三角形中相关角度的计算规律及应用

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三角形中相关角度的计算规律及应用

淮南市谢家集区杨公中学 夏明海

三角形是最简单的多边形，初中几何教学中常通过对角线或添加辅助线把复杂的图形转化为三角形来研究和讨论，使问题简化后得以解决，可见三角形是初中几何的最基础的内容，在几何教学中尤显重要。三角形内角和定理与角平分线、高线是探索和研究三角形问题的重要知识点。在教学实践中把他们巧妙的结合起来，使得解决问题更为方便。

以素质教育为标准的新课标，对教材内容的深度、广度和难度都做了适当的调整，目前形势下，众多的教辅材料进入了学生的书包。其深度和难度明显超出了新课标的要求，如果学生不能很好的灵活应用基础知识，是很难完成作业的。为此对教师的课堂教学提出了新的要求。除要使学生对基础内容理解和掌握外，还要求教师把基本知识进行升华，教会学生准确、灵活的运用所学知识解决相应问题，同时要把基本内容进行归纳总结，抽象出规律性的东西。同时也培养了学生的综合分析能力和逻辑思维能力。

由于我在课堂教学中摸索出点滴的教学经验——三角形中相关角度的计算规律及其应用。愿和同行们进行交流，共同分享这份快乐，共同进步。

一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用

例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？

研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2)

而∠1+∠2= 1

2 (180°-∠A) =90°- 1

2 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 1

2 ∠A) =90°+ 1

2 ∠A 由例1总结出规律：三角形的两个内角平分线交

于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 1

2 ∠A 。

例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢?

分析：∠O = 180°-（∠1+∠2） 而∠1+∠2 = 1

2 (180°+ ∠A)

∴∠O =180°- [ 1

2 (180°+ ∠A)]

= 180°- 90°- 1

2 ∠A = 90°- 1

2 ∠A

B

A

O C

1

2

例1

E

F

2

由例2总结出规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为∠O = 90°- 1

2 ∠A 。

例3：已知如图：PB 与PC 分别为内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， 且交于点P ，

探究：∠A 与∠P 的关系。 分析：∠P=∠2-∠1，

∠2= 1

2 (∠A+∠ABC)

∠1= 1

2 (180°-∠A - ∠BCA ）

∴∠P= 1

2 (∠A+∠ABC ）- 1

2 (180°-∠A - ∠BCA ）

= 1

2 ∠A + 1

2 ∠ABC - 90°+ 1

2 ∠A+ 1

2 ∠BCA =∠A - 90°- 1

2 (180°-∠A) = 1

2 ∠A

由例3总结出规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一半。即为∠P = 1

2 ∠A 。

规律的应用

1、 如图，在△ABC 中，外角∠CAE 和∠ACD 的平分线AP 与CP 交于点P ，且∠B=57°，则∠APC= 。

2、如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点E ，且∠A=110°，求∠E= 。

3、如图：在△ABC 中,∠A=90°,∠B =32°,OA 、OB 、OC 分别平分∠A 、∠B 、∠C ， 则∠AOB= ，∠BOC= ，∠COA= 。

4、在△ABC 中，OA 、OC 分别平分∠A 、∠C ，且∠AOC=116°，则∠B= 。

5、如图，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线，∠A=62°，则∠P= 。

6、在△ABC 中，∠A=m °, ∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点P 1，得∠P 1，∠P 1BC 与∠P 1CD 的平分线P 2，得∠P 2……，∠P 2013BC 和∠P 2013CD 的平分线交于P 2014，∠P 2014= 度。

7、如图所示，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，

若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

（第5题）

C

P

B

A

D

D

例3

C P

B

A

D

1

2

二、三角形内角和、角平分线与高线规律发现及应用

例1：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，交BC于点E，且∠C＞∠B，求证∠DAE= 1

2

(∠C-∠B) 分析引导：∠DAE=∠BAC-∠BAE-∠CAD

而∠BAE = 1

2∠BAC，∠CAD= 90°-∠C

∴∠DAE =∠BAC - 1

2∠BAC -（90°-∠C）=

1

2∠BAC +∠C - 90°

= 1

2（180°-∠B -∠C）+∠C - 90°

= 90°- 1

2∠B -

1

2∠C+∠C - 90°=

1

2(∠C-∠B)

由例1总结出规律：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角的差的一半。规律的应用

（1）如图所示，AD、AE分别为△ABC的高和角平分线，且

∠B=35°，∠C=45°，则∠DAE= 。

（2）如图所示，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，且

∠DAE=12°，∠B=62°，则∠A= ，∠ACB= 。

（3）在Rt△ABC中，CD和CE分别是高和角平分线，∠DCE=15°，

则△ABC三边的比为。

（4）已知如图，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上任意一点（A、E除外），且FD ⊥BC于D，求证：∠DFE= 1

2

（∠C-∠B）

在教学中通过对基本内容的讲解和分析、综合，找出其中的内在联系，并配以适当的作业练习，使学生对所学知识熟练化、系统化、规律化，使学生对知识强化的同时，也开发了学生的智力。

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