲ ） A ． -5B ． -1C ． -1.25D ．112. 如图，已知，M ，N 分别为锐角∠AOB 的边 OA ，OB 上的点，ON =6，把△ OMN 沿 MN 折叠，点 O 落在点 C 处，MC 与 O B 交于点 P ，若 M N =MP =5，则 P N =（ ▲ ）A ．2B ．3C ．83D ．10 3二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式▲ ．14．两个相似三角形的周长之比为 2：3，则它们的面积比为▲．15.已知，⊙O 的半径为 6，若它的内接正n 边形的边长为6 ，则n =▲．E FP3- tan 60 16.如图，某营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31°，AB 的长为 12 米，则大厅两层之间的高度 BC 为 ▲ 米．（参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601）y（第 16 题）（第 17 题） O A 1A 2 A 3A 4 x （第 18 题）17.如图，⊙O 过正方形网格中的格点 A ，B ，C ，D ，点 E 也为格点，连结 BE 交⊙O 于点 F ，P 为CD 上的任一点，则tan P = ▲．18．若二次函数的图象与 x 轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T 1 ，T 2 ，T 3 ，……是标准抛物线，且顶点都在直线 y =3x 上，T 1 与 x 轴交于点 A 1 （2，0）， A 2 （ A 2 在 A 1 右侧），T 2 与 x 轴交于点 A 2 ， A 3 ， T 3 与 x 轴交于点 A 3 ， A 4 ，……，则抛物线T n 的函数表达式为▲．三、解答题（第 19、20 题各 7 分，第 21 题 8 分，第 22~24 题每题 10 分，第 25 题 12 分， 第 26 题 14 分，共 78 分） 19.解下列两题：（1）已知 a b =3，求 42a + 3b a 的值；（2）已知α 为锐角，且2 3 sin α = 4cos30，求α 的度数.20.如图，转盘 A 中的 4 个扇形的面积相等，转盘 B 中的 3 个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘 A 、B 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的 2 个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由（用树状图或列表说明）. （说明：若箭头落在扇形的边界处，则重新转动转盘）（第 20 题）CCyA O Bx21.如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点. △ABC 是格点三角形 （顶点是格点的三角形）（1）若每个小矩形的较短边长为 1，则B C = ▲ ； （2）①在图 1、图 2 中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC 相似（但不全等），且图 1，2 中所画三角形也不全等）. ②在图 3 中只用直尺（没有刻度）画出△ABC 的重心 M .（保留痕迹，点 M 用黑点表示，并注上字母 M ）B BAA（第 21 题）（图 1）（图 2） （图 3）22. 如图，二次函数 y = ax 2+ bx + c 过点 A （ -1，0），B （3，0）和点 C （4，5）. （1）求该二次函数的表达式及最小值. （2）点 P （ m ， n ）是该二次函数图象上一点. ① 当m = -4 时，求n 的值； ② 已知点 P 到 y 轴的距离不大于 4，请根据图象直接写出n 的取值范围.（第 22 题）23．如图 1，是一种自卸货车．如图 2 是货箱的示意图，货箱是一个底边 AB 水平的矩形， AB =8 米，BC =2 米，前端档板高 DE =0.5 米，底边 AB 离地面的距离为 1.3 米．卸货时， 货箱底边 A B 的仰角α = 37（如图 3），求此时档板最高点 E 离地面的高度.（精确到 0.1米，参考值： sin 37 ≈ 0.60 ， c os37 ≈ 0.80 ， t an 37ED≈ 0.75）C（图 1）AB（图 2） （第 23 题）（图 3）< α < 90 24. 某商品市场销售抢手，其进价为每件 80 元，售价为每件 130 元，每个月可卖出 500 件； 据市场调查，若每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 2 件（每件售价不能高于 240 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元．（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为 40000 元？根据以上结论，请你直接写出 x 在什么范围时，每个月的利润不低于 40000 元？25. 定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形. （1）判断下列命题是真命题，还是假命题？ ①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60 的菱形是自相似菱形.③如图 1，若菱形 ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α （ 0 ）， E 为 B C 中点，则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED .（2）如图 2，菱形 ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为 4，E 为 BC 中点.①求 A E ，DE 的长；②AC ，BD 交于点 O ，求 t an ∠DBC 的值.（图 1）（第 25 题）（图 2）EDC FC EDFA O B26.如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆弧上一点，在AC 上取一点D，使BC=CD，连结BD 并延长交⊙O 于E，连结AE，OE 交AC 于F.（1）求证：△AED 是等腰直角三角形；（2）如图 1，已知⊙O 的半径为5 .①求CE 的长；②若D 为EB 中点，求BC 的长.（3）如图 2，若AF:FD= 7 : 3 ，且BC=4，求⊙O 的半径.A O（图1）B（第26 题）（图2）。
2020-2021学年浙教版浙江省宁波市慈溪市九年级上数学期末考试模拟卷(无答案)
2020-2021学年浙教版浙江省宁波市北仑区九上数学期末考试模拟卷一．选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1. 二次函数y＝2（x﹣2）2+3图象的顶点坐标是（）A.(2，-3)B.(2，3)C.(3，2)D.(3，-2)2. 将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（）A．B．C．D．3. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么BC的长等于（）A．2 B．4 C．4.8 D．7.24. ⊙O的半径为2，点P是⊙O所在平面内的一点，且OP＝3，则点P与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．以上都不对5. 如图，正六边形的半径是a，则正六边形最长的对角线与最短的对角线之比是（）A．4：B．3：4 C．2：D．：16. 二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，0）和C（﹣2，﹣2），则下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是直线7. 在平面直角坐标系中有两点A（-2，4）、B（2，4），若二次函数y=ax2-2ax-3a（a≠0）的图象与线段AB只有一个交点，则（）A. a的值可以是−43B. a的值可以是35C. a的值不可能是−1.2D. a的值不可能是18. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠CDB＝28°，则∠AOC＝（）A．56°B．118°C．124°D．152°9. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（）A. 12B. 14C. √2−1D. 3−2√210.如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2＋BE2的最大值是( )A.4B.5C.6D.4＋ 2二.填空题：（每题3分，共18分）11. 如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝°．12. 在半径为1的⊙O中，两条弦AB、AC的长分别为，，则由两条弦AB与AC所夹的锐角的度数为．13. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：成活的频率由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为．（精确到0.1）14. 某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．15.如图，在⊙O内有折线DABC，点B，C在⊙O上，DA过圆心O，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC＝．16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为_____________.三.解答题（8个小题，共62分）17.（6分）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1．△ABC是格点三角形（原点在方格顶点处）（1）在图2画格点△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC相似，相似比为2：1（2）在图3画格点△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似，面积比为2：118.（6分）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．（1）小红的爸爸被分到B组的概率是；（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）19.（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若＝，求的值．20.（8分）已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，（1）求证：＝；（2）求证：AM＝DM．21.（8分）在创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是；（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．22.（8分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中阴影部分的面积．23.（10分）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：销售量n（件）n＝60﹣x销售单价m（元/件）当1≤x≤20时，m＝20+x当21≤x≤30时，m＝10+（1）第天该商品单价为25元/件？（2）求销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？24.（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求出点B和点C的坐标．（2）求此抛物线的函数解析式．（3）在抛物线x轴上方存在一点P（不与点C重合），使S△PAB＝S△CAB，请求出点P的坐标．。
2020-2021学年浙教版九年级数学第一学期期末测试卷及答案
2020-2021学年浙教版九年级数学第一学期期末测试卷班级___________ 姓名____________ 得分____________一、选择题（每题3分，共30分）1.抛物线y = - 1 2 x 2 + 1的顶点坐标是（ ）A .（0，1）B .（ 1 2 ，1）C .（ - 1 2 ， - 1）D .（2， - 1）2.已知在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 4，AC = 1，则∠B 的余弦值为（ ）A .415B .41C .1515 D.17174 3.下列选项中，不是如图所示的几何体的三视图之一的为（ ）4.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C = 16°，则∠BOC 的度数为（ ）A .74°B .48°C .32°D .16°5.如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且∠AED = ∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE 和△BDF 相似的是（ ）A .BF ED BD EA =B .BD ED BF EA =C .BF AE BD AD = D .BCBA BF BD = 6.如图所示，直线PB 切⊙O 于点B ，PO 交⊙O 于点C ，若PB = 23，PC = 2，则∠BAC 的度数为（ ）A .20°B .30°C .40°D .60°7.已知二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则下列代数式:ab ，ac ，a + b + c ，a - b + c ，2a + b ，2a - b 中，值为正数的式子有（ ）A .2个B .3个C .4个D .5个8.如图所示，线段AB ，CD 相交于点E ，AD ∥EF ∥BC ，若AE :EB = 1:3，则S △ADE :S △DEF 于等于（ ）A .2B .23C .45D .349.如图所示，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD = 45°，将△CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则CD OC 的值为（ ） A .21 B .31 C .22 D .33 10.已知关于x 的二次函数y = （2sina ）x 2 - （4sina + 1 2 ）x - sina + 1 2 ，其中a 为锐角，有下列结论:①当a 为30°时，函数有最小值 - 25 16 ；②函数图象与坐标轴必有三个交点；③当a < 60°时，函数在x > 1时，y 随x 的增大而增大；④无论锐角a 怎么变化，函数图象必过定点.其中正确的有（ ）A .①③④B .①④C .②③D .①②④二、填空题（每题4分，共24分）11.已知线段a = 2，b = 4，则线段a ，b 的比例中项为 _________ .12.袋中装有6个黑球和n 个白球（球除颜色外，其余均相同），经过若干次试验，发现“若从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为 3 4 ”，则这个袋中白球大约有 _________ 个.13.如图所示，在△ABC 中，∠A = 60°，⊙O 为△ABC 的外接圆.如果BC = 23，那么⊙O 的半径为 _________ .14.中，点E 为AB 边的中点，点F 在直线AD 上，且AF = 3DF ，连结EF ，与对角线AC 相交于点M ，则ME :MF 的值为 _________ .15.二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则 b a 的值是 _________ ， c a 的取值范围是_________ .16.如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 8，AC = 6，以点C为圆心、4为半径的圆上有一动点D，连结AD，BD，CD，则 12 BD + AD的最小值是 _________ .三、解答题（共66分）17.（6分）如图所示，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD= ∠ABC，若AC= 3，AD=1，求DB的长.18.（8分）在学习圆与正多边形时，小露、小骏两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:①如图所示，作直径AD；②作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；③连结AB，AC，BC，那么△ABC为所求的三角形.（1）请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC.（2）请你判断两位同学的作法是否正确.如果正确，证明△ABC是正三角形；如果不正确，请说明理由.19.（8分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数- 1，- 2，- 3，- 4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先由小强从盒子里随机取出一个小球，记下数为x，放回盒子中摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数为y.（1）用树状图或列表法表示出（x，y）的所有可能出现的结果.（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x ，y ）落在一次函数y = x - 1图象上的概率.20.（10分）如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为点E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE ，连结OC .（1）求证:DE 是⊙O 的切线.（2）若⊙O 的半径为4，∠D = 30°，求图中阴影部分的面积.（结果用含π和根号的式子表示）21.（10分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，横坐标x 表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分），纵坐标y 表示到达科技馆的总人数（人），图中曲线对应的函数表达式为y= ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤),9030()90(),300(22x n x b x ax 10:00之后来的游客较少可忽略不计. （1）请写出图中曲线对应的函数表达式.（2）为了保证科技馆内游客的游玩质量，规定馆内人数不超过684人，后来的人需在馆外休息区等待.从10:30开始至12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.馆外游客最多等待多少分钟?22.（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，AB = 4，AD = 2，点P 是边AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），点Q 在边AD 上，将△CBP 和△QAP 分别沿PC ，PQ 折叠，使点B 与点E 重合，点A 与点F 重合，且P ，E ，F 三点共线.（1）若点E 平分线段PF ，求此时AQ 的长.（2）若线段CE 与线段QF 所在的平行直线之间的距离为2，求此时AP 的长.（3）在“线段CE ”“线段QF ”“点A ”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说明理由.23.（12分）已知抛物线y = 3ax 2 + 2bx + c （a ≠0）.（1）若a = b = 1，c = - 1，求该抛物线与x 轴的交点坐标.（2）若a = 31，c - b = 2，且抛物线在 - 2≤x ≤2时的最小值是 - 3，求b 的值. （3）若a + b + c = 1，是否存在实数x ，使得y = 1，请说明理由.答案1、三人行，必有我师。
2020-2021宁波市九年级数学上期末试卷(带答案)
2020-2021宁波市九年级数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )A ．MB ．PC ．QD ．R2．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m ，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为xm ，下面所列方程正确的是( )A ．x(x-20)=300B ．x(x+20)=300C ．60(x+20)=300D ．60(x-20)=3003．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞44．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59B ．49C ．56D ．135．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π- B ．8433π- C ．8233π- D ．843π- 7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根 8．若a 是方程22x x 30--=的一个解，则26a 3a -的值为( ) A ．3B ．3-C ．9D ．9-9．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A ．确定事件 B ．必然事件 C ．不可能事件 D ．不确定事件 10．下列判断中正确的是（ ） A ．长度相等的弧是等弧B ．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C ．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D ．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦11．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b ；④2a+b=0；⑤∆=b 2-4ac<0中，成立的式子有( )A ．②④⑤B ．②③⑤C ．①②④D ．①③④12．关于y=2（x ﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）A ．顶点坐标为（﹣3，2）B ．对称轴为直线y=3C ．当x≥3时，y 随x 增大而增大D ．当x≥3时，y 随x 增大而减小二、填空题13．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．14．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为______．15．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____． 16．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．17．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.18．已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：_____．19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为_______．20．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行_____米才能停下来．三、解答题21．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt∆ABC和Rt∆BED的边长，已知2ax cx b二次方++=AE c，这时我们把关于x的形如220=程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”220ax cx b，必有实数根；+=(3)若x=-1是“勾系一元二次方程” 220ax cx b的一个根，且四边形ACDE的++=周长是2，求∆ABC的面积．22．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？23．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．24．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O 相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接P A，PB，PC，且满足∠PCA ＝∠ABC（1）求证：P A＝PC；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若BC＝8，32ABDF，求DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．A解析：A【解析】【分析】设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m2”建立方程即可．【详解】设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得x（x-20）=300，故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．3．D解析：D【解析】【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．4．B解析：B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49．【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．5．D解析：D【解析】【分析】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．6．C解析：C 【解析】 【分析】连接OD ，根据勾股定理求出CD ，根据直角三角形的性质求出∠AOD ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】 解：连接OD ， 在Rt △OCD 中，OC ＝12OD ＝2， ∴∠ODC ＝30°，CD ＝2223OD OC += ∴∠COD ＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=2336023π⨯-⨯⨯π- ， 故选：C ．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．7．C解析：C 【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2ba-=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误； ∵对称轴x=2ba-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确； ∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2ba-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．8．C解析：C 【解析】由题意得：2a 2-a-3=0，所以2a 2-a=3，所以6a 2-3a=3(2a 2-a)=3×3=9， 故选C.9．D解析：D 【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件， 故选D ． 考点：随机事件．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据等弧概念对A 进行判断,根据垂径定理对B 、C 、D 选项进行逐一判断即可． 本题解析. 【详解】A.能够互相重合的弧,叫等弧,不但长度相等而且半径相等.故本选项错误.B. 由垂径定理可知平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的两条弧，而不是直线,也未注明被平分的弦不是直径，故选项B 错误；C. 由垂径定理可知弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧，故选项C 正确D.由垂径定理可知平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦,而不是直线.故本选项错误. 故选C.11．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可.【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故②错误，∵x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，∴a+c＞b，故③正确，∵对称轴x=1，∴-b2a=1，∴2a+b=0，故④正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故⑤错误，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12．C解析：C【解析】∵ y=2（x﹣3）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x=3，∴当3x 时，y随x的增大而增大.∴选项A、B、D中的说法都是错误的，只有选项C中的说法是正确的.故选C.二、填空题13．6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0解得a＝4∴原方程化为x2－4x－12＝0∵x1＋（－2）＝4∴x1＝6故答案为6点睛：本题考查了一元二解析：6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1，把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0，解得a＝4，∴原方程化为x2－4x－12＝0，∵x1＋（－2）＝4，∴x1＝6．故答案为6．点睛：本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋ x2＝ba，x1·x2＝ca．也考查了一元二次方程的解．14．4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE即可求解【详解】令y＝0则：x＝±1令x＝0则y＝2则：OB＝1BD＝2OB＝2S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝解析：4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．故：答案为4．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．15．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长解析：12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 16．【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过ABC三点的外接圆从而得出答案如图分别作ABBC的中垂线两直线的交点为O以O为圆心OA为半径作圆则⊙O即为过ABC三点的外接圆由图可知⊙O还经过点DEFGH这5解析：【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为5．考点：圆的有关性质.17．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点EME与抛物线交于点P′由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值即可得出当点P运动到点P′时△PMF周长取最小值【详解】解解析：5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.18．4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0再由开口的大小由a的绝对值决定可求得a的取值范围【详解】解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上∴a＞0又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小∴|a|＞3解析：4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0，再由开口的大小由a的绝对值决定，可求得a的取值范围．【详解】解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，∴a＞0，又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，∴|a|＞3，∴a＞3，取a＝4即符合题意【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解题的关键，即|a|越大，抛物线开口越小．19．(-101010102)【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标求得直线A1A2为y=x+2联立方程求得A2的坐标即可求得A3的坐标同理求得A4的坐标即可求得A5的坐标根据坐标的变化找出变解析：(-1010,10102)【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．【详解】∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y=x，A1（-1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y=x+2，解22y x y x +⎧⎨⎩＝＝得11xy-⎧⎨⎩＝＝或24xy⎧⎨⎩＝＝，∴A2（2，4），∴A3（-2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y=x+6，解26y x y x +⎧⎨⎩＝＝得24xy-⎧⎨⎩＝＝或39xy⎧⎨⎩＝＝，∴A4（3，9），∴A5（-3，9）…，∴A2019（-1010，10102），故答案为（-1010，10102）．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．20．600【解析】【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得【详解】∵s＝60t﹣15t2＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600∴当t＝20时s取得最大值600即飞机着陆后滑行600米才能解析：600【解析】【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．【详解】∵s＝60t﹣1.5t2，＝﹣32t2+60t，＝﹣32（t﹣20）2+600，∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600．【点睛】此题考查二次函数解析式的配方法，利用配方法将函数解析式化为顶点式由此得到函数的最值是一种很重要的解题方法.三、解答题21．（1）2340x++=(答案不唯一)（2）见解析（3）1.【解析】【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）根据根的判别式即可求解；（3）根据方程的解代入求出a,b,c 的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.【详解】（1）当a=3,b=4,c=5时，勾系一元二次方程为2340x ++=；（2）依题意得△=）2-4ab=2c 2-4ab,∵a 2+b 2=c 2,∴2c 2-4ab=2（a 2+b 2）-4ab=2（a-b ）2≥0，即△≥0，故方程必有实数根；（3）把x=-1代入得c∵四边形 ACDE 的周长是，即，故得到c=2，∴a 2+b 2=4，∵(a+b)2= a 2+b 2+2ab∴ab=2,故∆ABC 的面积为12ab=1. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.22．（1）0.24R m =；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.【解析】【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得： 100307045k b k b+⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y=-2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．23．（1）（20+2x ），（40﹣x ）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【解析】【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．【详解】(1)、设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，故答案为（20+2x ），（40-x ）；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：121020x x ==，，即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000， 230x 6000x -+=，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．24．13【解析】【分析】分别用字母A ，B ，C 代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A ，B ，C 代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝8．【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出P A＝PC；（2）由PC＝P A得出∠P AC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠P AC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．【详解】（1）证明∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PD是AC的垂直平分线，∴P A＝PC，（2）证明：由（1）知：P A＝PC，∴∠P AC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠P AC＝90°，即AB⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，∴OD∥BC，OD＝12BC＝182＝4，∵32 ABDF，设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，∴DE＝3a﹣2a＝a，∴OD＝4＝32a﹣a，a＝8，∴DE＝8．【点睛】本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.。
2020-2021宁波市初三数学上期末模拟试题及答案
7．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A．正三角形B．矩形C．正八边形D．正六边形
8．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）
A． B． C． D．
9．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
25．如图7，某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆，设矩形的宽为 ，面积为 ．
（1）求 与 的函数关系式，并求自变量 的取值范围；
故选：A．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线 在二、四象限．
【详解】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，
解析：﹣ ≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
∵y＝3x2+2x＝3（x+ ）2﹣ ，
∴函数的对称轴为x＝﹣ ，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣ ，当x＝﹣1时，有最大值1，
2020-2021学年浙江省宁波市九年级(上)期末数学试卷-解析版
2020-2021学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.抛物线y=−(x−1)2+2的顶点坐标是()A. (1,2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)2.在同一时刻，身高1.8米的小强在阳光下的影长为0.9米，一棵大树的影长为4.6米，则树的高度为()A. 9.8米B. 9.2米C. 8.2米D. 2.3米3.如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为()A. 52°B. 56°C. 54°D. 76°4.下列事件中是必然事件的有()A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上B. 三角形内心到三边距离相等C. 测量宁波某天的最低气温，结果为−80℃D. 某个数的绝对值大于05.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A. tan70°<cos70°<sin70°B. cos70°<tan70°<sin70°C. sin70°<cos70°<tan70°D. cos70°<sin70°<tan70°6.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A. B.C. D.7.己知△ABC中，∠C=90。
，AC=3，BC=4，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙O内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是()A. 52<r<4 B. 52<r<3 C. 3<r<4 D. r>38.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2.以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的周长是()A. π2B. π4+2 C. π2+2 D. 1−π49.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，设PD=x，图中阴影部分面积S1+S2=y，在整个运动过程中，函数值y随x的变化而变化的情况是()A. 一直减小B. 一直增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小10.一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大两个三角形纸片按图2中①、②两种方式放置，设①中的阴影部分面积为S1；②中的阴影部分面积为S2，当S2=S1时，则矩形的两边之比为()A. 2B. √2C. 43D. √3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则tan A的值为______ ．12.小莉抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为______ ．13.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度______．14.已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…−101234…y…1052125…A(m−4,y1)，B(m+6,y2)两点都在该函数的图象上，若y1=y2，则m的值为______ ．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点Bx−6与x轴、y轴分别交于点D、是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34E，则△CDE面积的最小值为______ ．16.如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DEAB=2，∠GCH=60°，则线段EH长上的点，GF=13______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.计算：3tan30°+cos245°−2sin60°．四、解答题（本大题共7小题，共74.0分）18.在5×5的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．(1)在图1的方格中作出与△ABC相似的最小格点三角形；(2)在图2中把线段AC分成三条相等的线段AE=EF=FC，点E，F都在线AC上.(①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹)19.在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y=(x−1)2−1向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．(1)求新抛物线C2的表达式；(2)如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A(0,5)的对应点A′落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B′的距离．20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长AB=120mm，支撑板长CD=40√3mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(1)若∠DCB=90°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；(2)为了观看舒适，保持∠DCB=90°，在(1)的情况下，将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．21.在抗击新冠疫情期间，某校数学兴趣小组调查了某天上午10分钟内进入校门口的累积人数变化情况，结果如表：时间x(分钟0246810 )累计人数y(03606408409601000人)(1)请用适当的函数描述这10分钟内进入校门口人数的变化规律，写出y与x之间的函数解析式；(2)如果学生一进入校门口后就开始排队测体温，若有6个测温组，每个测温组每分钟测温20人，设第x分钟时的排队人数为w，问第几分钟时等候测温排队总人数最多，最多有几人？22.生活在数字时代的我们，很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格(如图②)，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．(1)用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数(图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同)；(2)图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为______ ；(3)某校需要给每位师生制作一张“校园同出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共506人，则n的最小值为______ ．23.已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC=α．(1)如图1，若α=60°；①直接写出DFAF的值为______ ；②当⊙O的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为______ ；(2)如图2.若α<60°，DFDC =23，DE=6，求DC的长．24.定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形．(1)已知∠A=120°，∠B=50°，∠C=α，请直接写出一个α的值______ ，使四边形ABCD为幸福四边形；(2)如图1，△ABC中，D、E分别是边AB，AC上的点，AE=DE.求证：四边形DBCE为幸福四边形；(3)在(2)的条件下，如图2，过D，E，C三点作⊙O，与边AB交于另一点F，与边BC交于点G，且BF=FC．①求证：EG是⊙O的直径；②连结FG，若AE=1，BG=7，∠BGF−∠B=45°，求EG的长和幸福四边形DBCE的周长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=−(x−1)2+2，∴该抛物线的顶点坐标为(1,2)，故选：A．根据抛物线y=−(x−1)2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】B【解析】解：设树高为x米，∵人的身高人的影长=树的高度树的影长，所以1.80.9=x4.6，解得：x=9.2．答：这棵树的高度为9.2米．故选：B．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．3.【答案】D【解析】解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°−∠MNB=90°−52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：D．先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．4.【答案】B【解析】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上，是随机事件；B、三角形内心到三边距离相等，是必然事件；C、测量宁波某天的最低气温，结果为−80℃，是不可能事件；D、某个数的绝对值大于0，是随机事件；故选：B．根据事件发生的可能性大小判断，得到答案．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5.【答案】D【解析】解：根据锐角三角函数的概念，知sin70°<1，cos70°<1，tan70°>1．又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°>cos70°=sin20°．故选D．首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；然后比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较．本题考查锐角三角函数的增减性，同时掌握正余弦转换的方法．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．7.【答案】C【解析】解：根据题意CA=3，CB=4，故选：C．点与圆心的距离d，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．以及直角三角形斜边中线的性质。
浙江省宁波市慈溪市2019-2020年九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是（）A．轴对称B．平移C．绕某点旋转D．先平移再轴对称2．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°3．下列事件中是随机事件的是（）A．校运会上立定跳远成绩为10米B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球C．慈溪市明年五一节是晴天D．在标准大气压下，气温3°C时，冰熔化为水4．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（）A．120°B．110°C．105°D．100°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③7．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等D．三角形外心是三条角平分线的交点8．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝2（x﹣1）2﹣2B．y＝2（x+1）2﹣2C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x+1）2﹣29．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm11．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（）A．﹣5B．﹣1C．﹣1.25D．112．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2B．3C．D．二．填空题（共6小题）13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式．14．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．15．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n＝．16．如图，某营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度BC为米．（参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601）17．如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为上的任一点，则tan P＝．18．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x 轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线T n的函数表达式为．三．解答题（共8小题）19．解下列两题：（1）已知＝，求的值；（2）已知α为锐角，且2sinα＝4cos30°﹣tan60°，求α的度数．20．如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？21．如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形（顶点是格点的三角形）（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC＝；（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC相似（但不全等），且图1，2中所画三角形也不全等）．②在图3中只用直尺（没有刻度）画出△ABC的重心M．（保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M）22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．（1）求该二次函数的表达式及最小值．（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．①当m＝﹣4时，求n的值；②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．23．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB＝8米，BC＝2米，前端档板高DE＝0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α＝37°（如图3），求此时档板最高点E离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）24．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？25．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．26．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是（）A．轴对称B．平移C．绕某点旋转D．先平移再轴对称【分析】根据平移变换、轴对称变换和旋转变换进行分析即可．【解答】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，故选：A．2．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°【分析】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．【解答】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．3．下列事件中是随机事件的是（）A．校运会上立定跳远成绩为10米B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球C．慈溪市明年五一节是晴天D．在标准大气压下，气温3°C时，冰熔化为水【分析】根据各个事件发生的可能性，逐个做出判断即可．【解答】解：“校运会上立定跳远成绩为10米”是不可能事件，因此选项A不符合题意；“在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球”是必然事件，因此选项B不符合题意；“慈溪市明年五一节是晴天”可能发生，也可能不发生，是随机事件，因此选项C符合题意；“在标准大气压下，气温3°C时，冰熔化为水”是必然事件，因此选项D不符合题意；故选：C．4．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（）A．120°B．110°C．105°D．100°【分析】根据圆内接四边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的关系定理，可求得答案．【解答】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形∴∠A+∠BDC＝180°∵∠BDC＝130°∴∠A＝50°∴∠BOC＝2∠A＝100°故选：D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【分析】直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．7．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等D．三角形外心是三条角平分线的交点【分析】直接利用圆的相关性质分析得出答案．【解答】解：A、在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，是真命题；B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；C、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，弦对着两个圆周角，故是假命题；D、三角形外心是三条边垂直平分线的交点，故是假命题；故选：A．8．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝2（x﹣1）2﹣2B．y＝2（x+1）2﹣2C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x+1）2﹣2【分析】直接利用旋转的性质得出新抛物线解析式为：y＝﹣2x2，再利用平移的性质得出答案．【解答】解：∵把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，∴新抛物线解析式为：y＝﹣2x2，∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位，∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：C．9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】证得四边形EBDF是平行四边形，得到BE＝DF，EF＝BD，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥BC得到＝，＝＝，则＝，可对以B、D进行判断；再由DF∥AB得＝，＝，则＝，于是可对A、C进行判断．【解答】解：∵EF∥BC，FD∥AB，∴四边形EBDF是平行四边形，∴BE＝DF，EF＝BD，∵EF∥BC，∴＝，＝＝，∴＝，故B错误，D正确；∵DF∥AB，∴＝，＝，∴＝，故A错误；∵＝，＝，故C错误；故选：D．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．11．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（）A．﹣5B．﹣1C．﹣1.25D．1【分析】根据当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，可知当x＝1时取得最小值，即﹣5m+1＝6，从而可以求得m的值．【解答】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，∴m＞0，当x＝1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1＝6，得m＝﹣1（舍去），m＜0时，当x＝﹣1时，取得最小值，即m（﹣1﹣1）2﹣5m+1＝6，得m＝﹣5，由上可得，m的值是﹣5，故选：A．12．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2B．3C．D．【分析】依据∠CPN＝∠CNM，∠C＝∠C，即可得到△CPN∽△CNM，再根据相似三角形的性质，即可得到CP＝4，进而得出PN的长．【解答】解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故选：D．二．填空题（共6小题）13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式y＝﹣2x2（答案不唯一）．【分析】直接利用二次函数顶点在原点得出一次项系数和常数项都为零，且开口向下则a ＜0，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：y＝﹣2x2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣2x2（答案不唯一）．14．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．15．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n＝4．【分析】直接利用正多边形的性质得出sin∠AOD＝＝，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为6，∴AD＝BD＝3，∴sin∠AOD＝＝，∴∠AOD＝45°，∴∠AOB＝90°，∴n＝＝4．故答案为：4．16．如图，某营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度BC为 6.18米．（参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin31°＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sin31°＝＝＝0.515则BC＝6.18（m）．故答案为：6.18．17．如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为上的任一点，则tan P＝2．【分析】连接DF，如图，根据圆周角定理得到∠P＝∠BDF，∠BFD＝90°，再证明∠P ＝∠BED，然后根据正切的定义得到tan∠BED＝2，从而得到tan∠P的值．【解答】解：连接DF，如图，则∠P＝∠BDF，∵BD为直径，∴∠BFD＝90°，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∠EBD+∠BED＝90°，∴∠BDF＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵tan∠BED＝＝2，∴tan∠P＝2．故答案为2．18．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x 轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线T n的函数表达式为．【分析】设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，根据一次函数的解析式求出∠B1OA1的度数，再等边三角形与等腰三角形的知识，求出B1点的坐标，进而用待定系数法求出T1的解析式，进而用同样的方法求出T2，T3的解析式，再根据规律求出最后结果．【解答】解：设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵顶点都在直线y＝x上，设，∴OC1＝m，，∴，∴∠B1OC1＝30°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1＝2＝A1B2，∴A1C1＝A1B1•cos60°＝1，，∴OC1＝OA1+A1C1＝3，∴，A2（4，0），设T1的解析式为：，则，∴，∴T1：，同理，T2的解析式为：，T3的解析式为：，…则T n的解析式为：，故答案为：．三．解答题（共8小题）19．解下列两题：（1）已知＝，求的值；（2）已知α为锐角，且2sinα＝4cos30°﹣tan60°，求α的度数．【分析】（1）利用已知条件设a＝3k，b＝4k，然后把它们代入中计算分式的运算即可；（2）根据特殊角的三角函数值得到2sinα＝，所以sinα＝，从而得到锐角α的度数．【解答】解：（1）∵＝，∴设a＝3k，b＝4k，∴＝＝6；（2）∵2sinα＝4cos30°﹣tan60°＝4×﹣＝，∴sinα＝，∴锐角α＝30°．20．如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表如下：1123422469336912以上共有12个等可能的结果，其中积为偶数的有8个结果，积为奇数的有4个结果，∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∵P（甲胜）＞P（乙胜），∴规则不公平．21．如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形（顶点是格点的三角形）（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC＝；（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC相似（但不全等），且图1，2中所画三角形也不全等）．②在图3中只用直尺（没有刻度）画出△ABC的重心M．（保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M）【分析】（1）直接利用勾股定理得出BC的长；（2）①利用相似三角形的判定与性质将对应边扩大倍以及2倍进而得出答案；②利用中线的交点得出重心位置．【解答】解：（1）BC＝＝；故答案为：；（2）①如图1，2所示：△A′B′C′，△A″B″C″即为所求；②如图3所示：M即为所求．22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．（1）求该二次函数的表达式及最小值．（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．①当m＝﹣4时，求n的值；②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，即可求表达式；（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；②点P到y轴的距离为|m|，则有﹣4≤m≤4，又因为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；②点P到y轴的距离为|m|，∴|m|≤4，∴﹣4≤m≤4，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．23．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB＝8米，BC＝2米，前端档板高DE＝0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α＝37°（如图3），求此时档板最高点E离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，先求得Rt△ABF中，AF＝tan37°×AB＝6，进而得到Rt△EFH中，EH＝cos37°×EF＝6.8，依据底边AB离地面的距离为1.3米，即可得到点E离地面的高度．【解答】解：如图3所示，延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，∵∠BAF＝90°，∠ABF＝37°，∴Rt△ABF中，AF＝tan37°×AB≈0.75×8＝6（米），∴EF＝AF+AD+DE＝8.5，∵∠EHF＝90°＝∠BAF，∠BF A＝∠EFH，∴∠E＝37°，∴Rt△EFH中，EH＝cos37°×EF≈0.80×8.5＝6.8（米），又∵底边AB离地面的距离为1.3米，∴点E离地面的高度为6.8+1.3＝8.1（米）．24．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？【分析】（1）根据总利润等于每件的利润乘以销售量，可列出y关于x的函数关系式；根据每件售价不能高于240元，可得关于x的不等式，求解即可；（2）将（1）中的二次函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案；（3）令y＝40000，可得关于x的一元二次方程，解得x值，并根据问题的实际意义作出取舍，再结合二次函数的性质，可得x的取值范围．【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）＝﹣2x2+400x+25000∵每件售价不能高于240元∴130+x≤240∴x≤110∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x 为正整数．（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000＝﹣2（x﹣100）2+45000∴当x＝100时，y有最大值45000元．∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元．（3）令y＝40000，得：﹣2x2+400x+25000＝40000解得：x1＝50，x2＝150∵0＜x≤110∴x＝50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．25．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．【分析】（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；③由自相似菱形的性质即可得出结论；（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出＝＝，求出AE＝2，DE＝4即可；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．26．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）由已知可得△BCD是等腰直角三角形，所以∠CBD＝∠EAD＝45°，因为∠AEB＝90°，可证△AED是等腰直角三角形；（2）①已知可得∠EAD＝45°，∠EOC＝90°，则△EOC是等腰直角三角形，所以CE 的弧长＝×2×π×＝；②由已知可得ED＝BD，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，所以AE＝2，AD＝2，易证△AED∽△BCD，所以BC＝；（3）由已知可得AF＝AD，过点E作EG⊥AD，EG＝AD，GF＝AD，tan∠EFG ＝，＝＝，FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，EF＝r，在Rr△EFG 中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，求出AD＝r，AF＝r，所以AC＝AF+FC ＝r，AC＝4+AD＝4+r，可得r＝4+r，即可求r＝．【解答】解：（1）∵BC＝CD，AB是直径，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠DBD＝45°，∵∠CBD＝∠EAD＝45°，∵∠AEB＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）①∵∠EAD＝45°，∴∠EOC＝90°，∴△EOC是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为，∴CE的弧长＝×2×π×＝；②∵D为EB中点，∴ED＝BD，∵AE＝ED，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，∴AE＝2，∴AD＝2，∵ED＝AE，CD＝BC，∠AED＝∠BCD＝90°，∴△AED∽△BCD，∴BC＝；（3）∵AF：FD＝7：3，∴AF＝AD，过点E作EG⊥AD，∴EG＝AD，∴GF＝AD，∴tan∠EFG＝，∴＝＝，∴FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，∴EF＝r，在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，∴AD＝r，∴AF＝r，∴AC＝AF+FC＝r，∵CD＝BC＝4，∴AC＝4+AD＝4+r，∴r＝4+r，∴r＝．。
2020-2021学年宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点逆时针旋转，得△AB′C′，连接CC′，当CC′//AB′时，旋转角的大小为()A. 35°B. 45°C. 50°D. 65°2.下列事件属于必然事件的是()A. 足球比赛中梅西罚进点球B. 小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒C. 今年成都12月份下雪D. 我校初一年级有7个班，8个我校初一年级同学中至少有两个同学同班3.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是()A. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位B. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位C. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位4.如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①△ABF≌△ADF；②S△ADF=2S△CEF；③tan∠EBF=1；2④S△ABF=4S△BEF，其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF//BC，交AD于点F，过点E作EG//AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是()A. AEEC =EFCDB. EFCD =EGABC. AFFD =BGGCD. CGBC =AFAD6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为()A. 5B. 4√2C. 7D. 5√27.量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器O刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，当第20秒时，点E在量角器上对应的读数是()A. 150°B. 120°C. 75°D. 60°8.汽车在沿坡比为1：√3的斜坡上前进150米，则汽车上升的高度为()A. 75米B. 75√3米C. 50√3D. 150米9.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对边平行且相等D. 对角线相等10.在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y=x2−2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y=x2−2x+2，则抛物线B的顶点坐标为()A. (−1,2)B. (1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在△ABC中，AB=6，AC=8，S△ABC=12√3，则∠A=______．12.2021年3月12日是我国第43个植树节，植树造林对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义.区林业部门要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数(棵)1002500400080002000030000幼树移植成活数(棵)872215352070561758026430幼树移植成活的频率0.8700.8860.8800.8820.8790.881估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______ .(结果精确到0.01)13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+3(a<0)交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，将抛物线向下平移3个单位，若抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫过的面积为9，则a的值为______．14. 如图，BA为⊙O的切线，切点为点A，BO交⊙O于点C.点D在⊙O上，连接CD、AD，∠ABO=32°，则∠ADC=______ °.15. 四边形ABCD是平行四边形，AB=6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE=2，则▱ABCD的周长为______ ．16. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问：梨果多少价几何？此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个．问买梨、果各几个？设梨买x个，可列方程为：______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17. 某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8°，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30°，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A、E、D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE.(结果保留整数)(√3≈1.73,sin21.8°≈0.37,cos21.8°≈0.93,tan21.8°≈0.40)四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）18. 计算：√12−2sin60°−(−2013)0+3−1．19. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16．(1)尺规作图：求作BC的中点D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)连接AD，求AD的长．20. 一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．(1)随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率；(2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，请用列表法或树形图画出所有的可能性，并求两次摸取的小球的标号的和为5的概率．21. 某小区有一长100m，宽80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下：阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m.预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．(1)设一块绿化区的长边为xm，写出工程总造价y与x的函数关系式(写出x的取值范围)．(2)如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：22. 如图，已知等腰△ABC，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D是AC⏜上一动点，连接CD并延长至点E，使得AE=AD．(1)求证：①∠DAE=∠BAC；②EC=BD；(2)若EC//AB，判断AE与⊙O的位置关系；(3)若∠CAB=30°，BC=6，点D从点A运动到点C处，则点E运动路径的长为______．23. 已知抛物线y=x2+mx+n．(1)设抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，求点C的坐标；(2)若m=1，且当−1<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求n的取值范围；(3)求使得不等式|x2+mx+n|≤2，当1≤x≤5时恒成立的实数对(m,n)．24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B(0,4)，动点C在以半径为2的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D，连接AB．(1)若点C在第二象限的⊙O上运动，当OC//AB时，∠BOC的度数为______；(2)若点C在整个⊙O上运动，当点C运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；(3)若点C在第一、二象限的⊙O上运动，连接AD，当OC//AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵CC′//AB′，∴∠AC′C=∠C′AB′∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴∠C′AB′=∠CAB=65°，AC=AC′，∴∠AC′C=∠C′AB′=65°，∠ACC′=∠AC′C=65°，∴∠CAC′=180°−2∠ACC′=180°−2×65°=50°，故选：C．由平行线的性质得出得∠AC′C′=∠C′AB′，由旋转的性质可得∠C′AB′=∠CAB=65°，AC=AC′，由等腰三角形两底角相等求∠CAC′=65°即可．本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．2.答案：D解析：解：A、足球比赛中梅西罚进点球，是随机事件，选项不合题意；B、小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒属于不可能事件，选项不合题意；C、今年成都12月份下雪是随机事件，选项不合题意；D、我校初一年级有7个班，8个我校初一年级同学中至少有两个同学同班是必然事件，符合题意．故选：D．根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.答案：C解析：解析：试题分析：根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：∵，∴平移过程为：先向左平移3个单位，再向下平移2个单位．故选C．考点：二次函数图象与平移变换．4.答案：C解析：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD//CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，在△AFD和△AFB中，{AF=AF∠FAD=∠FAB AD=AB，∴△AFD≌△AFB，故①正确，∴S△ABF=S△ADF，∵BE=EC=12BC=12AD，AD//EC，∴CEAD =EFDF=CFAF=12，∴S△ADF=4S△CEF，S△CFE=4S△BEF，故②错误；④正确；延长BF交CD于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，∴CMAB =CFAF，∵CFAF =12，∴CMAB =12，∴CM=12AB=12CD=12BC，∴tan∠EBF=CMBC =12，故③正确；即正确的个数是3，故选：C．根据SAS可以推出△AFD≌△AFB，故①正确；即可推出S△ABF=S△ADF，由BE=EC=12BC=12AD，AD//EC，推出ECAD =EFDF=CFAF=12，可得S△ABF=S△ADF=4S△CEF，S△CEF=S△BEF，故②错误，④正确，求出CM=12BC，即可判断③．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．解：∵EF//BC，∴AFFD =AEEC，∵EG//AB，∴AEEC =BGGC，∴AFFD =BGGC，故选：C．6.答案：C解析：【试题解析】本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．解：连接AE，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=6√2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9√2，AE⊥CD，则12×CD×AE=9√2，解得，AE=4√2，∴AF=2√2，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72，∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．7.答案：B解析：解：连接OE，∵射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，∴第20秒时，∠ACE=3°×20=60°，∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上，∴∠EOA=2∠ECA=2×60°=120°．故选B．首先连接OE，由∠ACB=90°，根据圆周角定理，可得点C在⊙O上，即可得∠EOA=2∠ECA，又由∠ECA的度数，继而求得答案．此题考查了圆周角定理．此题难度适中，解题的关键是证得点C在⊙O上，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8.答案：A解析：解：如图：AE⊥BC于E，由题意得：AE：BE=1：√3，AB=150米，∵tan∠B=AEBE =1√3=√33，∴∠B=30°，∴在Rt△ABE中，AE=12AB=12×150=75(米)．故选A．首先根据题意作图，然后由汽车在沿坡比为1：√3，即可求得∠B的度数，继而根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得汽车上升的高度．此题考查了坡角坡度问题．此题难度不大，解题的关键是根据题意作出图形，利用数形结合的思想求得坡角的度数，继而利用直角三角的性质即可求得答案．9.答案：B解析：解：A、对角线互相平分，菱形和矩形都具有；B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质；C、对边平行且相等，菱形和矩形都具有；D、对角线相等，菱形不一定具有的性质；故选：B．菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．10.答案：C解析：解：抛物线A：y=x2−2的顶点坐标是(0,−2)，抛物线C：y=x2−2x+2=(x−1)2+1的顶点坐标是(1,1)．则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C．所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=(x−1)2−2，所以其顶点坐标是(1,−2)．故选：C．平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．11.答案：60°或120°解析：解：过点C作CD⊥AB于点D，如图1，当△ABC为锐角三角形时，∵S△ABC=12AB⋅CD，且AB=6、S△ABC=12√3，∴CD=2S△ABCAB =24√36=4√3，在Rt△ACD中，∵sinA=CDAC =4√38=√32，∴∠A=60°；如图2，当△ABC为钝角三角形时，由①知，CD=4√3，∵sin∠DAC=CDAC =4√38=√32，∴∠DAC=60°，则∠BAC=120°，故答案为：60°或120°．分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，先根据三角形的面积求得AB边上的高，再根据AC所在直角三角形的正弦函数求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及分类讨论思想的运用、三角函数的概念．12.答案：0.88解析：解：∵根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.88左右，∴这种幼树在此条件下移植成活的概率是0.88；故答案为：0.88．利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．此题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．13.答案：−1解析：解：如图，抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫过的面积等于▱ABOC的面积，∵平移过程中扫过的面积为9，∴3⋅OA=9，解得OA=3，∴点A的坐标为(3,0)，代入得a⋅32+2×3+3=0，解得a=−1．故答案为：−1．根据二次函数的性质，平移过程中扫过的面积等于平行四边形的面积，然后列方程求出OA，从而得到点A的坐标，再代入抛物线解析式求解即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解并判断出平移扫过的面积等于平行四边形的面积是解题的关键．14.答案：29解析：解：∵BA为⊙O的切线，∴OA⊥BA，∴∠BAO=90°，∵∠ABO=32°，∴∠BOA=90°−32°=58°，∴∠ADC=12∠COA=12×58°=29°．故答案为：29．根据BA为⊙O的切线，可得OA⊥BA，根据圆周角定理即可求出结果．本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的性质和圆周角定理．15.答案：20或28解析：解：当E点在线段BC上时，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC//AD，∴∠BEA=∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB，∵AB=6，∴BE=6，∵CE=2，∴BC=BE+CE=6+2=8，∴平行四边形ABCD的周长为：2×(6+8)=28，当E点在线段BC延长线上时，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC//AD，∴∠BEA=∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB，∵AB=6，∴BE=6，∵CE=2，∴BC=BE−CE=6−2=4，∴平行四边形ABCD的周长为：2×(6+4)=20，综上，平行四边形ABCD的周长为20或28．本题主要考查平行四边形的性质，证明BE=AB，求解BE的长是解题的关键．16.答案：119x+47(1000−x)=999解析：解：设梨买x个，则果买(1000−x)个，由题意，得119x+47(1000−x)=999．故答案是：119x+47(1000−x)=999．设梨买x个，根据梨的花费+果的花费=999列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．17.答案：解：过点B作BG⊥CD于点G，则四边形BEDG是矩形，∴BG=ED，BE=DG，在Rt△CBG中，CG=CD−DG=226−100=126(米)．∴BG=CGtan∠CBG =126tan30∘≈218.0(米)，在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=CDAD，∴AD=CDtan∠CAD =226tan21.8∘=2260.4=565(米)，∴AE=AD−DE=AD−BG=565−218.0≈347(米)．答：小明与楼BE间的水平距离AE为347米．解析：过点B作BG⊥CD于点G，解直角三角形求出BG和AD的长，则可求出答案．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角函数的定义，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．18.答案：解：原式=2√3−2×√32−1+13=√3−23．解析：本题涉及二次根式化简、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．19.答案：解：(1)如图所示：(2)∵AB=AC，D为BC中点，∴BD=12BC=8，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD=√102−82=6．解析：(1)直接利用线段垂直平分线的画法得出答案；(2)直接利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出AD的长．此题主要考查了勾股定理以及复杂作图，正确掌握勾股定理是解题关键．20.答案：解：(1)随机摸取一个小球，共4种可能性，它们的可能性相等．恰好摸到标号为2的小球的可能有1种．∴P(恰好摸到标号为2的小球)=14；(2)树状图如下：由上可知，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，共16种可能性，它们的可能性相等．两次摸取的小球标号的和为5(记为事件A)的共有4种可能．∴P(A)=14．解析：本题考查概率的求法：得到两次摸取的小球的标号的和为5的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．(1)用摸到标号为2的小球的情况数除以总的情况数即可；(2)列举出所有情况，看两次摸取的小球的标号的和为5的情况数占总情况数的多少即可．21.答案：(1)解：矩形的宽为=x−10，∴y=50⋅x(x−10)⋅4+60[100×80−4x(x−10)]，即：y=−40x2+400x+480000，∵x>0，x−10>0，50≤100−2x≤60，即：x的取值范围是20≤x≤25．答：工程总造价y与x的函数关系式是y=−40x2+400x+480000，x的取值范围是20≤x≤25．(2)解：46.9万元=469000元，根据题意得：−40x2+400x+480000≤469000，即：(x−5)2−300≥0，解得：x≤−12.32，或x≥22.32∵由(1)知20≤x≤25，22.32≤x≤25，∴x能取23、24、25．所以只有3种方案：①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；③当x=25时，y=465000；答：如果小区投资46.9万元，能完成工程任务．x为整数的所有工程方案是：①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；③当x=25时，y=465000．解析：试题分析：(1)首先表示矩形的宽为x−10，再根据题意表示出活动区和绿化区的面积，进而列出解析式；(2)假设能列出不等式−40x2+400x+480000≤469000，解出不等式的解集，找出和x的取值范围20≤x≤25的公共部分，取整数x即可．22.答案：解：(1)①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠BAC=180°−2∠ABC，同理∠DAE=180°−2∠ADE，∴∠EAD=∠BAC，②∵∠EAD=∠BAC，∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，又∵AE=AD，AC=AB，∴△EAC≌△DAB(SAS)，∴EC=DB；(2)连接AO并延长交BC于点H，连接BO、CO，∵BO=CO，AB=AC，∴AH垂直平分BC，即AH⊥BC，∵CE//AB，∴∠E+∠EAB=180°，∵∠E=∠ADE，∠ADE=∠ABC，∴∠E=∠ABC，∴∠ABC+∠EAB=180°，∴AE//BC，∴∠EAH=180°−∠AHC=90°，∴EA⊥AH，且OA是半径，∴AE与⊙O相切；(3)7π．解析：证明：(1)①见答案；②见答案；(2)见答案；(3)连接AO并延长交⊙O于点F，连接FC，作∠GAC=∠FAC，交FC的延长线于点G，取AG中点H，连接HC，OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，且OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=6，∵AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=75°，∵AF是直径，∴AF=12，∠ACF=90°，∵∠ACF=∠ACG=90°，∠GAC=∠FAC，AC=AC，∴△AGC≌△AFC(ASA)，∴AG=AF=12，∠AGF=∠AFG=∠ABC=75°，∴∠GAC=15°，∵∠ABC=∠AED，∠AGF=∠ABC，∴∠AGF=∠AED，∴点A，点E，点G，点C四点共圆，∵∠ACG=90°，∴AG是过点A，点E，点G，点C四点的圆的直径，即点E在以AG为直径的圆上．∵AH=HC，∴∠GAC=∠HCA=15°，∴∠AHC=150°，∵点D从点A运动到点C处，∴点E绕点H旋转210°，=7π，∴点E运动路径的长为=210°π×6180∘故答案为：7π．(1)①根据圆的内接四边形的性质，可求∠DAE=∠BAC，②由题意可证△EAC≌△DAB，可得EC= BD；(2)连接AO并延长交BC于点H，连接BO、CO，由BO=CO，AB=AC，可得AH垂直平分BC，由圆的内接四边形的性质和平行线的性质，可求AE//BC，可得EA⊥AH，即可判断AE与⊙O的位置关系；(3)连接AO并延长交⊙O于点F，连接FC，作∠GAC=∠FAC，交FC的延长线于点G，取AG中点H，连接HC，OB，OC.由题意可得BO=CO=BC=6，可证△AGC≌△AFC，可得AG=AF=12，∠AGF=∠AFG=∠ABC=75°，即可证点A，点E，点G，点C四点共圆，则可求点E运动路径的长．本题考查了圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线是本题的关键．23.答案：解：(1)如图1，设点A在点B的左侧，设点A、B的横坐标分别为a、b(a<0,b>0)，对于y=x2+mx+n，令x2+mx+n=0，则ab=n，令x=0，则y=n，则点C(0,n)，∵△ABC是直角三角形，则只能∠ABC为直角，∴∠BCO+∠ACO=90°，∵∠ACO +∠CAO =90°，∴∠BCO =∠CAO ，∴tan∠BCO =tan∠CAO ， ∴OB OC =OB OA ，即OC 2=AO ⋅OB ，∴(−n)2=−ab =−n ，解得n =0(舍去)或−1，故点C 的坐标为(0,−1)；(2)当m =1时，函数的表达式为y =x 2+x +n ，函数的对称轴为x =−b 2a =−12，当抛物线和x 轴有交点时，△=1−4n ≥0，解得n ≤14；①当n =−14时，抛物线在−1<x <1和x 轴只有一个交点，即抛物线的顶点(−12,0)； ②当n <14时，当x =−1时，y =x 2+x +n =n ，当x =1时，y =x 2+x +n =n +2，如图2，在−1<x <1抛物线与x 轴只有一个交点，则{n ≤02+n >0，解得−2<n ≤0； 故n 的取值范围为n =14或−2<n ≤0；(3)抛物线y =x 2+mx +n 可以看成y =x 2平移得到的，如图3，即左图y =x 2的小正方形内部分抛物线平移到右图的位置，此时抛物线的顶点为(3,−2)，则{x =−b 2a =−12m =34ac−b 24=4n−m 22=−2，解得{m =−6n =7， 故使得不等式|x 2+mx +n|≤2，当1≤x ≤5时恒成立的实数对(−6,7)．解析：(1)证明∠BCO =∠CAO ，则tan∠BCO =tan∠CAO ，即OC 2=AO ⋅OB ，即可求解；(2)①当n =−14时，抛物线在−1<x <1和x 轴只有一个交点，即抛物线的顶点(−12,0)；②当n <14时，在−1<x <1抛物线与x 轴只有一个交点，则{n ≤02+n >0，进而求解； (3)抛物线y =x 2+mx +n 可以看成y =x 2平移得到的，即左图y =x 2的小正方形内部分抛物线平移到右图的位置，即可求解．本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、图象的平移等，数形结合是本题解题的关键． 24.答案：(1)45°；(2)当点C 到AB 的距离最大时，△ABC 的面积最大，如图1，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OE 的反向延长线交⊙O ，于C′，此时，点C′到AB 的距离最大，最大值为C′E 的长，∵△OAB 是等腰直角三角形，∴AB =√2OA =4√2，∴OE =12AB =2√2，∴CE =OC′+OE =2+2√2，∴△ABC 的面积为12C′E ×AB =4√2+8，即：当点C 在⊙O 上运动到第三象限的角平分线与⊙O 的交点的位置时，△ABC 的面积最大，最大值为4√2+8；(3)①如图2，当点C 为位于第二象限时，过点C作CF⊥x轴于F，∵OD⊥OC，OC//OD，∴∠ADO=∠COD=90°，∴∠DOA+∠DAO=90°，∵∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO，∴△OCF∽△AOD，∴CFOD =OCOA，∴CF2=24，∴CF=1，在Rt△OCF中，根据勾股定理得，OF=√3，∴C(−√3,1)，同理：点C在第一象限时，C(√3,1)；②直线BC是⊙O的切线，理由：当点C在第二象限时，在Rt△OCF中，OC=2，CF=1，∴∠COF=30°，∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∴∠AOD=60°，在△BOC和△AOD中，{OC=OD∠BOC=∠AOD OB=OA，∴△BOC≌△AOD，∴∠BCO=∠ADO=90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线，同理：当点C在第一象限时，直线BC为⊙O的切线，即：当OC//AD时，直线BC是⊙O的切线．解析：解：(1)∵点A(4,0)，点B(0,4)，∴OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC//AB，∴∠BOC=∠OBA=45°，故答案为：45°；(2)见答案；(3)①见答案；②见答案．(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC//AB，有∠BOC=∠OBA=45°；(2)先判断出△ABC面积最大时，点C的位置，进而利用三角形面积公式即可得出结论；(3)①分两种情况：点C在第二象限时，先判断出△OCF∽△AOD，进而得出CF=1，即可得出结论；点C在第一象限时，同上的方法；②分两种情况：点C在第二象限时，判断出△BOC≌△AOD，即可得出结论；点C在第一象限时，同上的方法．此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想是解本题的关键．。
2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若3a＝2b，则的值为（）A．B．C．D．2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（）A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tan B的值是（）A．B．C．D．6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（）x…013…y…131…A．a＞0B．x＞1时y随x的增大而减小C．y的最大值是3D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝28．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．69．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A．4B．6C．8D．12二、填空题（共6小题）.11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：抽取只数（只）50100150500100020001000050000合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为．12．已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为cm2．13．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是．14．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O切于点B，C．点P是上任意一点（点P与点B，C不重合），过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若AO＝13，BO＝5，则△AMN的周长为．15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要cm．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E在BC上，结AD，AE．记CD＝a，DE＝．＝EB＝b ，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则17．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．18．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木tan10°≈0.18，结果精确到0.1cm）桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表级别成绩（分）频数A95＜x≤22100B90＜x≤1895C85＜x≤90D80＜x≤853（1）本次共随机抽取了名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．20．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？22．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．23．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．参考答案一、选择题（共10小题）.1．若3a＝2b，则的值为（）A．B．C．D．解：∵3a＝2b，∴＝．故选：C．2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．3．如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．解：从正面看所得的图形为，故选：C．4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（）A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛解：∵小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”只能说明九年级（1）班获胜的可能性很大，∴九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛，故选：D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tan B的值是（）A．B．C．D．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，则tan B＝＝＝．故选：A．6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°解：如图，连接OB，∵∠C＝50°，∴∠AOB＝2∠C＝100°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝40°，则∠BAD的度数是40°．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（）x…013…y…131…A．a＞0B．x＞1时y随x的增大而减小C．y的最大值是3D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，a＜0，故A错误；∵抛物线过点（0，1）和（3，1），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴x＝对应的y的值最大，故C错误；∵抛物线开口向下，∴x＞时y随x的增大而减小，故B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝，且抛物线经过点（1，3），∴点（1，3）关于对称轴的对称点为（2，3），∴关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2，故D正确；故选：D．8．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．6解：∵，△COD的面积是2，∴△BOC的面积为4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，∴△DOE∽△BOC，∴＝（）2＝，∴S△DOE＝1，∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，如图1，当⊙O过点A时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，此时OA＝2，当⊙O'过点B时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，此时O'B＝2，则O'A＝8；如图2，当⊙O与AC相切于点E时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，连接OE，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AEO∽△ACB，∴，∴，∴AO＝，当⊙O'与BC相切于点F时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，同理可求O'B＝2.5，∴O'A＝7.5，∴当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围为7.5＜OA＜8或2＜OA＜．故选：D．10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A．4B．6C．8D．12解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．∵AB是直径，∴∠ATB＝90°，∵∠APB＝120°，∴∠BPT＝60°，∴PT＝PB•cos60°＝PB，∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，∵﹣2＜0，∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，故选：C．二、填空题（每小题5分，共30分）11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：50100150500100020001000050000抽取只数（只）合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．故答案为：0.84．12．已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为15πcm2．解：根据题意，圆锥的底面圆的半径＝＝3（cm），所以圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．故答案为15π．13．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（1，3）．解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3，∴该函数图象的顶点坐标为（1，3），故答案为：（1，3）．14．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O切于点B，C．点P是上任意一点（点P与点B，C不重合），过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若AO＝13，BO＝5，则△AMN的周长为24．解：∵AB，AC分别与⊙O切于点B，C，∴AB＝AC，OB⊥AB，在Rt△AOB中，AB＝＝＝12，∵MN与⊙O相切于P，∴MB＝MP，NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MP+NP+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB＝2×12＝24．故答案为24．15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要8cm．解：如图，连接OA，过点A作弦P′Q′⊥OA，连接OQ′，此时P′Q′的值最小．在Rt△OAQ′中，AQ′＝＝＝4（cm），∵OA⊥P′Q′，∴AQ′＝AP′，∴P′Q′＝2AQ′＝8（cm），故答案为：8．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E在BC上，结AD，AE．记CD＝a，DE ＝EB＝b，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则＝或．解：∵恰好存在两对相似三角形，∴其中一对一定为△ADE∽△BDA，∴，∴AD2＝DE•BD＝b•2b＝2b2，第二对：①若△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•CB＝a（a+2b），∵a2+AC2＝AD2，∴a2+a2+2ab＝2b2，即a2+2b﹣b2＝0，两边同除以b2，可得：，令m＝＞0，∴m2+m﹣1＝0，解得：（舍去），∴，②若△ACD∽△ECA，∴，∴AC2＝CE•CD＝a（a+b），∴AC2+a2＝AD2，∴a2+ab+a2＝2b2，∴，两边同除以b2，可得：，令n＝，∴，解得：（舍去），∴，综上所述，的值为或．故答案为：或．三、解答题（本题有8小题，共80分17．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．解：原式＝1+﹣2×＝1+﹣＝1．18．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1cm）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（cm），∴BH＝BC﹣HC＝7（cm），在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH×tan∠ABC≈7×0.18≈1.3（cm），答：木桩上升了大约1.3厘米19．为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表：“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表级别成绩（分）频数A95＜x≤10022B90＜x≤9518C85＜x≤90D80＜x≤853（1）本次共随机抽取了50名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是7；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．解：（1）本次共随机抽取了学生的人数为：3÷6%＝50（名），成绩是C级的频数是50﹣22﹣18﹣3＝7，故答案为：50，7；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数为：360°×＝129.6°；（3）把小江、小北分别记为A、B，其他2名学生记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，∴小江、小北两人同时被选中的概率为＝．20．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．解：如图，△DEF，△GHQ，△MNP即为所求．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；（2）由图象知，当﹣2＜x＜4时，y＞0；（3）∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（1，9），∴把抛物线y＝﹣x2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x轴只有一个交点．22．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．23．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？解：（1）由题意可得，y＝80+×10＝﹣20x+720，∵销售单价不低于批发价，∴24≤x≤32，即每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式是y＝﹣20x+720（24≤x≤32）；（2）设销售利润为w元，由题意可得，w＝（x﹣24）（﹣20x+720）＝﹣20（x﹣30）2+720，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝720，即当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元．24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．解：（1）∵点D是的中点，∴，∴∠ACD＝∠CED，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE，∵D，E分别是，的中点，∴CD＝AD，BE＝CE，∴S△ABE＝•S△ADE，过点D作DM⊥AC于M，∵，∴AD＝CD，∴AC＝2CM，由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，∴∠DFM＝60°，∴∠MDF＝30°，设MF＝m，则DM＝m，DF＝2m，∵＝x，∴CF＝x•DF＝2mx，∴CG＝CF＝2mx，由（1）知，△DFC∽△CGE，∴，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE＝S△ADE，∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE，∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．。
浙江省宁波市慈溪市2020届九年级上学期数学期末考试试卷
浙江省宁波市慈溪市2020届九年级上学期数学期末考试试卷一、单选题（共12题；共24分）1.如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是()A. 轴对称B. 平移C. 绕某点旋转D. 先平移再轴对称2.如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A. 28°B. 32°C. 42°D. 52°3.下列事件中是随机事件的是()A. 校运会上立定跳远成绩为10米B. 在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球C. 慈溪市明年五一节是晴天D. 在标准大气压下，气温3°C 时，冰熔化为水4.如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=()A. 120°B. 110°C. 105°D. 100°5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是()A. sinA=B. cosA=C. tanA=D. cosA=6.如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①③7.下列命题是真命题的是()A. 在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等B. 平分弦的直径垂直于弦C. 在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等D. 三角形外心是三条角平分线的交点8.在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为()A. y=2(x﹣1)2﹣2B. y=2(x+1)2﹣2C. y=﹣2(x﹣1)2﹣2D. y=﹣2(x+1)2﹣29.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是()A. B. C. D.10.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（）A. 2B. 2.5C. 3D. 411.已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，则m的值为()A. ﹣5B. ﹣1C. ﹣1.25D. 112.如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON=6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN=MP=5，则PN=（）A. 2B. 3C.D.二、填空题（共6题；共7分）13.写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式________.14.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是________．15.已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6 ，则n=________.16.如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为________米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601）17.如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为上的任一点，则tanP=________.18.若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线.如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y= x 上，T1与x轴交于点A1(2，0)，A2(A2在A1右侧)，T2与x轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线T n的函数表达式为________.三、解答题（共8题；共76分）19.解下列两题：（1）已知，求的值；（2）已知α为锐角，且2 sinα=4cos30°﹣tan60°，求α的度数.20.如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等.小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜.这样的规则公平吗？为什么？21.如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点.△ABC是格点三角形(顶点是格点的三角形)（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC=________；（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形(顶点是格点的三角形)，使它们都与△ABC相似(但不全等)，且图1，2中所画三角形也不全等).②在图3中只用直尺(没有刻度)画出△ABC的重心M.(保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M)22.如图，二次函数y=ax2+bx+c过点A(﹣1，0)，B(3，0)和点C(4，5).（1）求该二次函数的表达式及最小值.（2）点P(m，n)是该二次函数图象上一点.①当m=﹣4时，求n的值；②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围.23.如图1，是一种自卸货车.如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端档板高DE=0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米.卸货时，货箱底边AB的仰角α=37°(如图3)，求此时档板最高点E离地面的高度.(精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)24.某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？25.定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形.（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形.③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE与△AED.（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点.①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值.26.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC=CD，连结BD并延长交⊙O 于E，连结AE，OE交AC于F.（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为.①求的长；②若D为EB中点，求BC的长.（3）如图2，若AF：FD=7：3，且BC=4，求⊙O的半径.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，故答案为：A.【分析】根据对称，平移和旋转的定义，结合等边三角形的性质分析即可.2.【答案】C【解析】【解答】考查学生对相似性质的理解及运用，因为△ABC∽△DEF，∴角B=角E,在△ABC中角B=42°∴角E=42°即选C【分析】因为△ABC∽△DEF，可得∠B=∠E，利用相似三角形的对应角相等可得结论。
浙教版2020-2021学年九年级上册数学期末复习试题1(含答案)
浙教新版2020-2021学年九年级上册数学期末复习试题1 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（）A．2B．4C．8D．162．如图所示的是正十二角形体，因为其独特的对称美，所以2019年在英国举办的第60界国际数学奥林匹克的会标，就选用了正十二角形体，若将它绕自身中心旋转一定角度后能与原图重合，则这个角度不可能是（）A．60°B．90°C．120°D．180°3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（）A．2πB．4πC．D．π4．把抛物线y＝﹣x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A．y＝﹣（x+1）2+2B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣25．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．B．C．D．6．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1 7．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④8．某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．＝+1B．＝﹣1C．＝+2D．＝﹣29．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则实数k的取值范围是（）A．2≤k≤16B．2≤k≤8C．1≤k≤4D．8≤k≤16 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．某学校食堂为了了解服务质量，随机调查了来食堂就餐的200名学生，调查的结果如图所示，根据图中给出的信息，这200名学生中对该食堂的服务质表示不满意的有人．12．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，∠C＝110°，则∠B′的度数为．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O米以内．14．一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，若矩形的高为2m，宽为m，则要打掉墙体的面积为m2．15．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是．16．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，．以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F．若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2与，则的值为．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．（1）解方程：（x﹣2）x＝2x﹣1．（2）计算：|﹣|+×+（）﹣1﹣（﹣）0．18．如图，在▱ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：（1）AE＝CF；（2）AE∥CF．19．目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度，在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2位家长来自相同班级的概率．温馨提示：初三（1）班两名家长用A1，A2表示；初三（2）班两名家长用B1，B2表示．20．如图，下列网格由小正方形组成，点A，B，C都在正方形网格的格点上．（1）在图1中画出一个以线段BC为边，且与△ABC面积相等但不全等的格点三角形；（2）在图2和图3中分别画出一个以线段AB为边，且与△ABC相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与△ABC的相似比．（相同的相似比算一种）21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，在BC上取一点D，连结AD，作△ACD 的外接圆⊙O，交A B于点E．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）小明编制题目是：若AD＝BD，求证：AE＝BE．请你解答．（2）在小明添加条件的基础上请你再添加一条线段的长度，编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案．（根据编出的问题层次，给不同的得分）22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．23．阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的离笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．24．问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，∴n＝8，故选：C．2．解：∵正十二角形体的中心角为30°，∴观察图象可知，旋转角是30°的偶数倍数时，可以与本身重合，故选：B．3．解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，∵OD＝OC，CD＝4，∴2OD2＝42，∴OD＝2，∴的长是＝＝，故选：D．4．解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以所得抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2．故选：B．5．解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，∴获得食物的概率是＝，故选：C．6．解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2（a＞0），∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（，y2）到对称轴的距离最小，∴y1＞y3＞y2，故选：B．7．解：∵①中的三角形的三边分别是：2，，，②中的三角形的三边分别是：3，，，③中的三角形的三边分别是：2，2，2，④中的三角形的三边分别是：3，，4，∵①与③中的三角形的三边的比为：1：，∴①与③相似．故选：C．8．解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，∴一周后每周生产1.5x万个口罩，依题意，得：＝+1．故选：A．9．解：∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小＝1×2＝2，k最大＝4×4＝16，∴2≤k≤16．故选：A．10．解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝，故选：B．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．解：因为200名学生中对该食堂的服务质量表示不满意占总体的百分比为：1﹣46%﹣38%﹣9%＝7%，所以200名学生中对该食堂的服务质量表示很满意有：200×7%＝14（人）．故答案为：14．12．解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B＝20°．故答案为20°．13．解：设OA右侧的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，∵某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，∴该抛物线过点（8，0），∴0＝a（8﹣3）2+5，得a＝﹣，∴OA 右侧的抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+5＝x 2++，当y ＝1.8时，1.8＝﹣（x ﹣3）2+5，得x 1＝7，x 2＝﹣1，∵各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，点A 的坐标为（0，），∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心O 7米以内， 故答案为：7．14．解：如图，连结AD 、BC 交于O ，∵∠BDC ＝90°，∴BC 是直径，∴BC ＝＝＝， ∴OA ＝OB ＝AB ＝， ∴△AOB 是正三角形，∴∠AOB ＝60°，∠AOC ＝120°，∴S △AOB ＝，S △AOC ＝，∴S ＝2（S 扇形OAC ﹣S △AOC ）+S 扇形OAB ﹣S △AOB＝2[﹣]+[﹣]＝π﹣，∴打掉墙体面积为（π﹣）平方米， 故答案为：（π﹣）．15．解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝72＝49cm2．故答案为49cm2．16．解：设AD＝3k，AB＝2k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝60°，∴∠D＝120°，∴的长＝＝＝2πr1，可得r1＝，∴的长＝＝＝2πr2，可得r2＝，∴＝1，故答案为1．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．解：（1）（x﹣2）x＝2x﹣1x2﹣2x﹣2x＝﹣1，则x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，则x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）|﹣|+×+（）﹣1﹣（﹣）0＝+2+2﹣1＝3+1．18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠DAE＝∠DAB，∠BCF＝∠DCB，∴∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF．（2）∵△ADE≌△CBF，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．19．解：画树状图如下：共有12种等可能结果，其中2人来自相同班级的共有4种，所以2人来自相同班级的概率为＝．20．解：（1）如图所示，△BCD即为所求．（2）如图所示，△ABE和△ABF即为所求，相似比；相似比．21．（1）证明：连结DE，∵∠C＝90°，∴AD为直径，∴DE⊥AB，∵AD＝BD，∴AE＝BE；（2）答案不唯一．①第一层次：若AC＝4，求BC的长．答案：BC＝8；②第二层次：若CD＝3，求BD的长．答案：BD＝5；③第三层次：若CD＝3，求AC的长．设BD＝x，∵∠B＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°，∴△ABC～△DBE，∴＝，∴＝，∴x＝5，∴AD＝BD＝5，∴AC＝＝4．22．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当A B是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．23．解：（1）由题意可得，S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，∵，解得，6≤x＜16，即S与x之间的函数关系式是S＝﹣2x2+32x（6≤x＜16）；（2）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∴当x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．24．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，＝2，∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt △CFB 中，BF ＝＝＝＝CF ， ∵PB ＝PF +BF ，∴PB ＝CF +BF ，即：4＝CF +CF ，解得：CF ＝6﹣2； （3）①∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∵CA ＝CB ，∴∠ADC ＝∠BDC ，同（1）得：四边形DEPF 是正方形，∴PE ＝PF ，∠APE +∠BPF ＝90°，∠PEA ＝∠PFB ＝90°，∴将△APE 绕点P 逆时针旋转90°，得到△A ′PF ，PA ′＝PA ，如图3所示： 则A ′、F 、B 三点共线，∠APE ＝∠A ′PF ，∴∠A ′PF +∠BPF ＝90°，即∠A ′PB ＝90°，∴S △PAE +S △PBF ＝S △PA ′B ＝PA ′•PB ＝x （70﹣x ），在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝AB ＝×70＝35， ∴S △ACB ＝AC 2＝×（35）2＝1225，∴y ＝S △PA ′B +S △ACB ＝x （70﹣x ）+1225＝﹣x 2+35x +1225；②当AP ＝30时，A ′P ＝30，PB ＝AB ﹣AP ＝70﹣30＝40，在Rt △A ′PB 中，由勾股定理得：A ′B ＝＝＝50，∵S △A ′PB ＝A ′B •PF ＝PB •A ′P ，∴×50×PF ＝×40×30，解得：PF ＝24，∴S 四边形PEDF ＝PF 2＝242＝576（m 2），∴当AP ＝30m 时．室内活动区（四边形PEDF ）的面积为576m 2．。
2020-2021学年宁波市鄞州区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年宁波市鄞州区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…−3−20135…y…70−8−9−57…则当x=2时，对应的函数值y为()A. 7B. 0C. −5D. −82. 成语“水中捞月”所描述的事件是()A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 无法确定3. 将式子ab=cd(a,b,c,d都不等于0)写成比例式，错误的是()A. ac =dbB. cb=adC. da=bcD. ab=cd4. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与直角顶点的距离是为()A. 2cmB. 2.5cmC. 3cmD. 4cm5. 在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个点在圆内，则r的取值范围为()A. 2√2<r<√17B. √17<r≤3√2C. 3√3<r≤5D. 5<r<√296. 把抛物线y=x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解折式为()A. y=(x+3)2+1B. y=(x+1)2+3C. y=(x−1)2+4D. y=(x+1)2+47. 比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是()A. tan70°<tan50°<tan20°B. tan50°<tan20°<tan70°C. tan20°<tan50°<tan70°D. tan20°<tan70°<tan50°8. 已知二次函数y=a(x−2)2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1−2|>|x2−2|，则下列表达式正确的是()A. y1+y2>0B. y1−y2>0C. a(y1−y2)>0D. a(y1+y2)>09. 勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为A. 90B. 100C. 110D. 12110. 矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ADB=30°，E为BC边上一点，∠AEB=45°，CF⊥BD于F.下列结论：①BE=CD，②BF=3DF，③AE=√2AO，④CE=CF.正确的结论有()A. ①②B. ②③C. ①②④D.①②③二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知x+2y3=x+3y4=z+5x5，则x：y：z=______．12. 如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．抛掷次数n50100150200250300350400450500“正面向上”次数m225268101116147160187214238“正面向上”频率mn0.440.520.450.510.460.490.460.470.480.48下面有三个推断：①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是0.5；②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48；③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生；其中合理的是______(填写序号)．13. 河堤横断面如图所示，堤高BC =6米，迎水坡AB 的坡比是2：3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是______ ．14. 直线y =kx +2与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则k =______． 15. 如图，⊙O 的半径为2，将⊙O 沿弦AB 折叠得到AnB⏜，且AnB ⏜恰好经过圆心O ，则新月形阴影部分的面积为______ ．16. 如图，在矩形ABCD 中，AB ：BC =3：4，点E 是对角线BD 上一动点(不与点B ，D 重合)，将矩形沿过点E 的直线MN 折叠，使得点A ，B 的对应点G ，F 分别在直线AD 与BC 上，当△DEF 为直角三角形时，CN ：BN 的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共80.0分） 17. 计算(1)3tan30°+cos 245°−2sin60° (2)(13)−2+√(sin45°−1)2−|1−tan60°|18. 为大力弘扬勤俭节约的传统美德，扎实推进“光盘行动”，某校八年级举办“拒绝浪费、从我做起”的学生演讲比赛．八(1)班准备从小怡、小宏、小童、小灿4名同学之中选择两名参加比赛，选择方案如下：制作4张完全相同的卡片，正面分别写上这4名同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀．张老师从4张卡片中随机抽取1张，卡片不放回，再抽取一张，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛．(注：可以用A，B，C，D分别表示小怡、小宏、小童、小灿的名字)(1)用树状图或列表法列出所有等可能结果；(2)求小怡和小宏同时被选中的概率．19. 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，AD=24，CD=26，求四边形ABCD的面积．20. 如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为6m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为ℎcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．(参考数据；sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126.结果都精确到0.1cm)(1)求AC的长度；(2)求每级台阶的高度ℎ．21. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．(1)求线段AD的长度；(2)点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．22. 我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用400元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？23. 如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点(点E不与点O，A重合).连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB.若CA=CD，∠ABC=∠D．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AB=13，CA=CD=5，则AD的长是______．PD的24. (1)问题提出：如图①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=√3，P是AD上一动点，则BP+12最小值为______ ．(2)问题探究：如图②，在正方形ABCD中，AB=3，点是平面上一点，且CE=1，连接BE，在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．(3)问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域ABCD进行设计改造，方便大家锻炼运动.如图③，在正方形内设计等腰直角△CEF为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形MBN的弧MN上.设计铺设CF和DF这两条不同造价鹅卵石路，已知AB=40米，BM=10√2米，∠CEF=90°，CE=EF，若铺设CF路段造价为每米200元，铺设DF路段的造价为每米100元，请求出铺设CF和DF两条路段的总费用的最小值．参考答案及解析1.答案：D=1；解析：解：∵x=−3和x=5时，y=7，∴对称轴x=−3+52∴x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0，∵x=0时，y=−8，∴x=2时，y=−8．故选D．由表格的数据可以看出，点(−3,7)和点(5,7)关于二次函数的对称轴对称，利用公式求出对称轴为x= 1，根据抛物线的对称性，结合对称轴x=1，可判断出x=2时关于直线x=1对称的点为x=0，故可求出y=−8．本题考查了二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点．2.答案：C解析：解：水中捞月是不可能事件，故选：C．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.答案：D解析：解：根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，所给选项中，只有D是错误的．故选：D．依据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，即可判断．此题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．4.答案：B解析：解：Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴AB=√AC2+BC2=5cm，∴Rt△ABC为外接圆的直径为5cm，即△ABC的外心为AB的中点，cm．∴它的外心与直角顶点的距离是52故选B．先利用勾股定理计算出AB=5cm，再利用直角三角形的外心为斜边的中点得到外接圆的半径为2.5cm，于是得到它的外心与直角顶点的距离．本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．掌握直角三角形的外心为斜边的中点是解题的关键．5.答案：C解析：解：给各点标上字母，如图所示．∵AB=√22+22=2√2，AC=AD=√12+42=√17，AE=√32+32=3√2，AF=√22+52=√29，AG=AM=AN=√42+32=5，∴3√2<r≤5时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个在圆内．故选：C．利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键．6.答案：D解析：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2+1向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=(x+1)2+1，由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=(x+1)2+1向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=(x+1)2+1+3，即y=(x+1)2+4．故选D．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．7.答案：C解析：解：由正切函数随角增大而增大，得tan20°<tan50°<tan70°，故C符合题意，故选：C．根据正切函数随锐角的增大而增大，可得答案．本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了正切函数随锐角的增大而增大．8.答案：C解析：解：①a>0时，二次函数图象开口向上，∵|x1−2|>|x2−2|，∴y1>y2，无法确定y1+y2的正负情况，a(y1−y2)>0，②a<0时，二次函数图象开口向下，∵|x1−2|>|x2−2|，∴y1<y2，无法确定y1+y2的正负情况，a(y1−y2)>0，综上所述，表达式正确的是a(y1−y2)>0．故选：C．分a>0和a<0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．9.答案：C解析：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选C．10.答案：D解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AO=CO=BO=DO，∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，∵∠AEB=45°，∴∠BAE=∠AEB=45°∴AB=BE=CD，AE=√2AB=√2CD，故①正确，②正确，∵∠ADB=30°，∴∠ABO=60°且AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO，∴AE=√2AO，故③正确，∵△OCD是等边三角形，CF⊥BD，∴DF=FO=12OD=12CD=14BD，∴BF=3DF，故②正确，根据排除法，可得选项D正确，故选：D．根据矩形的性质，由∠ADB=30°可得，△AOB和△COD都是等边三角形，再由∠AEB=45°，可得△ABE是等腰直角三角形，其边有特殊的关系，利用等量代换可以得出③AE=√2AO是正确的，①BE=CD是正确的，在正△COD中，CF⊥BD，可得DF=12CD，再利用等量代换可得②BF=3DF 是正确的，利用选项的排除法确定选项D是正确的．考查矩形的性质，含有30°角的直角三角形的特殊的边角关系、等边三角形的性质和判定等知识，排除法可以减少对④的判断，从而节省时间．11.答案：1：1：0解析：解：设x+2y3=x+3y4=z+5x5=k，则{x +2y =3k①x +3y =4k②z +5x =5k③，②−①得，y =k ，把y =k 代入①得，x =k ，把x =k 代入③得，z =0，所以，x ：y ：z =k ：k ：0=1：1：0．故答案为：1：1：0．设比值为k ，然后列出三元一次方程组，求解用k 表示出x 、y 、z ，再求出比值即可．本题考查了比例的性质，三元一次方程组的解法，利用“设k 法”列出方程组求解更加简便． 12.答案：③解析：解：①随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故错误；②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48，错误；③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生，正确；故答案为：③．随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13.答案：9米解析：解：∵迎水坡AB 的坡比2：3，∴BC AC =23，∵堤高BC =6米，∴AC =32BC =9(米)．故答案为：9米．由堤高BC =6米，迎水坡AB 的坡比2：3，根据坡度的定义，即可求得AC 的长．此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意理解坡度的定义是解此题的关键．14.答案：±2解析：解：设直线y =kx +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，如图所示，∴点A 的坐标为(−2k ,0)，点B 的坐标为(0,2)， ∴S △AOB =12OA ⋅OB =12×|−2k |×2=1， 解得：k =±2，经检验，k =±2是所列分式方程的解，且符合题意．故答案为：±2．设直线y =kx +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，由一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 、B 的坐标，利用三角形的面积公式结合S △AOB =1即可得出关于k 的分式方程，解之即可得出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征找出直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．15.答案：43π+2√3解析：解：作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，由折叠的性质可知，OD =CD ，∵∠ODA =90°，∴cos∠AOD =OD OA =12，∴∠AOD =60°，∴∠AOB =120°，AD =√3，∴AB =2√3，∴弓形ACB 的面积是：120π×22360−2√3×12=4π3−√3， ∴新月形阴影部分的面积为：π×22−(4π3−√3)×2=4π3+2√3，故答案为：4π3+2√3． 根据题意和图形，可以求得弓形ACB 的面积，然后即可用圆的面积减去两个弓形的面积，即可得到新月形阴影部分的面积．本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16.答案：257或725解析：解：∵AB：BC=3：4，设AB=3x，BC=4x，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3x，AD=BC=4x，分两种情况：①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，∴∠CDF=∠EFN，由折叠可得，EF=EB，BN=FN，∴∠EFN=∠EBN，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴CFCD =CDCB，即CF3x=3x4x，∴CF=94x，∴FN=NB=4x−9 4 x2=7x8，∴CN=CF+NF=94x+78x=258x，∴BN=∴CN：BN=258x：78x=25：7．②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°，∴∠CDF =∠CBD ，又∵∠DCF =∠BCD =90°，∴△DCF∽△BCD ，∴CF CD =CD CB ，即CF 3x =3x 4x ，∴CF =94x ， ∴NF =BN =4x+94x 2=258x ， ∴CN =NF −CF =258x −94x =78x ，∴CN ：BN =7：25，综上所述，CN ：BN 的值为257或725，故答案为：257或725．分两种情况进行讨论：当∠DFE =90°时，△DEF 为直角三角形；当∠EDF =90°时，△DEF 为直角三角形，分别判定△DCF∽△BCD ，得到CF CD =CD CB ，进而得出CF ，根据线段的和差关系可得CN 和BN 的长，于是得到结论．本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算．解题时注意分类思想的运用． 17.答案：解：(1)3tan30°+cos 245°−2sin60°=3×√33+(√22)2−2×√32=√3+0.5−√3=0.5(2)(13)−2+√(sin45°−1)2−|1−tan60°| =9+1−√22−√3+1 =11−√22−√3 解析：(1)首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．(2)首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18.答案：解：(1)画树状图如图：共有12种等可能的结果；(2)共有12种等可能的结果，其中小怡和小宏同时被选中的结果有2种，∴小怡和小宏同时被选中的概率为212=16．解析：(1)画树状图即可；(2)共有12种等可能的结果，其中小怡和小宏同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.答案：解：连接AC，∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，∵AC2=AB2+BC2=82+62=102，∴AC=10，在△ACD中，∵AC2+CD2=100+576=676，AD2=262=676，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×6×8+12×10×24=144．解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．20.答案：解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，(1)在Rt△ABE中，AB=6m，cos12°≈0.9781，AE=ABcos12°≈5.8686m=586.86cm，∴AC=AE−CE=586.86−30≈556.9(cm)．答：AC的长度约为556.9cm．(2)ℎ=13BE=13ABsin12°=13×600×0.2079=41.58≈41.6(cm)．答：每级台阶的高度ℎ约为41.6cm．解析：(1)过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求出AE，由AC=AE−CE，可得出答案；(2)在Rt△ABE中，求出BE，即可计算每级台阶的高度ℎ．本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，并解直角三角形．21.答案：解：(1)在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴ACAB =ADAC，∴AD=AC2AB =95；(2)当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．解析：此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．(1)由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．(2)可连接OD，证OD⊥DE即可．22.答案：解：(1)设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由图象可得，当x=30时，y=140；x=50时，y=100，∴{140=30k+b100=50k+b，解得{k=−2b=200．∴y与x之间的关系式为y=−2x+200(30≤x≤60)．(2)设该公司日获利为W元，由题意得W=(x−30)(−2x+200)−400=−2(x−65)2+2050，∵a=−2<0，∴抛物线开口向下；∵对称轴x=65，∴当x<65时，W随着x的增大而增大；∵30≤x≤60，∴x=60时，W有最大值，W=−2(60−65)2+2050=2000(元)．即销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为2000元．解析：(1)通过题意，确定出一次函数的解析式即可；(2)利用二次函数解决利润问题，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．本题考查了二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．23.答案：解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．又∵CA=CD，∴∠D=∠CAD，又∵∠ABC=∠D，∴∠CAD+∠BAC=90°，即OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；(2)由(1)可得∠ABC+∠BAC=90°=∠D+∠DEA，∵∠ABC=∠D，∴∠BAC=∠DEA，∴CE=CA=CD=5，∴DE=10，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=√132−52=12，∵∠ACB=∠DAE=90°，∠ABC=∠D，∴△ABC∽△EDA，∴ABED =BCAD，即1310=12AD，解得，AD=12013．解析：(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，进而得出结论；(2)根据等腰三角形的判定可得CE=CA=CD=5，再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可．本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．24.答案：√3解析：解：(1)以PD为斜边构造30°的直角三角形，且∠PDE=30°，PD，此时DE=12PD=PB+PE，则PB+12则当P、B、E在同一直线上时PB+PE有最小值为BE，PD的最小值为如图①所示PE的长度，即PB+12∵AB=1，BC=√3，∴BD=√AB2+BC2=2，且∠DBC=30°，又∵四边形ABCD为矩形，∴∠BDP=∠DBC=30°，又∵∠PDE=30°，∴∠EDB=∠PDE+∠PDE=60°，∴BE=BD⋅sin∠EDB=2×sin60°=√3；(2)∵E为动点且CE为1，∴E点的运动轨迹为以C为圆心半径为1的圆，∵四边形MEBA为正边形，∴BM=√2BE，即当BE最大时BM有最大值，由图②知当E在BC延长线上E′的位置时，BE′有最大值，此时BE′=BC+CE′=3+1=4，∴BM=√2BE′=4√2，故B M的最大值为4√2；DF)，(3)由题知，CD+DF的费用为200CF+100DF=200(CF+12DF的最小值，∴求费用的最小值即为求CF+12连接AC，AF，在AD上截取AD′=10，∵四边形ABCD是正方形，∴△ABC是等腰直角三角形，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCE，CFCE =CACB=√2，∴△ACF∽△BCE，∴AFBE=√2，∴AF=√2BE=20，可得点F在以A为圆心，AF为半径的弧上，∵AFAD =AD′AF=12，∠DAF=∠D′AF，∴△DAF∽△FAD′，∴FD′DF =12，FD′=12DF，∴CF+12DF=CF+FD′，∴当C，F，D′三点共线时CF+12DF有最小值为CD′，此时在Rt△CDD′中，CD′=√CD2+DD′2=√402+302=50，∴铺设CF和DF两条路段的总费用的最小值为200(CF+12DF)=200×50=10000(元)，即铺设CF和DF两条路段的总费用的最小值为10000元．(1)以PD为斜边构造30°的直角三角形，则PB+12PD=PB+PE≥BE，求BE的值即可；(2)根据题意确定E点的运动轨迹，进而得出BM最大时E点的位置，求出BM即可；(3)根据费用的关系可知求出线段CF+12DF的最小值即可．本题主要考查了两点之间线段最短，正方形的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．。
2020-2021学年浙江省宁波市北仑区九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省宁波市北仑区九年级（上）期末数学试卷1.若3x=7y(xy≠0)，则下列比例式成立的是()A. xy =37B. xy=73C. x3=y7D. xx+y=3102.如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是()A. B. C. D.3.“小明过学校门口的马路遇到红灯”这个事件是()A. 确定事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 必然事件4.正十边形的每个内角都是()A. 36°B. 72°C. 108°D. 144°5.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=12，则sin C的值是()A. √11912B. 512C. 513D. 12136.若⊙O的半径r=6，点O到直线l的距离为3，下列图中位置关系正确的是()A. B. C. D.7.二次函数y=x2−1经过适当变换之后得到新的二次函数y=x2−6x+13，则这个变换为()A. 向上5个单位，向右3个单位B. 向下5个单位，向右3个单位C. 向上5个单位，向左3个单位D. 向下5个单位，向左3个单位8.如图，⊙A过点O(0,0)，B(2√3,0)，D(0,2)，点C是⊙A上的一点，连接CO，CD，则∠DCO的度数为()A. 22.5°B. 30°C. 37.5°D. 45°9.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=ax2+bx+c的图象与对称轴直线x=m交于点A，与x，y轴交于B，C，D三点，下列命题正确的是()①abc>0；②若OD=OC，则ac+b+1=0；③对于任意x0(x0≠m)，始终有ax02+bx0>am2+bm；④若B的坐标为(−m,0)，则C的坐标为(3m,0)．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出()A. 直角三角形的面积B. 最大正三角形的面积C. 较小两个正三角形重叠部分的面积D. 最大正三角形与直角三角形的面积和11.半径为2，圆心角为120°的扇形的面积为______(结果保留π)．12.四边形ABCD内接于⊙O，∠A=80°，则∠C=______ ．13.在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同100个球，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复，下表是实验中记下的一组数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到红球的次数79115152385598751 m摸到红球的频率0.7900.7670.7600.7700.7480.751mn试估计口袋中红球有______个．14.在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1=1米，a2=10米，ℎ=1.8米，则这个学校教学楼的高度为______米．15.如图，点B是⊙O的半径OA上的中点，过点B作OA的垂线交⊙O于点C，D，E是⊙O上一点，CE⏜=CA⏜，过点C作⊙O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.已知⊙O的半径为4，则FB为______．(x−2)(x−4)与y轴，x轴相交于A，16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=14B，C三点，D是函数的顶点，M是第四象限内一动点，且∠AMB=45°，连接MD，MC，则2MD+MC的最小值是______．17.“青年北仑”建设是北仑建设的一大亮点，现将质地大小完全相同，上面标有“青”“年”“北”“仑”字样的四个彩球放入同一个袋子．(1)小慧在袋子中随机摸出一个彩球，记下字样后放回，搅匀，再摸出一个彩球，请用列表或画树状图的方法，写出所有的可能；(2)在(1)的条件下能拼出“北仑”(不分先后)的概率是多少？18.图1、图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB，CD，MN的端点均在格点上，回答下列问题：=______；(1)在图1中，tan∠DAB=______，△ABE的周长△CDE的周长(2)在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q.(保留作图痕迹)19.已知抛物线y=a(x−4)2+2经过点(2,−2)．(1)求a的值；(2)若点A(m,y1)，B(n,y2)(m<n<4)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20.如图，富邦城即将建造一个大型摩天轮，工程师介绍若你站在距离摩天轮40米处(A点)，以29°的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部(C点)，以63°的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方(D点).(人的身高忽略不计)(1)求摩天轮的底部(C点)到地面(B点)的距离；(精确到个位)(2)求摩天轮的圆轮直径(即CD).(精确到个位)(参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)21.如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若CD=4，CE=3，求△ABC的面积．22.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：温度x/℃…−4−2024 4.5…植物每天高度增长量…414949412519.75…y/mm由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并求出高度增长量的最大值；(2)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？23.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点P，AC平分∠DAB，过点A作AD⊥PC于点D，AD与⊙O交于点E．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AB=9，sin∠CAB=1，3①求AD的长；②求AE的长．24.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=√3.给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图，平移线段AB得到⊙O的长度为√3的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；(2)若点A在直线y=x+2上；①若点B也在直线y=x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；②若点B在抛物线y=x2+4上且AB//y轴，是否存在这样的点B满足题意，若存在，求出“平移距离”为d2的最小值，若不存在，说明理由；(3)若点A的坐标为(2√3,2)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d3，则d3的取值范围为______，当d3取最小值时点B的坐标为______．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵3x=7y，∴除以3y，得xy =73，故选项A、C错误；选项B正确；设x=7k，y=3k，所以xx+y=7k7k+3k=7k10k=710，故选项D错误；故选：B．根据3x=7y求出xy =73，再逐个判断即可．本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ab =cd，那么ad=bc．2.【答案】D【解析】解：A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A不正确；B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B不正确；C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C不正确；D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D正确，故选：D．观察图形，从图形的性质可以确定旋转角，然后进行判断即可得到答案．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3.【答案】B【解析】解：“小明过学校门口的马路遇到红灯”这个事件是是随机事件，属于不确定事件；故选：B．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.【答案】D【解析】解：(10−2)×180÷10=8×180÷10=1440÷10=144(度)，∴正十边形的每个内角等于144度．故选：D．首先根据多边形的内角和定理，求出正十边形的内角和是多少，然后用它除以10，求出正十边形的每个内角等于多少度即可．此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确n边形内角和定理：(n−2)⋅180°．5.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=12，所以sinC=ABBC =512，故选：B．根据锐角三角函数的定义求解即可．本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确判断的前提．6.【答案】A【解析】解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为3，∵6>3，即：d<r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选：A．根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d<r；相切：d=r；相离：d>r；即可选出答案．本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：①直线l和⊙O相交⇔d<r，②直线l和⊙O相切⇔d=r，③直线l和⊙O相离⇔d>r．7.【答案】A【解析】解：由二次函数y=x2−6x+13得到：y=(x−3)2+4．所以将二次函数y=x2−1图象向上5个单位，向右3个单位，平移后的二次函数的解析式为：y=(x−3)2+4．故选：A．直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．8.【答案】B【解析】解：如图，连接DB，在Rt△DOB中，tan∠OBD=ODOB =22√3=√33，则∠OBD=30°，由圆周角定理得，∠OBD=∠DCO=30°，故选：B．连接DB，根据正切的定义求出∠OBD，根据圆周角定理解答．本题考查的是圆周角定理，坐标与图形性质，正切的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：由图象得：a>0，b<0，c<0，故①正确；∵OD=OC，∴x c=−c，∴a(−c)2+b(−c)+c=0，∴ac−b+1=0，故②错误，∵a>0，∴对于任意x0(x0≠m)，始终有ax02+bx0>am2+bm，故③正确，∵对称轴x=m，∴x b+x c=m，2∴x c=3m，故④正确，故选：C．根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．10.【答案】C【解析】解：设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，(不妨设S1>S2>S3)，两个小正三角形的重叠部分的面积为S4，∵S1=S2+S3，∴S=S1−(S2+S3−S4)=S1−S2−S3+S4=S4，阴影故选：C．设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，(不妨设S1>S2>S3)，由勾股定理可得S1=S2+ S3，由面积和差关系可求解．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．π11.【答案】43【解析】解：S=nπR2360=120π×22360=43π.故答案为：43π.根据扇形的面积公式S=nπR2360求解即可．本题考查了扇形的面积计算，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式S=nπR2360．12.【答案】100°【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=80°，∴∠C=180°−∠A=100°．故答案为：100°．由四边形ABCD内接于⊙O，∠A=80°，根据圆的内接四边形的对角互补，即可求得答案．此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意圆的内接四边形的对角互补定理的应用是解此题的关键．13.【答案】75【解析】解：由表格中数据知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定于0.75，所以据此可估计摸到红球的概率为0.75，则估计口袋中红球有100×0.75=75(个)，故答案为：75．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此用所得概率乘以球的总个数即可．本题考查用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14.【答案】18【解析】解：由镜面反射原理可得，∠1=∠2，∵∠ACB=∠ADE=90°，∴△ACB∽△ADE，∴ACAD =BCDE，∴110=1.8DE，解得：ED=18(m)，即这个学校教学楼的高度为18米．故答案为：18．直接利用相似三角形的判定与性质进而得出教学楼的高度．此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．15.【答案】2√21【解析】解：连接OC，AC，过点B作BM⊥FC于点M，∵l为⊙O的切线，∴OC⊥l，∴∠OCF=∠OCM=90°，∵B是OA的中点，CB⊥OA，∴OC=AC，又∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∵CE⏜=AC⏜，∴∠FOC=∠AOC=60°，∵OC=4，OC=2，∴FC=√3OC=4√3，OB=AB=12∴BC=√3AB=3√3，∵∠OCB=1∠OCA=30°，2∴∠BCM=60°，∴CM=√3，∴BM=√3CM=3，∴FM=5√3，∴BF=√FM2+BM2=√(5√3)2+32=2√21．故答案为2√21．连接OC，AC，过点B作BM⊥FC于点M，由切线的性质得出∠OCF=∠OCM=90°，证明△AOC是等边三角形，则得出∠AOC=60°，由直角三角形的性质求出FM，BM的长，由勾股定理可得出答案．本题考查了切线的性质，勾肥定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．16.【答案】√652【解析】解：如图，以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED，(x−2)(x−4)=0，令二次函数y=14得：x1=2，x2=4，∴B(2,0)，C(4,0)，×(0−2)×(0−4)=2，令x=0，y=14∴A(0,2)，OA =OB ，即B 在⊙O 上，∵y =14(x −2)(x −4)=14(x 2−6x +8)=14(x −3)2−14， ∴顶点D(3,−14)， ∵∠AMB =45°， ∴∠AMB =12∠AOB ，∴M 在在⊙O 上，即OM =2， 取OB 的中点E(1,0)， ∵OEOM =12，OMOC =12， ∴OEOM =OM OC，又∠EOM =∠MOC ， ∴△EOM∽△MOC ， ∴EMCM =12， ∴EM =12MC ，∴2MD +MC =2(MD +12MC)=2(MD +ME)≥2ED ，∵ED =√(1−3)2+(0+14)2=√654， ∴2MD +MC 的最小值为√652．故答案为：√652．以O 为圆心，OA 为半径的圆，连接OM ，取OB 的中点E ，连接EM 、ED ，先根据二次函数求出A 、B 、C 、D 的坐标，再证明△EOM∽△MOC ，从而有EM =12MC ，故2MD +MC =2(MD +12MC)=2(MD +ME)≥2ED ，再求出ED 即可．本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是取OB 的中点E(1,0)，证明△EOM∽△MOC ，将2MD +MC 转化成2(MD +12MC)=2(MD +ME)．17.【答案】解：(1)列表如下：由表可知共有16种等可能的结果数；(2)∵共有16种等可能的结果数，其中能拼出“北仑”(不分先后)的有2种结果， ∴能拼出“北仑”(不分先后)的概率为216=18．【解析】(1)根据题意列表得出所有等可能的结果数即可； (2)从(1)中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.【答案】45 13【解析】解：(1)tan∠DAB =45， ∵AB//CD ， ∴△ABE∽△DCE ， ∴△ABC 的周长△CDE 的周长=13．故答案为：45，13．(2)如图，P ，Q 即为所求作．(1)构建直角三角形解决问题求出tan∠DAB，利用相似三角形的性质求出相似比．(2)利用平行线等分线段定理解决问题即可．本题考查作图−应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)∵抛物线y=a(x−4)2+2经过点(2,−2)．∴−2=a(2−4)2+2，解得a=−1；(2)∵y=−(x−4)2+2，∴抛物线对称轴为直线x=4，∵a=−1<0，∴当x<4时，x随着y的增大而增大，∵m<n<4，∴A、B在对称左侧，∴y1<y2．【解析】(1)把点(2,−2)代入可求得a；(2)由条件可知A、B两点都在对称轴左侧，利用二次函数的单调性质可比较大小．本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)根据题意可知：∠CAB=29°，AB=40米，∴BC=AB×tan∠CAB≈40×0.55≈22(米)．答：摩天轮的底部(C点)到地面(B点)的距离为22米；(2)根据题意可知：∠DAB=63°，∴BD=AB×tan∠DAB≈40×1.96≈78(米)，∴CD=BD−CB=78−22=56(米)．答：底部到地面距离为22米，摩天轮半径为56米．【解析】(1)根据锐角三角函数列式计算即可；(2)根据锐角三角函数列式计算，进而可得摩天轮的圆轮直径．本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．21.【答案】(1)证明：∵AC//DE，∴∠CDE=∠ACD，∵CD是Rt△ABC斜边AB中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD=∠CDE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DCE；(2)解：∵CD⊥CE，∴DE=5，∵CD是Rt△ABC斜边AB中线，∴AB=2CD=8，∵△ABC∽△DCE，∴S△ABCS△DCE =(ABED)2，∴S△ABC=6425×6=38425．【解析】(1)根据CD是Rt△ABC斜边AB中线，可得CD=AD，所以∠A=∠ACD=∠CDE，进而可以证明△ABC∽△DEC；(2)结合(1)，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是证明△ABC∽△DEC．22.【答案】解：(1)由题意得：该函数应为二次函数，故设函数为y=a(x+1)2+ℎ，代入(0,49)，(2,41)，{49=a +ℎ41=9a +ℎ， 解得：{a =−1ℎ=50， 故y =−(x +1)2+50．当x =−1时，y 最大值=50；即该植物高度增长量的最大值是50mm ；(2)∵25010=25，∴y =25，当y =25时，25=−(x +1)2+50，解得：x 1=4，x 2=−6，∵a =−1，∴当−6<x ≤−1时，y 随着x 的增大而增大，即y ≥25，当−1≤x <4时，y 随着x 的增大而减小，即y ≥25，∴−6<x <4．答：应该在−6<x <4之间选择．【解析】(1)直接利用表格中数据得出函数关系式，进而得出最值求出答案；(2)直接利用二次函数增减性结合ℎ=25，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．23.【答案】解：(1)连接OC ，∵OC =OA ，∴∠OCA =∠OAC ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC =∠OCA ，∵AD ⊥DP ，∴∠DAC +∠DCA =90°，∴∠ACO +∠DCA =90°，∴PC 与⊙O 相切；(2)①∵AB 为直径，∴∠ACB =90°=∠ADC ，∵AB=9,sin∠CAB=13，∴BC=3，AC=√AB2−BC2=6√2，∵∠DAC=∠CAB，∴△DCA∽△CBA，∴CDBC =ADAC=ACAB，即CD3=6√2=6√29，∴AD=8，CD=2√2；②连接CE，∵∠EDC=∠ACB=90°，∴△EDC∽△BCA，∴EDBC =DCCA，即DE3=√262，∴DE=1，∴AE=AD−DE=8−1=7．【解析】(1)连接OC，证出OC⊥CD即可；(2)利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质可求答案．本题考查切线的判断和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判断和性质，连接切线的性质和判断以及相似三角形的性质是解决问题的前提．24.【答案】平行P13≤d3≤5(0,−1)或(−√32,1 2 )【解析】解：(1)由题知P1P2//P3P4，由“平移距离”的定义可知AP1的长度是线段AB的“平移距离”，故答案为：平行，P1；(2)①线段AB在直线y=x+2上，平移之后与圆相交，得到的弦为A′B′//AB，过点O作OH⊥AB于点H，交弦A′B′于点P，∴PO⊥A′B′，令y=0，直线与x轴交点为(−2,0)，直线与x轴夹角为45°，∴OH=√2，由垂径定理得：OP=1，2∴d1=OH−OP=√2−1；2②假设存在这样的点B(a,a2+4)满足要求，即AB=√3⇒a2+4−a−2=√3⇒a2−a+2−√3=0，△=4√3−7<0，故不存在；(3)∵点A的坐标为(2√3,2)，AB=√3，∴点B在以A为圆心，√3为半径的圆上，连接OA交圆O于M，则OA=√(2√3)2+22=4，∴d3=AA′，∵A′在圆O上，∴当A 点与M 重合时d 3有最小值为4−1=3；当A 点与N 点重合时d 3有最大值为4+1=5；故d 3的取值范围为3≤d 3≤5；当d 3取最小值时，即点A′与M 点重合，设直线OA 的解析式为y =kx ，代入A 点坐标得2=2√3k ，解得k =√33， 即直线OA 的解析式为y =√33x ， ∵AM =3，∴A 点向下平移32个单位，向左平移3√32个单位即可得到M 点坐标， ∴此时M 点的坐标为(√32,12)， 则B′点坐标为(−√32,12)或(0,−1)， 将B′点向上平移32个单位，向左平移3√32个单位即可得到B 点坐标， ∴B 点坐标为(√3,2)或(3√32,12)， 故答案为：3≤d 3≤5；(√3,2)或(3√32,12). (1)由直线的平移和“平移距离”的定义即可得出；(2)①过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交弦A′B′于点P ，得出d 1=OH −OP =√2−12；②假设存在这样的点B(a,a 2+4)满足要求，得出AB 的表达式，根据有没有实数根判断是否存在；(3)画图，根据图象确定A′点的最大最小值所在的位置，即可求出平移距离的取值范围，求出直线OA 的解析式根据平移知识求出M 点的坐标，进而确定B′点的坐标，再由平移知识求出B 点坐标即可．本题主要考查圆的综合题，涉及一次函数的性质，平移的性质等知识，正确理解“平移距离”的定义是解题的关键．。
《试卷3份集锦》宁波市2020-2021年九年级上学期期末学业质量监测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三者都有可能 【答案】A【解析】试题分析：本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A 和圆的位置关系是解题关键．设直线经过的点为A ，若点A 在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA 的长和半径2比较大小再做选择．设直线经过的点为A ，∵点A 的坐标为（sin45°，cos30°），∴， ∵圆的半径为2，∴OA ＜2，∴点A 在圆内，∴直线和圆一定相交.故选A ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.坐标与图形性质；3.特殊角的三角函数值．2．若二次函数22y x x m =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥B ．1mC ．1mD ．1m <【答案】D【解析】由抛物线与x 轴有两个交点可得出△=b 2-4ac ＞0，进而可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【详解】∵抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m ＞0，即4-4m ＞0，解得：m ＜1．故选D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，牢记“当△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点”是解题的关键．3．已知x ＝5是分式方程1a x -＝52x 的解，则a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．4 【答案】C 【分析】现将x=5代入分式方程,再根据解分式方程的步骤解出a 即可．【详解】∵x ＝5是分式方程1a x -＝52x的解， ∴51a -＝525⨯， ∴4a ＝12， 解得a ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程,关键在于代入x 的值,熟记分式方程的解法．4．如图，在Rt △ABC 中，∠BA C=90º，AH 是高，AM 是中线，那么在结论①∠B=∠BAM ，②∠B=∠MAH ，③∠B=∠CAH 中错误的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B ＝∠BAM ，根据已知条件判断∠B ＝∠MAH 不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B ＝∠CAH ．【详解】①∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AH 是高，AM 是中线，∴AM ＝BM ，∴∠B ＝∠BAM ，①正确；②∵∠B ＝∠BAM ，不能判定AM 平分∠BAH ，∴∠B ＝∠MAH 不一定成立，②错误；③∵∠BAC ＝90°，AH 是高，∴∠B ＋∠BAH ＝90°，∠CAH ＋∠BAH ＝90°，∴∠B ＝∠CAH ，③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．5．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C 【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB ＝OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°．∵OB ＝OC ，BC ＝1，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝BC ＝1．故选：C.【点睛】本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．6．如图，在⊙O ，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠OAB ＝54°，则∠C( )A ．54°B ．27°C ．36°D ．46°【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB 的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】解：∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝54°，∴∠AOB ＝180°﹣54°﹣54°＝72°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝36°．故答案为C．【点睛】本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.7．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：过点P作PF⊥BC于F，∵PE=PB，∴BF=EF，∵正方形ABCD的边长是1，∴22112+=∵AP=x，∴2-x，∴222)1x x=，∴BF=FE=1-FC=22x ， ∴S △PBE =12BE•PF=2221212x x x x ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 即2122y x x =-+（0＜x ＜2）， 故选D ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，点A 与原点重合，点D 的坐标是 （3，4），反比例函数y ＝k x（k≠0）经过点C ，则k 的值为（ ）A ．12B ．15C ．20D ．32【答案】D 【分析】分别过点D ，C 作x 轴的垂线，垂足为M ，N ，先利用勾股定理求出菱形的边长，再利用Rt △ODM ≌Rt △BCN 得出BN ＝OM ，则可确定点C 的坐标，将C 点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k 的值.【详解】如图，分别过点D ，C 作x 轴的垂线，垂足为M ，N ，∵点D 的坐标是 （3，4），∴OM ＝3，DM ＝4，在Rt △OMD 中，OD 2222345OM DM +=+=∵四边形ABCD 为菱形，∴OD ＝CB ＝OB ＝5，DM ＝CN ＝4，∴Rt △ODM ≌Rt △BCN （HL ），∴BN ＝OM ＝3，∴ON ＝OB+BN ＝5+3＝8，又∵CN ＝4，∴C （8，4），将C （8，4）代入k y x=得，k ＝8×4＝32，故选：D ．【点睛】本题主要考查勾股定理，全等三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，掌握全等三角形的性质及待定系数法是解题的关键.9．如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么P(飞镖落在阴影部分的概率)为( )A ．16B ．18C ．19D ．112【答案】C 【解析】先求大正方形和阴影部分的面积分别为36和4,再用面积比求概率.【详解】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为6×6=36，阴影部分面积为114122422⨯⨯+⨯⨯=，所以，P 落在三角形内的概率是41369=. 故选C.【点睛】本题考核知识点：几何概率.解答本题的关键是理解几何概率的概念，即：概率=相应的面积与总面积之比．分别求出相关图形面积，再求比.10．若x 1是方程220ax x c --=（a≠0）的一个根，设()211p ax =-， 1.5q ac =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．不能确定 【答案】A【分析】把x 1代入方程ax 2-2x-c=0得ax 12-2x 1=c ，作差法比较可得．【详解】解：∵x 1是方程ax 2-2x-c=0（a ≠0）的一个根，∴ax 12-2x 1-c=0，即ax 12-2x 1=c ，则p- q=（ax 1-1）2-（ac+1.5）=a 2x 12-2ax 1+1-1.5-ac=a（ax12-2x1）-ac-0.5=ac-ac-0.5=-0.5，∵-0.5＜0，∴p- q＜0，∴p＜q．故选：A．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解，利用比差法比较大小是解题的关键．11．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【答案】B【解析】由已知可证△ABO∽CDO,故CD OCAB OA=,即1.813AB=.【详解】由已知可得，△ABO∽CDO,所以，CD OC AB OA=,所以，1.813 AB=，所以，AB=5.4故选B【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.12．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．12B．14C．16D．112【答案】C【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21126=． 故答案为C ．【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．方程x 2＝x 的解是_____．【答案】x 1＝0，x 2＝1【分析】利用因式分解法解该一元二次方程即可.【详解】解：x 2＝x ，移项得：x 2﹣x ＝0，分解因式得：x （x ﹣1）＝0，可得x ＝0或x ﹣1＝0，解得：x 1＝0，x 2＝1．故答案为：x 1＝0，x 2＝1【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键.14．已知0m ≥，0n ≥．且1m n +=，设22y m n =+，则y 的取值范围是______． 【答案】112y ≤≤ 【分析】先根据已知得出n=1-m ，将其代入y 中，得出y 关于m 的二次函数即可得出y 的范围【详解】解：∵1m n +=∴n=1-m ， ∴22222211(1)2212()22y m n m m m m m =+-=+--=+=+ ∵0m ≥，0n ≥∴0m ≥，10m -≥∴01m ≤≤当m=12时，y 有最小值12， 当m=0时，y=1当m=1时，y=1∴112y ≤≤ 故答案为：112y ≤≤ 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键15．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，P 为切点，如果AB ＝8cm ，小圆直径径为6cm ，那么大圆半径为_____cm ．【答案】1【分析】连接OA ，由切线的性质可知OP ⊥AB ，由垂径定理可知AP ＝PB ，在Rt △OAP 中，利用勾股定理可求得OA 的长．【详解】如图，连接OP ，AO ，∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ，∵OP 过圆心，∴AP ＝BP ＝12AB ＝4cm ， ∵小圆直径为6cm ，∴OP ＝3cm ，在Rt △AOP 中，由勾股定理可得OA 2243+1（cm ），即大圆的半径为1cm ，故答案为：1．【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，在圆中垂径定理通常与勾股定理一起运用求半径、弦、弦心距中的一个量的值.16．一元二次方程24x =的解是 ．【答案】±1．【解析】试题分析：∵x 1-4=0∴x=±1．考点：解一元二次方程-直接开平方法．17．已知点(,6)P a -与点(5,3)Q b -关于原点对称，则a b +=__________．【答案】1【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】解：∵点P （a ，-6）与点Q （-5，3b ）关于原点对称，∴a=5，3b=6，解得：b=2，故a+b=1．故答案为：1．【点睛】此题考查关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．18．把抛物线y=2x 2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______.【答案】y ＝2（x ＋2）2﹣1【解析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知,二次函数y ＝2x 2的图象向下平移1个单位得到y ＝2x 2−1，由“上加下减”的原则可知,将二次函数y ＝2x 2−1的图象向左平移2个单位可得到函数y ＝2(x ＋2)2−1， 故答案是：y ＝2(x ＋2)2−1.【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握规律是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级()1班的2名男生1名女生中和九年级()2班的1名男生1名女生中各随机选出1名主持人．（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；（2）求2名主持人恰好1男1女的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）12【分析】（1）首先根据题意列表，由树形法可得所有等可能的结果；（2）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，根据概率公式即可求得解．【详解】解：（1）用树状图表示如下：（A 表示男生，B 表示女生）由树状图知共有6种等可能结果（2）由树状图知：2名主持人1男1女有3种，即(A 1，B 2)，(A 1，B 2)(A 2，B 1)，所以P (恰好一男一女)=3162= 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20．己知函数223y ax x =--（a 是常数）（1）当1a =时，该函数图像与直线1y x =-有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图像与x 轴只有一公共点，求a 的值.【答案】（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）0a =或13a =-.【分析】（1）首先联立二次函数和一次函数得出一元二次方程，然后由根的判别式判定即可； （2）分情况讨论：当0a =和0a ≠时，与x 轴有一个公共点求解即可.【详解】（1）当1a =时，223y x x =-- ∴2123y x y x x =-⎧⎨=--⎩∴2320x x --= ∵()9412170∆=-⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根，函数图像与直线有两个不同的公共点（2）①当0a =时，函数23y x =--与x 轴有一个公共点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭②当0a ≠时，函数223y ax x =--是二次函数由题可得4120a ∆=+=，13a =-综上可知：0a =或13a =-.【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2124y x x =--+，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot 2ABC ∠=，求点B 坐标．【答案】（1）开口方向向下，点A 的坐标是(2,3)-，在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）点B 的坐标为(4,2)-【分析】（1）先化为顶点式，然后由二次函数的性质可求解；（2）如图，设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD BD ⊥，设线段AD 的长为m ，则·cot 2BD AD ABC m =∠=，可求点B 坐标，代入解析式可求m 的值，即可求点B 坐标．【详解】解：（1）抛物线22112(2)344y x x x =--+=-++的开口方向向下， 顶点A 的坐标是(2,3)-，抛物线的变化情况是：在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）如图，设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD BD ⊥．设线段AD 的长为m ，则·cot 2BD AD ABC m =∠=，∴点B 的坐标可表示为(22,3)m m ---，代入2124y x x =--+，得213(22)(22)24m m m -=------+． 解得10m =（舍)，21m =，∴点B 的坐标为(4,2)-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B 坐标是本题的关键． 22．有六张完全相同的卡片，分,A B 两组，每组三张，在A 组的卡片上分别画上“√，×，√”，B 组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图①所示．（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率（请用“树形图法”或“列表法”求解）．（2）若把,A B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图②所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．【答案】（1）29；（2）①23；②12 【分析】（1）画出树状图计算即可；（2）①三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，然后计算即可；②正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，计算即可；【详解】（1）解：根据题意，可画出如下树形图：从树形图可以看出，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种，∴P （两张都是“√”）29= （2）解：①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”， ∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为23．②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，∴猜对反面也是“√”的概率为12．【点睛】本题主要考查了概率的计算，准确理解题意是解题的关键．23．某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：请根据以上图表信息解答下列问题：（1）频数分布表中的m=________，n=________；（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为________°；（3）从选择“篮球”选项的60名学生中，随机抽取10名学生作为代表进行投篮测试，则其中某位学生被选中的概率是________．【答案】2 0.3 108 1 6【分析】（1）先求出样本总数，进而可得出m、n的值；（2）根据（1）中n的值可得出，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数；（3）依据求简单事件的概率即可求出．【详解】解：（1）∵喜欢篮球的是60人，频率是0.25，∴样本数=60÷0.25=1．∵喜欢羽毛球场的频率是0.20，喜欢乒乓球的是72人，∴n=72÷1=0.30，m=0.20×1=2．故答案为2，0.30；（2）∵n=0.30，∴0.30×360°=108°．故答案为108；（3）从选择“篮球”选项的60名学生中，随机抽取10名学生作为代表进行投篮测试，则其中某位学生被选中的概率是10÷60=16．故答案为(1) 2 ，0.3 （2）108 (3). （3）1 6【点睛】题考查的是扇形统计图，熟知通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数是解答此题的关键．24．如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．【答案】∠C =25°．【分析】连接OB，利用切线的性质OB⊥AB，进而可得∠BOA=50°，再利用外角等于不相邻两内角的和，即可求得∠C的度数．【详解】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∵∠A=40°，∴∠BOA=50°，又∵OC=OB，∴∠C=12∠BOA=25°．【点睛】本题主要考查切线的性质，解决此类题目时，知切点，则连半径，若不知切点，则作垂直．25．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线kyx与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=32．（1）求这两个函数的解析式．（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．【答案】（1）y=﹣3x ；y=﹣x+1（1）4. 【解析】试题分析：（1）根据 S △ABO =32，即1322x y ⋅=，所以3x y ⋅= ，又因为图象在二四象限，所以xy=﹣3即 k=-3，从而求出反比例函数解析式将 k=-3代入 ()1y x k =--+，求出一次函数解析式； （1）将两个函数关系式 y=﹣3x和y=﹣x +1联立，解这个方程组，可求出两个交点A ，C 的坐标； （3）将x=0代入 y=﹣x +1中，求出D 点坐标，根据△AOC 的面积=△ADO 的面积+△CDO 的面积求解即可. 解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），且x ＜0，y ＞0则S △ABO =•|OB|•|AB|=•（﹣x ）•y=32 ∴xy=﹣3又∵y= ∴k=﹣3∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣3x，y=﹣x +1（1）A 、C 两点坐标满足32y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 121213,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ∴交点A 为（﹣1，3），C 为（3，﹣1）（3）由y=﹣x+1，令x=0，得y=1．∴直线y=﹣x+1与y 轴的交点D 的坐标为（0，1）点睛：本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积.将已知点的坐标代入解析式，求出未知系数，从而求出函数解析式；将两个函数关系式联立，解所得到的方程组，可求出函数的交点坐标；求不规则图形的面积，一般采用割或补的方式求解.26．如图，已知点O 是坐标原点，B C 、两点的坐标分别为()3,1-，()2,1.（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将OBC ∆放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的''OB C ∆；（2）若OBC ∆内部一点M 的坐标为(),a b ，则点M 对应点M '的坐标是______；（3）求出变化后''OB C ∆的面积 ______ .【答案】 (1)见解析;(2) ()2,2a b --；(3)10【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）利用（1）中对应点的关系求解；（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．【详解】解：（1）如图， ''OB C ∆为所作；（2）点M 对应点M '的坐标是()2,2a b --；（3）''OB C ∆的面积11144232121311022)2(OCB S ∆==⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 【点睛】本题考查了作图-位似变换：熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．27．解方程：x2﹣2x﹣2=1．【答案】x1x2=1【解析】试题分析：把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．试题解析：x2﹣2x﹣2=1移项，得x2﹣2x=2，配方，得x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，开方，得x﹣解得x1x2=1考点：配方法解一元二次方程九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若()350a b b =≠，则下列各式一定成立的是（ ）A ．35a b =B ．53a b =C ．35a b =D ．145a b += 【答案】B【分析】由0,b ≠ 等式的两边都除以3b ，从而可得到答案．【详解】解：()350,a b b =≠∴ 等式的两边都除以：3b ，35,33a b b b∴= 5.3a b ∴= 故选B ．【点睛】本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．2．下列函数中,y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．2y x =B ．123y x -=-C ．221y x =-D ．y x =- 【答案】B【分析】根据y 是x 的反比例函数的定义，逐一判断选项即可.【详解】A 、2y x =是正比例函数,故本选项不符合题意．B 、y 是x 的反比例函数,故本选项符合题意；C 、y 不是x 的反比例函数,故本选项不符合题意；D 、y x =-是正比例函数,故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】 本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式k y x=(k ≠0的常数)，是解题的关键. 3．硬币有数字的一面为正面，另一面为反面.投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是（ ）A ．正面向上B ．正面不向上C ．正面或反面向上D ．正面和反面都不向上 【答案】C【分析】根据概率公式分别求出各选项事件的概率, 即可判断．【详解】解: 若不考虑硬币竖起的情况,A．正面向上概率为1÷2=1 2 ;B．正面不向上的概率为1÷2=1 2 ;C．正面或反面向上的概率为2÷2=1; D．正面和反面都不向上的概率为0÷2=0∵1＞12＞0∴正面或反面向上的概率最大故选C．【点睛】此题考查的是比较几个事件发生的可能性的大小,掌握概率公式是解决此题的关键．4．已知命题“关于x的一元二次方程210x nx++=必有两个实数根”，则能说明该命题是假命题的n的一个值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据判别式的意义，当m=1时，△＜0，从而可判断原命题为是假命题．【详解】,解：△=n2-4，当n=1时，△＜0，方程没有实数根，当n=2时，△=0，方程有两个相等的实数根，当n=3时，△>0，方程有两个不相等的实数根，当n=4时，△>0，方程有两个不相等的实数根，故选：A【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图1．则旋转的牌是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】解：观察发现，只有是中心对称图形，∴旋转的牌是．故选A ． 6．如果将抛物线232y x =+向右平移1个单位，那么所得新抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】C【分析】根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，即可得出答案．【详解】解：由将抛物线y=3x 2+2向右平移1个单位，得y=3（x-1）2+2，顶点坐标为（1，2），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．7．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB ＝10，水面宽AB ＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是（ ）A ．4B ．5C ．3D ．6【答案】D 【解析】试题解析：∵OC ⊥AB ，OC 过圆心O 点，1116822BC AC AB ∴===⨯=， 在Rt OCB △中,由勾股定理得：2222108 6.OC OB BC =--=故选D.点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.8．若函数y ＝（3﹣m ）27mx -﹣x+1是二次函数，则m 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．±3D ．9 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义来求解，注意二次项的系数与次数.【详解】根据二次函数的定义，可知 m 2-7=2 ，且 3-m ≠0 ，解得 m=-3 ，所以选择B.故答案为B【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为0.9．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数 y 1=x 2（x≥0）与 y 2= 13x 2（x≥0）的图象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1=x 2（x≥0）的图象于点D ，直线DE ∥AC 交 y 2=13x 2（x≥0）的图象于点E ，则DE AB =（ ）A 3B ．1C ．22D ．3﹣ 3【答案】D【分析】设点A 的纵坐标为b, 可得点B 的坐标为b ,b), 同理可得点C 的坐标为3b,b)，D 3b 3b ），E 点坐标(3b ，可得DE AB的值. 【详解】解:设点A 的纵坐标为b, 因为点B 在21y x =的图象上, 所以其横坐标满足2x =b, 根据图象可知点B 的坐标为b ,b), 同理可得点C 的坐标为3b∴所以点D 3b 因为点D 在21y x =的图象上, 故可得 y=23b =3b ，所以点E 的纵坐标为3b,因为点E 在2213y x =的图象上, ∴213x =3b ， 因为点E 在第一象限, 可得E 点坐标为(3b 故DE=33b b (33)b -b所以DE AB =33- 故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质.10．如果53x y x +=，那么y x ＝（ ） A ．85 B ．38 C ．32 D ．23【答案】D【分析】直接利用已知进行变形进而得出结果．【详解】解：∵53x y x +=， ∴3x+3y ＝5x ，则3y ＝2x ，那么y x ＝23． 故选：D ．【点睛】本题考查了比例的性质，正确将已知变形是解题的关键．11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么x 满足的方程是（ ）A ．(1)121x x +=B ．1(1)121x x ++=C ．(1)121x x x ++=D ．1(1)121x x x +++=【答案】D【分析】先由题意列出第一轮传染后患流感的人数，再列出第二轮传染后患流感的人数，即可列出方程．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染后患流感的人数是：1+x ，第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x （1+x ），因此可列方程，1+x+x （1+x ）=1．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．12． 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数． 【详解】∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°−50°=40°. 故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．已知221a b a b-=+，若a b ，是一元二次方程250x x k ++=的两个实数根，则k 的值是___________． 【答案】6 【解析】根据221a b a b-=+得到a-b=1，由a b ，是一元二次方程250x x k ++=的两个实数根结合完全平方公式得到22()()4a b a b ab -=+-，根据根与系数关系得到关于k 的方程即可求解. 【详解】∵22()()1a b a b a b a b a b-+-==++，故a-b=1 ∵a b ，是一元二次方程250x x k ++=的两个实数根，∴a+b=-5，ab=k ，∴22()()4a b a b ab -=+-=1即25-4k=1,解得k=6，故填：6.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知因式分解、根与系数的关系运用.14．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC ＝3，AB ＝5，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为_____．【答案】1【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD ，则可判断OD 为△ABC 的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC ＝2253-＝4，∵OD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ，而OB ＝OA ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ＝12AC ＝12×4＝1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论及垂径定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”，及垂径定理是关键． 15．如图，正方形ABCO 与正方形ADEF 的顶点B 、E 在反比例函数4y x=(0)x >的图象上，点A 、C 、D 在坐标轴上，则点E 的坐标是_____.【答案】(551)【分析】设点E 的坐标为(,)a b ，根据正方形的性质得出点B 的坐标，再将点E 、B 的坐标代入反比例函数解析式求解即可.【详解】设点E 的坐标为(,)a b ，且由图可知0a b >>则,OD a DE AD b ===AB OA OD AD a b ∴==-=-∴点B 的坐标为(,)a b a b --将点E 、B 的坐标代入反比例函数解析式得：44b a a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩整理得：42ab a b =⎧⎨-=⎩解得：5151a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或1515a b ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩（不符合0,0a b >>，舍去）故点E 的坐标为(51,51)+-.【点睛】本题考查了反比例函数的定义与性质，利用正方形的性质求出点B 的坐标是解题关键.16．边长为1的正方形ABCD ，在BC 边上取一动点E ，连接AE ，作EF AE ⊥，交CD 边于点F ，若CF 的长为316，则CE 的长为__________．【答案】14或 34【分析】根据正方形的内角为90°，以及同角的余角相等得出三角形的两个角相等，从而推知△ABE ∽△ECF ，得出AB BE CE CF=，代入数值得到关于CE 的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵正方形ABCD ，∴∠B=∠C ，∠BAE+∠BEA=90°，∵EF ⊥AE ，∴∠BEA+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ，AB BE CE CF ∴=． 21,1131661630,CE CE CE CE -∴=∴-+=。
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市第四区域九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市第四区域九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.抛物线y=−(x−1)2+2的顶点坐标是()A. (1,2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)2.一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是()A. 随机事件B. 不可能事件C. 必然事件D. 无法确定3.已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是()A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法判断4.在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是()A. 1：2：3：4B. 4：2：1：3C. 4：2：3：1D. 1：3：2：45.若将函数y=2x2的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到的抛物线是()A. y=2(x+5)2−1B. y=2(x+5)2+1C. y=2(x−1)2+5D. y=2(x+1)2−56.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是()A. 抛一枚硬币，出现正面朝上B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球7.若干个正方形按如图方式拼接，三角形M经过旋转变换能得到三角形N，下列四个点能作为旋转中心的是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D8.已知，如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，以AB的中点D为圆心DC为半径，作圆心角为90°的扇形DEF，则图中阴影部分的面积为()−2A. π2−1B. π2C. π−2D. π−19.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a<0；②c<0；③a−b+c>0；④b+2a=0．其中正确的结论有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10.如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是()A. ∠OBA=∠OCAB. 四边形OABC内接于⊙OC. AB=2BCD. ∠OBA+∠BOC=90°二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知二次函数的图象开口向下，且经过原点．请写出一个符合条件的二次函数的解析式：______ ．12.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是______ ．13.若二次函数y=x2−6x+c的图象经过A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3+√2,y3)三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是______．14.抛物线y=2x2+x+c与坐标轴有两个交点，则字母c的取值满足的条件是______．15.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABC=______度．16.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D.若AC=6，BD=5√2，则BC的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，CA=3，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，求AD⏜的长．18.某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验(用A、B、C表示)和三个化学实验(用D、E、F表示)中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，分别从中各随机抽取一个．(1)用“列表法”或“画树状图法”表示所有可能出现的结果；(2)小刚抽到物理实验B和化学实验F(记作事件M)的概率是多少？19.已知等边三角形ABC．(1)用尺规作图找出△ABC外心O．(2)设等边三角形的边长为4，求外接圆的半径．20.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=3相交于点A，B，与y相交于点C(0,−1)，其中点A的横坐标为−4．(1)计算a，c的值；(2)求出抛物线y=ax2+c与x轴的交点坐标，并根据图象写出x取什么值时，0≤y≤3．21.已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．∠BAC；(1)当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE=12(2)当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．22.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC=BD；(2)若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．23.为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现，当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？(3)如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？24.如图(1)，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，已知A、C两点的坐标为A(−1,0)，C(0,3).点P是抛物线上第一象限内一个动点．(1)求抛物线的解析式，并求出B的坐标；(2)如图1，抛物线上是否存在点P，使得△OBP≌△OCP，若存在，求点P的坐标；(3)如图2，y轴上有一点D(0,1)，连结DP交BC于点H，若H恰好平分DP，求点P的坐标；(4)如图3，连结AP交BC于点M，以AM为直径作圆交AB、BC于点E、F，若E，F关于直线AP轴对称，求点E的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=−(x−1)2+2，∴该抛物线的顶点坐标为(1,2)，故选：A．根据抛物线y=−(x−1)2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】C【解析】解：∵一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，∴事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件．故选：C．直接利用必然事件的定义得出答案．此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用．已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r>d时，点P在⊙O内，②当r=d 时，点P在⊙O上，③当r<d时，点P在⊙O外．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4<5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．4.【答案】B【解析】解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：2：1：3．故选：B．因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】解：函数y=2x2的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到y=2(x−1)2+5．故选：C．按照“左加右减，上加下减”的规律．考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．6.【答案】D【解析】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为1，不符合这一结果，故此选项错误；6C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：1，符合3这一结果，故此选项正确．故选：D．利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案．此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．7.【答案】C【解析】解：如图所示：三角形M绕点C经过逆时针旋转变换能得到三角形N，故选：C．直接利用旋转的性质结合正方形的性质进而分析得出答案．此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确把握旋转的性质是解题关键．8.【答案】B【解析】解：连接CD，∵∠ACB=90°，CA=CB，∴∠B=45°，AB=2√2，∵CA=CB，AD=BD，∴CD=12AB=BD=√2，CD⊥AB，∴∠BDF+∠CDF=90°，∵∠CDE+∠CDF=90°，∴∠BDF=∠CDE，在△BDG和△CDH中，{∠B=∠DCHBD=CD∠BDG=∠CDH，∴△BDG≌△CDH(ASA)，∴图中阴影部分的面积=扇形EDF的面积−四边形DHCG的面积=扇形EDF的面积−△BDC的面积=90π×(√2)2360−12×√2×√2=π2−1，故选：B．连接CD，证明△BDG≌△CDH，得到图中阴影部分的面积=扇形EDF的面积−△BDC的面积，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是扇形面积计算、全等三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：抛物线的开口向下，因此a<0，所以①正确；抛物线交y轴的正半轴，因此c>0，所以②错误；当x=−1时，y<0，因此a−b+c<0，所以③错误；对称轴是x=−b2a=1，即2b+2a=0，所以④正确；故选：C．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及最大值和最小值进行综合判断即可．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，圆内接四边形，三角形内角和定理的有关知识，正确的作出辅助线是解题的关键．过O作OD⊥AB于D 交⊙O于E，由垂径定理得到AE⏜=BE⏜，于是得到AE⏜=BE⏜=BC⏜，推出AE=BE=BC，根据三角形的三边关系得到2BC>AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA=1 2(180°−∠AOB)=90°−∠BOC，∠OCA=12(180°−∠AOC)=90°−32∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC 不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则AE⏜=BE⏜，∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=12∠AOB，∵∠AOB=2∠BOC，∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，∴AE⏜=BE⏜=BC⏜，∴AE=BE=BC，∴2BC>AB，故C错误；∵OA=OB=OC，∴∠OBA=12(180°−∠AOB)=90°−∠BOC，∠OCA=12(180°−∠AOC)=90°−32∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE=∠BOC=12∠AOB，∵∠BOE+∠OBA=90°，∴∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；故选D．11.【答案】y=−x2【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a<0，∵二次函数的图象过原点，∴c=0．故解析式满足a<0，c=0即可，如y=−x2．故填空答案：如y=−x2等．根据二次函数的图象开口向下知道a<0，又二次函数的图象过原点，可以得到c=0，所以解析式满足a<0，c=0即可．此题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错．本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．12.【答案】14【解析】解：用列举法表示出各种可能：．则共有4种情况，而全部正面朝上的只有一种，则概率是：14．故答案是：14利用列举法，列举出出现的各种可能情况，根据概率公式即可求解．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m．n13.【答案】y1>y3>y2【解析】解：根据二次函数图象的对称性可知，C(3+√2,y3)中，|3+√2−3|>|3−2|= 1，A(−1,y1)，B(2,y2)在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因为−1<1<2，于是y1>y3>y2．故答案为：y1>y3>y2．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2<y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3>y2；于是y1>y3>y2．本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．14.【答案】c=1或c=08【解析】解：∵抛物线y=2x2+x+c与坐标轴有两个交点，①将(0,0)代入解析式得c=0；②△=1−8c=0，解得c=1．8或c=0．故答案为：c=18根据抛物线与x轴有两个交点可知二次函数过原点或与x轴相切．故分两种情况解答：①将(0,0)代入解析式；②△=0．本题考查的是抛物线与x轴的交点及根的判别式，熟知抛物线与x轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．15.【答案】24【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°∴∠BAC=360°−120°−108°=132°∵AB=AC∴∠ACB=∠ABC=180°−132°2=24°故答案为：24．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．16.【答案】8【解析】解：连接AD，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径．∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴AD=BD=5√2．∵AB是⊙O的直径，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB=√AD2+BD2=√(5√2)2+(5√2)2=10．∵AC=6，∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8．故答案为：8．连接AD，根据CD是∠ACB的角平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．17.【答案】解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=90°−25°=65°，∴∠ACD=180°−65°×2=50°，∴AD⏜的长=50π×3180=56π.【解析】连接CD，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠ACD，根据弧长公式计算即可．本题考查的是圆的有关概念，等腰三角形的性质，弧长的计算，掌握圆的半径相等，弧长公式是解题的关键．18.【答案】解：(1)列表如下：D E FA(A,D)(A,E)(A,F)B(B,D)(B,E)(B,F)C(C,D)(C,E)(C,F)由表可知，所有可能出现的结果AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF；(2)从表格可以看出，所有可能出现的结果共有9种，其中抽到物理实验B和化学实验F 出现了一次，所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率=19．【解析】(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；(2)根据概率公式求出该事件的概率即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：(1)如图，点O 即为所求．(2)∵△ABC 是等边三角形，O 是外心，∴BF =CF =2，AF ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，∴∠OBF =12∠ABC =30°， ∴OB =BF cos30∘=2√32=4√33，∴△ABC 的外接圆的半径为4√33．【解析】(1)作BE ⊥AC 于E ，AF ⊥BC 于F ，射线BE 交射线AF 于点O ，点O 即为所求．(2)在Rt △OBF 中，解直角三角形求出OB 即可．本题考查作图−复杂作图，等边三角形的性质，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：(1)将A(−4,3)，C(0,−1)代入y =ax 2+c 得：{16a +c =3c =−1， 解得：{a =14c =−1． (2)当y =0时，14x 2−1=0，解得：x 1=−2，x 2=2，∴抛物线y =ax 2+c 与x 轴的交点坐标为(−2,0)，(2,0)．观察函数图象，可知：当−4≤x ≤−2或2≤x ≤4时，0≤y ≤3．【解析】(1)根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出a，c的值；(2)代入y=0求出与之对应的x值，进而可得出抛物线与x轴的交点坐标，再观察函数图象即可得出当0≤y≤3时x的取值范围．本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求出二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线与x轴的交点坐标．21.【答案】解：(1)连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC．又∵∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=12∠BAC；(2)结论成立．理由如下：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=12∠BAC【解析】(1)连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；(2)连接AD.根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC=2∠CBE．此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．22.【答案】(1)证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE−DE=AE−CE，即AC=BD；(2)解：由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE=√OC2−OE2=√82−62=2√7，AE=√OA2−OE2=√102−62=8，∴AC=AE−CE=8−2√7．【解析】(1)过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE−CE即可得出结论．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23.【答案】解：(1)由题意得，y=700−20(x−45)=−20x+1600；(2)P=(x−40)(−20x+1600)=−20x2+2400x−64000=−20(x−60)2+8000(45≤x≤80)，∵a=−20<0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8000元；(3)由题意，得−20(x−60)2+8000=6000，解得x1=50，x2=70．∵抛物线P=−20(x−60)2+8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润．又∵y随x的增大而减小，∴当x=70时，y最小值=−20×70+1600=200，即超市每天至少销售糕点200盒．【解析】(1)根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)根据利润=1盒糕点所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；(3)先由(2)中所求得的P与x的函数关系式，根据每天销售糕点的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据(1)中所求得的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式即可求解．本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒糕点所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，C(0,3)，∴{c=3−1−b+c=0，∴{b=2c=3，∴y=−x2+2x+3，令y=0，得到−x2+2x+3=0，解得x=−1或3，∴B(3,0)．(2)如图1中，∵△OBP≌△OCP，∴∠POB=∠POC=45°，∴可以假设P(m,m)，把P(m,m)代入y=−x2+2x+3，得到m=−m2+2m+3，∴m2−m−3=0，解得m=1±√132，∵点P在第一象限，∴P(1+√132,1+√132).(3)如图2中，过点P作PG//y轴交BC于G.设P(m,−m2+2m+3)，则G(m,3−m)，∵D(0,1)，∴OD=1，∵OC=3，∴CD=2，∵PG//CD，∴∠HCD=∠HGP，∵∠CHD=∠GHP，DH=PH，∴△CHD≌△GHP(AAS)，∴PG=CD=2，∴PG=−m2+2m+3−(3−m)=2，解得m=1或2，∴P(1,4)或(2,3)．(4)如图3中，连接AF，ME．∵AM是直径，∴∠AFM=∠AEM=90°，∴AF⊥CM，ME⊥AE，∵E，F关于直线AP轴对称，∴ME=MF，AF=AE，∵OB=OC=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∵∠BEM=90°，∠AFB=90°，∴∠EMB=∠EBM=45°，AF=FB=AE=√2AB=2√2，2∴BE=ME=FM=AB−AE=4−2√2，∴OE=3−(4−2√2)=2√2−1．∴E(2√2−1,0)．【解析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)证明OP平分∠COB，设P(m,m)，再利用待定系数法解决问题．(3)如图2中，过点P作PG//y轴交BC于G.设P(m,−m2+2m+3)，则G(m,3−m)，利用全等三角形的性质证明PG=CD=2，构建方程求出即可．(4)如图3中，连接AF，ME.想办法证明AF=AE=FB=√2AB=2√2，再证明FM=2ME=BE，求出OE即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．第21页，共21页。
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是( )A ．B ．C ．D ．2．（4分）气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是( ) A ．明天30%的地区不会下雨 B ．明天下雨的可能性较大C ．明天70%的时间会下雨D ．明天下雨是必然事件3．（4分）把二次函数2(1)3y x =--的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为( ) A ．2(2)1y x =++B ．2(2)1y x =-+C ．2(4)1y x =++D ．2(4)1y x =-+4．（4分）一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为( ) A ．3:2B ．1:3C ．1:2D ．2:35．（4分）如图，直线123////l l l ，直线AB ，DE 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，若:2:5AB AC =，15EF =，则DF 的长等于( )A ．18B ．20C ．25D ．306．（4分）在45⨯网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是( )A ．3sin A =B ．1cos 2A =C ．3tan AD ．2cos A =7．（4分）如图，已知O 的半径为3，弦AB ⊥直径CD ，30A ∠=︒，则BD 的长为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π8．（4分）如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10︒，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB 至少需( )（精确到0.1米．参考值：sin100.7︒=，cos100.98︒≈，tan100.18)︒≈A ．8.5米B ．8.8米C ．8.3米D ．9米9．（4分）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm ，宽为8dm ，上下边框的宽度都为x dm ，左右边框的宽度都为y dm ．则符合下列条件的x ，y 的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为( )A ．x y =B ．32x y =C ．1x =，2y =D ．3x =，2y =10．（4分）如图，二次函数2(0y ax bx c a =++≠，a ，b ，c 为常数）与二次函数21(2y x ex f e =++，f 为常数）的图象的顶点分别为A 、B ，且相交于(,)C m n 和(8,)D m n +，若90ACB ∠=︒，则a 的值为( )A ．12-B ．14-C ．18-D ．116-二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知(4,3)P 为α∠边上一点，则cos α= ．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 6000 到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 3601 摸到白球的频率mn0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6； ②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无” )．13．（5分）已知点1(1,)A y -，2(0.5,)B y -，3(4,)C y 都在二次函数221(0)y ax ax a =-+->的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 ．14．（5分）如图，AB 为O 的直径，2AC BC =，M 为BC 的中点，过M 作//MN OC 交AB 于N ，连接BM ，则BMN ∠的度数为 ．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为 ．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH 拼成；正方形EFGH 是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL 拼成；正方形ABCD ，EFGH ，IJKL 的面积分别为1S ，2S ，3S ，分别连接AK ，BL ，CI ，DJ 并延长构成四边形MNOP ，它的面积为m ．①请用等式表示1S ，2S ，3S 之间的数量关系为： ； ②m = （用含1S ，3S 的代数式表示)m ．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分） 17．（8分）计算求值： （1）已知34a b =，求a ba-的值； （2）2sin30tan60cos30︒-︒⋅︒．18．（8分）如图，在48⨯的网格中，已知格点ABC ∆（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件． （1）与ABC ∆有一公共角； （2）与ABC ∆相似但不全等．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角BODαCO cm=．==，40BO DO cmAO cm=，80∠=，70α=︒，求点A离地面的高度AE；（1）若56（参考值：sin62cos280.88︒≈，tan280.53︒≈．)︒=︒≈，tan62 1.88︒=︒≈，sin28cos620.47（2）调节α的大小，使A离地面高度125=时，求此时C点离地面的高度CF．AE cm21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①15a=；②10a=．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．22．（10分）如图，已知，A ，B 是O 上的点，P 为O 外一点，连接PA ，PB ，分别交O 于点C ，D ，AC BD =． （1）求证：PA PB =；（2）若60P ∠=︒，3CD AC =．AOC ∆的面积等于9，求图中阴影部分的面积．23．（12分）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(4,0)B ，(1,3)E ，与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作//PQ AC ，交直线BC 于点Q ，作//PM y 轴交BC 于M ．①求证：PQM COA ∆∆∽； ②求线段PQ 的长度的最大值．24．（14分）如图，O 的半径为5，弦6BC =，A 为BC 所对优弧上一动点，ABC ∆的外角平分线AP 交O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1．①求证：点P为BAC的中点；②求sin BAC∠的值；（2）如图2，若点A为PC的中点，求CE的长；（3）若ABC⋅的最大值．∆为非锐角三角形，求PA AE2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据旋转的定义，A ，B ，C 中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D 符合题意． 故选：D ．2．（4分）气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是( ) A ．明天30%的地区不会下雨 B ．明天下雨的可能性较大C ．明天70%的时间会下雨D ．明天下雨是必然事件【解答】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B 正确． 故选：B ．3．（4分）把二次函数2(1)3y x =--的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为( ) A ．2(2)1y x =++B ．2(2)1y x =-+C ．2(4)1y x =++D ．2(4)1y x =-+【解答】解：把二次函数2(1)3y x =--的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为2(13)34y x =-+-+，即2(2)1y x =++． 故选：A ．4．（4分）一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为( ) A ．3:2B ．3C ．2D 23【解答】解：设此圆的半径为R ， 它的内接正六边形的边长为R ， 2R ，内接正六边形和内接四边形的边长比为22R R =． 故选：C ．5．（4分）如图，直线123////l l l ，直线AB ，DE 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，若:2:5AB AC =，15EF =，则DF 的长等于( )A ．18B ．20C ．25D ．30【解答】解：123////l l l ，∴AB DE AC DF =，即2155DF DF-=， 25DF ∴=．故选：C ．6．（4分）在45⨯网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是( )A ．3sin A =B ．1cos 2A =C ．3tan AD ．2cos A =【解答】解：由网格构造直角三角形可得，2221310AB =+=，222125AC =+=，222125BC =+=， 222AB AC BC =+， ABC ∴∆是等腰直角三角形， 45A B ∴∠=∠=︒，2sin sin 45A ∴=︒=2cos cos 45A =︒=，tan tan451A =︒=，∴选项D 是正确的，故选：D ．7．（4分）如图，已知O 的半径为3，弦AB ⊥直径CD ，30A ∠=︒，则BD 的长为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π【解答】解：如图，连接OB ．CD AB ⊥，CD 是直径，∴AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠， OA OB =， 30A B ∴∠=∠=︒，1803030120AOB ∴∠=︒-︒-︒=︒，1602COB AOB ∴∠=∠=︒，18060120DOB ∴∠=︒-︒=︒，∴BD 的长12032180ππ⋅⋅==︒，故选：B ．8．（4分）如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10︒，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB 至少需( )（精确到0.1米．参考值：sin100.7︒=，cos100.98︒≈，tan100.18)︒≈A ．8.5米B ．8.8米C ．8.3米D ．9米【解答】解：由于台阶共高出地面1.53米，斜坡的坡角不得超过10︒，斜坡的水平宽度AB 至少为 1.538.5tan10AB =≈︒（米)． 故选：A ．9．（4分）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm ，宽为8dm ，上下边框的宽度都为x dm ，左右边框的宽度都为y dm ．则符合下列条件的x ，y 的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为( )A ．x y =B ．32x y =C ．1x =，2y =D ．3x =，2y =【解答】解：如图，当矩形ABCD ∽矩形EFGH 时，则有AB ADEF EH=， ∴81282122x y=--， 可得32x y =，选项B 符合题意， 当矩形ABCD ∽矩形EHFG 时，则有AB ADEH EF=， ∴81212282y x=--， 推不出：x y =或32x y =或1x =，2y =或3x =，2y =．故选项A ，B ，C ，D 都不满足条件，此种情形不存在．∴矩形ABCD ∽矩形EFGH ，可得32x y =，故选：B ．10．（4分）如图，二次函数2(0y ax bx c a =++≠，a ，b ，c 为常数）与二次函数21(2y x ex f e =++，f 为常数）的图象的顶点分别为A 、B ，且相交于(,)C m n 和(8,)D m n +，若90ACB ∠=︒，则a 的值为( )A ．12-B ．14-C ．18-D ．116-【解答】解：(,)C m n 和(8,)D m n +， //CD x ∴轴，且二次函数的对称轴4x m =+， AB CD ∴⊥，点C ，D 在二次函数2(0y ax bx c a =++≠，a ，b ，c 为常数）与二次函数21(2y x ex f e =++，f 为常数）的图象上，2()(8)y ax bx c a x m x m n ∴=++=---+，1()(8)2y x m x m n =---+，(4,16)A m n a ∴+-，(4,8)B m n +-，设AB 与CD 的交点为E ，则(4,)E m n +，则4CE =，16AE a =-，8BE =； 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，且AB CD ⊥， 则2CE AE BE =⋅，24168a ∴=-⨯，解得，18a =-．故选：C ．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知(4,3)P 为α∠边上一点，则cos α=45．【解答】解：过点(4,3)P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，则3PQ =，4OQ =， 在Rt POQ ∆中，2222435OP OQ PQ =+=+=， 所以4cos 5OQ OP α==， 故答案为：45．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 6000 到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 3601 摸到白球的频率mn0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6； ②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是 ② （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无” )． 【解答】解：由题意可得，若摸10000次，则频率不一定为0.6，可能为0.6，故①错误； 由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为0.6，故②正确； 故答案为：②．13．（5分）已知点1(1,)A y -，2(0.5,)B y -，3(4,)C y 都在二次函数221(0)y ax ax a =-+->的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 312y y y << ． 【解答】解：221(0)y ax ax a =-+->，∴图象的开口向下，对称轴是直线212()ax a =-=⨯-，3(4,)A y ∴关于直线1x =的对称点是3(2,)y -，210.5-<-<-， 312y y y ∴<<，故答案为312y y y <<．14．（5分）如图，AB 为O 的直径，2AC BC =，M 为BC 的中点，过M 作//MN OC 交AB 于N ，连接BM ，则BMN ∠的度数为 45︒ ．【解答】解：连接OM ．AB 是直径，2AC BC =，1180603BOC ∴∠=⨯︒=︒，CM BM =，30MOB COM ∴∠=∠=︒， OM OB =，1(18030)752B OMB ∴∠=∠=︒-︒=︒，//OC MN ，60MNB COB ∴∠=∠=︒，180180607545BMN BNM NBM ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：45︒．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为245．【解答】解：如图，作AM BC ⊥于M ，AM 交DE 于N ． 1102ABC S BC AM ∆=⋅=，5BC =， 4AM ∴=．//DE BC ，AM BC ⊥， ADE ABC ∴∆∆∽，AM DE ⊥，∴AN DEAM BC=，即245AN =， 85AN ∴=， ∴平行四边形DEGF 的高812455MN AM AN =-=-=， ∴平行四边形纸片的面积1224255=⨯=． 故答案为：245．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH 拼成；正方形EFGH 是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL 拼成；正方形ABCD ，EFGH ，IJKL 的面积分别为1S ，2S ，3S ，分别连接AK ，BL ，CI ，DJ 并延长构成四边形MNOP ，它的面积为m ．①请用等式表示1S ，2S ，3S 之间的数量关系为： 2131()2S S S =+ ；②m = （用含1S ，3S 的代数式表示)m ．【解答】解：①观察图像（2）可知，138AEH S S S ∆=+，234AEH S S S ∆=-， 12332()S S S S ∴=-+， 2132S S S ∴=+，2131()2S S S ∴=+，故答案为：2131()2S S S =+．②HE EF ⊥，AK HE ⊥，//AK EF ∴，同理：//BL GF ，//DJ HE ，//CI GH ，∴四边形MNOP 是平行四边形，且MKL NLI OIJ PJK ∆≅∆≅∆≅∆，////MN GF EH ∴，90LMK EKH ∴∠=∠=︒，MLK HEL ∠=∠，MLK KEH ∴∆∆∽，∴ML MK LKKE KH EH==， 设AE x =，PE y =， 则：22ML MKx y x y ==+22ML x y∴+，22MK LN x y ==+，22222222MN x yx yx y∴=+++，2222222222()()(x y x y m MN x y x y+-∴===++，21()S x y =+，222S x y =+，23()S x y =-， 1313132131321()2S S S S S S m S S S S S ∴===++． 故答案为：13132S SS S +．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分） 17．（8分）计算求值： （1）已知34a b =，求a ba-的值； （2）2sin30tan60cos30︒-︒⋅︒． 【解答】解：（1）34a b =， ∴设3a x =，则4b x =， ∴34133a b x x a x --==-；（2）原式132322=⨯-⨯312=-12=-．18．（8分）如图，在48⨯的网格中，已知格点ABC ∆（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件． （1）与ABC ∆有一公共角； （2）与ABC ∆相似但不全等．【解答】解：如图所示，ADE ∆和ADB ∆即为所求．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．【解答】解：（1）小丽通过A通道进入校园的概率为13；（2）列表如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的有6种可能，∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为62 93 =．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角BODα∠=，70AO cm=，80BO DO cm==，40CO cm=．（1）若56α=︒，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62cos280.88︒=︒≈，sin28cos620.47︒=︒≈，tan62 1.88︒≈，tan280.53︒≈．)（2）调节α的大小，使A离地面高度125AE cm=时，求此时C点离地面的高度CF．【解答】解：（1）如图，过O 作OG BD ⊥于点G ，AE BD ⊥，//OG AE ∴， BO DO =， OG ∴平分BOD ∠，11562822BOG BOD ∴∠=∠=⨯︒=︒，28EAB BOG ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，7080150()AB AO BO cm =+=+=， cos 150cos281500.88132()AE AB EAB cm ∴=⋅∠=⨯︒≈⨯=，答：点A 离地面的高度AE 约为132cm ； （2）//OG AE ， EAB BOG ∴∠=∠， CF BD ⊥， //CF OG ∴， DCF DOG ∴∠=∠，BOG DOG ∠=∠， BAE DCF ∴∠=∠， 90AEB CFD ∠=∠=︒， AEB CFD ∴∆∆∽，∴CF CDAE AB=， 120125100()150CD AE CF cm AB ⋅⨯∴===， 答：C 点离地面的高度CF 为100cm ．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a 米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值； ①15a =； ②10a =．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a 的值．【解答】解：（1）设矩形的长为x 米，则宽为242x-米，由题意可知x a ， ∴设矩形的面积为S ，则242xS x -=⨯21122x x =-+21(12)722x =--+，102-<，抛物线开口向下，对称轴为直线12x =， ∴当012x <时，S 随x 的增大而增大，当12x 时，S 随x 的增大而减小；①15a =时，x a 即15x ；∴当12x =时，S 有最大值为72平方米；②10a =时，x a 即10x ，∴当10x =时，面积的最大值为21(1012)72702-⨯-+=（平方米）．（2）令67.5S =得：21(12)7267.52x --+=，解得9x =或15x =，由x a 可知，当15x =时，15a ，由（1）知，此时矩形最大值在12x =时取得，面积最大值为72平方米，故15x =舍去． 9a ∴=．22．（10分）如图，已知，A ，B 是O 上的点，P 为O 外一点，连接PA ，PB ，分别交O 于点C ，D ，AC BD =．（1）求证：PA PB =；（2）若60P ∠=︒，3CD AC =．AOC ∆的面积等于9，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA ，OC ，OD ，OB ，设OM AC ⊥于M ，ON BD ⊥于N ，设OP 交O 于E ．AC BD =，AC BD ∴=，OA OC OB OD ===，OM AC ⊥，ON BD ⊥，CM AM ∴=，BN DN =，90OMC OND ∠=∠=︒，CM DN ∴=，在Rt OMC ∆和Rt OND ∆中，CM DN OC OD =⎧⎨=⎩， Rt OMC Rt OND(HL)∴∆≅∆，OM ON ∴=，在Rt POM ∆和Rt PON ∆中，OP OP OM ON =⎧⎨=⎩， Rt POM Rt PON(HL)∴∆≅∆，PM PN ∴=，AM BN =，PA PB ∴=．（2）解：60APB ∠=︒，90PMO PNO ∠=∠=︒，120MON ∴∠=︒，POM PON ∆≅∆，60POM PON ∴∠=∠=︒，3CD AC =，3COE COM ∴∠=∠，15COM ∴∠=︒，230AOC COM ∴∠=∠=︒，过点A 作AJ OC ⊥于J ．设OA OB R ==，则12AJ R = 9AOC S ∆∴=，∴11922R R ⋅⋅⋅=， 6R ∴=，2306939360AOC S S S S ππ∆⨯⨯∴==-=-=-阴阴阴．23．（12分）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(4,0)B ，(1,3)E ，与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作//PQ AC ，交直线BC 于点Q ，作//PM y 轴交BC 于M ．①求证：PQM COA ∆∆∽；②求线段PQ 的长度的最大值．【解答】解：（1）二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(4,0)B ，(1,3)E ， ∴001643a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩， 解得：12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴二次函数表达式为213222y x x =-++； （2）ABC ∆是直角三角形， 理由如下：抛物线213222y x x =-++与y 轴交于点C ， ∴点(0,2)C ， 又点(1,0)A -，(4,0)B ，5AB ∴=，22145AC OA OC =+=+2241625BC OC OB ++，225AB =，2225AC BC +=，222AB AC BC ∴=+，90ACB ∴∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形；（3）①90ACB AOC ∠=∠=︒，90ACO BCO ACO CAO ∴∠+∠=︒=∠+∠，BCO CAO ∴∠=∠，//PQ AC ，//PM y 轴，90ACB CQP PQM ∴∠=∠=∠=︒，PMQ BCO CAO ∠=∠=∠， PMQ COA ∴∆∆∽；②如图，延长PM 交AB 于H ，PMQ BMH ∠=∠，90PQM PHB ∠=∠=︒，QPM CBA ∴∠=∠，(4,0)B ，点(0,2)C ，∴直线BC 解析式为122y x =-+， 设213(,2)22P m m m -++，则点1(,2)2M m m -+， 2213112(2)(2)22222PM m m m m ∴=-++--+=--+， cos cos CBA QPM ∠=∠， ∴BC PQ AB PM =， ∴2251(2)22PQ m =--+， 25452)PQ m ∴=- ∴当2m =时，PQ 45． 24．（14分）如图，O 的半径为5，弦6BC =，A 为BC 所对优弧上一动点，ABC ∆的外角平分线AP 交O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1．①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin BAC∠的值；（2）如图2，若点A为PC的中点，求CE的长；（3）若ABC⋅的最大值．∆为非锐角三角形，求PA AE【解答】（1）①证明：如图1，连接PC，A、P、B、C四点内接于O，∴∠=∠，PAF PBCAP平分BAF∠，∴∠=∠，PAF BAPBAP PCB∠=∠，∴∠=∠，PCB PBC∴=，PB PC=，∴PC PB∴点P为BAC的中点；②解：如图2，过P作PG BC⊥于G，交BC于G，交O于H，连接OB，∴PB PC =，PH ∴是直径，BPC BAC ∠=∠，12BOG BPG BPC ∠=∠=∠， OG BC ⊥，132BG BC ∴==， Rt BOG ∆中，5OB =，3sin sin 5BG BAC BOG OB ∴∠=∠==； （2）解：如图3，过P 作PG BC ⊥于G ，连接OC ，由（1）知：PG 过圆心O ，且3CG =，5OC OP ==， 4OG ∴=，459PG ∴=+=，222239310PC CG PG ∴=++=， 设APC x ∠=，A 是PC 的中点，∴AP AC=，ABC ABP x∴∠=∠=，PB PC=，2PCB PBC x∴∠=∠=，PCE∆中，PCB CPE E∠=∠+∠，2E x x x CPE∴∠=-==∠，310CE PC∴==；（3）解：如图4，过点C作CQ AB⊥于Q，ACE P∠=∠，CAE PAF PAB∠=∠=∠，ACE APB∴∆∆∽，∴PA ABAC AE=，PA AE AC AB∴⋅=⋅，sinCQBACAC∠=，3sin5CQ AC BAC AC∴=⋅∠=，13210ABC S AB CQ AB AC ∆∴=⋅=⋅， 103ABC PA AE S ∆∴⋅=， ABC ∆为非锐角三角形， ∴点A 运动到使ABC ∆为直角三角形时，如图5，ABC ∆的面积最大， Rt ABC ∆中，10AB =，6BC =， 8AC ∴=， 此时101688032PA AE ⋅=⨯⨯⨯=．。
【精选3份合集】2020-2021年宁波市九年级上学期数学期末学业水平测试试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，△ABC中，D为AC中点，AF∥DE，S△ABF：S梯形AFED=1：3，则S△ABF：S△CDE=（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：1【答案】D【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．【详解】△ABC中，∵AF∥DE，∴△CDE∽△CAF，∵D为AC中点，∴CD：CA=1：2，∴S△CDE：S△CAF=（CD：CA）2=1：4，∴S△CDE：S梯形AFED=1：3，又∵S△ABF：S梯形AFED=1：3，∴S△ABF：S△CDE=1：1．故选D．【点睛】本题考查了中点的定义，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出S△CDE：S△CAF=1：4是解题的关键．2．下列命题中，①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④半径不是弧，半圆包括它所对的直径，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据弦、弧、等弧的定义即可求解．【详解】解：①直径是圆中最长的弦，真命题；②在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，假命题；③半径相等的两个圆是等圆，真命题；④半径是圆心与圆上一点之间的线段，不是弧，半圆包括它所对的直径，真命题．故选：C．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 3．如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，若a ＝2，则b 的值是（ ）A 5B 3C 5D 3【答案】C 【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a+b ，所以面积＝（a+b ）2，矩形的长和宽分别是2b+a ，b ，面积＝b （a+2b ），两图形面积相等，列出方程得＝（a+b ）2＝b （a+2b ），其中a ＝2，求b 的值，即可．【详解】解：根据图形和题意可得：（a+b ）2＝b （a+2b ），其中a ＝2，则方程是（2+b ）2＝b （2+2b ） 解得：51b =+，故选：C ．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b 的值．4．把抛物线2y x =-向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即得到抛物线（ ）A ．y=-(x+2) 2+3B ．y=-(x-2) 2+3C ．y=-(x+2) 2-3D ．y=-(x-2) 2-3 【答案】D【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.【详解】抛物线2y x =-向右平移2个单位，得：()22y x =--， 再向下平移3个单位，得：()223=---y x .故选：D .【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.5．下列判断正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B ．两组邻边相等的四边形是平行四边形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形【分析】利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可.【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此项错误C、对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此项错误故选：A.【点睛】本题考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键.6．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC 的长为（）A．45B．43C．10 D．8【答案】A【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可．【详解】解：如图，连结AE，设AC交EF于O，依题意，有AO＝OC，∠AOF＝∠COE，∠OAF＝∠OCE，所以，△OAF≌△OCE（ASA），所以，EC＝AF＝5，因为EF为线段AC的中垂线，所以，EA＝EC＝5，又BE＝3，由勾股定理，得：AB＝4，所以，AC＝2216＝（3+5）＝45++2AB BC本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键.7．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝()()a b a baa bb+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣2x，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．8．一元二次方程mx2+mx﹣12＝0有两个相等实数根，则m的值为（）A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2【答案】C【解析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值，经检验即可得到满足题意m 的值．【详解】∵一元二次方程mx1+mx﹣12＝0有两个相等实数根，∴△＝m1﹣4m×（﹣12）＝m1+1m＝0，解得：m＝0或m＝﹣1，经检验m＝0不合题意，则m＝﹣1．故选C．【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．9．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 、B 的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C 的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（1，﹣1）D ．（﹣1，1）【答案】C 【详解】解:由图可知，点B 在第四象限．各选项中在第四象限的只有C ．故选C ．10．方程x 2+5x ＝0的适当解法是（ ）A ．直接开平方法B ．配方法C ．因式分解法D ．公式法【答案】C【分析】因为方程250x x +=中可以提取公因式x ，所以该方程适合用因式分解法.因式分解为x （x+5）=0，解得x=0或x=-5.用因式分解法解该方程会比较简单快速.【详解】解：∵x 2+5x ＝0，∴x （x+5）＝0，则x ＝0或x+5＝0，解得：x ＝0或x ＝﹣5，故选：C ．【点睛】本题的考点是解一元二次方程.方法是熟记一元二次方程的几种解法，也可用选项的四种方法分别解题，选择最便捷的方法.11．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CAB 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【答案】C 【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故选C．点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.12．抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【答案】B【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐．【详解】∵抛物线y=﹣(x+2)2+5，∴该抛物线的顶点坐标为(﹣2，5)．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由函数的顶点式可以直接写出顶点坐标．二、填空题（本题包括8个小题）13．二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．【答案】y＝2（x+2）2﹣1【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+2）2，即y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+2）2向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+2）2﹣1，即y＝2（x+2）2﹣1．故答案为：y＝2（x+2）2﹣1．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．如图，tan∠1=____________．【答案】13 【分析】由圆周角定理可知∠1=∠2，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵∠1与∠2是同弧所对的圆周角，1tan 13BC AC ∴∠== 故答案为13【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．15．反比例函数y ＝k x 的图象经过点（﹣2，3），则k 的值为_____． 【答案】-1【解析】将点（−2，3）代入解析式可求出k 的值．【详解】把（−2，3）代入函数y ＝k x 中，得3＝k 2-，解得k ＝−1． 故答案为−1．【点睛】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y ＝k x，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．16．数学课上，老师在投影屏上出示了下列抢答题，需要回答横线上符号代表的内容◎代表__________________ ，@代表_________________。
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2020学年第一学期初三年级期末测试卷数学学科试卷一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．气象台预报明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（ ） A ．明天30%的地区不会下雨 B ．明天下雨的可能性较大 C ．明天70%的时间会下雨D ．明天下雨是必然事件3．把二次函数2(1)3y x =--的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（ ） A ．2(2)1y x =++ B ．2(2)1y x =-+ C ．2(4)1y x =++D ．2(4)1y x =-+4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）A ．3:2B ．C ．1:D 5．如图，直线123////l l l ，直线AB ，DE 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，若:2:5AB AC =，15EF =，则DF 的长等于（ ）A ．18B ．20C ．25D ．306．在45⨯网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（小正方形的顶点），则下列等式正确的是（ ）A ．sin 2A =B ．1cos 2A =C ．tan 3A =D ．cos 2A =7．如图，已知O 的半径为3，弦AB ⊥直径CD ，30A ∠=︒，则BD 的长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10︒，此商场门前的台阶高出地面1.53米，则斜坡的水平宽度AB 至少需（ ）（精确到0.1米．参考值：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）A ．8.5米B ．8.8米C ．8.3米D ．9米9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm ，宽为8dm ，上下边框的宽度都为dm x ，左右边框的宽度都为dm y ．则符合下列条件的x ，y 的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）A ．x y =B ．32x y =C ．1x =，2y =D ．3x =，2y =10．如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a ，b ，c 为常数）与二次函数212y x ex f =++（e ，f 为常数）的图象的顶点分别为A ，B ，且相交于(,)C m n 和(8,)D m n +．若90ACB ∠=︒，则a 的值为（ ）A ．12-B ．14-C ．18-D ．116-二、填空题（每题5分，共30分）11．如图，已知(4,3)P 为α∠边上一点，则cos α= ．12．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 13．已知，点()11,A y -，()20.5,B y -，()34,C y 都在二次函数2(0)21y ax a a x +->=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 ．14．如图，AB 为O 的直径，2AC BC =，M 为BC 的中点，过M 作//MN OC 交AB 于N ，连结BM ，则BMN ∠的度数为 ．15．如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为 ．16．如图1是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法．如图2，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH 拼成；正方形EFGH 是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL 拼成；正方ABCD ，EFGH ，IJKL 的面积分别为1S ，2S ，3S ，分别连结AK ，BL ，CI ，DJ 并延长构成四边形MNOP ，它的面积为m ．①请用等式表示1S ，2S ，3S 之间的数量关系为： ；②m = （用含1S ，3S 的代数式表示m ）．图1 图2三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分．17．计算求值：（1）已知34a b =，求a ba-的值； （2）2sin30tan60cos30︒-︒⋅︒．18．如图，在48⨯的网格中，已知格点ABC △（小正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形）．在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．图1 图2（1）与ABC △有一公共角；（2）与ABC △相似但不全等．19．某校在防疫期间开设A ，B ，C 三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园． （1）求小丽通过A 通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）． 20．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾衣杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB 和CD 分别是两根长度不等的支撑杆，夹角BOD α∠=，70cm AO =，80cm BO DO ==，40cm CO =．图1 图2（1）若56α=︒，求A 点离地面的高度AE ；（参考值：sin62cos280.88︒=︒≈，sin 28cos620.47︒=︒≈，tan62 1.88︒≈，tan 280.53︒≈．） （2）调节α的大小，使A 离地面高度125cm AE =时，求此时C 点离地面的高度CF ． 21．如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a 米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值； ①15a =；②10a =；（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a 的值． 22．如图，已知，A ，B 是O 上的点，P 为O 外一点，连结PA ，PB ，分别交O 于点C ，D ，AC BD =．（1）求证：PA PB =；（2）若60P ∠=︒，3CD AC =，AOC △的面积等于9，求图中阴影部分的面积．23．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(4,0)B ，(1,3)E ，与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断ABC △的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作//PQ AC ，交直线BC 于点Q ，作//PM y 轴交BC 于M ．①求证：PQM COA △∽△； ②求线段PQ 的长度的最大值．24．如图，O 的半径为5，弦6BC =，A 为BC 所对优弧上一动点，ABC △的外角平分线AP 交O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．图1 图2 备用图（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin BAC ∠的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长； （3）若ABC △为非锐角三角形，求PA AE ⋅的最大值．2020学年第一学期期末考试 初三数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题三、解答题17．解：（1）设3a k =，4b k = 则34133a bk kak --==- （2）原式1222=⨯- 12=-18．图2答案不唯一，如下四个中的两个即可．图1 图2图3 图419．解：（1）1()3P A =树状图或列表（略）P （不同通道）23=20．解：（1）80cm BO DO ==，56α=︒，62ABE ∴∠=︒在Rt ABE △中，sin AEABE AB∠=， sin 1500.88132(cm)AE AB ABE ∴=⋅∠=⨯=（2）ABE CDF ∠=∠，90AEB CFD ∠=∠=︒，ABE CDF ∴△∽△，CF CD AE AB ∴=，100(cm)CDCF AE AB∴=⋅=21．解：（1）设养鸡场平行于墙壁的一边长为x 米，养鸡场的面积为S 平方米， 则有242xS x -=⋅ 21(12)722S x =--+①15a =，015x ∴<≤∴当12x =时，养鸡场的面积最大为72S =平方米；②10a =，010x ∴<≤∴当10x =时，养鸡场的面积最大为70S =平方米；（2）67.572<，12a ∴<∴当x a =时， 67.5S =最大，2467.52aa -∴⋅=， 解得19a =，115a =（不合，舍去）9a ∴=22．解：（1）AC BD =，AC CD BD CD ∴+=+， AD BC ∴=，A B ∴∠=∠，PA PB ∴=．（2）60P ∠=︒，由（1）知PAB △为等边三角形，60A ∴∠=︒，3CD AC = 30AC ∴=︒，连OA ，OC ，A 作AH OC ⊥于E ，12AE OA ∴=， 设O 的半径为r ，AOC △的面积等于9，2194r ∴=，6r ∴=， 39OAC OAC S S S π∴=-=-△阴影扇形23．解：（1）设二次函数表达式为(1)(4)y a x x =+-， 图象过点(1,3)E ，36∴=-，得12a =-∴该二次函数表达式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++．（2）(0,2)C ，2225AC OA OC ∴=+=，22220BC OB OC =+=，225AB =， 222AB AC BC ∴=+，90ACB ∠=︒，ABC ∴△为直角三角形．（3）①证明：//PQ AC ，90PQB ACB AOC ∴∠=∠=∠=︒，//PM y 轴，PMQ OCB CAO ∴∠=∠=∠，PQM COA ∴△∽△．②直线BC 的函数表达式为122y x =-+，由①得：5PQ OC PM AC ==，5PQ PM ∴= 设P 的坐标为213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22M m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212552PQ PM m m ⎫∴==-+⎪⎝⎭2(2)55m =--+∴当2m =时，线段PQ ．24．（1）①证明：四边形APBC 内接于O ，180PAC PBC ∴∠+∠=︒，180PAF PAC ∠+∠=︒， PAF PBC ∴∠=∠，AP 是ABC △的外角平分线，PAB PBC ∴∠=∠， BP CP ∴=，即点P 为BAC 的中点； ②连结BO 并延长交O 于M ，连结MC ，O 的半径为5，10BM ∴=，90BCM ∠=︒，6BC =，3sin 5BC BMC BM ∴∠==， BMC BAC ∠=∠，3sin 5BAC ∴∠=．图1（2）连结PC ，由（1）得PBC PCB ∠=∠，若点A 为PC 的中点，PBA ABC ∴∠=∠，设PBA α∠=2PAF PAB α∴∠=∠=，2PCB α∴∠=，CPA ABC α∠=∠=，E α∴∠=，E CPA ∴∠=∠，CE CP PB ∴==，过P 作PH BC ⊥于H ，连结OB ，由对称性可知PH 过点O ， 3BH HC ∴==，5OB =，4OH ∴=，9PH ∴=，CE CP PB ∴===图2（3）过C 作CQ AB ⊥于Q ，ACE P ∠=∠，CAE PAB ∠=∠，ACE APB ∴△∽△，PA AB AC AE∴=，PA AE AB AC ∴⋅=⋅， sin CQ BAC CA ∠=，3sin 5CQ CA BAC CA =⋅∠=， 13210ABC S AB CQ AB AC ∴=⋅=⋅△， 103ABC PA AE AB AC S ∴⋅=⋅=△ 当点A 运动到使ABC △为直角三角形时，ABC S △最大为24， 所以PA AE ⋅最大为80．备用图。