实变函数习题与解答(电子科大) (2)

i i i
由 f 在 E 上的可测性知，每个 E{x | α i < f ( x) < 可测. 若O是 的无解开集时，对于 ∀n ∈
∞
β i } 可测，从而 f −1 (O)
，记 E n = [ − n, n] ，则 On =
O ∩ En 是
中有界开集，并且 O = ∪ On ，故
n =1
f
再由 f
故， E{ x | f ( x ) > α } 是可测集，从而 f ( x ) 在 E 上可测. 7. 设 f 是 E 上的可测函数，证明： （1）对 （2）对 （3）对 上的任意开集 O ， f 中的任何开集 F ， f
−1 −1
(O) 是可测集； ( F ) 是可测集；
−1
中的任何 Gδ 型集或 Fσ 型集 M ， f
证明 设 f ( x ) 和 g ( x ) 是 E 上的两个可测函数，令
E 0 = E − E{x | g ( x) = ±∞}
并且对于 ∀a ∈ , 因为
E0 {x | f ( x) + g ( x) > a} = E0 {x | f ( x) > a − g ( x)}
= ∪ E0 {x | f ( x) > ri > a − g ( x)}
f
由f
−1
−1
(G ) = ∩ f −1 [G k ] 且 f
k =1
∞
−1
( F ) = ∪ f −1 [ Fk ] .
k =1 −1
(G k ) 与 f
−1
( Fk ) 的可测性知, f
−1
(G ) 与 f
( F ) 均可测.
8. 证明： E 上两个可测函数的和仍是可测函数.
4
实变函数第三章▉▉
α ≠ 0 ， 因为
m * E = inf{∑ | I i | ∪ I i ⊃ E ， I i 为开区间 } ，
i =1 i =1 ∞ ∞
则对于 ∀ε > 0 , 存在开区间序列 {I i }i∞ =1 ，使得
1
▉▉第三章习⊃ E 并且 m * E ≤ ∑ | I i | < m * E +
i =1
∞
∞
ε . |α |
又因为 ∪ αI i ⊃ E （注：若 I i = (α i , β i ) ，则
i =1
αI i = ⎨
所以
⎧(αα i , αβ i ), α . ⎩(αβ i , αα i ), α
∞
m * αE ≤ ∑ | αI i | = ∑ | α || I i | =| α | ∑ | I i | <| α | ⋅m * E + ε .
n
m( E − F ) < ε 并且 f ( x ) 在 F 上连续. 现在证： f ( x ) 在 F 上有界.
事实上，如果 f ( x ) 在 F 无界，即 ∀M > 0 ，存在 xm ∈ F 使 | f ( xm ) |
> M . 特别地，当 M 1 = 1 时，存在 x1 ∈ F 有 | f ( x1 ) |> M 1 ；当
E 0 {x | f ( x) + g ( x) > a} 可测. 又因为
E{x | g ( x ) = ±∞} ∩ E { x | f ( x) + g ( x ) > a}
是零测集，故可测. 从而， f + g 在 E 上可测. 9. 证明： 若 f ( x ) 是 E1 及 E 2 上的非负可测函数， 则 f 也是 E1 ∪ E 2 上 的非负可测函数. 证明 因为 f ( x ) 是 E1 及 E 2 上的非负可测函数，则对于 ∀a ∈ ，
−1
−1
(O) = f −1 [ ∪ O] = ∪ f −1 [On ] .
n =1 n =1 −1
∞
∞
(O n ) 得可测性知， f (O ) 是可测集.
中的任一闭集，记 O =
−1
（2）设 F 是
−F 是
−1
中开集，则
−1
f
即, f
−1
(O ) = f
−1
−1
(R′ − F ) = f
−1
( R ′) − f
i =1
∞
∞
又因为 ∪
∞
1
i =1
α
I i ⊃ E ，故 m * E ≤ ∑|
i =1 ∞
1
α
I i | < m * αE + ε .
由 ε 得任意性，有 | α | m * E ≤ m * αE . 从而 | α | m * E = m * αE . 命题 2. 设 E ⊂ P54.19 题的直接推论). 证明： (⇐) 是直接的，我们仅需证明 (⇒)
m * E < +∞ ， ， 则 E 可测 ⇔ ∀α ∈
αE 可测.(由 ，
∀a ∈
，如果 α = 0 ，则 αE = {0} 为零测集.故 αE 可测. 不妨设 ，有
α ≠ 0 . 现在证明：对于 ∀T ⊆
事实上，对于 ∀T ⊆
m * T = m * (T ∩ α E ) + m * (T ∩C α E ) .
E1{x | f ( x) > a} 与 E 2 {x | f ( x) > a}
均是可测集合. 于是，记 E = E1 ∪ E 2 ，则
E {x | f ( x) > a} = E1{x | f ( x) > a} ∪ E 2 {x | f ( x) > a}
是可测的. 从而， f ( x ) 在 E = E1 ∪ E 2 上非负可测. 10. 设 E 是 R 中有界可测集， f 是 E 上几乎处处有限的可测函数， 证明： ∀ε > 0 ，存在闭集 F ⊂ E ，使得 m( E − F ) < ε ，而在 F 上 f ( x ) 有界. 证明（法一）由 Lu sin 定理， ∀ε > 0 ，存在闭集 F ⊂ E ，使得
可测，记 E* = ( a, b) ，则 E = ∪ E k .
k =1
因为 ∀α ∈
，有 E * {x | f ( x) > α } = ∪ E k {x | f ( x) > α } ， 由每
k =1
∞
个 Ek {x | f ( x) > α } 的可测性，得 E *{x | f ( x ) > α } 是可测集. 所以，
( M ) 是可测集.
证明： （1）当 O 时
中有界开集时，由第一章定理 11（p.25） ，O是
i
至多可数个互不相交的开区间 {(α i , β i )}i 的并，即 O = ∪(α i , βi ) . 则
f
−1
(O) = f −1 [∪(α i , β i )] = ∪ f −1 [(α i , β i )] = ∪ E{α | α i < f ( x) < β i }
a } 可测. 从而， [ f ( x)]3
5. 若 [ a , b] 上的函数 f ( x ) 在任意线段 [α , β ] ( a < α < β < b) 上可 测，试证它在整个闭区间上也可测. 证明： ∀k ∈ ， E k = [a +
∞
b −1 b −1 , b − k +1 ] ⊆ ( a, b) ， f ( x ) 在 E k 上 k +1 2 2
是可测集合. 从而， f (αx ) 也是 E = 上的可测函数.
3
4. 设 f ( x ) 是 E 上的可测函数，证明： [ f ( x)] 在 E 上可测. 证明 ∀α ∈ ， 因 f ( x ) 在 E 上可测. 所以 E{ x | f ( x ) >
3 3 3
a } 也是可
列集. 又因为 E{ x | f ( x ) > a} = E{ x | f ( x ) > 在 E 上可测.
i =1 i =1 i =1
∞
∞
由 ε 得任意性，有
m * αE ≤ inf{∑ | I i | ∪ I i ⊃ αE , I i 为开区间 }
i =1 i =1
∞
∞
故存在开区间 {I i }i∞ =1 使得
i =1
∪ I i ⊃ αE ，且 m * E ≤ ∑ | I i | < m * αE + ε .
i =1 ∞
= [ ∪ E0 {x | f ( x) > ri } ∩ E 0 {x | g ( x) > a − ri }] .
i =1
∞
再由 f ( x ) 与 g ( x ) 在 E 的可测性知，f ( x ) 与 g ( x ) 在 E0 上也是可测得. 从 而，对于 ∀i ∈ ， E 0 {x | f ( x) > ri }] 与 E 0 {x | g ( x) > a − ri }] 可测，故
k → +∞
对于 ∀a ∈
，取单调递减的有理数序列 {rk }∞ k =1 使得
lim rk = a ，则
E = {x | f ( x) > a} = ∪ E{x | f ( x) > rk }
k =1
∞
而由每个 E{x | f ( x) > rk }的可测性，知 E = { x | f ( x ) > a} 可测.
3. 设 f 是 上的可测函数. 证明 记 E = ，对于 ∀α ∈ ，当 α = 0 时，因为 上的可测函数，证明：对于任意的常数 α ， f (αx ) 是
f (0) ≤ a ⎧∅ , E{x | f (0) > a} = ⎨ , f (0) > a ⎩E = 令 y = αx ， 所以，E{ x | f (αx ) > a} 可测， 进而 f (αx ) 可测. 当 α ≠ 0 时，
−1
(F )
(F ) = f
−1
( R ′) − f
(O) . 再由 f
(O) 与 f ( ) 得可测性知，
f
−1
( F ) 可测.
（3） 设 G 与 F 分别为 中 Gδ 型集和 Fσ 型集. 即，存在开集列
∞ ∞ k =1 k =1 ∞
∞ {G k }∞ k =1 ，闭集列 {Fk } k =1 使得 G = ∩ G k ， F = ∪ Fk . 从而，
，则
1
α
T⊆
，因为 E 在
可测，所以
1 1 1 m *( T ) = m *( T ∩ E ) + m *( T ∩C E )
α
α
α
即
2
实变函数第三章▉▉
1 |α |
从而，我们有
m *T =
1 |α |
m *(T ∩ α E ) +
1 |α |
m *(T ∩C E )
m * T = m * (T ∩ α E ) + m * (T ∩C α E ) 即 αE 可测.
* 则 E = E0 ∪ E . 则 f ( x ) 在 E* = ( a, b) 可测. 令 E 0 = {a, b} ，E = [ a, b] ，
3
▉▉第三章习题参考解答
E{x | f ( x) > α } = E * {x | f ( x) > α } ∪ E 0 {x | f ( x) > α }
实变函数第三章▉▉
第 3 章 可测函数（习题及参考解答）
1. 设 f 是 E 上的可测函数，证明： ∀a ∈ 可测集. 解 对于 ∀a ∈ ， 因为 f ( x ) 是 E 上的可测， 所以 E = { x | f ( x ) = a} 与 E = { x | f ( x ) ≤ a} 均是可测集. 从而， ， E = { x | f ( x ) = a} 是
E = { x | f ( x ) = a} = E = {x | f ( x) ≥ a} ∩ E = {x | f ( x ) ≤ a}
也是一个可测. 2. 设 f 是 E 上的函数，证明： f 在 E 上的可测当且仅当对一切有理 数 r ， E = { x | f ( x ) > r} 是可测集. 证明 (⇐)
从而，
f ( x ) 在 E 上的可测.
(⇒) 设 f 在 E 上的可测，即 ∀a ∈
， E = { x | f ( x ) > a} 可测.特别 地，当 a = r 时有理数时， E = { x | f ( x ) > r} 可测. 3. 设 f 是 上的可测函数. 为证上述命题，我们先证下面二命题： 命题 1. 若 E 是 中的非空子集， 则 ∀α ∈ ， 有 m * αE =| α | m * E 证明：当 α = 0 时，因为 αE = {0} ，则 m * αE =| α | m * E . 不妨设 上的可测函数，证明：对于任意的常数 α ， f (αx ) 是
5
▉▉第三章习题参考解答
M 2 = max{| f ( x) | +1,2} 时，存在 x2 ∈ F 使得 | f ( x 2 ) |> M 2 . 一般地，
则
1 y E{x | f (αx) > a} = E{ | f ( y ) > a} = E{ y | f ( y ) > a} . x α 因为 f 在 可测，故 E{ y | f ( y ) > a} 可测. 又由命题 2，得
E{ y | f ( y ) > a} = E{ x | f ( x ) > a}